2023年高考數(shù)學(xué)練習(xí)壓軸題（新高考版）03 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)函數(shù)研究切線單調(diào)性問(wèn)題）（選填壓軸題） （解析版）

專題03一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

(利用導(dǎo)函數(shù)研究切線，單調(diào)性問(wèn)題)(選填壓軸題)

一、切線問(wèn)題

①已知切線幾條求參數(shù)②公切線問(wèn)題③和切線有關(guān)的其它綜合問(wèn)題

二、單調(diào)性問(wèn)題_______________________

①已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)②由函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)③已知函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)

求參數(shù)

④利用函數(shù)的單調(diào)性比大小

一、切線問(wèn)題

①已知切線幾條求參數(shù)

1.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若過(guò)點(diǎn)(a,b)可以作曲線N=Inx的兩條切線，則()

A.a<?nbB.b<?naC.?nb<aD.Ina<6

【答案】D

I∕c*ι**??

—a：?.

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(X。，％),由于V=L，因此切線方程為y-ln%='(X-X0),又切線過(guò)點(diǎn)(“,加,則

XxO

?-Inx0=~~~~,?÷1=Inx0÷?,

??

設(shè)/(x)=lnx+K,函數(shù)定義域是(0,+∞),則直線y=0+l與曲線/(x)=lnx+^有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

XX

當(dāng)aV0時(shí)，/'(x)>O恒成立，Ax)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)”>0時(shí)，0<x<a時(shí)，Γ(x)<O,

/(χ)單調(diào)遞減，

工>。時(shí)?，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，所以f(x)n?=∕(α)=lnα+l,結(jié)合圖像知b+1>lnα+l,即6>Ina.

故選：D.

2.(2022?山東泰安?高二期中)過(guò)曲線C"(X)=X3-οr+b外一點(diǎn)A(l,0)作C的切線恰有兩條，則

()

A.a-bB.a-b=iC.h=a+lD.a=2b

【答案】A

∕,(x)=3x2-a,過(guò)點(diǎn)A(LO)作曲線C的切線，

2

設(shè)切點(diǎn)&,〃%))，則切線方程為：y=(3x0-β)(x-l),

將(如/5))代入得:/(?)=(3?2-α)(?-l)=?3-α?+?

即2x>3x"α-人=0(*)由條件切線恰有兩條，方程(*)恰有兩根.

令w(x)=2Λ3-3X2+a-h,M,(X)=6X2-6X=6X(X-1),

顯然有兩個(gè)極值點(diǎn)X=O與x=l,于是“(0)=0或“(1)=0

當(dāng)K(O)=O時(shí)，a=b?,

當(dāng)"(1)=0時(shí)，a—b=1>此時(shí)f(x)=丁—ar+q—1=(x—+x+1—α)經(jīng)過(guò)(1,0)與條件不符，所以

a=h,

故選：A.

3.(2022,河南洛陽(yáng),三模(理))若過(guò)點(diǎn)尸(B)可作出曲線y=Aj的三條切線，則實(shí)數(shù)f的取值范圍

是()

A.(-∞,1)B.(0,+<x>)C.(0,l)D.{0,1}

【答案】C

由已知，曲線》=總即令/(尤)=/,則r(χ)=3x?

,2

設(shè)切點(diǎn)為,切線方程的斜率為∕(x0)=3x0,

32

所以切線方程為：y-?=3?(χ-?),將點(diǎn)P(Lr)代入方程得："χ03=3Ai)2(1一%),整理得

t=3xfj-2xj,

設(shè)函數(shù)g(χ)=3X2-2√,過(guò)點(diǎn)P(Lr)UJ作出曲線y=√的三條切線，

可知兩個(gè)函數(shù)圖像y=r與g(χ)=3∕-2χ3有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

又因?yàn)間'(x)=6x-6χ2,由/(X)=0,可得χ=0或X=1,

所以函數(shù)g(x)在(-∞,0),(l,+∞)上單調(diào)遞減，在以D上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)g(x)的極大值為g(l)=3-2=1,函數(shù)g(x)的極小值為g(0)=O-O=O,

如圖所示，

當(dāng)t∈(O,l)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn).

故選：C.

4.(2022?四川南充?三模(理))已知函數(shù)〃X)=X+(,過(guò)點(diǎn)P(LO)作函數(shù)y=∕(x)圖象的兩條切

線，切點(diǎn)分別為M,N.則下列說(shuō)法正確的是()

A.PM±PNB.直線MN的方程為2x-y+l=0

C.∣M∕V∣=2√iθD.PMN的面積為3底

【答案】C

因?yàn)?(1)=1+1=2,所以尸(LO)沒(méi)有在函數(shù)的圖象上，

2

1r_1

r(x)=1-W=F,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(aS)(α≠0),

當(dāng)a=l時(shí)，/(∣)=2,x=l不與/(x)=x+1相切，

所以a*I,

f'(a)=^-=-,又因?yàn)棣?Lb,

v,a-a-?a

解得α=-l±√∑,Bp(-l-√2,-2√2)t(-l+^,2√2),

所以kpM×kpN=2eI=×=-4≠-l>故A錯(cuò)誤；

2+√2√2-2

心=2勺e2,所以直線AW的方程為y=2(x-1),即2x-y+2=0,故B錯(cuò)誤;

2√2

IMNI=??(-l++1+√2J"+(2√2+2√2)2=2√10，故C正確;

∣2-0÷2∣4√5

尸(1,0)到直線MN的距離為d=

√4+T—5

所以PMN的面積為gpl/NM=-×2√10X—=4√2.故D錯(cuò)誤.

25

故選：C.

Y

5.(2022?河北?高三階段練習(xí))若過(guò)點(diǎn)尸(1,M可以作三條直線與曲線C:)，=下相切，則加的取值

e

范圍為()

A.C.(-∞,0)

【答案】D

由y=，，則設(shè)切點(diǎn)為(與，￡)，則切線斜率A=I

則在點(diǎn)［。,，)的切線方程為y-￡=詈(X-X0),

代入點(diǎn)P坐標(biāo)得初-多=二工(1-%)

ex°ex°'7

整理為W=*一%+ι,即這個(gè)方程有三個(gè)不等式實(shí)根,

ev°

+2

令人X)二立尹■，則∕,(χ)=^V？Λ'^,

ee

令/(x)>0貝Ul<x<2

函數(shù)/(X)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減,

故得/⑴<wi<f(2),即機(jī)e(%1),

故選：D.

6.(2022?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模(理))若過(guò)點(diǎn)P(T,m)可以作三條直線與曲線C：y=xe，相切,

則加的取值范圍是()

D

AJWTb?卜川c?W?(-?4J

【答案】D

設(shè)切點(diǎn)為小,%)，過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y=(??+l)e"(X-XO)+x0e項(xiàng),代入點(diǎn)P坐標(biāo)，化簡(jiǎn)為

/M=(-√-Λ0-l)e?即這個(gè)方程有三個(gè)不等根即可.

令/(x)=(-χ2-χτ)e，,求導(dǎo)得：Γ(x)=(-x-l)(x+2)ev.

令/'(x)>0,解得：-2<x<T,所以“X)在(一2,-1)上遞增；令/'(x)<0,解得：x<—2或x>T,

所以/(x)在(-∞,-2)和(-l,+∞)上遞增.

要使方程，”-l)e須有三個(gè)不等根即可.

_□1

只需"-2)<m<"T),即-<x<_±.

ee

故選：D

7.(2022?湖南?長(zhǎng)郡中學(xué)高三階段練習(xí))已知"x)=χ3-χ,如果過(guò)點(diǎn)(2,〃?)可作曲線y="x)的三

條切線.則下列結(jié)論中正確的是()

A.—1<77i<8B.0<m<7C.-3<m<5D.-2<m<l

【答案】D

設(shè)切點(diǎn)為(x°,W-x°),/'(x)=3χ2-l,切線斜率為腿-1,

???切線方程為y-(W-χ°)=(3片-I)(X-X0),將(2,%)代入得方程加-(EF)=(3%一1)(2T0),即

2xj—6xθ+2+m=O,

由題設(shè)該方程有3個(gè)不等實(shí)根.

令M(X)=2Λ3-6X2+2+m,M,(X)=6X2-12X=6Λ(X-2),

當(dāng)x<0時(shí),/(x)>0,當(dāng)0<x<2時(shí),“'(?CO,當(dāng)x>2時(shí),/(x)>0,

所以u(píng)(x)在(-∞,0)上遞增,在(0,2)上遞減,在(2,+∞)上遞增，

所以“(X)在X=O時(shí)取得極大值“(0)=2+∕n,在χ=2時(shí)取得極小值”(2)=2χ8-6χ4+2+“z=m-6,

[M(0)=2+ιn>0

由三次函數(shù)圖象知CN八,解得-2<w<6,

[u(2)=m-6<0

因?yàn)橐?<∕n<6UJ以推出,一2<加<7,所以一2<相<7也正確.

故選：D

8.(2022?河南?高三階段練習(xí)(文))過(guò)點(diǎn)P(OI)有三條直線和曲線y=x3+/+公SeR)相切，

則實(shí)數(shù)α的取值范圍是()

A.(l,+∞)B.(3,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,3)

【答案】B

設(shè)直線過(guò)點(diǎn)P(0,-l)且與曲線y=/+α√+加相切，切點(diǎn)為(Xo,片+編+??).

山y(tǒng)=V+以2+bχ得y=3χ2+24χ+h,切線的斜率為3x；+2%,+〃，

,切線方程為y+l=(3%+2tυ?+b)x,.?.xθ+<xrθ+bxn+??(3xθ+2or0+b]x0,

.?.2君+4-1=0.設(shè)/(x)=2∕+浸—1,由題意，函數(shù)〃力有三個(gè)零點(diǎn).

f'(x)=6x2+2ax,由f'(x)=O得X=0,或X=

當(dāng)。=0時(shí)，函數(shù)/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，舍去；

當(dāng)“<0時(shí)，-→0,由/'(x)>0,得x<0或x>-],由/'(x)<0,W0<x<-∣

所以x=0是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，由于/(0)=T<0,函數(shù)f(x)沒(méi)有三個(gè)零點(diǎn)，舍去.

?.?>0,同理可得x=-?∣是函數(shù)尸(X)的極大值點(diǎn)，由條件結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)得，

解得4>3.

9.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若過(guò)點(diǎn)(〃?,“)可以作曲線y=α*(α>O且”")的兩條切線，則()

A.logɑn<mB.∣ogun>m

C.IogaW=WD.Iog""與m的大小關(guān)系與〃有關(guān)

【答案】D

設(shè)切點(diǎn)為：(XO,，產(chǎn),)，

則y'=Inα,

所以切線方程為y-α"=α%lnα(x-Λfl),

因?yàn)辄c(diǎn)(〃?,〃)在切線上，

所以〃一ɑ`"=α&Ina(〃?一XO),

%

即a(lnΛ?xo-lna?w-l)+π=O,

令g(x)=α*(lnq.χ-Ina?M-1)+”,

則8'(χ)=a'Ina(Ina-X-Inazn),

令g'x)=O,得X="，

當(dāng)x<m時(shí),g<χ)vθ,當(dāng)χ>，"時(shí)，g'x)>O,

所以當(dāng)x=m時(shí)，g(x)取得極小值g(m)=-a"'+n,

若α>l,當(dāng)x<機(jī)時(shí)，一〃=a'(lna-x-lna-〃[-l)<0：

若O<α<l時(shí)，當(dāng)x>m時(shí)，-n=αl(lnα?x-lnα?∕n-l)<O；

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(見(jiàn)〃)可以作曲線y=α*(α>O且α≠l)的兩條切線，

所以-4'+”<0且〃>0,即0<"<α%

所以log”〃與機(jī)的大小關(guān)系與。有關(guān)，

故選：D

10.(2022?山西長(zhǎng)治,模擬預(yù)測(cè)(理))當(dāng)”>0時(shí)，過(guò)點(diǎn)(。,。+加均可以作曲線y=Inx的兩條切線,

則b的取值范圍是()

A.(→o,-l)B.(→Λ,-1]C.(-l,+∞)D.[-l,+∞)

【答案】C

設(shè)過(guò)點(diǎn)(α,α+b)的切線與Y=Inx相切于(加加>0,

n=Inm

則有,1n-(α+?).消去“得：1--=lnm-(α+?).

、mtn-a

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)("M+b)均可以作曲線N=Inx的兩條切線，

所以關(guān)于，〃的方程1-0=lnm-(α+9有兩解.

m

HP?=-+lnm-α-l有兩解.

m

令y=匕，>2=三+1*1%-。-1,(%>°).只需％與必有兩個(gè)交點(diǎn).

對(duì)于％=2+lnx-α-l,(x>O),則y；=_?+—=*(x-").

令y；>0，解得：x>a'令%'<。，解得：0<x<a.

所以方在(OM)上單調(diào)遞減，在(4,+∞)單調(diào)遞增.

作出片的草圖如圖所示：

y

I??=-+?nx-a-l

~X

o?a-.

要使y∣與為有兩個(gè)交點(diǎn)，只需力>lnα-4.

記g(α)=Ina-α,(α>0),^"(ɑ)??-l??(l-ɑ).

令g'(a)>O,解得0<"1：令g'(a)<O,解得α>l;

所以g(a)=ln“-α在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,叱)單調(diào)遞增.

所以g(α)的最大值為g⑴=Inl-I=-1,

所以b>-l.

故選：C

11.(2021?江蘇?高二單元測(cè)試)已知/(x)=xlnx,若過(guò)一點(diǎn)(〃?,〃)可以作出該函數(shù)的兩條切線,

則下列選項(xiàng)一定成立的是()

2

A.n<mlnmB.n>m?nmC.—e<π<OD.m<?

e

【答案】A

設(shè)切點(diǎn)為&八n∕),對(duì)函數(shù)F(X)求導(dǎo)得r(x)=lnx+l,則切線斜率為r(f)=hv+l,

所以，切線方程為y-flnr=(∣nr+I)(XT),即y=(lnt+l)x-f,

所以，〃=〃7(lnr+l)-r,可得f-mlnf+"-,"=0,

令g(r)="，加nf+"-m,其∣44f>O,由題意可知，方程g(f)=O有兩個(gè)不等的實(shí)根.

①當(dāng)m≤0時(shí)，對(duì)任意的r>0,g'(f)>O,此時(shí)函數(shù)g(r)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則方程g(r)=。至多只有一個(gè)根，不合乎題意；

②當(dāng)相>0時(shí)，當(dāng)OVyW時(shí)，g'(f)<O,此時(shí)函數(shù)g(r)單調(diào)遞減，

當(dāng)f>ffi時(shí),g'(r)>O,此時(shí)函數(shù)g(r)單調(diào)遞增.

由題意可得g(∕)m加=g(m)=m-m?nm+n-m=n-m]nm<O,可得“<wlnw.

故選：A.

12.(2021?全國(guó)?高三專題練習(xí))若過(guò)點(diǎn)(α,3(α>0)可以作曲線y=Λj-3x的三條切線，則()

A.b<-3aB.-3a<h<ai—3aC.b>a,—3aD./?=-3α或。=α'—34

【答案】B

y'=3x2-3設(shè)切點(diǎn)P(m,rr^-3m),切線方程y-(加-3%)=(31-3)(x-Tn),

切線過(guò)點(diǎn)(α,6)(4>0),b-ιn,+3m=(3m2-?)(ɑ-w),

整理得：2m3-3”,∕+3α+6=0,山丁可以作三條切線，

所以關(guān)于"7的方程2〉-3α,"2+3a+b=0有三個(gè)不同的實(shí)根，

g(m)=2nτ,-3>aιτr+3>a+b,g'(m)=6m2-6am,令g'(1")=6〃P-6αm=0,

相=0或加=°,(4>0).

函數(shù)g(租)=2加一3a∕n2+3α+b的增區(qū)間為(T?,0),(4,-H?),減區(qū)間為(0,a),

所以函數(shù)極大值g(0)=3α+6,極小值g(m)=-∕+3α+8,

關(guān)］?m的方程2"--3am2+3α+。=0有三個(gè)不同的實(shí)根，

-ɑ?+3a+b<Q

所以<

3a+b>0

所以%>34,—34<b<a}-3?.

故選：B

13.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)Ax)=-/+2/-力若過(guò)點(diǎn)P(Ij)可作曲線y="χ)的

三條切線，則f的取值范圍是()

A.嗚)B,(θ,?)&嗚)D.(0,—)

27

【答案】D

設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線為∕h=%(χT)+f,

∕r(x)=-3x2+4x-l,設(shè)切點(diǎn)為(Xo,%)，

則IK2,得f+l=2%3_5『+4x。有三個(gè)解,

∕r(?^1)+r=-?+2?-?

令g(x)=2x3-5X2+4X,g,(x)=6x2-10x+4=2(x-l)(3%-2),

7O

當(dāng)g'(x)>O,得χ>l或x<(,g'(x)<O,得:<x<l,

所以g(χ)在卜o,g),(LM)單調(diào)遞增，U單調(diào)遞減，

又g(∣)=∣∣,g(ι)=ι,g(χ)=t+ι有三個(gè)解，

OQ1

得l<f+l</,即O<f<L.

2727

故選：D

②公切線問(wèn)題

1.(2022?重慶市育才中學(xué)高三階段練習(xí))若直線/：y=h+b(&>1)為曲線/(x)=ei與曲線

g(x)=elnx的公切線，貝I"的縱截距6=()

A.OB.1C.eD.一^

【答案】D

設(shè)，與“X)的切點(diǎn)為(X,，%),則由r(x)=e*τ,有/:y="T+(1-xje*T

同理，設(shè)/與F(X)的切點(diǎn)為(七,))，由g'(x)=J有/：>=且x+e(lnx「l).

X占

e"=一,"=Lf%=2,

故<Z解得<或｛,則/：y=x或y="-e.

(l-x1)^-'≈<lnx2-l),K=e.舊=L

因%>1,所以/為V=X時(shí)不成立.故b=-e,

故選：D.

2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)y=αr?與y=lnx存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

【答案】D

設(shè)切線與曲線y=Inx相切于點(diǎn)(f,Inf),對(duì)函數(shù)y=Inx求導(dǎo)得？=

所以，曲線N=Inx在點(diǎn)(f,lnf)處的切線方程為y—lnf=；(XT),即y=1x+ln/-1,

y=α√?

聯(lián)立1u?得OX2——x÷l-lnr=0,

y=-x+lnr-lt

由題意可得4片0且A="-4。(1-111。=0,可得T-=*-/].,

令g(。二產(chǎn)一/lnf,其中r〉0,則g'(f)=2r-(2rhv+f)=《l-2】nr).

當(dāng)0<r<6時(shí)，g'")>0,此時(shí)函數(shù)g⑺單調(diào)遞增，

當(dāng)/>五時(shí)，g'(r)<O,此時(shí)函數(shù)g(f)單調(diào)遞減，所以，g(f)nm=g(√^?.

且當(dāng)O<f<e時(shí)，g(f)>O,當(dāng)r>e時(shí)，g(r)<O,如下圖所示：

皆

，Vto

\

\

111

由題意可知，直線y=看與曲線y=g(f)有兩個(gè)交點(diǎn)，則0<卷<e],解得“>(.

故選：D.

3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若兩曲線y=lnx-l與>=αχ2存在公切線，則正實(shí)數(shù)”的取值范圍是

()

A.(0,2e]B.→^3,+wjC.^θ,?e-3D.[2e,-κx))

【答案】B

設(shè)公切線與曲線y=lnx-l和y="的交點(diǎn)分別為(xl,lnx∣-l),(x2,ax^,其中占?0,

對(duì)于y=lnx-l有V=1,則y=lnx-l上的切線方程為y-(lnx∣-l)=’(x-xj,即

X占

y=-?+(lnxl-2),

x?

對(duì)于y=有y'=2",則y=上的切線方程為了一遍=*2(]一天)，^y=2ax2x-ax1,

1C

-=2ax、1ICC/、

所以，％",有一石r=m為-2，即/=2百T]Ex"%>0),

inJC∣-2=-ax^

令g(%)=2x2-X2lnx,g'(x)=3x-2xlnx=x(3-2Inx),

令g")=0,得χ=3

當(dāng)Xe0,e2時(shí)，g")>O,g(x)單調(diào)遞增，

\7

?X∈e2,+∞］時(shí)，g<x)vθ,g(x)單調(diào)遞減，

f3λ1111

所以g(x)max=ge2=Te3,?0<-≤τe3,即α≥7e"?

πux(J24a22

故選：B.

1?

4.(2021?江蘇?高二專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xlnr,g(x)=Οx3,若函數(shù)的圖象與

函數(shù)g(x)的圖象在交點(diǎn)處存在公切線,則函數(shù)g(x)在點(diǎn)(l,g⑴)處的切線在y軸上的截距為()

【答案】C

、/、Z1?

設(shè)交點(diǎn)為(也加Inm),且/(x)=XlnX的導(dǎo)數(shù)為/'(X)=Inx+1,g(x)=α√-∕χ一鼻的導(dǎo)數(shù)為

g〈x)=3ax2_；,

??2

由題意，l+lnm=3〃〃，——^.m?nm=am,——m---,消去a得:1+e∕∕zInzw=O,

223e

令∕z(x)=1+exlnx,Λ,(x)=e(lru+l),

當(dāng)x>1時(shí)”(x)>0,6(x)遞增；當(dāng)O<x<L時(shí)"(x)<0,6(X)遞減.

ee

一.％=/處〃(力取得極小值，也為最小值為0,則l+e〃zInm=0,解得加=：,

代入]+lnm=3"∕√-J.,可得α='e2,即有g(shù)Q)=巨V__LX_2_

26623e

2[2](212、

.?.g?x)^x1--,則在(l,g⑴)處的切線斜率為&,切點(diǎn)為卜,e不-5-為

???在(Lg(I))處的切線方程為=1),令χ=0,uK?y=--

?^o15e)Z3e

故選：C.

5.(多選)(2022?河北保定?二模)若直線y=3x+w是曲線y=V(x>O)與曲線y=-/+"-6(x>0)

的公切線，則()

A.in=—2B.m--?C.n=6D./2=7

【答案】AD

解：設(shè)直線y=3χ+,w與曲線y=χ3(χ>0)相切于點(diǎn),

與曲線y=-χ2+,ιr-6(x>0)相切于點(diǎn)0,3b+w),

對(duì)于函數(shù)y=Y(x>0),y'=3∕,則3∕=3(α>0),

解得α=l,

所以F=3+w?,即，〃=一2.

又寸于函數(shù)V=—/+<∞-6(x>0),y'=-2x+n,

則-2b+"=3(b>O),

又-/+泌-6=3A-2,

所以-〃+6(3+2/?)-6=36-2,

又b>O,

所以b=2,n=7.

故選：AD

6.(2022?福建泉州?高二期中)函數(shù)/(x)=lnx+W與g(x)=χ2+ι有公切線y=α<α>0),則實(shí)數(shù)

x÷l

m的值為.

【答案】4

根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=l∏r+署與g(x)=x2+l有公切線y=W">0),

設(shè)切點(diǎn)分別為尸(XI,%),G(X2,y2),

2+]

所以a=2X2>0且—=---=2X2=>x2=↑,a=29

所以公切線為y=2χ,

2

則有,=>Inrl+2X∣-xl-1=0,

-~7^=2

?MIr?人)1

以MX)=InΛ+2χ2-x-l(x>0)n∕(x)=2+4x-l=-------—叵>0,

則〃(X)在(0,+∞)上遞增，

又〃⑴=0,故XI=1,m=4,

故答案為：4

7.(2022?廣東?執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí))已知F(X)=e*-l(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，g(x)=lnx+l,

則/(x)與g(x)的公切線條數(shù)為.

【答案】2

根據(jù)題意，設(shè)直線/與f(x)=e*-l相切于點(diǎn)(m,e"1-l),與g(x)相切于點(diǎn)(",in”+。，

對(duì)于〃x)=e、-1,其導(dǎo)數(shù)為/(X)=e",

則有《=7'(，")=e",

則直線/的方程為y+1-e”=em(X-m),BPy=emx+era(l-∕n)-1,

對(duì)于g(x)=l∣w+2,其導(dǎo)數(shù)為/(X)=L

X

則有％=g's)=L

n

貝IJ直線/的方程為y-(1n"+l)=L(x-"),即y=L+ln",

nn

直線/是/(X)與g(χ)的公切線，

e，“=l

則<~n,可得(I-M(e"?-l)=O,

(l-∕w)em-I=Inn

則機(jī)=0或m=1,

故直線/的方程為V=X或y=exT;

則/(X)與g(x)的公切線條數(shù)是2條.

故答案為：2.

8.(2022?黑龍江?牡丹江一中高二階段練習(xí))若兩曲線V=Inx-I與y=α√存在公切線，則正實(shí)數(shù)。

的取值范圍是.

【答案】Je-3,y)

設(shè)公切線與曲線V=Inx-I和y=/的交點(diǎn)分別為(x,,lnxl-1),(馬,渥)，其中占>0，

對(duì)于y=lnx-1有)，=L則y=lnx-l上的切線方程為y-(lnXl-I)=—(x-x∣),即

Xx?

y=^+(lnx,-2),

??

對(duì)于y=αr2有y=2αr,則y=依2上的切線方程為y-盤=2tυ?(X-W)，^y=2ax2x-ax}t

?C

—=2。Xj1ICC/、

所以不^,有-K=InX_2,即7=2x：-x；InXGI>0,

IC24Orl4a

Inx1-2=-ax2

令g(x)=2χ2-X2lnx,g'(x)=3x-2xlnx=M3-21nx),

令g'(χ)=0,得X=。,

(3λ

當(dāng)x∈0,一時(shí)，√(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

\/

當(dāng)x∈(e2,+oo］時(shí)，g<x)<O,g(x)單調(diào)遞減，

(1?11II

所以g(x)maχ=g[e2j=]e3,故°<?！躛e3,即α≥]e-3.

???正實(shí)數(shù)。的取值范圍是ge*+8∣.

故答案為：∣e-3,+∞y

9.(2021?江蘇?高二專題練習(xí))曲線/(X)=加3>0)與g(x)=Inr有兩條公切線，則”的取值范圍

為_(kāi)_________

【答案】(上,+O

2e

對(duì)y=α√求導(dǎo)得：y'=2αx;對(duì)y=lnx求導(dǎo)得：y'=~,

X

設(shè)與y=αr2相切的切點(diǎn)為(S,f),與曲線g(X)=Inx相切的切點(diǎn)為(〃?,6)(α>0),

?t-h

「?公共切線斜率為2αs=-=-------,又t=asλ,b=Inm,

ms-m

：.2as=-=as2~inm,整理得心2-in(2αs)-1=0,

ms-m

設(shè)/(s)=z2τn(20v)T,則/(S)=2成一生=,又4>0,s>0,

lass

，當(dāng)6>ξ?時(shí)，r(s)>0,/(S)單調(diào)遞增；當(dāng)s<[?r時(shí)，f")<0,F(S)單調(diào)遞減，

s=-?≈處/(S)取得極小值，也為最小值為/(鼻]=一岳病—4，

√20l√2α)2

由恰好存在兩條公切線，即F(S)=O有兩解，而當(dāng)S趨向于0時(shí)f(s)趨向于正無(wú)窮大，

令MX)=X-InX-I,則〃'(x)=l-工且x>0,故(0,1)上"(x)<0,即〃(幻遞減；。,+?)上"(x)>0,

X

即〃(外遞增，

.?.Λ(x)≥Λ(l)=0,gpx>lnx+l,故一2心<-ln(24s)-l,

/(5)>as2-2as=as(s-2),顯然當(dāng)s>2時(shí)/(s)>0.

鑫要?d?b°，可得

故答案為：((,+°o)

③和切線有關(guān)的其它綜合問(wèn)題

1.(2022?河南南陽(yáng)?高二期中(理))若y=0x+匕是"X)=XlnX的切線，則a+6的取值范圍為()

A.[-l,+∞)B.[l,4w)C.(Yo,0]D.[-1,0]

【答案】C

解：設(shè)點(diǎn)(玉),??lnX(>)(XO>0)是函數(shù)f(x)=xlnx圖象上任意--點(diǎn),

,

由f?x)=InX+1,∕(x0)=ln?+1,

所以過(guò)點(diǎn)/InXO)的切線方程為y-&In尤O=(InXO+l)(x-X。)，

艮IIy=(InxO+1)X-X0,/.a=Inx0÷1,b=-X0,

所以α+Z?=InXo+1-/

令g(x)=lnx+l-x,x∈(0,+∞),

11-V

所以，(力=——1=—，

XX

所以當(dāng)OVXVl時(shí)g'(x)>O,當(dāng)x>l時(shí)/(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞減，

所以g(*aχ=g(l)=O,所以g(x)<O,即α+A∈(fθ];

故選：C

2.(2022?湖北?武漢二中模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=InX-T，直線？=如+〃是曲線丫=/(力的一

條切線，則，"+2〃的取值范圍是()

C.[-21n2-4,+∞)D.ln2-?^,+∞j

【答案】C

設(shè)切點(diǎn)為PaJa)),∕,(χ)=→4.k=f?t)=→^

曲線y="x)在切點(diǎn)P(∕J(f))處的切線方程為y—/(r)=∕'(r)(xτ),

整理得y=[；+^Jx+lnf-：-l,所以機(jī)+2k=?y+21nf-----2.

令g(x)=4+21nx-3-2(x>0),則g，(x)」『+*2

XXX

當(dāng)OeX<；時(shí)，√(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增.故g(x)mM=g[]=-21n2-4,

則m+2n的取值范圍是[-2ln2-4,+∞).

故選：C.

3.(2022?河南?南陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)(文))已知函數(shù)/(尤)=Inx-L直線y=m+"是曲線y=/(X)

的一條切線，則"2+2〃的取值范圍是()

A.[-3,+a?)B.-21n2-∣,+∞J

(-31

C.?-∞,—e—D.[-21n2-4,+oo)

【答案】D

設(shè)切點(diǎn)為P(r,∕(r)),Γ(χ)=→-^,Λ==

曲線y=∕(χ)在切點(diǎn)Paja))處的切線方程為y——(f)=∕'(f)(xτ),

∩1A22

整理得y=[;+司x+lnf-]-l,令X=0,y=nvc+n=n=?nt---]9令％=],

11211

y=nvc+n=m+n=-+-+lnt-----11=—+In1r------1,

trtrt

所以m+2〃=1+2InZ-3-2.

tt

令g(x)q+21nx-j-2(x>0),則g，(X)=空手工.

當(dāng)0<x<；時(shí)，g,(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>g時(shí)，g,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.故g(x)mm=?=-21n2-4,

則機(jī)+2〃的取值范圍是[-21n2-4,y).

故選：D.

4.(2022?安徽?高二期中)若函數(shù)/(x)=lnx+θ√的圖象上存在與直線x+2y=0垂直的切線，則實(shí)

數(shù)α的取值范圍是()

A.(一局B.C.卜唱D.1

一,+00

2

【答案】A

山題意得，函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8)，且f'(x)=∕+20r,；函數(shù)〃犬)=1門+加的圖象上存在

與直線x+2y=0垂直的切線，即,+20r=2有正數(shù)解，即α=-3+L在(0,+8)匕有解，：x>Q,

X2x^X

故選：A.

5.(2022?廣東?佛山市順德區(qū)東逸灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中)已知/(x)為R上的可導(dǎo)的偶函數(shù)，且滿足

/(x-l)=-∕(x+l),則y=∕(x)在X=2022處的切線斜率為.

【答案】O

由題設(shè)，/(x)=-∕(x+2),則/(x+2)=-∕(x+4),即f(x)=∕(x+4),

所以Ax)的周期為4,又f(x)為R上的可導(dǎo)的偶函數(shù)，即/'(0)=0,

而r(x)f(x+2),故八0)=T'(2)=0,BP∕,(2)=0,

且f'(X)=尸(X+4),故r(2022)=∕,(4×505+2)=尸(2)=0.

故答案為：O

6.(2022?海南?模擬預(yù)測(cè))已知存在4>0,使得函數(shù)/(x)=Hnx與g(x)=X2-3x-6的圖象存在相

同的切線，且切線的斜率為L(zhǎng)則b的最大值為一.

【答案】-3

解：/'(X)=}g'(x)=2x-3

令尸(x)=E=l,得X=”,切點(diǎn)為(α,αlnα),

令g'(x)=2x-3=l,得x=2,切點(diǎn)為(2,-2-6).

切線方程為y-alnα=x-α代入，π}^-2-b-alna=2-a則t>=a-a∕na-4

令∕z(x)=x-xlnx-4,則∕z'(X)=I-InX-I=-InX,當(dāng)O<x<l時(shí)，Λ,(x)>O,當(dāng)x>l時(shí)，Λ,(x)<0,

h(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

.?.MXL=MI)=-3即b的最大值為3

故答案為：-3.

7.(2021?四川自貢?一模(理))已知函數(shù)，(x)=(產(chǎn)+—[nx-x+L在曲線y=f(x)上總存

Ir÷2j%

在兩點(diǎn)P(χ,χ),。(々，％)，使得曲線在P，。兩點(diǎn)處的切線平行，則占+%的取值范圍是.

【答案】(8,內(nèi))

解：∕,(?^)=p2+,??^l?-i--τ<χ>θ>

It+2)Xχ-

因?yàn)樵谇€y=f(χ)匕總存在兩點(diǎn)P(±,yJ,Q(w，%)，使得曲線在P，。相兩點(diǎn)處的切線平行，

所以r(x∣)=∕'(w)，且X∣≠X2,X∣>0,尤2>。，

Xl??

IlI

所以工+工=’2+不

令機(jī)=產(chǎn)+2,m≥2,則/=〃?一2,

設(shè)h(m}=m+--2,nι≥2,

m

貝IJh,(m)=1一一g=m??,

mm~

當(dāng)加≥2時(shí),h^nij>0,

所以函數(shù)〃在［2,+∞)上遞增,

所以MW）ZM2）=；

111

所以工+工≥5'

2

?11x+xX+X

又丁E二節(jié)i72,XM≤12

2

又因?yàn)闉椤賆2,所以XA2<土產(chǎn)

1+1_X+&>xl+x2_4

所以占X2X1X2(X∣+X2Yxl+x2,

41

所以<—

X1+x22

所以X+%>8,

所以西+W的取值范圍是（&+∞）.

故答案為：（8,÷∞）.

二、單調(diào)性問(wèn)題

①已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

1.（2022?四川省峨眉第二中學(xué)校高二階段練習(xí)（理））若函數(shù)危）=f+αx+L在

+8）上是增

X2

函數(shù)，則α的取值范圍是（）

A.[-1,0]B.[-1,+∞）

C.[0,3]D.[3,+∞）

【答案】D

f（x）=2x+a--^?,由于函數(shù)於）在[；,+8）上是增函數(shù)，

x^2

故/（x）≥0在弓，+8）上恒成立.

即4≥4?—2τ在[。，+8)上恒成立.

X2

設(shè)〃(X)=[一2x,X∈[y,+o0),

Jr2

易知∕z(x)在[；,+8)上為減，

?,?Λ(x)max=Λ(y)=3,

.,.a≥3.

故選：D

2.(2022?河南?南陽(yáng)中學(xué)高二階段練習(xí)(理))若函數(shù)"x)=h+ln2x在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增，則

實(shí)數(shù)2的取值范圍是()

A.-p+∞^B.-%+00)C.[-l,-n??)D.(-∞,-l]

【答案】A

由/(x)=AX+ln2x,得/(犬)=&+^,

因?yàn)楹瘮?shù)"x)=H+ln2x在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增，

所以r⑴=&+B≥0在區(qū)間(L3)上恒成立，即左≥-T恒成立，

因?yàn)閄W(1,3),所以—1<—<——,

X3

所以女≥τ

所以實(shí)數(shù)&的取值范圍為一1，+8)，

故選：A

3.(2022?江蘇省太湖高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+∞),若y=翌卜∈N*)

在(0,+8)上為增函數(shù)，則稱f(X)為階比增函數(shù)若函數(shù)/(x)=M7+χ2-XInX為"I階比增函數(shù)",

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

a?卜8,-；

【答案】A

解：因?yàn)楹瘮?shù)函x)=m+?-χl-為“1階比增函數(shù)”,

所以函數(shù)"0='+x-lnx在(0,+8)上為增函數(shù)，

XX

所以令g(x)="+xTnx,x>O,

故g，(x)=一3+1_?L=三二≥o在(o,+8)上恒成立,

XXX

所以〃Z<χ2-X在(0,+8)匕恒成立，

由于y=工2—工=—≥—,x∈

44

所以/Π≤(χ2-χ)=-i.

?∕mιnA

故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是1-8,

故選：A

4.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)/。)=