中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《幾何圖形的最值問(wèn)題》專(zhuān)題訓(xùn)練(附帶答案)

第第頁(yè)參考答案：1．D【分析】連接，由于是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，可得，再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A，故的長(zhǎng)為的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖：連接，交于點(diǎn)M，是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，，，是線段的垂直平分線，點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A，，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)?最短路線問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．A【分析】先分析出D的軌跡為以A為圓心AD的長(zhǎng)為半徑的圓，當(dāng)BD與該圓相切時(shí)，∠DBA最大，過(guò)C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函數(shù)計(jì)算出BD、CF的長(zhǎng)，代入面積公式求解即可．【詳解】解：由題意知，D點(diǎn)軌跡為以A為圓心AD的長(zhǎng)為半徑的圓，當(dāng)BD與D點(diǎn)的軌跡圓相切時(shí)，∠DBA取最大值，此時(shí)∠BDA=90°，如圖所示，過(guò)C作CF⊥AE于F，∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，∴∠CAF=∠BAD，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=，∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：，即，解得：CF=，∴此時(shí)三角形ACE的面積==6，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．此題綜合性較強(qiáng)，解題關(guān)鍵是利用D的軌跡圓確定出∠DBA取最大值時(shí)的位置．3．C【分析】由軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)作出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由兩點(diǎn)之間線段最短證明最短，多次用勾股定理求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，平角的定義及角的和差求出角度的大小，最后計(jì)算出的周長(zhǎng)最小值為6．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，連接交和于點(diǎn)和點(diǎn)，，連接、；再和上分別取一動(dòng)點(diǎn)和（不同于點(diǎn)和，連接，，和，如圖1所示：，，，，又，，，，時(shí)周長(zhǎng)最??；連接，過(guò)點(diǎn)作于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖示2所示：在中，，，，，，，又，，，，，，又，，，，在△中，由勾股定理得：．，故選：C．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題，勾股定理，平角的定義和兩點(diǎn)之間線段最短等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題，難點(diǎn)是構(gòu)建直角三角形求兩點(diǎn)之間的長(zhǎng)度．4．A【詳解】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，連接NQ，如圖所示：∵N為BM的中點(diǎn)，Q為AB的中點(diǎn)，∴NQ為△BAM的中位線，∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，∴點(diǎn)N的路徑是以QB的中點(diǎn)O為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓交CB于D的，∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，∴∠DOQ＝90°，∴為⊙O的周長(zhǎng)，∴線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：π，故選：A．5．D【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)G點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，∵將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等邊三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，∴當(dāng)G點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長(zhǎng)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)D，連接OD，作垂足為P交⊙O于F，此時(shí)垂線段OP最短，PF最小值為，當(dāng)N在AB邊上時(shí)，M與B重合時(shí)，MN經(jīng)過(guò)圓心，經(jīng)過(guò)圓心的弦最長(zhǎng)，根據(jù)圖形與圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)D，連接OD，作垂足為P交⊙O于F，此時(shí)垂線段OP最短，PF最小值為，∵，，∴∵，∴∵點(diǎn)O是AB的三等分點(diǎn)，∴，，∴，∵⊙O與AC相切于點(diǎn)D，∴，∴，∴，∴，∴MN最小值為，如圖，當(dāng)N在AB邊上時(shí)，M與B重合時(shí)，MN經(jīng)過(guò)圓心，經(jīng)過(guò)圓心的弦最長(zhǎng)，MN最大值，,∴MN長(zhǎng)的最大值與最小值的和是6．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查圓與三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì).7．B【詳解】作CH⊥AB于H，如圖．∵菱形ABCD的邊AB=8，∠B=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴CH=AB=，AH=BH=4．∵PB=3，∴HP=1．在Rt△CHP中，CP==7．∵梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，∴點(diǎn)A′在以P點(diǎn)為圓心，PA為半徑的弧上，∴當(dāng)點(diǎn)A′在PC上時(shí)，CA′的值最小，∴∠APQ=∠CPQ，而CD∥AB，∴∠APQ=∠CQP，∴∠CQP=∠CPQ，∴CQ=CP=7．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)．解答本題的關(guān)鍵是確定A′在PC上時(shí)CA′的長(zhǎng)度最?。?．B【詳解】分析：取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連結(jié)OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=BC=8，則OC=AB=4，OP=AB=4，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OM⊥PC，則∠CMO=90°，于是根據(jù)圓周角定理得到點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上，由于點(diǎn)P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在F點(diǎn)，則利用四邊形CEOF為正方得到EF=OC=4，所以M點(diǎn)的路徑為以EF為直徑的半圓，然后根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式計(jì)算點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．詳解：取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連結(jié)OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∴AB=BC=8，∴OC=AB=4，OP=AB=4．

∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上，點(diǎn)P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在F點(diǎn)，易得四邊形CEOF為正方形，EF=OC=4，∴M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為以EF為直徑的半圓，∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)=?4π=2π．

故選B．

點(diǎn)睛：本題考查了軌跡：點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)所形成的圖形為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡．解決此題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理確定M點(diǎn)的軌跡為以EF為直徑的半圓．9．【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，連接，分別交于點(diǎn)M、N，連接，當(dāng)點(diǎn)M、N在上時(shí)，的周長(zhǎng)最?。驹斀狻拷猓悍謩e作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，連接，分別交于點(diǎn)M、N，連接．∵點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，∴；∵點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴．∴的周長(zhǎng)的最小值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查最短路徑問(wèn)題和等邊三角形的判定．作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D是解題的關(guān)鍵所在．10．【分析】首先根據(jù)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)分析出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在以為圓心，為半徑的圓弧上，然后分點(diǎn)恰好落在邊上和點(diǎn)恰好落在邊上兩種情況討論，分別利用勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行求解和證明即可得出兩種臨界情況下的長(zhǎng)度，從而得出結(jié)論．【詳解】解：∵點(diǎn)B與關(guān)于DE對(duì)稱(chēng)，∴，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在以為圓心，為半徑的圓弧上，①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，此時(shí)，連接和，由題意及“三線合一”知，，，∴在中，，此時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，，∴由等面積法，，∴，在中，；②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，連接、、和，由題意，，∴，，∴，即：，∴，即：，∵點(diǎn)B與關(guān)于DE對(duì)稱(chēng)，∴，，∴，∴，，由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，，∴，∴，∴，即：此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴此時(shí)，，綜上，長(zhǎng)的范圍為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能夠根據(jù)題意準(zhǔn)確分析出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并構(gòu)建適當(dāng)?shù)娜切芜M(jìn)行求解是解題關(guān)鍵．11．6【分析】連接BE交AD于M，則BE就是EM+CM的最小值，通過(guò)等腰三角形的“三線合一”，可得BE=AD即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接BE，與AD交于點(diǎn)M．∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴B、C關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，則EM+CM=EM+BM，則BE就是EM+CM的最小值．∵E是等邊△ABC的邊AC的中點(diǎn)，AD是中線∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)—“三線合一”、等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找到M點(diǎn)的位置．12．4【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，證明△CBD≌△BD，得到CD=D，推出當(dāng)A、D、三點(diǎn)共線時(shí)，AD+CD最小，此時(shí)AD+CD=B+AB=4．【詳解】解：如圖，連接D，∵正△ABC的邊長(zhǎng)為2，△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，∴∠CB=60°，∴∠CB=∠B，∵BD=BD，∴△CBD≌△BD，∴CD=D，∴AD+CD=D+CD，∴當(dāng)A、D、三點(diǎn)共線時(shí)，AD+CD最小，此時(shí)AD+CD=B+AB=4，故答案為：4．．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題，正確掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．13．【分析】由與是等腰直角三角形，得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得在以為直徑的圓上，由的外心為，，得到，如圖，當(dāng)時(shí)，的值最小，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：與是等腰直角三角形，，，在與中，，≌，，，，在以為直徑的圓上，的外心為，，，如圖，當(dāng)時(shí)，的值最小，，，，，．則的最小值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形構(gòu)造PB即可解答．【詳解】解：設(shè)⊙O半徑為r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點(diǎn)I，連接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，∴當(dāng)A、P、I在一條直線上時(shí)，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB?BE＝3，∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．【點(diǎn)睛】本題是“阿氏圓”問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形．15．【分析】如圖，連接，在上取一點(diǎn)，使得，進(jìn)而證明,則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，均有PM=，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值．連接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故當(dāng)D、M、P共線時(shí)，PD-PM=DM為最大值，勾股定理即可求得．【詳解】如圖，連接，在上取一點(diǎn)，使得，，在△PDM中，PD-PM＜DM，當(dāng)D、M、P共線時(shí)，PD-PM=DM為最大值，四邊形是正方形在中，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造是解題的關(guān)鍵．16．【分析】連接BD，取AD的中點(diǎn)E，連接BE，由題意先判斷出點(diǎn)H在以點(diǎn)E為圓心，AE為半徑的圓上，當(dāng)B、H、E三點(diǎn)共線時(shí)，BH取得最小值，然后在直角三角形中，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，利用直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出EH的長(zhǎng)，由即可算出BH的長(zhǎng)度．【詳解】解：連接BD，取AD的中點(diǎn)E，連接BE，如下圖：∵DH⊥AC∴點(diǎn)H在以點(diǎn)E為圓心，AE為半徑的圓上，當(dāng)B、H、E三點(diǎn)共線時(shí)，BH取得最小值∵AB是直徑∴在中，AB=13，AD=5由勾股定理得：即：∵∴∵E為AD的中點(diǎn)∴在中，，由勾股定理得：即：∵∴又∵DH⊥AC，且點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理解三角形，直徑所對(duì)的圓周角為直角，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，隱圓問(wèn)題的處理等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，能夠判斷出從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．17．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）解：如圖，△即為所求．

（2）如圖，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖軸對(duì)稱(chēng)變換、軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．18．（1）見(jiàn)解析；（2）∠BPE=90°，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AD垂直平分BC，再根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短的性質(zhì)，連接CP交AD于點(diǎn)E，并連接BE，即可得解；（2）因?yàn)镻為AB的中點(diǎn)，要使△ABC是等邊三角形，則需BC=AB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，所以CP⊥AB，即∠BPE=90°．【詳解】解：（1）如圖，連接CP交AB于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為所求；（2）∠BPE=90°，理由如下：∵∠BPE=90°∴CP⊥AB，∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，∴CP垂直平分AB∴CA=CB∵AB=AC∴AB=AC=BC∴△ABC是等邊三角形【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及對(duì)稱(chēng)、兩點(diǎn)間線段最短、線段中垂線定理，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．19．【分析】連接，與交于點(diǎn)M．則就是的最小值，在直角中，求得的長(zhǎng)，即可．【詳解】解：連接，與交于點(diǎn)．∵等邊中，是邊上的中線，∴是的中垂線，∴==的最小值．過(guò)點(diǎn)C作，

∵等邊的邊長(zhǎng)為6，，∴，，，，∴∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)間線段最短，連接，從而把兩線段和的最小值轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線段最短是本題的關(guān)鍵．20．(1)(2)【分析】（1）如圖，設(shè)結(jié)合題意可得：，結(jié)合正三角形的性質(zhì)求解再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）解：如圖，取的中點(diǎn)N，連接NM，NC，