平面圖形中的解三角形及平面彎曲習(xí)題解答1

利用正弦，余弦定理解三角形的一些平面圖形問題 1．如圖,是直角斜邊上一點(diǎn),．（I）若,求角的大小；（II）若,且,求的長(zhǎng)．2．如圖，在平面四邊形中，，，，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的長(zhǎng).3．如圖，在四邊形中，．（1）求邊的長(zhǎng)；（2）求的面積．4．如圖，在△ABC中，BC邊上的中線AD長(zhǎng)為3，且cosB＝，cos∠ADC＝－.(1)求sin∠BAD的值；(2)求AC邊的長(zhǎng)．5．如圖所示，在平面四邊形中，，，為邊上一點(diǎn)，，，，.（1）求的值；（2）求的長(zhǎng).6．如圖，在△中，點(diǎn)在邊上，，，,.（Ⅰ）求的長(zhǎng)；（Ⅱ）求△的面積．7．設(shè)銳角△的三內(nèi)角的對(duì)邊分別為向量，，已知與共線.（1）求角的大??；（2）若，，且△的面積小于，求角的取值范圍.8．在中,內(nèi)角、、對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為、、,已知．（1）求角；（2）若,求的取值范圍．9．（2012?東至縣一模）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C對(duì)邊長(zhǎng)分別是a，b，c，已知c=2，C=（Ⅰ）若△ABC的面積等于；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面積．10．已知滿足．（1）將表示為的函數(shù)，并求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且，求面積的最大值．11．如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，且．（1）求；（2）求線段的長(zhǎng)．參考答案1．（I）；（II）2.【解析】試題分析：（Ⅰ）由正弦定理求出,可得；（II）設(shè),在中,由余弦定理整理出關(guān)于x的方程,解方程求出,試題解析：（Ⅰ）在△ABC中,根據(jù)正弦定理,有.又所以.于是,所以.（Ⅱ）設(shè),則,,.于是,,在中,由余弦定理,得,即,得.故考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理.2．（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）利用余弦定理，求出的值，再利用正弦定理即可求；（Ⅱ）由及（1）可求得的余弦值與正弦值，得用三角形內(nèi)角和定理及兩角和與差的正弦公式可求出，再利用正弦定理即可求的長(zhǎng).試題解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得：，即，解得：，或（舍），由正弦定理得：（Ⅱ）由（Ⅰ）有：，，所以,由正弦定理得：考點(diǎn)：1.正弦定理與余弦定理；2.三角恒等變換；3.三角形內(nèi)角和定理.3．（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）在中，由余弦定理列出方程，即可求解邊的長(zhǎng)；（2）在中，由余弦定理，得，進(jìn)而得，利用三角形的面積公式，求解三角形的面積．試題解析：（1）在中，由余弦定理，得，即，解之得或（舍去），所以；（2）由已知，，所以，在中，由余弦定理，得，所以，所以．考點(diǎn)：正弦定理與余弦定理的應(yīng)用．4．(1);(2).【解析】試題分析：(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式由,可求得,的值.因?yàn)?可由正弦的兩角差公式求得的值.(2)在中可由正弦定理求得的長(zhǎng),即的長(zhǎng),然后再在中用余弦定理求得的長(zhǎng).試題解析：解：(1)因?yàn)椋?又，所以，所以(2)在中，由得，解得.故，從而在中，由，得.考點(diǎn)：1兩角和差公式;2正弦定理,余弦定理.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查的是正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差公式，屬于中檔題．解題時(shí)一定要注意角的范圍，三角形內(nèi)角的正弦值均為正,否則很容易失分．高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識(shí)綜合起來命題，期中關(guān)鍵是三角變換，而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式．5．（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）在中，由余弦定理求解，再利用正弦定理求出；（2）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與和角公式求出的值，再在中，．試題解析：(Ⅰ)在中，由余弦定理得：，整理得：即，又由正弦定理得，即，所以．(Ⅱ)因?yàn)椋?，又，所以所以在中，．考點(diǎn)：正、余弦定理的應(yīng)用；三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及和角公式的應(yīng)用．6．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：(Ⅰ)設(shè)，則．因?yàn)椋?，所以，由余弦定理得．因?yàn)椋矗獾茫缘拈L(zhǎng)為；（Ⅱ）由(Ⅰ)，所以可得正確答案.試題解析：(Ⅰ)在中，因?yàn)?，設(shè)，則．在中，因?yàn)?，，，所以．在中，因?yàn)椋?，，由余弦定理得．因?yàn)?，所以，即．解得．所以的長(zhǎng)為.（Ⅱ）由（Ⅰ）求得，．所以，從而,所以．考點(diǎn)：余弦定理及三角形面積公式.7．（1）（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）利用向量平行，得到關(guān)于A的關(guān)系式，利用二倍角公式、兩角差的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)，求出角A的大小；（Ⅱ）通過，，且△ABC的面積小于，得到B的余弦值的范圍，然后求角B的取值范圍試題解析：（1）因?yàn)榕c共線，則即所以即為銳角，則，所以（2）因?yàn)椋?，則.由已知，，即.因?yàn)槭卿J角，所以，即，故角的取值范圍是考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值；2.解三角形【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由余弦定理得,所以；（2）利用正弦定理得,利用誘導(dǎo)公式和輔助角公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求范圍.試題解析：（1）∵,由余弦定理得,∵,∴∵,∴（2）由余弦定理得,∴,∴；∵,∴,．所以考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、三角變換.9．（Ⅰ）a=2，b=2；（Ⅱ）S=．【解析】試題分析：（Ⅰ）由C的度數(shù)求出sinC和cosC的值，利用余弦定理表示出c2，把c和cosC的值代入得到一個(gè)關(guān)于a與b的關(guān)系式，再由sinC的值及三角形的面積等于，利用面積公式列出a與b的另一個(gè)關(guān)系式，兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立即可即可求出a與b的值；（Ⅱ）由三角形的內(nèi)角和定理得到C=π﹣（A+B），進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式得到sinC=sin（A+B），代入已知的等式中，左邊利用和差化積公式變形，右邊利用二倍角的正弦函數(shù)公式變形，分兩種情況考慮：若cosA為0，得到A和B的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出a與b的值；若cosA不為0，等式兩邊除以cosA，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化簡(jiǎn)得到b=2a，與第一問中余弦定理得到的a與b的關(guān)系式聯(lián)立，求出a與b的值，綜上，由求出的a與b的值得到ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．解：（Ⅰ）∵c=2，C=60°，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，根據(jù)三角形的面積S=，可得ab=4，聯(lián)立方程組，解得a=2，b=2；（Ⅱ）由題意sin（B+A）+sin（B﹣A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，；當(dāng)cosA≠0時(shí)，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，聯(lián)立方程組解得a=．所以△ABC的面積S=．考點(diǎn)：余弦定理；正弦定理．10．（1）即為的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）面積的最大值為【解析】試題分析：（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示建立關(guān)于的等式關(guān)系，再借助兩角和與差的正余弦公式化簡(jiǎn)可得的表達(dá)式；（2）先求,確定出角的大小，再根據(jù),利用余弦定理可知,從而求出的最大值，進(jìn)而得到面積的最大值．試題解析：解：（1），所以，令，得的單調(diào)遞增區(qū)間是（2），∴，又，∴，∴．在中由余弦定理有，可知（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），∴，即面積的最大值為．考點(diǎn)：1．三角恒等變換；2．余弦定理；3．三角函數(shù)的性質(zhì)．11．（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）利用余弦定理的變式；（2）在中利用正弦定理即可求解．試題解析：（1）根據(jù)余弦定理：；（2）因?yàn)?，所以，，根?jù)正弦定理得：，．考點(diǎn)：正余弦定理解三角形．第8-9章平面彎曲主要知識(shí)點(diǎn)：（1）平面彎曲的概念；（2）平面彎曲內(nèi)力——剪力和彎矩；（3）剪力圖和彎矩圖；平面彎曲內(nèi)力——剪力和彎矩1.計(jì)算下圖所示各梁1、2、3、4截面上的剪力和彎矩。解：a)（1）考慮整體平衡，可解A、D支座反力得得 （2）計(jì)算截面1處的剪力和彎矩 假想截面在1處把梁截開，考慮左段梁，截面處的剪力和彎矩按正方向假設(shè)。得得(3)計(jì)算截面2處的剪力和彎矩 假想截面2在處把梁截開，考慮左段梁，截面處的剪力和彎矩按正方向假設(shè)。得得(4)計(jì)算截面3處的剪力和彎矩 假想截面在3處把梁截開，考慮右段梁，截面處的剪力和彎矩按正方向假設(shè)。得得(5)計(jì)算截面4處的剪力和彎矩 假想截面在4處把梁截開，考慮右段梁，截面處的剪力和彎矩按正方向假設(shè)。得得將上述結(jié)果列表如下：截面1234剪力（kN）1.171.171.17-3.83彎矩()2.672.673.833.83b)（1）考慮整體平衡，可解A、C支座反力得得（2）計(jì)算截面1處的剪力和彎矩 假想截面在1處把梁截開，考慮左段梁，截面處的剪力和彎矩按正方向假設(shè)。得得(3)計(jì)算截面2處的剪力和彎矩 假想截面2在處把梁截開，考慮左段梁，截面處的剪力和彎矩按正方向假設(shè)。得得(4)計(jì)算截面3處的剪力和彎矩 假想截面在3處把梁截開，考慮右段梁，截面處的剪力和彎矩按正方向假設(shè)。得得(5)計(jì)算截面4處的剪力和彎矩 假想截面在4處把梁截開，考慮右段梁，截面處的剪力和彎矩按正方向假設(shè)。得得將上述結(jié)果列表如下：截面1234剪力（kN）0.750.750.752彎矩()1.5-2.5-1-1剪力圖和彎矩圖2.建立圖示梁的剪力方程和彎矩方程，并畫剪力圖和彎矩圖。 （a） （b）解：a)（1）求支座反力（2）求剪力方程和彎矩方程（分段建立方程）AC段CB段（3）作剪力圖和彎矩圖彎矩圖是兩斜直線，在C截面處有突變，突變量為M。b)（1）求支座反力由整體平衡方程（見圖8-2b）：，，，，（2）求剪力方程和彎矩方程梁上任取一截面(見圖8-2b)，到支座A的距離為x，由截面法得該截面的剪力方程和彎矩方程AB段：， ， （）BC段：，，即，（）圖8-2b（3）作剪力圖和彎矩圖：AB、BC段剪力都為常數(shù)，剪力圖各為一水平直線。AB、BC段彎矩方程是x的一次函數(shù)，彎矩圖各為一斜直線。兩點(diǎn)可以確定一條直線，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，連A、B兩點(diǎn)可得AB段彎矩圖，連B、C兩點(diǎn)可得BC段彎矩圖，如圖8-2b所示。3.剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)如何確定？梁在集中力、集中力偶及均布載荷作用下的剪力圖和彎矩圖有何特點(diǎn)？答：在計(jì)算內(nèi)力時(shí)，為了使考慮左段梁平衡與考慮右段梁平衡的結(jié)果一致，對(duì)剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)作以下規(guī)定： 剪力：使截面繞其內(nèi)側(cè)任一點(diǎn)有順時(shí)針轉(zhuǎn)趨勢(shì)的剪力為正，反之為負(fù)。 彎矩：使受彎桿件下側(cè)纖維受拉為正，使受彎桿件上側(cè)纖維受拉為負(fù)。或者使受彎桿件向下凸時(shí)為正，反之為負(fù)。(1)當(dāng)梁上有集中力作用時(shí)，剪力圖在集中力作用處有突變，突變量是集中力的大??；彎矩圖在集中力作用處產(chǎn)生尖角。(2)當(dāng)梁上有集中力偶作用時(shí)，剪力圖在集中力偶作用處不變；彎矩圖在集中力偶作用處有突變，突變量是集中力偶的大小。（3）梁的某一段內(nèi)有均布載荷作用，則剪力是的一次函數(shù)，彎矩是的二次函數(shù)。剪力圖為斜直線；若為正值，斜線向上傾斜；若負(fù)值，斜線向下傾斜。彎矩圖為二次拋物線，當(dāng)為正值，彎矩圖為凹曲線；當(dāng)為負(fù)值，彎矩圖為凸曲線。4.什么是剪力、彎矩和載荷集度的微分關(guān)系？如何利用微分關(guān)系作梁的剪力圖和彎矩圖？答：載荷集度、剪力和彎矩之間的微分關(guān)系如下：利用微分關(guān)系作梁的剪力圖和彎矩圖：1.無分布載荷作用的梁段（q=0） 由于，因此=常數(shù)，即剪力圖為水平直線。而為常數(shù)，是x的一次函數(shù)，即彎矩圖為斜直線，其斜率由值確定。(1)當(dāng)梁上僅有集中力作用時(shí)，剪力圖在集中力作用處有突變，突變量是集中力的大??；彎矩圖在集中力作用處產(chǎn)生尖角。(2)當(dāng)梁上僅有集中力偶作用時(shí)，剪力圖在集中力偶作用處不變；彎矩圖在集中力偶作用處有突變，突變量是集中力偶的大小。2.均布載荷作用的梁段（為常數(shù)）由于，因此，即是x的一次函數(shù)，M(x)是x的二次函數(shù)，所以剪力圖為斜直線，其斜率由q確定；彎矩圖為二次拋物線。當(dāng)分布載荷向上（即q>0）時(shí)，>0，彎矩圖為凹曲線；反之，當(dāng)分布載荷向下（即q<0）時(shí)，<0，彎矩圖為凸曲線。5.指出下圖所示各彎矩圖的錯(cuò)誤，畫