第一章高等數(shù)學(xué)（六）

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)第3章：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)和微分的概念1.導(dǎo)數(shù)的定義（1）定義：設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)處有增量時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量，倘若極限存在，則稱函數(shù)在可導(dǎo)，并稱該極限值為在的導(dǎo)數(shù)，記為，即或左導(dǎo)數(shù)：右導(dǎo)數(shù)：（2）函數(shù)在可導(dǎo)的充足須要條件是在該點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)都存在且相等?！纠}3-1】設(shè)函數(shù)，可導(dǎo)，則必有：（A）（B）（C）（D）解：顯然函數(shù)在除點(diǎn)外到處可導(dǎo)，只要研究點(diǎn)則可。因?yàn)樵谘永m(xù)，，，，所以時(shí)，在可導(dǎo)，故應(yīng)選（B）。2.導(dǎo)數(shù)幾何意義曲線在點(diǎn)的切線斜率，在點(diǎn)的切線方程為,法線方程為：注重：當(dāng)?shù)珶o斜率，法線為【例題3-2】函數(shù)上切線平行于軸的點(diǎn)是:(A)(B)(C)和(D)和解:因?yàn)閷?dǎo)數(shù)表達(dá)曲線在點(diǎn)處切線的斜率，故要求切線平行于軸的點(diǎn)即是求導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，由,代入,得,所求點(diǎn)為和，應(yīng)選(C).實(shí)際中，導(dǎo)數(shù)表示變化率，表示速度等。3.高階導(dǎo)數(shù)定義：若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍可導(dǎo)，則的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記為類似可定義三階及以上導(dǎo)數(shù)。4.微分的定義（1）定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)有定義，若函數(shù)的增量其中是不依賴于的常數(shù)，則稱在點(diǎn)可微分，叫做在點(diǎn)相應(yīng)自變量增量的微分，記作，即函數(shù)在點(diǎn)的微分稱為函數(shù)的微分，記作或（2）一元函數(shù)可導(dǎo)與可微等價(jià)，且有第二節(jié)導(dǎo)數(shù)和微分的計(jì)算1.重要公式（1）導(dǎo)數(shù)基本公式（2）函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)和可導(dǎo)，則（3）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)在處可導(dǎo)，在處可導(dǎo)，則在處可導(dǎo)，且有【例題3-3】函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是：(A)(B)(C)(D)解：，故應(yīng)選(A)?！纠}3-4】在處的導(dǎo)數(shù)是:(A)(B)(C)(D)解:函數(shù)是由以及復(fù)合而成，利用導(dǎo)數(shù)基本公式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,得再由，有故應(yīng)選(C).【例題3-5】等于:(A)(B)(C)(D)解：令，則，還可用下面主意求解答案：B2.求高階導(dǎo)數(shù)注：求高階導(dǎo)數(shù)其實(shí)就是逐次求一階導(dǎo)數(shù)，只要會(huì)求一階導(dǎo)數(shù)就行了?！纠}