2023-2024學(xué)年阜陽市一中高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)檢測試卷附答案解析

-2024學(xué)年阜陽市一中高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)檢測試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．在等差數(shù)列中,,則數(shù)列的前項(xiàng)和為A． B． C． D．2．已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．-4 B．2 C．4 D．83．已知直線與直線，若直線與直線的夾角是60°，則k的值為（

）A．或0B．或0C．D．4．若函數(shù)在處有極值，則實(shí)數(shù)（

）A． B．2 C．1 D．5．已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．6．已知橢圓與拋物線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個公共點(diǎn)，且軸，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．7．已知為空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線．如果，則的值為（

）A．-2 B．-1 C．1 D．28．已知，函數(shù)在點(diǎn)處的切線均經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分.）9．已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的有（）A．為等比數(shù)列B．的通項(xiàng)公式為C．為遞增數(shù)列D．的前n項(xiàng)和10．如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形上的動點(diǎn)，則（

）A．滿足平面的點(diǎn)的軌跡長度為B．滿足的點(diǎn)的軌跡長度為C．存在唯一的點(diǎn)滿足D．存在點(diǎn)滿足11．已知函數(shù)，滿足有三個不同的實(shí)數(shù)根，則（

）A．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．過軸正半軸上任意一點(diǎn)僅有一條與函數(shù)相切的直線C．D．若成等差數(shù)列，則三、填空題12．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，，則.13．已知函數(shù)．若在上恒成立，則a的取值范圍為．14．已知點(diǎn)是拋物線：與橢圓：的公共焦點(diǎn)，是橢圓的另一焦點(diǎn)，P是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為.四、解答題15．已知圓過點(diǎn)和，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相切，求的方程.16．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令，為數(shù)列的前項(xiàng)積，證明：.17．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.(1)證明：；(2)點(diǎn)在線段上，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時，求平面與平面的夾角的余弦值.18．已知雙曲線：（，）的左焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，點(diǎn)在上.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與交于，（不與點(diǎn)重合）兩點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，且，是否存在值，使得.若存在，求出的值和直線的方程；若不存在，請說明理由.19．若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.(1)若，判斷是否為上的“3類函數(shù)”；(2)若為上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，.參考答案：1．D【解析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式,即可求解答案.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,,根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式:,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,是基礎(chǔ)題.2．C【分析】首先利用拋物線的定義，將拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離解出p，再將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線方程即可解得.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因?yàn)镸到焦點(diǎn)距離為5，所以M到準(zhǔn)線的距離，即p=8，則拋物線方程為.將(1,m)代入得：，因?yàn)樗?故選：C.3．A【分析】先求出的傾斜角為120°，再求出直線的傾斜角為0°或60°，直接求斜率k.【詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為120°.要使直線與直線的夾角是60°，只需直線的傾斜角為0°或60°，所以k的值為0或.故選：A4．D【分析】由極值的定義得，即可求解，注意檢驗(yàn).【詳解】解：因?yàn)?，，在處有極值，所以，所以，解得.經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時，，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處有極大值，滿足題意.故選：D5．B【分析】根據(jù)已知求出，進(jìn)而即可根據(jù)投影向量求出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，向量在向量上的投影向量是.故選：B.6．C【分析】分析可得，求得，設(shè)設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)為，利用勾股定理可求得，利用橢圓的定義可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】易知點(diǎn)或，所以，，即，將代入拋物線方程可得，則，設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)為，因?yàn)檩S，則，由橢圓的定義可得，所以，橢圓的離心率為.故選：C.7．A【分析】由題設(shè)條件推得，再由四點(diǎn)共面可求得【詳解】因?yàn)?，所以由得，即，因?yàn)闉榭臻g任意一點(diǎn)，滿足任意三點(diǎn)不共線，且四點(diǎn)共面，所以，故.故選：A.8．C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，進(jìn)而即可判斷AB；畫出函數(shù)與圖象，由可得，化簡計算即可判斷CD.【詳解】由題意知，，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程分別為，因?yàn)榍芯€均過原點(diǎn)，所以，即，得，故AB錯誤；由，得，畫出函數(shù)與圖象，如圖，設(shè)，如上圖易知：，由正切函數(shù)圖象性質(zhì)，得，即，又，所以，即，解得，故C正確，D錯誤.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明選項(xiàng)CD的關(guān)鍵是根據(jù)構(gòu)造新函數(shù)，通過轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合思想分析是解題的關(guān)鍵.9．ABD【分析】根據(jù)已知證明為定值即可判斷A；由A選項(xiàng)結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)即可判斷B；作差判斷的符號即可判斷C；利用分組求和法即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所?3，所以，又因?yàn)?，所以?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；，即，故B正確；因?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以，所以為遞減數(shù)列，故C錯誤；，則，故D正確.故選：ABD.10．AC【分析】利用線面平行的判定定理可以證得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，為正方形上的點(diǎn)，可設(shè)，且，，進(jìn)而對BCD各個選項(xiàng)進(jìn)行計算驗(yàn)證即可判斷并得到答案.【詳解】對于A，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)知，，，，所以平面平面，又平面，平面，故點(diǎn)的軌跡為線段，故A正確；以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，且，，，，對于B，，即，又，，則點(diǎn)的軌跡為線段，,且，故B錯誤；對于C，顯然，只有時，，即，故存在唯一的點(diǎn)滿足，故C正確；對于D，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的為，三點(diǎn)共線時線段和最短，故，故不存在點(diǎn)滿足，故D錯誤.故選：AC11．ABD【分析】對于A，求導(dǎo)得函數(shù)單調(diào)性、極值，由此即可判斷；對于B，關(guān)于點(diǎn)中心對稱，由此即可判斷；對于C，由展開即可判斷；對于D，由結(jié)合C選項(xiàng)分析即可判斷.【詳解】因?yàn)椋栽诤蜕蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以，當(dāng)有三個不同的實(shí)數(shù)根時，，故A正確，關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以在此點(diǎn)處的切線方程為，結(jié)合圖象可知：當(dāng)且僅當(dāng)時，符合題意，所以B正確，由于方程有三個根，所以，展開可知，C不正確；由展開可知，當(dāng)成等差數(shù)列時，所以，在中，令，得，所以，D正確.故選：ABD.12．【分析】由得，進(jìn)而判斷中各個偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，即可得到.【詳解】由得，,于是，即.所以數(shù)列中，各個奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，同理，各個偶數(shù)項(xiàng)也構(gòu)成首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，即.所以.故答案為：81.13．【分析】由題意可知在上恒成立，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的最小值.【詳解】∵在上恒成立，且，故．當(dāng)時，在上恒成立，即在上為增函數(shù)，所以，，合乎題意；當(dāng)時，由，可得；當(dāng)時，可得．即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，，又因?yàn)?，所以，不合乎題意．綜上所述，．故答案為：.14．【詳解】分析：由題意可知與拋物線相切時，取得最小值，求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程求出的值，即可求解其離心率．詳解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，過向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，則，所以,顯然當(dāng)直線與拋物線相切時，最小，即取得最小值，設(shè)直線的方程為，代入可得，令，可得，不妨設(shè)在第一象限，則，所以，即，因?yàn)樵跈E圓上，且為橢圓的焦點(diǎn)，所以，解得或（舍去），所以，所以離心率為．點(diǎn)睛：本題考查了拋物線的定義及幾何性質(zhì)的應(yīng)用，以及橢圓的離心率的求解，其中根據(jù)拋物線的定義與幾何性質(zhì)，得到關(guān)于的方程組是解答的關(guān)鍵．求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．15．(1)(2)或【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意，列出方程組，即可求解；（2）根據(jù)題意，分直線的斜率不存在和存在，兩種情況討論，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，列出方程，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)圓的方程為，根據(jù)題意，可得，解得，所以圓的方程為.（2）解：當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，則直線的方程為，即.故直線的方程為或.16．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由等差數(shù)列定義可得，由與的關(guān)系即可得；（2）由與可得，即可得，由，可得，借助等比數(shù)列求和公式計算即可得證.【詳解】（1）由是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，故，即，當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，符合上式，故；（2）由，，故，則，由，故，則.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）要證，需要證過的平面與垂直即可，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的判定定理結(jié)合條件即得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先根據(jù)條件確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再求二面角.【詳解】（1）如圖：

由于平面平面，平面平面，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，則平面.連接交于，連接，∵，，∴，∴，又，，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，即，又平面，平面，∴，又平面，∴平面，又∵平面，∴.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，由于在上，設(shè)，則，∴，又平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，∴，解得或（舍去），∴，∴，，，設(shè)平面的法向共，平而的法向共，則即，取，得，，∴，故平面與平面夾角的余弦值為.18．(1)(2)；直線為【分析】（1）借助漸近線公式及點(diǎn)到直線的距離公式，并代入點(diǎn)計算即可得；（2）借助韋達(dá)定理結(jié)合從而得到直線中所設(shè)參數(shù)的關(guān)系，取線段中點(diǎn)，由可得，即可得的值和直線的方程.【詳解】（1）由雙曲線：可得，漸近線方程為：，則有，化簡得，又在上，即，即，故：；（2）由題意可知直線的斜率存在且斜率為，設(shè)直線為，、，聯(lián)立直線與雙曲線，消去可得，則有且，即且，有，，由，故、，則，即有，即，故或，當(dāng)時，直線為，過點(diǎn)，故舍去，當(dāng)時，直線為，由、，則線段中點(diǎn)為，，，即，由，，，故有，即，解得，故，則直線為，即存在，使得，此時直線的方程為..【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于借助韋達(dá)定理結(jié)合題目所給，計算出直線中參數(shù)得關(guān)系.19．(1)是上的“3類函數(shù)”，理由見詳解.(2)(3)證明過程見詳解.【分析】（1）由新定義可知，利用作差及不等式的性質(zhì)證明即可；（2）由已知條件轉(zhuǎn)化為對于任意，都有，，只需且，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可.（3）分和兩種情況進(jìn)行證明，，用放縮法進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）對于任意不同的，有，，所以，，所以是上的“3類函數(shù)”.（2）因?yàn)椋深}意知，對于任意不同的，都有，不妨