現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)課件

第1章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間運算式1.1狀態(tài)空間運算式1.1.1狀態(tài)、狀態(tài)變數(shù)和狀態(tài)空間狀態(tài)——動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)是一個可以確定該系統(tǒng)行為的資訊集合。這些資訊對於確定系統(tǒng)未來的行為是充分且必要的。狀態(tài)變數(shù)——確定系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變數(shù)，如果知道這些變數(shù)在任意初始時刻的值以及的系統(tǒng)輸入，便能夠完整地確定系統(tǒng)在任意時刻的狀態(tài)。（狀態(tài)變數(shù)的選擇可以不同）≥狀態(tài)空間——以所選擇的一組狀態(tài)變數(shù)為坐標軸而構(gòu)成的正交線性空間，稱為狀態(tài)空間。例：如下圖所示電路，為輸入量，為輸出量。建立方程：初始條件：

和可以表徵該電路系統(tǒng)的行為，就是該系統(tǒng)的一組狀態(tài)變數(shù)1.1.2狀態(tài)空間運算式前面電路的微分方程組可以改寫如下，並且寫成矩陣形式：該方程描述了電路的狀態(tài)變數(shù)和輸入量之間的關(guān)係，稱為該電路的狀態(tài)方程，這是一個矩陣微分方程。如果將電容上的電壓作為電路的輸出量，則該方程是聯(lián)繫輸出量和狀態(tài)變數(shù)關(guān)係的方程，稱為該電路的輸出方程或觀測方程。這是一個矩陣代數(shù)方程。系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程一起，稱為系統(tǒng)狀態(tài)空間運算式，或稱為系統(tǒng)動態(tài)方程，或稱系統(tǒng)方程。設：則可以寫成狀態(tài)空間運算式：推廣到一般形式：如果矩陣A,B,C,D中的所有元素都是實常數(shù)時，則稱這樣的系統(tǒng)為線性定常（LTI，即：LinearTime-Invariant）系統(tǒng)。如果這些元素中有些是時間t的函數(shù)，則稱系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。嚴格地說，一切物理系統(tǒng)都是非線性的。可以用下麵的狀態(tài)方程和輸出方程表示。如果不顯含t，則稱為非線性定常系統(tǒng)。1.1.3狀態(tài)變數(shù)的選?。?）狀態(tài)變數(shù)的選取可以視問題的性質(zhì)和輸入特性而定（2）狀態(tài)變數(shù)選取的非惟一性（3）系統(tǒng)狀態(tài)變數(shù)的數(shù)目是唯一的在前面的例子中，如果重新選擇狀態(tài)變數(shù)則其狀態(tài)方程為輸出方程為：1.1.4狀態(tài)空間運算式建立的舉例例1-1

建立右圖所示機械系統(tǒng)的狀態(tài)空間運算式（注：品質(zhì)塊m

的重量已經(jīng)和彈簧k

的初始拉伸相抵消）根據(jù)牛頓第二定律即：選擇狀態(tài)變數(shù)則：機械系統(tǒng)的系統(tǒng)方程為該系統(tǒng)的狀態(tài)圖如下例1-2

建立電樞控制直流他勵電動機的狀態(tài)空間運算式電樞回路的電壓方程為系統(tǒng)運動方程式為（式中，為電動勢常數(shù)；為轉(zhuǎn)矩常數(shù)；為折合到電動機軸上的轉(zhuǎn)動慣量；為折合到電動機軸上的粘性摩擦係數(shù)。）可選擇電樞電流和角速度為狀態(tài)變數(shù)，電動機的電樞電壓為輸入量，角速度為輸出量。狀態(tài)空間運算式狀態(tài)圖如下：例1-3

建立單極倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間運算式。單級倒立擺系統(tǒng)是許多重要的宇宙空間應用的一個簡單模型。在水準方向，應用牛頓第二定律：在垂直於擺桿方向，應用牛頓第二定律：而有：線性化：當和較小時，有化簡後，得求解得：選擇狀態(tài)變數(shù)，，，為系統(tǒng)輸入，為系統(tǒng)輸出狀態(tài)圖為1.2由微分方程求狀態(tài)空間運算式一個系統(tǒng)，用線性定常微分方程描述其輸入和輸出的關(guān)係。通過選擇合適的狀態(tài)變數(shù)，就可以得到狀態(tài)空間運算式。這裏分兩種情況：1、微分方程中不含輸入信號導數(shù)項，（即1.4.1中的內(nèi)容）2、微分方程中含有輸入信號導數(shù)項，（即1.4.2中的內(nèi)容）1.2.1微分方程中不含有輸入信號導數(shù)項首先考察三階系統(tǒng)，其微分方程為選取狀態(tài)變數(shù)則有寫成矩陣形式狀態(tài)圖如下：一般情況下，n

階微分方程為：選擇狀態(tài)變數(shù)如下：┆寫成矩陣形式：系統(tǒng)的狀態(tài)圖如下：1.2.2微分方程中含有輸入信號導數(shù)項首先考察三階系統(tǒng)，其微分方程為（一）待定係數(shù)法選擇狀態(tài)變數(shù)：其中，待定係數(shù)為：於是寫成矩陣形式系統(tǒng)的狀態(tài)圖一般情況下，n

階微分方程為：選擇

n

個狀態(tài)變數(shù)為系統(tǒng)方程為系統(tǒng)狀態(tài)圖如下（二）輔助變數(shù)法設

n

階微分方程為：Laplace變換，求傳遞函數(shù)引入輔助變數(shù)z返回到微分方程形式：以及選擇狀態(tài)變數(shù)如下：┆寫成矩陣形式注：如果輸入項的導數(shù)階次和輸出項導數(shù)階次相同，則有d。例1-4

已知描述系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間運算式。解

（1）待定係數(shù)法選擇狀態(tài)變數(shù)如下其中於是系統(tǒng)的狀態(tài)空間運算式為（2）輔助變數(shù)法引入輔助變數(shù)z選擇狀態(tài)變數(shù)於是系統(tǒng)的狀態(tài)空間運算式為1.3傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)——系統(tǒng)初始鬆弛（即：初始條件為零）時，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。1.3.1傳遞函數(shù)單入-單出線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間運算式為在初始鬆弛時，求Laplace變換，並且化簡狀態(tài)變數(shù)對輸入量的傳遞函數(shù)輸出量對輸入量的傳遞函數(shù)（即：傳遞函數(shù)）例1-5

系統(tǒng)狀態(tài)方程式為求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：1.3.2傳遞函數(shù)矩陣狀態(tài)空間運算式為進行拉普拉斯變換如果存在，則如果，則狀態(tài)變數(shù)對輸入向量的傳遞函數(shù)矩陣：而輸出量對輸入向量的傳遞函數(shù)矩陣：其結(jié)構(gòu)為式中，表示只有第j

個輸入作用時，第i

個輸出量對第j

個輸入量的傳遞函數(shù)。例1-7

線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間運算式為求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。解1.3.3正則（嚴格正則）有理傳遞函數(shù)（矩陣）如果當時，是有限常量，則稱有理函數(shù)是正則的。若，則稱是嚴格正則的。非正則傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)在實際的控制工程中是不能應用的，因為這時系統(tǒng)對高頻雜訊將會大幅度放大。例如微分器為非正則系統(tǒng)，假如輸入信號帶有高頻污染經(jīng)過微分器輸出可見，在微分器輸入端，雜訊的幅值只是有效信號幅值的百分之一，輸出端雜訊的幅值卻是有效信號幅值的10倍，信噪比變得很小。1.3.4閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣於是閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞矩陣為或1.3.5傳遞函數(shù)（矩陣）描述和狀態(tài)空間描述的比較1）傳遞函數(shù)是系統(tǒng)在初始鬆弛的假定下輸入-輸出間的關(guān)係描述，非初始鬆弛系統(tǒng)，不能應用這種描述；狀態(tài)空間運算式即可以描述初始鬆弛系統(tǒng)，也可以描述非初始鬆弛系統(tǒng)。2）傳遞函數(shù)僅適用於線性定常系統(tǒng)；而狀態(tài)空間運算式可以在定常系統(tǒng)中應用，也可以在時變系統(tǒng)中應用。3）對於數(shù)學模型不明的線性定常系統(tǒng)，難以建立狀態(tài)空間運算式；用實驗法獲得頻率特性，進而可以獲得傳遞函數(shù)。4）傳遞函數(shù)僅適用於單入單出系統(tǒng)；狀態(tài)空間運算式可用於多入多出系統(tǒng)的描述。5）傳遞函數(shù)只能給出系統(tǒng)的輸出資訊；而狀態(tài)空間運算式不僅給出輸出資訊，還能夠提供系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)資訊。

綜上所示，傳遞函數(shù)（矩陣）和狀態(tài)空間運算式這兩種描述各有所長，在系統(tǒng)分析和設計中都得到廣泛應用。1.4離散系統(tǒng)的數(shù)學描述1.4.1狀態(tài)空間運算式首先，考察三階差分方程1.差分方程中不含有輸入量差分項選取狀態(tài)變數(shù)寫成矩陣形式可以表示為其中輸出方程或者其中推廣到n階線性定常差分方程所描述的系統(tǒng)選取狀態(tài)變數(shù)，，……

，系統(tǒng)狀態(tài)方程輸出方程2.差分方程中含有輸入量差分項先考察3階線性定常差分方程選擇狀態(tài)變數(shù)待定係數(shù)為：系統(tǒng)狀態(tài)方程為即：輸出方程為即：多輸入-多輸出線性時變離散系統(tǒng)狀態(tài)空間運算式當、、和的諸元素與時刻

無關(guān)時，即得線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間運算式1.4.2脈衝傳遞函數(shù)（矩陣）對線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間運算式進行z變換如果存在，則如果初始鬆弛，則其中，為系統(tǒng)狀態(tài)對輸入量的脈衝傳遞函數(shù)矩陣系統(tǒng)輸出向量對輸入向量的脈衝傳遞函數(shù)矩陣例1-9

已知線性定常離散系統(tǒng)方程為求其脈衝傳遞函數(shù)矩陣解對於SISO線性定常離散系統(tǒng)系統(tǒng)脈衝傳遞函數(shù)為1.5線性變換

我們知道，狀態(tài)變數(shù)的選取是非唯一的。選擇不同的狀態(tài)變數(shù)，則得到的狀態(tài)空間運算式也不相同。由於它們都是同一個系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，它們之間必然存在某種關(guān)係。這個關(guān)係就是矩陣中的線性變換關(guān)係。1.5.1等價系統(tǒng)方程1.線性定常系統(tǒng)（1）

為n維狀態(tài)向量；為r維輸入向量；為m維輸出向量；、、、為相應維數(shù)的矩陣。引入非奇異變換矩陣P或者代入方程（1）其中於是，系統(tǒng)狀態(tài)方程變?yōu)椋?）方程（1）與方程（2）互為等價方程2.線性時變系統(tǒng)（3）引入變換矩陣或者對上式求導並代入可以得到又由可以得到（4）方程（3）與方程（4）互為等價方程1.5.2線性變換的基本性質(zhì)1.線性變換不改變系統(tǒng)的特徵值線性定常系統(tǒng)系統(tǒng)的特徵方程為等價系統(tǒng)的特徵方程為可見線性變換不改變系統(tǒng)的特徵值2.線性變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣時的傳遞函數(shù)矩陣可見，經(jīng)過線性變換，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣不改變1.5.3化係數(shù)矩陣A為標準形所謂標準形是指：對角形、約當形、模態(tài)形設是矩陣A

的特徵值，如果存在一個n

維非零向量使或成立，則稱為A的對應於特徵值的特徵向量而1.化矩陣A

為對角陣若n個特徵值互異，則令例1-10

將矩陣化為對角陣解解出變換矩陣如果矩陣

A

具有這樣形式範德蒙特矩陣變換矩陣2.化矩陣A

為約當形如果矩陣A

有重特徵值，並且獨立特徵向量的個數(shù)小於n,這時不能化為對角陣，只能化為約當形。確定變換矩陣可以得到：變換矩陣為例1-12

化矩陣為標準形矩陣解得出求二重特徵根對應的特徵向量得到而由得到求特徵值對應的特徵向量得到因此設特徵值為當特徵值為共軛複數(shù)時，可以將矩陣化為模態(tài)陣3.化矩陣A

為模態(tài)陣在此情況下，A

的模態(tài)形為設為對應於的特徵向量，則令則變換矩陣例1-13

將化為模態(tài)形解特徵值為解得因此1.6組合系統(tǒng)的數(shù)學描述

工程中較為複雜的系統(tǒng)，通常是由若干個子系統(tǒng)按某種方式連接而成的。這樣的系統(tǒng)稱為組合系統(tǒng)。組合系統(tǒng)形式很多，在大多數(shù)情況下，它們由並聯(lián)、串聯(lián)和回饋等3種連接方式構(gòu)成的。下麵以兩個子系統(tǒng)和構(gòu)成的組合系統(tǒng)進行介紹。的系統(tǒng)方程為傳遞函數(shù)矩陣為的系統(tǒng)方程為傳遞函數(shù)矩陣為1.6.1並聯(lián)連接系統(tǒng)方程傳遞函數(shù)矩陣1.6.2串聯(lián)連接串連組合後系統(tǒng)方程傳遞函數(shù)矩陣所以1.6.3回饋連接組合後系統(tǒng)方程為傳遞函數(shù)矩陣為或（1-125）（1-126）

應當指出，在回饋連接的組合系統(tǒng)中，或存在的條件是至關(guān)重要的。否則回饋系統(tǒng)對於某些輸入就沒有一個滿足式（1-125）或式（1-126）的輸出。就這個意義來說，回饋連接就變得無意義了。1.7利用MATLAB進行模型轉(zhuǎn)換1.7.1傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間運算式之間的轉(zhuǎn)換1.連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間運算式MATLAB是當今世界上最優(yōu)秀的科技應用軟體之一，它以強大的科學計算能力和可視化功能，簡單易用的編程語言以及開放式的編程環(huán)境等一些顯著的優(yōu)點，使得它在當今許許多多科學技術(shù)領(lǐng)域中成為電腦輔助分析和設計、演算法研究和應用開發(fā)的基本工具和首選平臺。在本書中，用它作為系統(tǒng)分析和設計的軟體平臺，更顯示出獨特的優(yōu)勢。本節(jié)利用MATLAB實現(xiàn)數(shù)學模型的轉(zhuǎn)換。

可以用ss命令來建立狀態(tài)空間模型。對於連續(xù)系統(tǒng)，其格式為sys=ss(A,B,C,D)，其中A，B，C，D為描述線性連續(xù)系統(tǒng)的矩陣。當sys1是一個用傳遞函數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)時，可以用命令sys=ss(sys1)，將其轉(zhuǎn)換成為狀態(tài)空間形式。也可以用命令sys=ss(sys1,’min’)計算出系統(tǒng)sys的最小實現(xiàn)。例1-15

控制系統(tǒng)微分方程為求其狀態(tài)空間運算式。解可以先將其轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)輸入下列命令語句執(zhí)行結(jié)果為這個結(jié)果表示，該系統(tǒng)的狀態(tài)空間運算式為注意，在輸入命令中，sys=ss(G)也可以改用[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)，在本例中其作用和sys=ss(G)近似，也可以計算出矩陣A、B、C、D。2.離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間運算式離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間運算式為

和連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間運算式的輸入方法相類似，如果要輸入離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間運算式，首先需要輸入矩陣G、H、C、d，然後輸入語句，即可將其輸入到MATLAB的workspace中，並且用變數(shù)名來表示這個離散系統(tǒng)，其中T為採樣時間。如果Gyu表示一個以脈衝傳遞函數(shù)描述的離散系統(tǒng)，也可以用ss(Gyu)命令，將脈衝傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間運算式。例1-16

假設某離散系統(tǒng)的脈衝傳遞函數(shù)為採樣週期為，將其輸入到MATLAB的workspace中，並且繪製零、極點分佈圖。並且將該離散系統(tǒng)脈衝傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間運算式。

解輸入下列語句語句執(zhí)行的結(jié)果為再輸入語句，繪製出零、極點分佈圖如下在執(zhí)行完上述語句後，Gyu已經(jīng)存在於MATLAB的workspace中，這時再執(zhí)行語句執(zhí)行結(jié)果為結(jié)果表示，離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間運算式為1.7.2求傳遞函數(shù)矩陣

在已知線性定常系統(tǒng)中的A、B、C和D矩陣之後，則該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可以按下式求出例1-17

已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為輸入以下語句解

其中inv()函數(shù)是求矩陣的逆矩陣，而simple()函數(shù)是對符號運算結(jié)果進行簡化。執(zhí)行結(jié)果如下這表示1.7.3.線性變換1.化為對角矩陣函數(shù)eig()可以計算出矩陣A的特徵值以及將A陣轉(zhuǎn)換成對角陣的線性變換矩陣。其語句格式為[Q,D]=eig(A)，則D為對角陣並且對角線上各元素為矩陣A的特徵值，滿足，因為即：。例1-18

線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

試作線性變換,要求變換後系統(tǒng)矩陣A為對角陣。解先求出系統(tǒng)矩陣的特徵值，Q陣可以選擇為由特徵值構(gòu)成的範德蒙特矩陣。輸入語句可以求出A陣的特徵值為－1、－2和－3。因此輸入以下語句執(zhí)行結(jié)果如下

由以上計算數(shù)據(jù)可得系統(tǒng)經(jīng)過線性變換後的方程為也可以輸入語句運行結(jié)果為再計算線性變換矩陣P，並且驗證結(jié)果如下可見，兩種線性變換雖然不同，卻都可以將A陣轉(zhuǎn)換為對角陣2.化為約當矩陣

在MATLAB中用函數(shù)命令jordan()來求矩陣的約當標準形。其命令格式為：[Q,J]=jordan(A)。輸入?yún)⒘緼是係數(shù)矩陣，輸出參量J是矩陣A的約當標準形矩陣，而就是線性變換矩陣，滿足。例1-19

將化為標準形矩陣。解首先輸入語句運行結(jié)果為可見，不滿秩，即矩陣A的特徵值中有重特徵值,並且A的獨立特徵向量的個數(shù)小於n。因此輸入語句語句執(zhí)行結(jié)果為計算結(jié)果表明，矩陣A的約當陣為。我們驗證如下執(zhí)行結(jié)果為所計算出的結(jié)果表明，滿足第2章線性控制系統(tǒng)的運動分析

本章是通過求解系統(tǒng)方程的解來研究系統(tǒng)性能的。由於系統(tǒng)的狀態(tài)方程是矩陣微分方程，而輸出方程是矩陣代數(shù)方程。因此，只要求出狀態(tài)方程的解，就很容易得到系統(tǒng)的輸出，進而研究系統(tǒng)的性能。本章內(nèi)容為1線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣3線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解4線性時變系統(tǒng)的運動分析5線性系統(tǒng)的脈衝回應矩陣8用MATLAB求解系統(tǒng)方程6線性連續(xù)系統(tǒng)方程的離散化7線性離散系統(tǒng)的運動分析2.1線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為（1）（2）先考察標量齊次微分方程的冪級數(shù)解法假設其解為一冪級數(shù)（3）將（3）式代入（2）式這時系統(tǒng)的輸入為零等式兩邊t

的同次冪的係數(shù)相等，因此有而因為則解為（4）模仿標量齊次微分方程的解法，假設線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程（1）的解為（5）將（5）式代入（1）式等式兩邊t

同次冪的係數(shù)相等，因此有而記作則線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程（1）的解為（6）則（7）如果則（8）將（8）式代入（1）式驗證和矩陣指數(shù)函數(shù)又稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記作由於系統(tǒng)沒有輸入向量，是由初始狀態(tài)激勵的。因此，這時的運動稱為自由運動。的形態(tài)由決定，即是由矩陣A

惟一決定的。2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解為或其幾何意義是：系統(tǒng)從初始狀態(tài)開始，隨著時間的推移，由轉(zhuǎn)移到，再由轉(zhuǎn)移到，……。的形態(tài)完全由決定。2.2.1狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)1）即2）即3）可逆性即4）傳遞性即5）當且僅當時，有如果時，則2.2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求法方法1

根據(jù)定義，計算方法2

應用拉普拉斯變換法，計算對上式求拉普拉斯變換，得如果為非奇異（9）LL（10）由微分方程解的唯一性L例2-2

線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解於是L方法3

應用凱萊-哈密頓定理，計算凱萊-哈密頓定理：矩陣A

滿足自身的特徵方程。即根據(jù)凱萊-哈密頓定理（11）例用凱萊-哈密頓定理計算解由凱-哈定理：所以（11）式表明：是、、、、的線性組合（12）將（11）式代入（12）式，不斷地進行下去，可以看出：

、、、都是、、、、的線性組合（13）其中，，為待定係數(shù)。的計算方法為：1）A的特徵值互異應用凱-哈定理，和都滿足的特徵方程。因此，也可以滿足（13）式。（其中，）寫成矩陣形式（14）於是（15）例2-3

線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為用凱-哈定理計算其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解即2）A的特徵值相同，均為（16）3）A的特徵值有重特徵值，也有互異特徵值時，待定係數(shù)可以根據(jù)（16）式和（15）式求得。然後代入（13）式，求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。例2-4

線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為解應用凱-哈定理計算A

的特徵值為於是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣方法4

通過線性變換，計算因為而因為對角陣的特殊性質(zhì)，有：1）矩陣A

可以經(jīng)過線性變換成為對角陣，計算因此，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為例2-5

線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為用線性變換方法，計算其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解（17）2）矩陣A

可以經(jīng)過線性變換成為約當形陣，計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為（18）3）矩陣A

可以經(jīng)過線性變換成為模態(tài)形陣，計算如果矩陣A的特徵值為共軛複數(shù)經(jīng)過線性變換，可轉(zhuǎn)換為模態(tài)矩陣M其中系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為（19）2.3線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程為（20）改寫為（21）（21）式兩邊同乘得或?qū)懗桑?2）對（22）式在0到t

時間段上積分，有（23）（24）（24）式兩邊同乘，並且移項（25）（26）（27）更一般情況，當（28）由式（25）或式（27）可知，系統(tǒng)的運動包括兩個部分。一部分是輸入向量為零時，初始狀態(tài)引起的，即相當於自由運動。第二部分是初始狀態(tài)為零時，輸入向量引起的，稱為強迫運動。正是由於第二部分的存在，為系統(tǒng)提供這樣的可能性，即通過選擇適當?shù)妮斎胂蛄?，使的形態(tài)滿足期望的要求。例2-8

線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為解在例2-2中已經(jīng)求得由（26）式系統(tǒng)的輸出方程為則或（29）可見，系統(tǒng)的輸出由三部分組成。當系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求出後，不同輸入狀態(tài)向量作用下的系統(tǒng)輸出即可以求出，進而就可以分析系統(tǒng)的性能了。2.4線性時變系統(tǒng)的運動分析（30）線性時變系統(tǒng)方程為2.4.1齊次狀態(tài)方程的解（31）初始狀態(tài)為其中，是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，並且滿足以下方程（33）滿足初始條件（34）根據(jù)我們對線性定常齊次系統(tǒng)解的知識，可以假設線性時變齊次系統(tǒng)的解應該具有以下形式，然後加以證明（32）證明（30）式兩邊對t

求導並且時即2.4.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)1）滿足自身的矩陣微分方程及初始條件，即2）可逆性3）傳遞性4）2.4.3狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算用級數(shù)近似法計算計算系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣例2-9

線性時變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為（35）解將代入（35）式其中2.4.4線性時變系統(tǒng)非線性齊次狀態(tài)方程的解（38）（39）其解為證明[將（39）式代入狀態(tài)方程（38）式，等式成立]（40）或2.4.5系統(tǒng)的輸出（41）（42）或2.5線性系統(tǒng)的脈衝回應矩陣2.5.1線性時變系統(tǒng)的脈衝回應矩陣假設系統(tǒng)初始條件為零，輸入為單位脈衝函數(shù)，即其中，τ為加入單位脈衝的時刻。而第i個分量

就表示在時刻，僅在第i個輸入端施加一個單位脈衝。系統(tǒng)的輸出為：?（43）

為m維向量，它表示系統(tǒng)輸出對輸入的第i個元素在τ時刻加入單位脈衝時的回應。將，按次序排列，則（44）線性時變系統(tǒng)脈衝回應矩陣≥（45）2.5.2線性定常系統(tǒng)的脈衝回應矩陣≥脈衝回應矩陣為（46）如果單位脈衝出現(xiàn)在τ=0

的時刻，則脈衝回應矩陣為≥（47）2.5.3傳遞函數(shù)矩陣與脈衝回應矩陣之間的關(guān)係對（47）式求拉普拉斯變換L而（48）上式可改寫成（49）如果存在，則（50）將（50）式代入（48），得到（51）（52）當D=0時

可見，線性定常系統(tǒng)在初始鬆弛情況下脈衝回應矩陣的拉普拉斯變換就是系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣。2.5.4利用脈衝回應矩陣計算系統(tǒng)的輸出如果輸入向量表示為（53）將（53）式代入（28）式（54）當系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時（55）2.6線性連續(xù)系統(tǒng)方程的離散化作以下假定：1）被控對象上有採樣開關(guān)；2）採樣週期為T，滿足香農(nóng)採樣定理要求，包含連續(xù)信號全部資訊；3）具有零階保持器。2.6.1線性時變系統(tǒng)（56）初始狀態(tài)為狀態(tài)方程的解為（57）令，，則（58）（59）再令，，則將（59）式兩邊都左乘（60）（58）減（60）並且整理後，得到令：考慮到於是省略T，得到（61）輸出方程離散化，令，即可以得到（62）2.6.2線性定常系統(tǒng)（63）離散化後得到（64）其中2.7線性離散系統(tǒng)的運動分析2.7.1線性定常離散系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：其中，x(k)為n維狀態(tài)向量採用迭代法可以求出系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解（65）其中（66）系統(tǒng)的輸出為（67）2.7.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣若系統(tǒng)初始狀態(tài)為，通過將其轉(zhuǎn)移到狀態(tài)，故稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。1.的基本性質(zhì)1）滿足自身的矩陣差分方程及初始條件2）傳遞性3）可逆性2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算有4種狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算方法：①按定義計算；②用z反變換計算；③應用凱-哈定理計算；④通過線性變換計算。在此，我們僅討論用z反變換計算。離散系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：對上式進行z變換Z可見Z（68）例2-13

離散系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解Z2.7.3線性定常離散系統(tǒng)方程的解（69）系統(tǒng)方程為可以用迭代法求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解系統(tǒng)方程的解為（70）系統(tǒng)的輸出為（71）2.7.3線性時變離散系統(tǒng)方程的解系統(tǒng)方程為（72）若系統(tǒng)的解存在且唯一，則解為（73）（用迭代法可以證明）系統(tǒng)的輸出為（74）2.8用MATLAB求解系統(tǒng)方程2.8.1線性齊次狀態(tài)方程的解

使用MATLAB可以方便地求出狀態(tài)方程的解。我們通過例子來說明。例2-16

已知線性系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為初始條件求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。解用以下MATLAB程式計算齊次狀態(tài)方程的解，其中collect()函數(shù)的作用是合併同類項，而ilaplace()函數(shù)的作用是求取拉普拉斯逆變換，函數(shù)det()的作用是求方陣的行列式。程式執(zhí)行結(jié)果這表示2.8.2線性非齊次狀態(tài)方程的解通過以下例子說明。例2-17

已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為解

用以下MATLAB程式求系統(tǒng)方程的解。其中，語句phi=subs(phi0,’t’,(t-tao))表示將符號變數(shù)phi0中的引數(shù)t用(t-tao)代換就構(gòu)成了符號變數(shù)phi，而語句x2=int(F,tao,0,t)表示符號變數(shù)F對tao在0到t的積分區(qū)間上求積分，運算結(jié)果返回到x2。程式執(zhí)行結(jié)果為這表示2.8.3連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化在MATLAB中，函數(shù)c2d（）的功能就是將連續(xù)時間的系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換成離散時間的系統(tǒng)模型。其調(diào)用格式為：sysd=c2d(sysc,T,method)。其中，輸入?yún)⒘縮ysc為連續(xù)時間的系統(tǒng)模型；T為採樣週期（秒）；method用來指定離散化採用的方法。‘zoh’——採用零階保持器；‘foh’——採用一階保持器；‘tustin’——採用雙線性逼近方法；‘prewarm’——採用改進的tustin方法；‘matched’——採用SISO系統(tǒng)的零極點匹配方法；當method為缺省時（即：調(diào)用格式為sysd=c2d(sysc,T)時），默認的方法是採用零階保持器。例2-18

某線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中採用零階保持器將其離散化，設採樣週期為0.1秒。求離散化的狀態(tài)方程模型。解輸入以下語句，其中D=zeros(2)表示，將D賦值為2×2維的全零矩陣。語句執(zhí)行的結(jié)果為計算結(jié)果表示系統(tǒng)離散化後的狀態(tài)方程為第3章控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性

在多變量控制系統(tǒng)中，能控性和能觀測性是兩個反映控制系統(tǒng)構(gòu)造的基本特性，是現(xiàn)代控制理論中最重要的基本概念。本章的內(nèi)容為：1.引言——能控性、能觀測性的基本概念2.能控性及其判據(jù)3.能觀測性及其判據(jù)4.離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性5.對偶原理6.能控標準形和能觀測標準形7.能控性、能觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)係8.系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解9.實現(xiàn)問題10.使用MATLAB判斷系統(tǒng)的能控性和能觀測性3.1引言

首先，通過例子介紹能控性、能觀測性的基本概念。例3-1

電路如下圖所示。如果選取電容兩端的電壓為狀態(tài)變數(shù)，即：。電橋平衡時，不論輸入電壓如何改變，不隨著的變化而改變，或者說狀態(tài)變數(shù)不受的控制。即：該電路的狀態(tài)是不能控的。

顯然，當電橋不平衡時，該電路的狀態(tài)是能控的。例3-2

電路如下圖所示，如果選擇電容C1、C2兩端的電壓為狀態(tài)變數(shù)，即：，，電路的輸出為C2上的電壓，即，則電路的系統(tǒng)方程為如果初始狀態(tài)為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為可見，不論加入什麼樣的輸入信號，總是有一般情況下，系統(tǒng)方程可以表示為（1）狀態(tài)能控與否，不僅取決於B

陣（直接關(guān)係），還取決於A

陣（間接關(guān)係）。系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

系統(tǒng)能觀測問題是研究測量輸出變數(shù)y去確定狀態(tài)變數(shù)的問題。例3-3

電路如下圖所示。選取為輸入量，為輸出量，兩個電感上的電流分別作為狀態(tài)變數(shù)，則系統(tǒng)方程為系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為為了簡便起見，令則從上式可知，不論初始狀態(tài)為什麼數(shù)值，輸出僅僅取決於其差值。當，則輸出恒等於零。顯然，無法通過對輸出的觀測去確定初始狀態(tài)，稱這樣的系統(tǒng)是不能觀測的。對於不能觀測的系統(tǒng)，其不能觀測的狀態(tài)分量與y既無直接關(guān)係，又無間接關(guān)係。狀態(tài)是否能觀測不僅取決於C，還與A

有關(guān)。一般情況下，系統(tǒng)方程如式（1）所示，狀態(tài)能觀測與否，不僅取決於C

陣（直接關(guān)係），還取決於A陣（間接關(guān)係）。3.2能控性及其判據(jù)3.2.1線性定常系統(tǒng)的能控性及其判據(jù)1.能控性定義線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（2）給定系統(tǒng)一個初始狀態(tài)，如果在的有限時間區(qū)間內(nèi)，存在容許控制，使，則稱系統(tǒng)狀態(tài)在時刻是能控的；如果系統(tǒng)對任意一個初始狀態(tài)都能控，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。說明：1）初始狀態(tài)是狀態(tài)空間中的任意非零有限點，控制的目標是狀態(tài)空間的座標原點。（如果控制目標不是座標原點，可以通過座標平移，使其在新的坐標系下是座標原點。）2）如果在有限時間區(qū)間內(nèi)，存在容許控制，使系統(tǒng)從狀態(tài)空間座標原點推向預先指定的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能達的；由於連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是非奇異的，因此系統(tǒng)的能控性和能達性是等價的。3）只有整個狀態(tài)空間中所有的有限點都是能控的，系統(tǒng)才是能控的。4）滿足（3）式的初始狀態(tài)，必是能控狀態(tài)。（3）5）當系統(tǒng)中存在不依賴於的確定性干擾時，不會改變系統(tǒng)的能控性。（4）2.能控性判據(jù)定理3-1

（2）式的線性定常系統(tǒng)為狀態(tài)能控的充分必要條件是下麵的n×n維格拉姆矩陣滿秩（5）（證明參見教材84頁）（這個定理為能控性的一般判據(jù)。但是，由於要計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，比較繁瑣。實際上，常用下麵介紹的判據(jù)。）定理3-2

（2）式的線性定常系統(tǒng)為狀態(tài)能控的充分必要條件是下麵的n×nr維能控性矩陣滿秩。（6）（7）證明應用凱-哈定理，有上式代入（3）式（8）於是（9）如果系統(tǒng)能控，必能夠從（9）式中解得，，…

，。這樣就要求（本判據(jù)本身很簡單，因此是最為常用的方法。）定理3-3

（PBH判別法）（2）式的線性定常系統(tǒng)為狀態(tài)能控的充分必要條件是，對A

的所有特徵值，都有（10）（證明略）（可以應用定理3-2證明，詳見教材87頁）（11）定理3-4

（2）式的線性定常系統(tǒng)的矩陣A的特徵值互異，將系統(tǒng)經(jīng)過非奇異線性變換變換成對角陣則系統(tǒng)能控的充分必要條件是矩陣中不包含元素全為零的行。例3-6

有如下兩個線性定常系統(tǒng)，判斷其能控性。（1）（2）解根據(jù)定理3-4，系統(tǒng)（1）不能控；系統(tǒng)（2）能控。且，，定理3-5（2）式的線性定常系統(tǒng)的矩陣A具有重特徵值，、、、…、分別為重、重、重、…、重。經(jīng)過非奇異線性變換，得到約當陣則系統(tǒng)能控的充分必要條件是矩陣中與每一個約當子塊最下麵一行對應行的元素不全為零。（12）例3-7

有如下兩個線性定常系統(tǒng)，判斷其能控性。（1）（2）解根據(jù)定理3-5，系統(tǒng)（1）能控；系統(tǒng)（2）不能控

（定理（3-4）、定理（3-5）不僅可以判斷系統(tǒng)能控性，而且對於不能控的系統(tǒng)，可以知道哪個狀態(tài)分量不能控。）說明：1.上面通過幾個定理給出判斷系統(tǒng)能控性的判據(jù)。雖然它們的表達形式、方法不同，但是，在判斷線性定常系統(tǒng)能控性時是等價的。

2.線上性連續(xù)定常系統(tǒng)中，由於能達性和能控性是等價的，因此，能控性判據(jù)同樣可以判斷能達性。3.2.2線性時變系統(tǒng)的能控性判據(jù)（13）線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為定理3-6

狀態(tài)在時刻能控的充分必要條件是存在一個有限時間，使得函數(shù)矩陣的n個行在上線性無關(guān)。（證明略）定理3-7

狀態(tài)在時刻能控的充分必要條件是存在一個有限時間，使得以下格拉姆矩陣非奇異。（14）（15）定義：（16）當…定理3-8

如果線性時變系統(tǒng)的和的元是(n－1)階連續(xù)可微的。如果存在一個有限的，使得（17）則系統(tǒng)在是能控的。例3-8

線性事變系統(tǒng)方程為，初始時刻，試判別系統(tǒng)的能控性。解而所以，能控。3.3能觀測性判據(jù)3.3.1線性定常系統(tǒng)能觀測性及其判據(jù)1.能觀測性定義（18）線性定常系統(tǒng)方程為如果在有限時間區(qū)間（）內(nèi)，通過觀測，能夠惟一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)，稱系統(tǒng)狀態(tài)在是能觀測的。如果對任意的初始狀態(tài)都能觀測，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的。說明：1）已知系統(tǒng)在有限時間區(qū)間內(nèi)的輸出，觀測的目標是為了確定。2）如果根據(jù)內(nèi)的輸出能夠惟一地確定任意指定狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是可檢測的。連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性和能檢測性等價。3）狀態(tài)空間中所有有限點都是能觀測的，則系統(tǒng)才是能觀測的。4）系統(tǒng)的輸入以及確定性的干擾信號均不改變系統(tǒng)的能觀測性。2.能觀測性定理3-9

（18）式所描述的系統(tǒng)為能觀測的充分必要條件是以下格拉姆能觀性矩陣滿秩，即（19）（20）其中（證明見教材92頁）（這個定理為能觀測性的一般判據(jù)。但是，由於要計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，比較繁瑣。實際上，常用下麵介紹的判據(jù)。）定理3-10

（18）式所描述的系統(tǒng)為能觀測的充分必要條件是以下能觀性矩陣滿秩，即（21）（22）證明設，系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程的解為（23）應用凱-哈定理，有則或者寫成由於是已知函數(shù)，因此，根據(jù)有限時間內(nèi)的能夠唯一地確定初始狀態(tài)的充分必要條件為滿秩。定理3-11（PBH判別法）系統(tǒng)（18）為能觀測的充分必要的條件是：對於A

的每一個特徵值，以下矩陣的秩均為n（24）例3-9

系統(tǒng)方程如下，試判斷系統(tǒng)的能控性解不滿秩，故系統(tǒng)不能觀測。（由於以上判據(jù)很簡單，因此最為常用）定理3-12

如果（18）式描述的系統(tǒng)的A

陣特徵值互異，經(jīng)過非奇異線性變換成為對角陣，則系統(tǒng)為能觀測的充分必要條件是矩陣中不包含元素全為零的列。例3-10有如下兩個線性定常系統(tǒng)，判斷它們的能觀測性。（1）（2）解根據(jù)定理3-12可以判斷，系統(tǒng)（1）是不能觀測的。系統(tǒng)（2）是能觀測的。且，，定理3-13

如果（18）式描述的系統(tǒng)的A

陣具有重特徵值，、、…、分別為重、重、…、重。經(jīng)過非奇異線性變換，得到約當陣則系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是矩陣中與每一個約當子塊第一列對應的列，其元素不全為零。例3-11

如下線性定常系統(tǒng)試判別系統(tǒng)的能觀測性。解應用定理3-13可知，系統(tǒng)能觀測。

（定理（3-12）、定理（3-13）不僅可以判斷系統(tǒng)能觀測性，而且對於不能觀測的系統(tǒng)，可以知道哪個狀態(tài)分量不能觀測。）說明：1.上面通過幾個定理給出判斷系統(tǒng)能觀測性的判據(jù)。雖然它們的表達形式、方法不同，但是，在判斷線性定常系統(tǒng)能觀測性時是等價的。

2.線上性連續(xù)定常系統(tǒng)中，由於能檢測性和能觀測性是等價的，因此，能觀測性判據(jù)同樣可以判斷能檢測性。3.3.2線性時變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)線性時變系統(tǒng)方程為（25）定理3-14

狀態(tài)在時刻能觀測的充分必要條件是存在一個有限時刻，使得函數(shù)矩陣的n個列在上線性無關(guān)。定理3-15

狀態(tài)在時刻能觀測的充分必要條件是存在一個有限時間，使得以下能觀性格拉姆矩陣非奇異。定義（26）（27）定理3-16

如果線性時變系統(tǒng)的和的元是(n－1)階連續(xù)可微的。如果存在一個有限的，使得（28）則系統(tǒng)在是能觀測的。3.4離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性線性定常離散系統(tǒng)方程為（29）3.4.1能控性定義系統(tǒng)（29）的任一個初始狀態(tài)，存在，在有限時間區(qū)間內(nèi)，存在容許控制序列，使得，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。3.4.2能控性判據(jù)（證明見教材96頁）例3-12

線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為判斷系統(tǒng)的能控性。（30）解所以系統(tǒng)能控。定理3-17

系統(tǒng)（29）能控的充分必要條件是能控性矩陣的秩為n，即3.4.3能觀測性定義對於（29）式所描述的系統(tǒng)，根據(jù)有限個採樣週期的，可以惟一地確定系統(tǒng)的任一初始狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的。3.4.4能觀測性判據(jù)定理3-18

系統(tǒng)（29）能觀測的充分必要條件是能觀性矩陣的秩為n，即（證明請參見教材97頁）例3-13

線性定常離散系統(tǒng)方程為試判斷系統(tǒng)的能觀測性。解因此，系統(tǒng)能觀測。3.4.5連續(xù)系統(tǒng)離散化後的能控性與能觀測性線性定常系統(tǒng)方程為（31）離散化後的系統(tǒng)方程為（32）其中T

是採樣週期定理3-19

如果線性定常系統(tǒng)（31）不能控（不能觀測），則離散化後的系統(tǒng)（32）必是不能控（不能觀測）。其逆定理一般不成立。定理3-20

如果線性離散化後系統(tǒng)（32）能控（能觀測），則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)（31）必是能控（能觀測）。其逆定理一般不成立。定理3-21如果連續(xù)系統(tǒng)（31）能控（能觀測），A

的全部特徵值互異，，並且對的特徵值，如果與採樣週期的關(guān)係滿足條件（33）則離散化後的系統(tǒng)仍是能控（能觀測）的。3.5對偶原理線性定常系統(tǒng)方程為（34）構(gòu)造一個系統(tǒng)（35）系統(tǒng)（34）和（35）互為對偶系統(tǒng)。（上面介紹了系統(tǒng)能控性和能觀測性。從概念上和形式上都很相似。它給人們一個啟示，即能控性和能觀測性之間存在某種內(nèi)在的聯(lián)繫。這個聯(lián)繫就是系統(tǒng)的對偶原理）（式（35）的係數(shù)矩陣為，輸入矩陣為，輸出矩陣為）對偶系統(tǒng)具有兩個基本特徵1.對偶的兩個系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置2.對偶的兩個系統(tǒng)特徵值相同對偶原理：系統(tǒng)（34）的能控性等價於系統(tǒng)（35）的能觀測性；系統(tǒng)（34）的能觀測性等價於系統(tǒng)（35）的能控性。例3-15

線性定常系統(tǒng)如下，判斷其能觀測性。解以上系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)為該對偶系統(tǒng)的能控性矩陣對偶系統(tǒng)能控，根據(jù)對偶原理，原系統(tǒng)能觀測。

有了對偶原理，一個系統(tǒng)的能控性問題可以通過它的對偶系統(tǒng)的能觀測性問題的解決而解決；而系統(tǒng)的能觀測性問題可以通過它的對偶系統(tǒng)的能控性問題的解決而解決。這在控制理論的研究上有重要意義。3.6能控標準形和能觀測標準形（36）3.6.1能控標準形線性定常系統(tǒng)設A的特徵多項式能控性矩陣定理3-22

系統(tǒng)（36）能控，通過線性變換可以將其變成如下形式的能控標準形。（37）推論：具有能控標準形的系統(tǒng)一定能控。（證明參見教材104頁）例3-16

已知能控的線性定常系統(tǒng)（1）能控性矩陣解系統(tǒng)能控（2）A

的特徵多項式（3）計算變換矩陣P（4）計算（5）能控標準形3.6.2能觀測標準形系統(tǒng)（36）的能觀測性矩陣為則系統(tǒng)能觀測（38）定理3-23

系統(tǒng)（36）能觀測，通過線性變換可以將其變成如下形式的能觀標準形。推論：具有能觀標準形的系統(tǒng)一定能觀。變換矩陣可取為（39）3.7能控性、能觀性與傳遞函數(shù)的關(guān)係考察SISO線性定常系統(tǒng)（40）其傳遞函數(shù)為（41）傳遞函數(shù)的分子、分母分別為可以看出，在沒有零極點對消的情況下，傳遞函數(shù)的特徵根和系統(tǒng)矩陣A

的特徵值相同。定理3-24SISO系統(tǒng)（40）能控又能觀的充分必要條件是不存在零、極點對消。例3-17

線性定常系統(tǒng)方程如下，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)，並且判斷系統(tǒng)能控性與能觀性。解傳遞函數(shù)為能控性能觀性可見，系統(tǒng)傳遞函數(shù)有零、極點對消，能控但不能觀。應當指出，定理3-24對MIMO系統(tǒng)不適用。舉例說明如下。例3-19MIMO線性定常系統(tǒng)方程為傳遞函數(shù)矩陣能控性能觀性可見，傳遞函數(shù)矩陣雖然有零極點對消，但是系統(tǒng)既能控又能觀。這是因為極點(s-1)還剩一個，並未消失，只是降低系統(tǒng)重極點的重數(shù)。（42）MIMO線性定常系統(tǒng)定理3-25

若系統(tǒng)（42）的狀態(tài)向量和輸入向量之間的傳遞函數(shù)矩陣的各行線性無關(guān)，則系統(tǒng)能控。定理3-26

若系統(tǒng)（42）的輸出向量和狀態(tài)向量之間的傳遞函數(shù)矩陣的各列線性無關(guān)，則系統(tǒng)能觀。3.8系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解

一個不能控、不能觀測的系統(tǒng)，從結(jié)構(gòu)上來說，必定包括能控、不能控以及能觀測、不能觀測的子系統(tǒng)。如何按照能控性或能觀測性進行分解呢？我們知道，線性變換不改變系統(tǒng)的能控性和能觀測性。因此，可採用線性變換方法將其分解。這裏必須解決3個問題：1、如何分解？2、分解後系統(tǒng)方程的形式為何？3、變換矩陣如何確定？下麵介紹結(jié)構(gòu)分解問題。線性定常系統(tǒng)（43）3.8.1按能控性分解定理3-27

若系統(tǒng)（43）不能控，且狀態(tài)有個狀態(tài)分量能控，則存在線性變換，使其變換成下麵形式（44）並且維子系統(tǒng)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣（46）（45）

變換矩陣的確定方法：因為即矩陣中有n1個線性無關(guān)的列向量，再補充個列向量，從而構(gòu)成非奇異的矩陣例3-20系統(tǒng)方程如下，要求按能控性進行結(jié)構(gòu)分解。解系統(tǒng)不能控由於的秩為1。說明中線性獨立的列向量只有一列。選擇，再補充一個列向量，且與其線性無關(guān)，經(jīng)過線性變換後3.8.2按能觀性分解定理3-28

若系統(tǒng)（43）不能觀，且狀態(tài)有個狀態(tài)分量能觀，則存在線性變換，使其變換成下麵形式（47）並且維子系統(tǒng)（48）系統(tǒng)傳遞函數(shù)為（49）能觀性矩陣中有個線性無關(guān)的行向量，在它們的基礎(chǔ)上，再補充個行向量，構(gòu)成變換矩陣。例3-21

系統(tǒng)方程如下，要求按能觀性進行結(jié)構(gòu)分解。解從中任選兩個行向量，例如，再補充一個與之線性無關(guān)的行向量。線性變換後}3.8.3同時按能控性和能觀性進行結(jié)構(gòu)分解定理3-29

若系統(tǒng)（43）不能控，不能觀，且存在線性變換，使其變換成下麵形式系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣（50）（51）3.9實現(xiàn)問題（52）如果給定一個傳遞函數(shù)，求得一個系統(tǒng)方程（53）或者注：當傳遞函數(shù)分子的階次小於分母的階次時，有（52）式形式；當傳遞函數(shù)分子的階次等於分母的階次時，有（53）式形式。在基於狀態(tài)空間方法分析和設計控制系統(tǒng)時，要知道系統(tǒng)的狀態(tài)空間運算式。然而在有的情況下，只知道系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（矩陣），這時就要將給定的傳遞函數(shù)（矩陣）描述變成與之輸入輸出特性等價的狀態(tài)空間運算式描述。這個問題稱為系統(tǒng)實現(xiàn)問題。這裏只討論SISO系統(tǒng)的實現(xiàn)問題。3.9.1能控標準形實現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為1.不含零點（54）即：進行拉普拉斯反變換選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變數(shù)於是有，，，，寫成矩陣形式其中2.含零點

，，，，寫成矩陣形式其中3.9.2能觀標準形實現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為如果令於是寫成矩陣形式3.9.3並聯(lián)形實現(xiàn)為簡單起見，以兩階系統(tǒng)傳遞函數(shù)為例，進行介紹。1）傳遞函數(shù)極點互異選取有則2）傳遞函數(shù)有重極點矩陣形式3.9.4串聯(lián)形實現(xiàn)設3.9.5最小實現(xiàn)在所有可能的實現(xiàn)中，維數(shù)最小的實現(xiàn)稱為最小實現(xiàn)。最小實現(xiàn)也不是惟一的。定理3-30系統(tǒng)方程（55）為傳遞函數(shù)的一個最小實現(xiàn)的充分必要條件是系統(tǒng)（55）能控且能觀測。3.10MATLAB的應用3.10.1判斷線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性

用MATLAB可以很方便地求出線性控制系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀測性矩陣，並且求出它們的秩。從而判斷系統(tǒng)的能控性和能觀測性。函數(shù)ctrb()和obsv()分別計算系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀測性矩陣。格式為：Qc=ctrb(A,B),Qo=obsv(A,C)。例3-23

判斷下麵的線性系統(tǒng)是否能控？是否能觀測？其中解先分別計算系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀測性矩陣。然後，再用rank()函數(shù)計算這兩個矩陣的秩。輸入以下語句這些語句的執(zhí)行結(jié)果為

從計算結(jié)果可以看出，系統(tǒng)能控性矩陣和能觀測性矩陣的秩都是3，為滿秩，因此該系統(tǒng)是能控的，也是能觀測的。注：當系統(tǒng)的模型用sys=ss(A,B,C,D)輸入以後，也就是當系統(tǒng)模型用狀態(tài)空間的形式表示時，我們也可以用Qc=ctrb(sys)，Qo=obsv(sys)的形式求出該系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀測性矩陣。3.10.2線性系統(tǒng)按能控性或者能觀測性分解在用MATLAB進行結(jié)構(gòu)分解時，不能控（不能觀）的系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)分解的系統(tǒng)方程形式與本章3.8節(jié)不同。當系統(tǒng)能控性矩陣的秩時，我們可以使用函數(shù)命令ctrbf()可以對線性系統(tǒng)進行能控性分解。其調(diào)用格式為。其中，T為相似變換矩陣。輸出為一個向量，sum(K)可以求出能控的狀態(tài)分量的個數(shù)。類似地，當系統(tǒng)能觀測性矩陣的秩時，我們可以使用函數(shù)命令obsvf()可以對線性系統(tǒng)進行能觀測性分解。其調(diào)用格式為。其中，T為相似變換矩陣。輸出為一個向量，sum(K)可以求出能觀測的狀態(tài)分量的個數(shù)。例3-24

系統(tǒng)方程為其中試按能控性進行結(jié)構(gòu)分解。

解輸入下列語句語句執(zhí)行結(jié)果為從輸出的向量可以看出有兩個狀態(tài)分量是能控的?？梢则炞C，輸入語句得到的結(jié)果為可見，A1=Abar，所得到的結(jié)果是正確的。3.10.3線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成能控標準形和能觀標準形

下麵通過兩個例子來說明將系統(tǒng)變換成能控標準形和能觀標準形的方法。例3-25

系統(tǒng)方程為其中求線性變換，將其變換成能控標準形。解

1）判斷系統(tǒng)是否能控，並且求出A

陣的特徵多項式輸入下麵語句運行結(jié)果為表明系統(tǒng)為能控，因此可以變換成能控標準形。而且求出A

的特徵多項式為（即：，，）2）計算變換矩陣輸入以下語句計算結(jié)果為3）計算出能控標準形輸入以下語句計算結(jié)果為表明經(jīng)過變換以後的系統(tǒng)方程為例3-26

系統(tǒng)方程為其中求線性變換，將其變換成能觀標準形。解

1）判斷系統(tǒng)是否為能觀測，並且求出A陣的特徵多項式輸入下麵語句運行結(jié)果為

表明系統(tǒng)為能觀測，因此可以變換成能觀標準形。而且求出的特徵多項式為（即：，，）2）計算變換矩陣輸入以下語句計算結(jié)果為3）計算出能觀標準形輸入以下語句計算結(jié)果為表明經(jīng)過變換以後的系統(tǒng)方程為第4章控制系統(tǒng)穩(wěn)定性

對於非線性、時變、多輸入多輸出控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的研究，經(jīng)典控制理論無能為力。只有利用俄羅斯科學家李亞普諾夫（A.M.Lyapunov）的穩(wěn)定性理論來分析和研究。A.M.Lyapunov於1892年出版專著《運動系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般問題》，使得Lyapunov穩(wěn)定性理論已經(jīng)成為控制理論的最重要的幾個柱石之一。本章的主要內(nèi)容為1.引言2.李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義3.李亞普諾夫第二法5.線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性4.線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性6.有界輸入-有界輸出穩(wěn)定7.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4.1引言

李亞普諾夫?qū)⒎€(wěn)定性問題的研究歸納為兩種方法。第一種方法是求出線性化以後的常微分方程的解，從而分析原系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

第二種方法不需要求解微分方程的解，而能夠提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的資訊。

對於非線性、時變、多輸入多輸出系統(tǒng)來說，第二種方法特別重要。李亞普諾夫第二法又稱為直接法。這種方法是基於一種廣義能量函數(shù)及其隨時間變化的特性來研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的。以下通過一個例子來說明。例4-1一個彈簧－品質(zhì)－阻尼器系統(tǒng)，如下圖示。系統(tǒng)的運動由如下微分方程描述。令（1）選取狀態(tài)變數(shù)則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（2）在任意時刻，系統(tǒng)的總能量（3）顯然，當時，而當時而總能量隨時間的變化率為可見，只有在時，。在其他各處均有，這表明系統(tǒng)總能量是衰減的，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。Lyapunov第二法是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的。平衡狀態(tài)——一般地，系統(tǒng)狀態(tài)方程為，其初始狀態(tài)為。系統(tǒng)的狀態(tài)軌線是隨時間而變化的。當且僅當（當t≥t0）則稱為系統(tǒng)平衡。

如果不在座標原點，可以通過非奇異線性變換，使，因此，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題都可以歸結(jié)為原點的穩(wěn)定性問題。4.2李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義4.2.1穩(wěn)定的定義則非線性時變系統(tǒng)（4）（6）（5）≤定義對於任意給定的實數(shù)，都對應存在實數(shù)，使?jié)M足的任意初始狀態(tài)出發(fā)的軌線有≤ε

（對所有

t≥t0）成立，則稱為Lyapunov意義下是穩(wěn)定的?！硎厩髿W幾裏德範數(shù)。（即：表示空間距離）Lyapunov意義下穩(wěn)定漸進穩(wěn)定漸進穩(wěn)定4.2.2漸近穩(wěn)定如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。從平衡狀態(tài)的某個充分小的領(lǐng)域內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線，當時，收斂於，則稱為漸近穩(wěn)定。更精密的敘述如下：如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，對於，存在和，當時，從出發(fā)的，都有並且充分大時，就充分小。則稱為Lyapunov意義下漸近穩(wěn)定。當與、無關(guān)時，則稱為一致漸近穩(wěn)定。4.2.3大範圍漸進穩(wěn)定如果是整個狀態(tài)空間中任一點，並且都有則為大範圍漸近穩(wěn)定或稱為Lyapunov意義下全局漸近穩(wěn)定。當穩(wěn)定性與的選擇無關(guān)時，稱一致全局漸近穩(wěn)定。不穩(wěn)定4.2.4不穩(wěn)定對於任意的實數(shù)，存在一個實數(shù)，不論取的多麼小，在滿足不等式的所有初始狀態(tài)中，至少存在一個初始狀態(tài)，由此出發(fā)的軌線，滿足稱為Lyapunov意義下不穩(wěn)定4.3李亞普諾夫第二法定義如果標量函數(shù)，並且當時，；僅當時，；則稱為正定的。除了以外，還有狀態(tài)使，稱為半正定的。≥0定義如果標量函數(shù)，並且當時，；僅當時，；則稱為負定的。除了以外，還有狀態(tài)使，稱為半負定的?！?（7）定理4-1

設系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài)的某鄰域內(nèi)，標量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導數(shù)，並且滿足：1）為正定；2）為負定。則為一致漸近穩(wěn)定的。如果，，則是大範圍一致漸近穩(wěn)定的。例4-2

系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。解而將狀態(tài)方程代入上式，化簡後得選取Lyapunov函數(shù)，顯然是正定的，即滿足可見，是負定的，即滿足因此，是一致漸進穩(wěn)定的。當，有，故系統(tǒng)是一致大範圍漸進穩(wěn)定的。定理4-2

設系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài)的某鄰域內(nèi)，標量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導數(shù)，並且滿足：1）為正定；2）為半負定；3）除了平衡狀態(tài)外，還有的點，但是不會在整條狀態(tài)軌線上有則為一致漸近穩(wěn)定的。如果，，則是大範圍一致漸近穩(wěn)定的。（注：本定理是將定理4-1的條件稍微放寬了一點）例4-3

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中，a

為大於零的實數(shù)。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為選取Lyapunov函數(shù)：顯然它是正定的，即滿足而將狀態(tài)方程代入上式，化簡後得可見，當和任意的時，有，而和任意時，。又因為，只要變化就不為零，因此在整條狀態(tài)軌線上不會有。因此，是一致漸進穩(wěn)定的。當，有，故系統(tǒng)是一致大範圍漸進穩(wěn)定的。定理4-3

設系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài)的某鄰域內(nèi)，標量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導數(shù)，並且滿足：1）為正定；2