2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測第51講拋物線（講）（原卷版）

第51講拋物線思維導(dǎo)圖知識梳理1．拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(點(diǎn)F不在直線l上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)方程p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離焦點(diǎn)到頂點(diǎn)以及頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離均為eq\a\vs4\al(\f(p,2).)圖形頂點(diǎn)O(0,0)對稱軸x軸y軸焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)題型歸納題型1拋物線的定義及應(yīng)用【例11】(1)若拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OFP的面積為()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2) D．2(2)設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動點(diǎn)，若B(3,2)，則|PB|＋|PF|的最小值為________．【跟蹤訓(xùn)練11】若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動時(shí)，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為________．【跟蹤訓(xùn)練12】(2019·襄陽測試)已知拋物線y＝eq\f(1,2)x2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M在l上，線段MF與拋物線交于N點(diǎn)，若|MN|＝eq\r(2)|NF|，則|MF|＝________.【名師指導(dǎo)】與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決與過拋物線焦點(diǎn)的弦有關(guān)問題的重要途徑．題型2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)【例21】(1)(2019·全國卷Ⅱ)若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝()A．2 B．3C．4 D．8(2)(2019·武漢調(diào)研)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，則此拋物線方程為()A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝eq\r(3)x【跟蹤訓(xùn)練21】(2020·福建廈門一模)若拋物線x2＝ay的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，則a＝()A．2 B．4C．±2 D．±4【跟蹤訓(xùn)練22】已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動點(diǎn)，若△FPM為邊長是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為________．【名師指導(dǎo)】1．求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：若題目已給出拋物線的方程(含有未知數(shù)p)，那么只需求出p即可．(2)待定系數(shù)法：若題目未給出拋物線的方程，對于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一設(shè)為y2＝ax(a≠0)，a的正負(fù)由題設(shè)來定；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0)，這樣就減少了不必要的討論．2．拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡化運(yùn)算．題型3直線與拋物線的位置關(guān)系【例31】(2019·全國卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為eq\f(3,2)的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up7(→))＝3eq\o(PB,\s\up7(→))，求|AB|.【跟蹤訓(xùn)練31】已知點(diǎn)M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝________.【跟蹤訓(xùn)練32】設(shè)A，B為曲線C：y＝eq\f(x2,2)上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為2.(1)求直線AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．【名師指導(dǎo)】1．直線與拋物線交點(diǎn)問題的解題思路(1)求交點(diǎn)問題，通常解直線方程與拋物線方程組成的方程組．(2)與交點(diǎn)相關(guān)的問題通常借助根與系數(shù)的關(guān)系或用向量法解決．2．解決拋物線的弦及弦中點(diǎn)問題的常用方法(1)有關(guān)直線與拋物線