平面向量基本定理及坐標(biāo)表示的教學(xué)設(shè)計(jì)及平面向量基本定理及其坐標(biāo)表示習(xí)題(含答案)

人民教育出版社數(shù)學(xué)必修4

2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示石家莊市第十五中學(xué)課題：

2.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示科目：數(shù)學(xué)

教學(xué)對象：

高一課時(shí)：

1課時(shí)一、教學(xué)內(nèi)容分析本課時(shí)內(nèi)容包含“平面向量基本定理”及“平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示”．此前的教學(xué)內(nèi)容由實(shí)際問題引入向量概念，研究了向量的線性運(yùn)算，集中反映了向量的幾何特征，而本課時(shí)之后的內(nèi)容主要是研究向量的坐標(biāo)運(yùn)算，并運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解決問題，更多的是向量的代數(shù)形態(tài)，本節(jié)內(nèi)容從前面的知識(shí)中得出平面向量基本定理，并以此為基礎(chǔ)定義向量的坐標(biāo)，所以本節(jié)內(nèi)容是向量中承前啟后的內(nèi)容．二、學(xué)習(xí)者特征分析雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的實(shí)際背景及基本概念、平面向量的線性運(yùn)算，但學(xué)生對向量之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)還只是停留在“一維”層面，而平面向量基本定理揭示的是“二維”層面的平面向量之間的關(guān)系，這對學(xué)生有一定難度，所以要實(shí)現(xiàn)這種認(rèn)識(shí)層級(jí)的躍遷，教學(xué)中應(yīng)多舉實(shí)例，帶領(lǐng)學(xué)生去“發(fā)現(xiàn)”定理,并學(xué)會(huì)向量的坐標(biāo)表示.而且，平面向量基本定理中的“不共線”、“任意”、“有且只有”等數(shù)學(xué)專用語對學(xué)生會(huì)構(gòu)成理解障礙，在教學(xué)中應(yīng)通過具體形象的教學(xué)手段進(jìn)行直觀闡釋、辨析，幫助學(xué)生理解定理.三、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能(1)了解平面向量基本定理及其意義；會(huì)運(yùn)用平面向量基本定理用基底表示平面內(nèi)的任一向量.(2)掌握平面向量的坐標(biāo)表示.2.過程與方法經(jīng)歷平面向量基本定理及向量的坐標(biāo)表示的探究過程，讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思維方法.3.情感態(tài)度與價(jià)值觀培養(yǎng)學(xué)生敢于實(shí)踐的創(chuàng)新精神，在解決問題中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。四、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):平面向量基本定理及其意義和平面向量的坐標(biāo)表示.教學(xué)難點(diǎn):對平面向量基本定理和平面向量的坐標(biāo)表示的理解.五、教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì)鑒于以上分析，本節(jié)課采用以學(xué)生合作探究與自主學(xué)習(xí)相結(jié)合為主，以教師點(diǎn)撥為輔的教學(xué)原則；教學(xué)中應(yīng)運(yùn)用“最近發(fā)展區(qū)”原理，按照“發(fā)現(xiàn)”——“歸納”——“認(rèn)識(shí)”——“理解”——“運(yùn)用”的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行教學(xué)。尤其在“歸納”環(huán)節(jié)，應(yīng)讓學(xué)生充分表達(dá)，逐步抽象概括出定理內(nèi)容.六、教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖（一）平面向量基本定理通過學(xué)習(xí)我們知道物理中的力就是數(shù)學(xué)中的向量，而力的合成即為向量的加法，另一方面一個(gè)大小不為零的力也可以被分解成兩個(gè)不同方向的力，由此聯(lián)想向量是否也能用兩個(gè)不同向量來表示呢？引例：給定平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線向量，請作出教師提出問題，學(xué)生動(dòng)手作圖探究教師提醒：（1）規(guī)范作圖步驟（2）加法的平行四邊形法則，數(shù)乘運(yùn)算及共線定理從學(xué)生熟悉的物理知識(shí)入手，直接切入學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)“力的分解”，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。問題的設(shè)置既復(fù)習(xí)了向量的線性運(yùn)算，又為后面的探究做好鋪墊

探究1：給定平面內(nèi)任意兩個(gè)向量，平面內(nèi)的任一向量a是否都可以用形如的向量來表示？試作圖研究。學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組合作交流.選代表發(fā)言.通過作圖由學(xué)生自主探究，采取組內(nèi)討論，組間交流的形式得出結(jié)論。培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)理解向量可以分解成兩個(gè)不共線的向量，體會(huì)平面向量基本定理形成的現(xiàn)實(shí)意義問題1：給定兩個(gè)向量，試用分別作圖表示下列向量。教師巡視發(fā)現(xiàn)問題，引導(dǎo)學(xué)生：利用向量的平行四邊形法則和向量共線定理對向量進(jìn)行分解探究的設(shè)置為突破每位學(xué)生任作向量a的單一性，更好的理解“任意性”，體會(huì)不同向量的作圖分解學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組討論，選代表上臺(tái)前展示，并敘述自己的理由.教師巡視，針對出現(xiàn)問題及時(shí)引導(dǎo).討論辨析結(jié)束后，教師歸納總結(jié)，體會(huì)由特殊到一般的思維方法探究2：若平面內(nèi)的任一向量a都可以用形如的向量來表示，則對于每個(gè)a，是否唯一？并說明理由。針對學(xué)生的回答，輔以幾何畫板的演示，幫助學(xué)生更深刻的理解“唯一性”由探究形成定理，由學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理合作交流，得出結(jié)論（學(xué)生總結(jié)定理內(nèi)容）平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)，使。我們把不共線向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底基底無數(shù)組，關(guān)鍵不唯一通過合作探究，學(xué)生總結(jié)歸納對定理的說明：(1)基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；(2)由定理可將任一向量在給出基底的條件下進(jìn)行分解；(3)基底給定時(shí)，分解形式唯一.是被

，唯一確定的數(shù)量進(jìn)一步完善定理關(guān)鍵內(nèi)容幾何畫板演示促使學(xué)生再次體會(huì)定理的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（二）向量的坐標(biāo)表示探究3.平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)都可用有序?qū)崝?shù)對表示，那么對直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個(gè)向量，是否也能用一對有序?qū)崝?shù)來表示呢？在直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為正交基底.任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y，使得=x+y……eq\o\ac(○,1)我們把（x，y）叫做向量的坐標(biāo)，記作=（x，y）…eq\o\ac(○,2)其中x叫做在軸上的坐標(biāo)，y叫做在軸上的坐標(biāo)，eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐標(biāo)表示.學(xué)生獨(dú)立思考，自由發(fā)言，研究具體問題，在操作中提高學(xué)生分析、解決問題的能力.（三）反思評價(jià)總結(jié)提高從知識(shí)與方法兩方面談?wù)劚竟?jié)課有哪些收獲？作業(yè)：課本P100練習(xí)P1023、4;學(xué)生自由發(fā)言，教師總結(jié).（教師一要注重知識(shí)的整合，二要注意站在思想高度給學(xué)生引導(dǎo)，讓學(xué)生由學(xué)會(huì)變成會(huì)學(xué)）反思學(xué)習(xí)過程，對研究平面向量基本定理的方法進(jìn)行概括，深化認(rèn)識(shí)，并形成研究問題的思想和獲取知識(shí)的方法．

板書設(shè)計(jì)2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1.平面向量基本定理2.向量的夾角注（1）同一平面內(nèi)（2）是不共線向量3.平面向量的坐標(biāo)表示（3）任一向量a（4）有且只有一對實(shí)數(shù)，使平面向量基本定理和坐標(biāo)表示【知識(shí)清單】兩個(gè)向量的夾角（1）已知兩個(gè)____向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作＝，＝，則叫做向量與的夾角（2）向量夾角的范圍是__________，當(dāng)________時(shí)，兩向量共線，當(dāng)____________時(shí)，兩向量垂直，記作⊥2．平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（1）平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)__________向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，__________一對實(shí)數(shù)，使＝______________．其中，不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組________．（2）平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示把一個(gè)向量分解為兩個(gè)____________的向量，叫做把向量正交分解．平面向量的坐標(biāo)表示①在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個(gè)向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)，，使，這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由，唯一確定，把有序數(shù)對________叫做向量的坐標(biāo)，記作＝__________，其中______叫做在軸上的坐標(biāo)，______叫做在軸上的坐標(biāo)．②，則向量的坐標(biāo)就是________的坐標(biāo)，即若，則A點(diǎn)坐標(biāo)為__________，反之亦成立（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量加法和減法若則實(shí)數(shù)與向量的乘積若則向量的坐標(biāo)若起點(diǎn)終點(diǎn)則4．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)，其中，?__________________________．1.已知平面向量，且，則（

）A

B

C．

D．2.下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是（

）A.

B.C.

D.3.已知，則與平行的單位向量為(

).A.B.

C.

D.4.連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量，向量，則的概率是（

）

A．

B．

C．

D．5.平面向量=（2，-1），=（1，1），=（-5，1），若∥，則實(shí)數(shù)k的值為（）A2

B.C.D.6.已知A（－3，0）、B（0，2），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC＝45°，設(shè)，則的值為（

）A、

B、

C、

D、7.在下列向量組中，可以把向量表示出來的是（

）A.

B.

C.

D.8.已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)向量，，使得平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可以唯一分解成，則的取值范圍

．9.,若，則

;若,則

10.向量，若向量與向量共線，則

.11.P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足條件，設(shè)Q為延長線與AB的交點(diǎn)，令，用表示.△ABC中，BD=DC，AE=2EC，求.

已知，且，求M、N及的坐標(biāo).i、j是兩個(gè)不共線的向量,已知=3i+2j，=i+λj,=-2i+j,若A、B、D三點(diǎn)共線,試求實(shí)數(shù)λ的值15.已知向量，向量.（1）若向量與向量垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)為何值時(shí)，向量與向量平行？并說明它們是同向還是反向.16.在中，分別是內(nèi)角的對邊，且，,若.（1）求的大??；（2）設(shè)為的面積，求的最大值及此時(shí)的值.平面向量基本定理及坐標(biāo)表示答案BBBABCB9..

，10.211

又因?yàn)锳，B，Q三點(diǎn)共線，C，P，Q三點(diǎn)共線

而，為不共線向量

故：

12.設(shè)又…①

又而

………………②

比較①②，由平面向量基本定理得：

解得：或（舍），把代入得：

.

13.：

設(shè)，則

同