初中數(shù)學邊緣問題

剪拼圖形：

1.平行四邊形剪拼成一個三角形.

用“面積不變”的思想,平行四邊形變?nèi)切斡袃纱箢惙椒?，每一大類都有無數(shù)種拼法.如

圖3,圖7.

1.1一般的方法：

如圖1,找出AB邊中點E,作射線DA、射線CE,兩條射線交與點D'.易證AAED'

絲△BEC,將aBEC繞點E旋轉(zhuǎn)180°,就和aAED'重合.這樣將平行四邊形ABCD沿CE

剪開就可以拼成一個三角形（4DCD'）.

如圖2,也可以在BC邊上找中點，作法同上.

D'

圖1圖2

那么是否只有這兩種做法呢？當然不是，它的做法有無數(shù)種呀！下面我們來看一看.

1.2以動態(tài)的觀點看問題：

如圖3,找出AD、BC的中點G、H,而D'點是AB上任意一點（動點），作射線D'

G和射線D'H,分別交DC所在的直線于E、F,易證4DGE絲AGD',Z\HBD'絲△HCF,

這樣平行四邊形ABCD就可以拼成一個三角形（AEFD'）.

當點D'在AB上移動時，產(chǎn)生的AEFD'也在變化，所以也就產(chǎn)生無數(shù)個三角形△

EFD'也就有無數(shù)種剪拼方法.

AD'B

，一歹F

EDCF

圖6

1.2.1當點D'在AB上運動到圖4位置時，ZXEFD'為銳角三角形.

1.2.2當點D'在AB上運動到圖5位置時，^EFD'為直角三角形.

1.2.3當點D'在AB上運動到圖6位置時，AEFD'為等腰（鈍角）三角形.

124當點D'在AB上運動時，△EFD,能否為等邊三角形？若不能什么條件下能?

1.3同樣以動態(tài)的觀點看問題，又有以下方法:

該方法實際上是1.1方法的一般化.

1

利用剪拼后“面積不變"S=ah=2a（2h）還可以有如圖7作法.D'點是AB上任意

一點（動點），過D'點作D'A'平行且等于DA,易證△EADgED'A',△FA'D'絲

△FCB,這樣平行四邊形ABCD就可以拼成一個三角形（4DCA'）.

當點D'在AB上移動時，產(chǎn)生的aDCA'也在變化，所以也就產(chǎn)生無數(shù)個三角形△

DCA'也就有無數(shù)種剪拼方法.

同理，也可以將動點D'選在BC（或AD）上，方法原理同上面一樣.

2.平行四邊形剪拼成一個特殊四邊形.

2.1平行四邊形剪拼成長方形.

如圖8,過A點作AF±DC與F.易證RtAADF^RtABCE,^AADF剪下平移到4BCE

的位置就拼成了長方形.

2.2平行四邊形剪拼成正方形.

平行四邊形剪拼成正方形的過程較復雜，要先將平行四邊形拼成長方形，再把長方形拼

成正方形.下面通過圖像來說明怎么把長方形剪拼成正方形的方法.

用“面積不變”的思路，我們可以將給定的矩形剪拼成正方形，如圖9所示.請大家探

討有沒有更好的方法.

b

圖9

2.3平行四邊形剪拼成梯形.

同樣以動態(tài)的觀點看問題，有下述方法.

用“面積不變”的思路平行四邊形變梯形的方法.如圖10所示.

點E為BC的中點，F(xiàn)為AB上一動點（F不與A、B兩點重合，思考為什么？），易

證AFBE絲ZXGCE,將4FBE剪下使它和4GCE重合即拼成了梯形.（因為是動態(tài)的所以有

無數(shù)種剪拼成梯形的方法.）

2.3.1當F點移動到A點位置時可拼成為三角形即1.1的情況.

2.3.2當F點移動到圖11位置時可拼成為直角梯形.

2.3.3當F點移動到圖12位置時可拼成為等腰梯形.

2.3.4如圖13,另外以點E為AB的中點，G為BC上一動點，G在BC上運動（不包

括B、C兩點），原理同上也可以剪拼梯形.因為G在BC上運動，所以有無數(shù)種剪拼成梯

形的方法.特別的當G運動到圖13位置時，能剪拼成直角梯形.

FB

圖10

圖12

2.4平行四邊形剪拼成任意四邊形.

如圖14,在平行四邊形ABCD的AC邊上任取一點E（或者說點E是AC上一動點），

過E點作AB的平行線，交BD于點F.在線段EF上任取兩點G、H（或者說點G、H是線

段EF上兩個動點，不能到點E、點F的位置）.分別過G、H作AC的平行線，交CD于

K,交AB于L,作H點關于AB的反射點H',作G點關于CD的反射點G',易證圖中的相

關三角形全等，從而得以剪拼成功.（因為是動態(tài)的所以有無數(shù)種剪拼成梯形的方法.）

圖14

3.任意四邊形剪拼成平行四邊形的方法.

將2.4的過程反過來則就成了將任意四邊形剪拼成平行四邊形的方法了.

4.任意四邊形剪拼成長方形的方法.

只需要圖14中，GG'±EF,HH'_LEF剪拼的結(jié)果就是矩形.

5.梯形的剪拼.

5.1梯形剪拼成平行四邊形.

如圖15,點H是BC上的中點，過點H作AD的平行線交AB的延長線于E,交DC于

G,易證4HEB四△HGC,將aHGC繞H旋轉(zhuǎn)180°到AHEB的位置，就剪拼成了平行四邊

形.同理可以像圖16那樣剪拼.

圖15

5.2一般梯形剪拼成等腰梯形的方法.

如圖17,作梯形中位線的中垂線，沿中垂線將梯形對折（作點D關于中垂線的對稱點

G）H為腰BC的中點，射線GH交AB的延長線于E點，易證aBEH絲Z\CGH,AD=EG從

而可以剪拼成功.

同理，圖18那樣也可以.

5.3梯形變長方形.

可以先將梯形剪拼成平行四邊形，再將平行四邊形剪拼成長方形.或者用前面（4.任

意四邊形剪拼成長方形的方法.）講的方法.

5.4特殊梯形的特殊變化.

例如：底角都是60°的等腰梯形變等邊三角形.這要有特殊的方法，有興趣大家可以

研究一下.

圖24

如圖：從圖19到圖24是剪拼的過程，供大家研究.

6.兩個正方形剪拼成一個正方形.

這個問題簡稱“兩方拼一方”，人教版八年級課本上有這樣一個閱讀.方法不止一種,

下面我寫幾種供大家欣賞.

圖25中，邊長分別為a、b兩個正方形連成一體，你能否在上面劃兩條直線，沿線把圖

形分成幾塊，然后拼成一個正方形而無剩余.

6.1方法一:

用剪拼后“面積不變”的方法，可知剪拼后的正方形邊長為JL+，,那么只需要在

圖中找到兩條這樣的線剪開就可以了.如圖26到圖32是剪拼過程示意圖.

以D點為圓心小正方形的邊長b為半徑作圓，交DC于H,如圖27,則AH=FH=7<22+^2,

易證圖28中甲、乙兩個三角形和圖29中甲、乙兩個三角形全等.將圖28中的甲、乙放到

圖29的位置即完成了剪拼,圖31是完成剪拼后的圖形.（不做過多論述，看圖.）

圖26圖27圖28

圖29圖30

6.2方法二:

如圖32,易證DGMAG1壽,易證圖33中的甲、乙、丙、丁分別和圖34中的甲、乙、

丙、丁全等.將圖33中的甲、乙、丙、丁分別放到圖34的位置即完成了剪拼，圖35是完

成剪拼后的圖形.（不做過多論述，看圖.）

6.3方法三：請大家看圖36,不做詳細介紹.

圖36

十字相乘：

同學們都知道，x2+(p+g)x+pq型的二次三項式是分解因式中的常見題型，那么此類多

項式該如何分解呢？

觀察(X+PXx+q)=x2+3+[)x+pg,可知x2+(p+g”+pg=(x+M(x+g)。

這就是說，對于二次三項式V+ax+小，如果常數(shù)項b可以分解為p、q的積，并且有

p+q=a,那么乂+“+8=*+切熾+/。這就是分解因式的十字相乘法。

下面舉例具體說明怎樣進行分解因式。

例1、因式分解/一X一56。

XX\

分析：因為^------上

7x+(-8x)=-x

解：原式=(x+7)(x-8)

例2、因式分解/-10工+16。

:X：

分析：因為§一二

-2x+(-8x)=-10x

解：原式二(x-2)(x-8)

例3、因式分解6/+1*+15°

分析：該題雖然二次項系數(shù)不為1,但也可以用十字相乘法進行因式分解。

2y*3

因為“5

9y+10y=19y

解：原式二(2y+3)(3y+5)

例4、因式分解14-+3工一27。

2彳Y3

7彳八一9

分析：因為二-----1

21x+(-18x)=3x

解：原式二(2x+3)(7x-9)

例5、因式分解10(X+2)2-29(X+2)+10。

分析：該題可以將(x+2)看作一個整體來進行因式分解。

2(x+2)*-5

因為5(x+2)/-2

-25(x+2)+[-4(x+2)]=-29(x+2)

解：原式=[2(x+2)-5][5(x+2)-2]

=(2x-l)(5x+8)

例6、因式分解(1-。尸-14(1-4)+24。

分析：該題可以先將(a?-4)看作一個整體進行十字相乘法分解，接著再套用一次

十字相乘。

-2(。-△)+[-12(。-a)]=-14(。一。)a+(-2a)=-a3a+(-4a)=-a

解：原式二[(/一以)-2][(/一以)-12]

=(a+l)(a-2)(a+3)(a-4)

從上面幾個例子可以看出十字相乘法對于二次三項式的分解因式十分方便，大家一定

要熟練掌握。但要注意，并不是所有的二次三項式都能進行因式分解，如x'-2x+5在實

數(shù)范圍內(nèi)就不能再進一步因式分解了

兩線合一必等腰：

學習了等腰三角形的三線合一后，筆者認為，可以根據(jù)學生的實際情況，補充“三線合一”

的逆命題的教學，因為這種逆命題雖然不能作為定理用，但它在解題中非常常見的。掌握了

它，可以為我們解題增加一種重要思路。它有以下幾種形式：

①一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形.（線段垂直平分線的性質(zhì)）

②一邊上的高與這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形.

③一邊上的中線與這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形.

因此，三角形“一邊上的高、這邊上的中線及這邊所對角的平分線”三線中“兩線合一”就

能證明它是等腰三角形.

為了便于記憶，筆者簡言之：兩線合一，必等腰。

本文重點利用該逆命題作為一種思路正確地添加輔助線，構(gòu)建等腰三角形且證明之來解

決問題。

一、我們先來證明“三線合一”性質(zhì)的逆命題三種情形的正確性：

證明①：已知：如圖1,ZiABC中，AD是BC邊上的中線，又是BC邊上的高。

A

BDC

圖1

求證：AABC是等腰三角形。

分析：AD就是BC邊上的垂直平分線，利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可以推出AB=AC,

所以aABC是等腰三角形。具體證明過程略。

證明②：已知:如圖1,4ABC中，AD是NBAC的角平分線，AD是BC邊上的高。

求證：AABC是等腰三角形。

分析：利用ASA的方法來證明△ABD^^ACD,由此推出AB=AC得出AABC是等腰三角形。

具體證明過程略。

證明③：已知：如圖2,△ABC中，AD是NBAC的角平分線，AD是BC邊上的中線。

求證：aABC是等腰三角形。

方法一：

分析：要證aABC是等腰三角形就是要證AB=AC,直接通過證明這兩條線段所在的三角

形全等不行，那就換種思路，經(jīng)驗告訴我們，在有中點的幾何證明題中常用的添輔助線的方

法是“倍長中線法”（即通過延長三角形的中線使之加倍，以便構(gòu)造出全等三角形來解決問

題的方法），即延長AD到E點，使DE=AD,由此問題就解決了。

證明：如圖2,延長AD到E點，使DE=AD,連接BE

I在4ADCffiAEDB中

AD=DE

ZADC=ZEDB

CD=BD

.-.△ADC^AEDB

AAC=BE,NCAD=/BED

TAD是NBAC的角平分線

???NBAD二NCAD

???ZBED=ZBAD

AAB=BE

又TAOBE

AAB=AC

???△ABC是等腰三角形。

方法二：

分析：上面的“倍長中線法”稍微有點麻煩，經(jīng)驗告訴我們，遇到角的平分線，我們可

以利用角的平分線的性質(zhì)：過角的平分線上一點向角的兩邊作垂線，從而構(gòu)造出了高，再利

用面積公式開辟出新思維。具體做法是：如圖2,

過點D作DFLAB,DE_LAC垂足分別為F、E。又因AD是NBAC的角平分線，所以DF=DE。

因為BD=DC,利用“等底同高的三角形面積相等”的原理，所以=再根據(jù)“等

—ACDE

積三角形高相等則底也相等”，因為$皿=5=S.CD=5，又因DF=DE,

所以AB=AC,可見“面積法”給解題帶來了簡便，這種方法也正是被人們易忽視的。

圖3

當然，學生在作出角的平分線上一點到角的兩邊的距離時，很容易形成思維定勢，證明

兩組直角三角形分別全等，從而證明/B=/C,所以AB=AC,此法明顯較麻煩些，但是思路

要給予肯定。

需要提醒讀者的是：以上我們證明了“三線合一”的逆定理的正確性，但是這種逆命題

不能作為定理來用，掌握了它和它的證明過程，其目的是為我們解題增加一種重要思路和方

法。

二、利用“三線合一”性質(zhì)的逆命題添加輔助線，構(gòu)建且證明等腰三角形來解決問題

1、逆命題①的應用（即線段垂直平分線的性質(zhì)的應用）

例1人教版八（上）第十二章章節(jié)復習題中的第5題：如圖4,D、E分別是AB、AC的

中點，CDLAB于D,BE_LAC于E,求證：AC=AB0

經(jīng)筆者驗證，學生一拿到題目就找全等三角形或構(gòu)建全等三角形，所以連接A0（圖略），

證明△AOC絲ZSAOB或者三組直角三角形分別全等，其中還要用到線段的垂直平分線的性質(zhì)，

證明OA=OB=OC,方法相當?shù)芈闊?/p>

分析：題目沒有直接給出“CD、BE分別是AB、AC的垂直平分線”這樣的語句，所以學

生最初拿到這個題目，很難把分立的垂直和平分兩個條件聯(lián)系在一起.如果學生有“兩線合

必等腰”的思維，很容易想到CD、BE分別可以是以AB、AC為底邊的等腰三角形底邊上

的高和中線，即“兩線合一”，因此添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形。

簡單證明：連結(jié)BC,CD±AB,AD=BD

AC=BC（注：利用線段垂直平分線的性質(zhì)）

同理可得：AB=BC

,AC=AB

由于逆命題①的應用與線段垂直平分線的性質(zhì)相一致，所以筆者在此就不過多的舉例。

2、逆命題②的應用

例2已知：如圖5,在△ABC中，AD平分/BAC,CD，AD,D為垂足，AB〉AC。

求證：Z2=Z1+ZB

分析：由“AD平分NBAC,CD1AD"可以想到AD可以是同一個等腰三角形底邊上的高

和底邊所對角的平分線，即“兩線合一”，因此添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形。

簡單證明：延長CD交AB于點E,由題目提供的條件，可證4AED絲z^ACD,Z2-ZAEC,

又/AEC=/1+NB,所以結(jié)論得證。

例3在學習等腰三角形知識時，會遇到這個典型題目：如圖6,在AABC中，ZBAC=90°,

AB=AC,BE平分NABC,且CD_LBE交BE的延長線于點D,

求證：CD=2BE

分析：由已知條件可知：BD滿足了逆命題②的“兩線合一”，所以延長CD和BA,交于

點F,補全等腰三角形。

簡單證明：由所添輔助線可證△BFDg^BCD,可知4BCF是等腰三角形

:.CD=DF=2CF

再證△ABEg^ACF

,BE=CF

:.CD=2BE

可見，學會“兩線合一，必等腰”的思維，對滿足“三線合一”性質(zhì)的逆命題的條件，

添加適當?shù)妮o助線來構(gòu)造等腰三角形，為我們解決相關問題開辟了新思維。

筆者認為，三個逆命題中以逆命題②在幾何證明的應用中尤為突出。

例4逆命題②還可以與中位線綜合應用：

已知：如圖7,在△ABC中，AD平分NBAC,交BC于點D,過點C作AD的垂線，交AD

的延長線于點E,F為BC的中點，連結(jié)EF。

求證：EF〃AB,EF=2(AC-AB)

分析：由已知可知，線段AE既是/BAC的角平分線，又是EC邊上的高，即“兩線合

一”，就想到把AE所在的等腰三角形構(gòu)造出來，因而就可添輔助線：分別延長CE、AB交于

點G。

簡單證明：由所添輔助線可證AAGE絲AACE,得出AAGC是等腰三角形，AG=AC

；.EG=CE

又?.,點F是BC的中點

AEF是△BGC的中位線

11

，EF〃AB,EF=2BG=2(AG-AB)=2(AC-AB)

3、逆命題③應用：

例5已知：如圖8,aABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE〃AC、DF〃AB分別

與AB、AC相交于點E,F。求證：DE=DF

分析：根據(jù)已知條件，利用相似性知識，可證：點E,F分別是AB、AC的中點（初中階段不

能用三角形的中位線的逆定理），又因點D是BC的中點，再利用三角形中位線的性質(zhì)可知,

21

DE=2AC,DF=2AB,可見只要證明AC=AB,題目所求證的結(jié)論就可得證。因為AD既是/BAC

的角平分線，又是BC邊上的中線，即“兩線合一”，所以AABC是等腰三角形可證，方法

見逆命題③的證明。

證明：過程略。

還有的題目沒有直接給出“兩線合一”的條件，而是需要證明其中一個條件或者通過

作輔助線構(gòu)建另一個條件，使題目符合“兩線合一”思路。

AD=CD+AB

例7

分析：拿到這個題目，學生的思維很活躍，有的用“截長補短法”；有的用“角的平

分線性質(zhì)”；有的用“梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題”的方法；筆者發(fā)現(xiàn)有幾個學生延長DC、

AE相交于點F,易證AABE絲Z\FCE,所以AB=CF,AE=EF,可見只要證明AD=FD,題目所求

證的結(jié)論就可得證?？墒菍W生想到這一步，思維受阻：DE此時既是NADC的角平分線，又是

AF邊上的中線，4DAF肯定是等腰三角形，就是不知道怎么證明。可見，學生如果有“兩線

合一，必等腰”的思維和掌握了它的證明方法，那么此法是可行。只是此法用于這個題目較

為麻煩、不可取，但是對于學生的思維火花還是要給予肯定的。

由于筆者在研究過程中，發(fā)現(xiàn)逆命題③的應用不是很多，所以在此就不過多的舉例。

三、請讀者小試牛刀

學習了以上“兩線合一，必等腰”的新思路，筆者最后再一次警告讀者：由于“三線合

一”性質(zhì)的逆命題①與線段垂直平分線的性質(zhì)相吻合，所以可直接應用；但是運用逆命題②

或③添加輔助線構(gòu)造的等腰三角形必須先要證明，不能作為定理用，切記切記！謹防與“三

線合一”性質(zhì)搞混淆。

請讀者試解下面問題（前2題提示，后3題不予提示）

1、已知，如圖10,ZXABC中，NBAC=90°,AD_LBC于D,/ABC的平分線交AD于E,

交AC于P,ZCAD的平分線交BP于Q。求證：AQAD是等腰三角形。（提示：可證NAQB=90°,

延長AQ。此題把逆命題②與直角三角形的性質(zhì)綜合應用）

2、如圖（圖略，讀者自己畫），在△ABC中（ABWAC）,M為BC的中點，AD平分/BAC

交BC于點D,BE_LAD于E,CF_LAD于F.求證：ME=MF.（提示：延長BE、CF.）

3、如圖（圖略），BE、CF是AABC的角平分線，AMLCF于M,ANLBE于N.求證：MN〃BC.（畫

圖時，注意ABWAC）

4、如圖（圖略），已知梯形ABCD中，AB//CD,NC的平分線CE_LAD于E,且DE=2AE,

CE把梯形ABCD分成兩部分，求這兩部分面積之比.（畫圖時，注意AB為上底，CD為下底，

E點在線段AD上）

5、BD、CE是4ABC的兩個外角的平分線，AD±BD于D,AE±CE于E.求證：（DDE/7BC.（2）DE

等于AABC的周長的一半.（畫圖時，注意BD,CE在直線BC的同側(cè)）

等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題的應用不斷為學生開辟了新思維，強化了學生通

過添加輔助線解題的能力，而且在添加輔助線的過程中也蘊含著化歸的數(shù)學思想。

巧用韋達定理：

韋達定理揭示了一元二次方程的兩根之和、之積與系數(shù)的關系，然而在學習中，我們經(jīng)常還

會遇到兩根之差、之比、平方和等問題，如果能將它們與系數(shù)建立起來關系，直接用這種關

系來解題，豈不妙哉？下面是韋達定理的三個推論，它會給大家?guī)眢@喜.

推論一設xi、X2是一元二次方程ax'+bx+c=0（aW0）的兩個實根，則

2

推論二設XI、X2是一元二次方程ax2+bx+c=0（acW0）的兩個實根，令叼，則

（1+k）2_廿

kac。

b2-2ac

彳？+x?=

推論三設XI、X2是一元二次方程ax2+bx+c=0（aW0）的兩個實根，則1

利用上述推論來解題，顯得簡捷、明快、直觀，對提高同學們的解題能力很有幫助，下面舉

例說明它們的應用.

一、求值

例1已知山、X2為方程2x2+2x-l=0的二根，則|xi—X21的值為____

.2—4x2x(—l)—拒

解：由推論一，得：|xi—X21=2

例2設Xi、X2是方程x?+6x+q=0的兩根，且3xi+2x?2=0,則q=.

_62

k=^-=-~二一q

解：由3XI+2X2=0,得為23。由推論二，得：3；.q=-216.

例3已知關于x的方程xZ—(k+l)x+k+2=0的兩實根的平方和等于6,求k的值.

解設方程X.—(k+l)x+k+2=0的兩根為Xi、X2,

二X；+君=(用+1尸一2(上+2)=上一3,由題意知1<2—3=6,二1<2=9,k=±3.

由于當k=3時，原方程無實根，，k=3應舍去.故k的值為-3.

二、求系數(shù)間的關系

例4如果方程x2+px+q=0的一根為另一根的2倍,那么p,q所滿足的關系式是一.

(1+2)]儲2

解：因為左=2,由推論二得20,即272=9，。

例5方程x2+px+q=0的兩根之差與x2+qx+p=0的兩根之差相等，則p,q的關系

式是____.(A)p=q；(B)p+q=—4；(C)p=q或p+q=—4；(D)無關.

解設方程x2+px+q=0的兩根為a,B,方程x2+qx+p=O的兩根為a',B,則

即戶|=加-乜口叫=揚-4乙由題意得物-4[=&2_4乙

即(p—q)(p+q+4)=0..,.p=q或p+q=-4.故選即).

三、求最值

例7已知xi、也是方程十一(1?一2及+(1?+31:+5)=0的兩個實數(shù)根(其中卜為實數(shù)),

則+的最大值是一

解：?.?*；+君=(左_2)2_2(上2+3上+5)=_(上+5)2+]9

又,；△=(k-2)2—4(k?+3k+5)20,

4

-4二上4-

即3kz+16k+16W0,二解得3

22

當k=-4時,劉+用的最大值是18。

梯形常用輔助線作法：

梯形是一種特殊的四邊形,它是平行四邊形和三角形的“綜合”?？梢酝ㄟ^適當?shù)靥?/p>

加輔助線，構(gòu)造三角形、平行四邊形，再運用三角形、平行四邊形的相關知識去解決梯形問

題。下面就梯形中輔助線的常見添加方法舉例說明，希望對同學們有所幫助。

一、平移對角線：平移一條對角線，使之經(jīng)過梯形的另一個頂點。

例1如圖，在等腰梯形ABCD中，AB〃CD,ACJ_BD,梯形的高CF為10,求梯形ABCD的

面積。

分析：由于等腰梯形ABCD的對角線ACLBD且AC=BD,所以我們可以平移一對角線構(gòu)造

一等腰直角三角形，通過驗證發(fā)現(xiàn)梯形的面積與這個三角形的面積相等，因此只需求出三角

形的面積即可。

解：過點C作CE〃DB交AB的延長線于點E.

VDC/7AE；四邊形CDBE為平行邊形；，DB=CE,DC=BE

?.?梯形ABCD為等腰梯形；.,.AD=BC,AC=BD；；.AC=CE

AADC^ACBE即SAADC=SACBE：；.S梯形ABCD=SAACE

VAC±BD,CE〃DB；AACICE；ZXACE為等腰直角三角形

：CF為高，；.CF也為等腰直角三角形ACE斜邊上的中線

VCF=10,AAE=20

梯形ABCD=SAACE=2AEXCF=2X20X10=100

二、平移一腰或兩腰：平移一腰，使之經(jīng)過梯形的另一個頂點或另條腰的中點；或者

同時移動兩腰使它們交于一點。

例2如圖，等腰梯形ABCD兩底之差等于一腰的長，那么這個梯形較小的一個內(nèi)角是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

解析：由條件“兩底之差等于一腰的長”，可平移一腰。如圖所示平移DC到AE,AE

交BC于E?？芍狟E=BC-AD=AB.又AB=DC=AE.故AB=BE=AE,AABE是等邊三角形。所以N

B=60°.故選B?

例3如圖，在梯形ABCD中，AD/7BC.AD<BC,E、F分另4為AD、BC的中點，且EF_LBC。

解析：要證NB=NC,可把它們移到同一個三角形中，利用等腰三角形的有關性偵加以

證明。

過點E作EH〃AB,EG〃DC,分別交BC于H、G。

???AD〃BC,...四邊形ABIIE和四邊形EGCD都是平行四邊形。

.\AE=BH,ED=GC,又E、F分別為AD、BC的中點,所以AE=ED,BF=FC

.*.BII=GC,BF-BH=FC-GC,從而FH=FG.又EF_LBC,所以EH=EG,故NEHF=/EGF,得NB=

ZCo

三、延長兩腰：將梯形兩腰延長相交構(gòu)造三角形。

例4在梯形ABCD中，AD〃BC,ZABC=ZBCD=60°,AD+BC=30,BD平分NABC,求梯形

的周長。

解析：延長兩腰相交于點E,如圖，因為NABC=NBCD=60°,故NE=60°,4BCE為等

1

邊三角形。又BD平分NABC,所以BD垂直平分CE,所以CD=5BC。又AD〃BC,故△ADE為

等邊三角形。AD=ED=CD.由AD+BC=30,知CD+2CD=30,CD=10o

匕

，梯形的周長為30+AB+CD=30+2CD=50。

四、作梯形的高：過梯上底的兩個端點分別作梯形的高。

例5已知等腰梯形的一個內(nèi)角為60。，它的上底是3cm,腰長是4cm,則下底是

解析：如圖，梯形ABCD中，ZB=ZC=60°,AD=3cm,AB=DC=4cm,過點A、D分別作

1

AE±BC,DF_LBC,垂足分另ij為E、F貝ij有NBAE=NCDF=30°，BE=FC=2AB=2cm。

，BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7(cm).

梯形中添加輔助線的方法有很多，同學們在學習的過程中還須活學活用，也可以以口訣

的形式記憶下來：“移動梯形對角線，兩腰之和成一線；平行移動一條腰，兩腰同在

現(xiàn)；延長兩腰交一點，''△"中有平行線；作出梯形兩高線，矩形顯示在眼前；已知腰上一中

線，莫忘作出中位線”。

三角形內(nèi)外角平分線有關命題的證明及應用

在中考和一些競賽題目中常有與三角形內(nèi)外角平分線有關的題目，若平時不注意總結(jié)是很難

一下子解決的.下面來一起學習一下.

命題1如圖1,點D是AABC兩個內(nèi)角平分線的交點，則ND=90°+2ZA.

證明：如圖1：

VZ1-Z11,Z2-Z21,

.?.2/l+2/2+NA=180。①

Z1+Z2+ZD=I8O°②

①一②得：

Z1+Z2+ZA=ZD(3)

由②得：

Zl+Z2=1800-ZD?

把③代入④得：

.?.180°-ZD+ZA=ZD

J

ZD=90°+2ZA.

點評利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和等于180°,不難證明.

1

命題2如圖2,點D是AABC兩個內(nèi)角平分線的交點，則ND=90°-2ZA.

圖2

證明：如圖2：

VDB和DC是4ABC的兩條外角平分線,

，ND=180°-Z1-Z2

J

=180°-2(ZDBE+ZDCF)

J

=180°-2(ZA+Z4+ZA+Z3)

!_

=180°-2(ZA+180°)

!_

=180°-2ZA-90°

1

=90°—2NA；

點評利用角平分線的定義和三角形的一個外角等于與它不相鄰兩外角的和以及三角形

的內(nèi)角和等于180°,可以證明.

J

命題3如圖3,點E是AABC一個內(nèi)角平分線與一個外角平分線的交點，則/E=5/

A.

證明：如圖3：

VZ1=Z2,/3=/4,

ZA+2Z1=2Z4?

/l+/E=/4②

J

①x5代入②得：

1

ZE=2ZA.

點評利用角平分線的定義和三角形的一個外角等于與它不相鄰兩外角的和，很容易證

H

命題4如圖4,點E是aABC一個內(nèi)角平分線BE與一個外角平分線CE的交點，證

明:AE是aABC的外角平分線.

證明：如圖3：

：BE是/ABC的平分線,可得：EH=EF

CE是/ACD的平分線，可得：EG=EF

???過點E分別向AB、AC、BC所在的直線引垂線，所得的垂線段相等.

即EF=EG=EH

VEG=EH

.,AE是4ABC的外角平分線.

點評利用角平分線的性質(zhì)和判定能夠證明.

應用上面的結(jié)論能輕松地解答一些相關的比較復雜的問題，下面來一起看.

例1如圖5,PB和PC是4ABC的兩條外角平分線.

①已知NA=60°,請直接寫出NP的度數(shù).

②三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬于什么三角形？

解析：①由命題2的結(jié)論直接得：ZP=90°-2ZA=90°-2X60°=60°

圖5

J

②根據(jù)命題2的結(jié)論/P=90°-2NA,知三角形的三條外角平分線所在的直線形成

的三角形的三個角都是銳角，則該三角形是銳角三角形.

點評此題直接運用命題2的結(jié)論很簡單.同時要知道三角形按角分為銳角三角形、直

角三角形和鈍角三角形.

例2如圖6,在aABC中，延長BC到D,/ABC與NACD的角平分線相較于4點,

/&BC與/&CD的平分線交與4點，以此類推，…，若NA=96°,則/&=_度.

解析：由命題③的結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律NZA.

可以直接得：/4=32x96°=3°.

點評此題是要找出規(guī)律的但對要有命題③的結(jié)論作為基礎知識.

例3(2011湖北鄂州市中考第一大題填空題第八小題，此題3分)如圖7,4ABC的

外角/ACD的平分線CP的內(nèi)角NABC平分線BP交于點P,若/BPC=40°,則N

CAP=.

解析：此題直接運用命題4的結(jié)論可以知道AP是4ABC的一個外角平分線，結(jié)合命

題3的結(jié)論知道NBAC=2/BPC,CAP=2(180°-ZBAC)=2(180°-2ZBPC)=50°.

點評對命題3、4研究過的讀者此題不難，否則將是一道在考試的時候花時間也不一

定做的出來的題目.

例4(2003年山東省“KLT快樂靈通杯”初中數(shù)學競賽試題)如圖，在RtZSABC中，

ZACB=90°,ZBAC=30°,NACB的平分線與NABC的外角平分線交與E點，連接AE,

則/AEB=度.

E

A

解析：有題目和命題4的結(jié)論可以知道AE是4ABC的一個外角平分線，結(jié)合命題2的

結(jié)論知道/AEB=NACB-5ZACB=90°-2X9O°=45°

點評從上面的做題過程來看題目中給出的“/A=30°”這個條件是可以不用的.

一個有關長方形的結(jié)論的妙用；

一類有關反比例函數(shù)的題目，要用到一個有關長方形的結(jié)論來解顯得極其容易，若對這個結(jié)

論沒掌握好要解這類題目是不容易的，下面我們來一起學習一下.

結(jié)論1:如圖1,長方形ABCD的對角線把長方形分成面積相等的兩部分.

利用三角形全等容易證明'三粘廢幽=S=樹8.

AB

....、

DC

圖1

結(jié)論2::如圖2,AC是長方形ABCD的對角線，點E是對角線AC上一動點，過點E分別

做AB、AD的平行線段IF、HG,點I、F分別在AD、BC上，點H、G分別在AB、DC上.則圖

中陰影部分的面積相等即5=$2.

證明：如圖2,在長方形ABCD中，由結(jié)論1知$三角四嶼=$三角出函①.

DGC

圖2

同理在長方形AHEI中，由結(jié)論1知3三用用如=5三免用AS出②.

同理在長方形EFGC中，由結(jié)論1知,N角感MG=S三角族1cF③.

①一②一③得：工=$2.

例1（2011年浙江省杭州市城南初級中學中考數(shù)學模擬試題）如圖3,矩形ABCD的對角

k

y——

線BD經(jīng)過坐標原點，矩形的邊分別平行于坐標軸，點C在反比例函數(shù)x的圖象上.若

點A的坐標為（-2,-2）,則k的值為（）

圖3

A.-2B.2C.3D.4

點評由結(jié)論2,易知k=4,答案：D

例2（2011甘肅蘭州，15,4分）如圖4,矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標原點，矩形

/+2上+1

y二----------

的邊分別平行于坐標軸，點C在反比例函數(shù)x的圖象上.若點A的坐標為（一

2,-2）,則k的值為（）

A.1B.-3C.4D.1或一3

點評由結(jié)論2,易知K'+2K+1=4,解得：k=l或一3答案：D

動點最值問題解法探析

一、問題原型：

（人教版八年級上冊第42頁探究）如圖1-1,要在燃氣管道/上修建一個泵站，分別向4、

B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短?

這個“確定最短路線”問題，是一個利用軸對稱解決極值的經(jīng)典問題。解這類問題

二、基本解法：

對稱共線法。利用軸對稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長度不變），

確定動點位置，計算線路最短長度。

三、一般結(jié)論：

FA+產(chǎn)8之（產(chǎn)在線段工歸上時取等號）（如圖1-2）

?B

A?

圖1-1

線段和最小，常見有三種類型：

（一）“I定動1+1定動I”型：兩定點到一動點的距離和最小

通過軸對稱，將動點所在直線同側(cè)的兩個定點中的其中一個，映射到直線的另一側(cè)，當

動點在這個定點的對稱點及另一定點的線段上時，由“兩點之間線段最短”可知線段和的最

小值，最小值為定點線段的長。

1.兩個定點+一個動點。

如圖1-3,作一定點工關于動點C所在直線，的對稱點入，，線段幺石（3是另一定點）

與/的交點即為距離和最小時動點C位置，最小距離和=A'B.

例1（2006年河南省中考題）如圖2,正方形N8C。的邊長為2,￡是8c的中點，P

是對角線AC上一動點，則PB+PE的最小值是

圖2

解析：B與Z）關于直線4C對稱，連結(jié)D尸，則如=尸8。

CE=-BC=1

連結(jié)在及A3CS1中，DC=2,2，則

DE=YDC'+EC"=722+12=君

PB+PE=PD+PE>DE=y/5故尸B+%的最小值為J5

例2(2009年濟南市中考題)如圖3,已知：拋物線丁=a/+—+c(aw0)的對

稱軸為x=-1,與x軸交于上、B兩點，與軸V交于點C,其中j(一3,0),C(0-2)o

(1)求這條拋物線的函數(shù)表達式；

(2)已知在對稱軸上存在一點尸，使得△尸3C的周長最小，請求出點尸的坐標。

解析：(1)對稱軸為x=-l,A-X0),由對稱性可知：8(1,0)。根據(jù)力、B、C

22),

y=-x+一二一2

三點坐標，利用待定系數(shù)法，可求得拋物線為：33

(2)5與B關于對稱軸x=-l對稱，連結(jié)HC,工C與對稱軸交點即為所求產(chǎn)點。

設直線工C解析式為：丁=以+占。把工(一3,0)、C(0,—2)代入得，,一.

244

當x=-l時，33,則'3，

2.兩個定點+兩個動點。

兩動點，其中一個隨另一個動(一個主動，一個從動)，并且兩動點間的距離保持不

變。用平移方法，可把兩動點變成一個動點，轉(zhuǎn)化為“兩個定點和一個動點”類型來解。

例3如圖4,河岸兩側(cè)有上、5兩個村莊，為了村民出行方便，計劃在河上修一座橋,

橋修在何處才能兩村村民來往路程最短？

B

圖4

解析：設橋端兩動點為反、N,那么N■點隨“點而動，■等于河寬，且加H垂

直于河岸。

將3向上平移河寬長到夕，線段工夕與河北岸線的交點即為橋端M點位置。四邊形

8*兒W為平行四邊形，B'M=BN,此時力舷+即=工舷+8'河=力8'值最小。那么

來往力、B兩村最短路程為：AM+MN+NB=AB'+MNa

例4（2010年天津市中考）在平面角坐標系中，矩形Q43c的頂點。在坐標原點，頂

點4、8分別在x軸、丁軸的正半軸上，04=3,03=4,Z）為邊03的中點。

（1）若￡為邊。力上的一個動點，當AC%的周長最小時，求點￡的坐標；

（2）若尸為邊。工上的兩個動點，且防=2,當四邊形COEF的周長最小時，

求點下，尸的坐標。

r）D

0D'=0D=—=2、

Dn”0

解析：作點Z）關于x軸的對稱點￡），，則2,（0-2）o

（1）連接CO交x軸于點5，連接,此時ACD內(nèi)的周長最小。由LD'