2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第6講：平面向量及其應(yīng)用（附答案解析）

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第6講：平面向量及其應(yīng)用

選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）

1.（5分）（2022春?衢州期末）設(shè)ANBC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,若c=4,

b=2√3-bcosC=（2α-c）cosB,則4/8C面積為（）

A.2B.2√3C.4√3D.6

2.（5分）（2022?吉林模擬）如圖，平行四邊形/88中，AB=I,藍(lán)i=E，點(diǎn)E是NC的

三等分點(diǎn)EC=LAC，則瓦=（）

3

c?占亭d?■^亭

3?（5分）（2022哆城區(qū)校級(jí)模擬）已知向量藐（1,&）,∣bI=2,∣I-b∣=√13>

則W與E的夾角為（）

A.52LB.2Kπ

63y

4.（5分）（2022春?西區(qū)校級(jí)月考）在4∕5C中，內(nèi)角小B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,

若（α+%）（SiM-Sin8）=（6+c）sinC,a=7,c=5.則該三角形的內(nèi)切圓半徑與外接

圓半徑之比為（）

A.?B.1c2_D.?

144.76

5.（5分）（2022?新高考II）已知向量Z=（3,4）,E=（1,。），C=a+，b，若Va,c>

=VbC>，則Z=（）

A.-6B.-5C.5D.6

6.（5分）（2022?北京）在AZBC中，ZC=3,BC=4,ZC=90o.0為AZBC所在平面

內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,則五?瓦的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

7.（5分）（2022?乙卷）已知向量a=（2,1）,b=（-2,4）,則Ia~bl=（）

A.2B.3C.4D.5

第1頁(yè)（共38頁(yè)）

8.（5分）（2022?乙卷）已知向量a，E曲足I司=1，IbI=?，I@-2bl=3,則a。b=（）

A.-2B.-1C.1D.2

,..,??

9.（5分）（2022?新高考I）在AZSC中，點(diǎn)。在邊/8上，BD=2DA.記CA=Ir,CD=n，

則誣=（）

A.3∏--2∏B.-2∏+3∏C.3∏+2∏D.2∏+3∏

10.（5分）（2022春?廣州期中）已知向量Z=（.k,1）,b=（3,2）,W=（1,3）,且（Z

-4）?L?則實(shí)數(shù)左的值等于（）

A.?B.坨C.6D.8

33

二.多選題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

（多選）11.（5分）（2022春?榕城區(qū)校級(jí)期中）在aZBC中，角4、8、C的對(duì)邊分別為°、

b、c,若（a2+c2-?2）tan8=JEac,則角8的值為（）

A.—B.—C.??D..22L

6363

（多選）12.（5分）（2022春?玄武區(qū)校級(jí)期中）在C中，下列說(shuō)法正確的有（）

A.若N>8,則sin4>sin5B.若A>B,則sin24<sin28

C.若A>B,則cos/VcOSBD.若4>B,則cos2∕VCoS28

（多選）13.（5分）（2022春?湖北期中）對(duì)于4∕8C,有如下判斷，其中正確的判斷是

（）

A.若sin2∕=sin28,則4NBC為等腰三角形

B.若sirυ4>sin5,貝∣J∕>8

C.若正.而<0,則C是鈍角三角形

D.若（6+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6,則4/BC一定是一個(gè)鈍角三角形

（多選）14.（5分）（2022?湖北二模）定義空間兩個(gè)非零向量的一種運(yùn)算：lΘb=lailb?

SinV之，b>>則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立的有（）

A?λ（a^b）=（λa）?bb?a?b=b?a

C.若a&b=O則a_Lbd?∣a?b∣≤∣a∣∣b∣

第2頁(yè)（共38頁(yè)）

（多選）15.（5分）（2022春?淮安期中）在a∕8C中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別是a,h,

c,下列結(jié)論正確的是（）

A.若αcosZ=6cos8,則4NBC為等腰或直角三角形

B.若b2+c2-a2=hc,則A=兀

C.若4>B,則SinJ>sin8

D.若α=6,?=8,8=60°,則符合條件的AZBC有兩個(gè)

三.填空題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

16.（5分）（2022?浙江）設(shè)點(diǎn)尸在單位圓的內(nèi)接正八邊形小山…幽的邊小加上，則

K時(shí)+…+而的取值范圍是

17.（5分）（2022?甲卷）己知448C中，點(diǎn)。在邊BC上，AADB=?1Qo,AD=2,CD

=2BD.當(dāng)星取得最小值時(shí)，BD=.

AB

18.（5分）（2022?甲卷）已知向量a—（機(jī)，3）,b=（1，?+1）.若a?b>則”?=.

19.（5分）（2022?靜海區(qū)校級(jí)模擬）在平面四邊形/8CO中，JS=√3BC,ZABC=90°,

/0=4,連接ZC,/∕CD=90°,∕C∕O=30°,則CB。CD=;E為線段力。上

一9

的動(dòng)點(diǎn)，則BE?CE的最小值為.

20.（5分）（2022?濱海新區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，在梯形NBCD中，/8=90°,?AB?=2,

∣5C∣=2√2.MDI<∣8C∣,點(diǎn)E為的中點(diǎn)，若向量而在向量而上的投影向量的模為2,

則而-CE=;設(shè)M為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，則麗?而的最小值為

四.解答題（共5小題，滿分50分，每小題10分）

21.（10分）（2022春?船山區(qū)校級(jí)期中）在AZBC中，角力,B,C所對(duì)的邊分別為α,b,

c,它的面積為S且滿足S斗Q2+c2-b2）?

（1）求角8的大小；

（2）若4/18C為銳角三角形，且c=l,求4/8C面積的取值范圍.

第3頁(yè)（共38頁(yè)）

22.(10分)(2022春?馬尾區(qū)校級(jí)月考)在△中，角4,B,C的對(duì)邊分別是α,h,c,且

b+c=a(V3sinC+cosC)?

(1)求角出

(2)求sin8+sinC的最大值.

23.(10分)(2022?浙江)在C中，角4B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c.已知4a=&c,

cosC——.

5

(I)求SirL4的值；

(II)若6=11,求aNBC的面積.

24.(10分)(2022?新高考∏)記448C的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,分別以a,

6,c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為Si,S2,S3.已知S-S2+S3=1,SinB=L

23

(1)求BC的面積；

(2)若SirL4sinC=」己，求6.

3

25.(10分)(2022?乙卷)記ANBC的內(nèi)角N,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,已知SinCSin

=SirL5sin(C-A).

(1)若A=2B,求C；

(2)證明：2α2=?2+c2.

第4頁(yè)(共38頁(yè))

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第6講：平面向量及其應(yīng)用

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）

1.（5分）（2022春?衢州期末）設(shè)AziBC的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,若c=4,

b=2λ∕3>bcosC=（2α-c）CoS8,則4/8C面積為（）

A.2B.2√3c.4√3D.6

【考點(diǎn)】正弦定理.

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用正弦定理，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知等式，結(jié)合siMW0,可求cos8=工,

2

結(jié)合范圍OVBVm可求得8=工，進(jìn)而由余弦定理解得”的值，進(jìn)而利用三角形的面

3

積公式即可求解.

【解答】解：在448C中，角/、B、C的對(duì)邊分別為“，b,e,且滿足6cosC=（2α-c）

CoS從可得2acosB=bcosC+CCOSB,

利用正弦定理得2sinJcos8=sinCcos8+sin8cosC=sin（8+C）=Sin

由于OV4Vπ,si∏J≠0,

故CoSB=JL

2

又OVBVTr,

所以解得8=匹，

3

又c=4,b=2λ∕3>

所以由余弦定理廬=。2+02-2αccos8,可得12="2+16-2×a×4×-^->整理可得/-4α+4

=0,

解得α=2,

所以aN8C面積S=LCSin5=1?χ2X4Xm^=2百.

222

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理、余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，主要

考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題.

第5頁(yè)（共38頁(yè)）

2.（5分）（2022?吉林模擬）如圖，平行四邊形/88中，AB=a>AD=b>點(diǎn)E是/C的

三等分點(diǎn)EC=LAC，則瓦=（）

3

c?4李

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想：定義法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用平行四邊形的加法法則求出正=晶芯，再利用平面向量的線性運(yùn)算求解即

可.

【解答】解：?.?平行四邊形/8CQ中，AB=a,AD=b，

?,?AC=AB+AD=a+b>

「EC=次

；?DE=AE-AD=?AC-AD=^（晶E）-b=—2一a-?1b一-

3333

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量基本定理，平行四邊形的加法法則，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）（2022?苔城區(qū)校級(jí)模擬）已知向量Z=（ι,祀），∣b∣=2,∣I-b∣=√13'

則Z與4的夾角為（）

A.12LB.AΞ-C.?D.2L

6336

【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】對(duì)G-El=√i與兩邊同時(shí)平方，再結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【解答】解：因?yàn)楱OI-b∣=√13-

所以（ZV）2=13,即石+片卷，

設(shè)之與式的夾角為。，則3-2月*2*<;。$8+4=1&解得cos8=-喙,

第6頁(yè)（共38頁(yè)）

所以之與刀的夾角為且L?

6

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的夾角公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.(5分)(2022春?西區(qū)校級(jí)月考)在4/8C中，內(nèi)角/、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,

若(a+b)(SilVl-Sin8)=(?+c)sinC,a=7,C=5.則該三角形的內(nèi)切圓半徑與外接

圓半徑之比為()

A.?B.?C.2D.?

14476

【考點(diǎn)】正弦定理.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；解三角形；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)

算.

【分析】直接利用正弦定理和余弦定理的應(yīng)用求出4的值，進(jìn)一步利用余弦定理的應(yīng)用

求出b的值，再利用正弦定理和三角形等面積求出H和八進(jìn)一步求出半徑的比值.

【解答】解：(α+?)(SinJ-SinB)=(6+c)sinC,

利用正弦定理：(4+b)(a-b)=(?+c)C9

故-?2=?c+c2,

所以b2+c2-a2=-bc↑

故CoSA=

由于Z∈(0,π),

故N=22L;

3

利用余弦定理：a2=h2+c2-IhccosA,

整理得：?2+5?-24=0,

解得6=3或-8(負(fù)值舍去)，

Λ

故Clκ.AIYOYZa15∕3

s?ABC節(jié)bcsιnA=γ×3×5×———，

設(shè)外接圓的半徑為R,設(shè)內(nèi)切球的半徑為廠，

利用L(a+b+c)?rJ^-解得〃=1,

2''42

第7頁(yè)(共38頁(yè))

所以該三角形的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為2.

14

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理及三角形的面積公式的應(yīng)用，主要

考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

5.15分）（2022?新高考∏）已知向量；=（3,4）,b=（1>O）>c=^a+/b-若<；，

=<b>c>>則，=（）

A.-6B.-5C.5D.6

【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角.

【專題】方程思想；定義法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出W=（3+64）,再由<之，c>=<b-c>>利

用向量夾角余弦公式列方程，彳求出實(shí)數(shù)f的值.

【解答】解：I?向量Z=（3,），b=（1，O），C=a+1b，

.*.c=（3+/,4）,

：<a>c>=<b?c>，

—?—?—?—?

?a?c=b?c?.25+3t=iil,

"Ial-IclIbI-IcΓ51

解得實(shí)數(shù)f=5.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量夾角余弦公式等基礎(chǔ)知

識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

6.（5分）（2022?北京）在44δC中，∕C=3,BC=4,∕C=90°.P為448C所在平面

內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且尸C=I,則包?而的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)條件，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)尸（x,?）,計(jì)算可得證?而=-3χ-4y+l,

進(jìn)而可利用參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題求解.

第8頁(yè)（共38頁(yè)）

【解答】解：在△力BC中，AC=3,BC=4,NC=90°,

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,C3所在的直線為X軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖:

則力(3,0),B(0,4),C(0,0),

設(shè)P(x,y)f

因?yàn)槭珻=I,

所以x2ty2=l,

又市=(37,-y),PB=(-X,4-歹)，

所以FIA.PB--%(3-%)-y(4-?)=x2+y2-3x-4y=-3x-4y+l,

設(shè)X=CoSθ,y=sinθ,

所以PA?PB=-(3cosθ+4sinθ)+1=-5Sin(θ+φ)+1,其中tanφ=3,

4

當(dāng)Sin(θ+φ)=1時(shí)?，瓦?同有最小值為-4,

當(dāng)Sin(θ+φ)=-1時(shí)，位,勵(lì)最大值為6,

所以證?而∈[-4,6],

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的最值問(wèn)題，屬于中檔題.

7.(5分)(2022?乙卷)已知向量Z=(2,1),K=(-2,4),則|。值=()

A.2B.3C.4D.5

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角；向量的概念與向量的模.

【專題】平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

第9頁(yè)(共38頁(yè))

【分析】先計(jì)算處a-b的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)模長(zhǎng)公式即可.

【解答】解：?-b=（4,⑶，

故IZAl=√42+（-3）2=5'

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.（5分）（2022?乙卷）己知向量百蔭足訝=1,|g=?，∣I-2fcj=3,則以）=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用G-2l=｛吊.2^）2,結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果.

【解答】解：因?yàn)橄蛄縜,B蕭足IaI=I,Ibl=J∣a-2b∣=3,

所以Ia-2?-√ɑ）2=Va2-4a?b+4b2√l-4a?b+4×3=3,

兩邊平方得，

13-47-b=9,

解得a*b=l>

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9.（5分）（2022?新高考I）在C中，點(diǎn)。在邊N8上，BD=2DA.記a=、，CD=n>

則溫=（）

A.3∏--2∏B.-2∏+3∏C.3∏+2∏D.2∏+3∏

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理.

【專題】數(shù)形結(jié)合：數(shù)形結(jié)合法：平面向量及應(yīng)用：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】直接利用平面向量的線性運(yùn)算可得/樂(lè)得而_區(qū)，進(jìn)而得解.

【解答】解：如圖，

第10頁(yè)（共38頁(yè)）

D

B

CD=CA+AD=H+∣-DB=CA÷∣(CB-CD)=CA÷∣CB卷而，

ΛY≡?∣≡-CA)即而=3而-2^δX=3^-27?

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.（5分）（2022春?廣州期中）已知向量a=*，I）,b=（3,2）,C=（1，3）,且（a

-E）則實(shí)數(shù)"的值等于（）

A..?B.lθ.C.6D.8

33

【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.

【專題】方程思想：定義法：平面向量及應(yīng)用：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由向量坐標(biāo)運(yùn)算法則先求出W-E，再由（Z-E）?o能求出實(shí)數(shù)%.

【解答】解:向量Z=（?,1）,b=（3,2）,C=（1，3）,

I.a-b=（左-3,-1）,

'?>（a-b）?c>

.?.（?-b）?c=?-3-3=0,

解得實(shí)數(shù)4=6.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的運(yùn)算，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，

考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

二.多選題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

（多選）11.（5分）（2022春?榕城區(qū)校級(jí)期中）在BC中，角/、B、C的對(duì)邊分別為a、

b、c,若（a2+c2-?2）tanS=Jc,則角8的值為（）

第11頁(yè)（共38頁(yè)）

A.—B.—C.-??D.22L

6363

【考點(diǎn)】余弦定理.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用余弦定理表示出COS以整理后代入已知等式，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)

系化簡(jiǎn)，求出SinB的值，即可確定出8的度數(shù).

222

【解答】解：Vcosg=A?-

2ac

222

.*.a+c-b=2accosBf

代入已知等式得：2QC?CosBtanS=即SirLe=工A?,

2

貝IJ8=2L這L.

33

故選：BD.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握余弦定理是

解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）12.（5分）（2022春?玄武區(qū)校級(jí)期中）在4zl8C中，下列說(shuō)法正確的有（）

A.若/>8,則siιυ4>si∏βB.若4>B,則sin2∕<sin28

C.若/>8,則cos/VcosBD.若∕>8,則CoS2∕Vcos28

【考點(diǎn)】正弦定理.

【專題】解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】選項(xiàng)出根據(jù)“大角對(duì)大邊”和正弦定理，即可判斷；

選項(xiàng)8,舉反例，可取/=30°,8=15°,分別計(jì)算sin2Z和sin28的值，即可；

選項(xiàng)C,根據(jù)函數(shù)y=cosx在x∈（0,π）上單調(diào)遞減，且0<8<∕<π,即可判斷；

選項(xiàng)。，利用和差化積公式，采用作差法，可判斷.

【解答】解：選項(xiàng)/,因?yàn)樗?>6,由正弦定理知，-≠-所以Siivl

sinAsinB

>si∏5,即選項(xiàng)4正確；

選項(xiàng)8,取4=30°,8=15°,則sin2∕=sin60°=近，sin28=sin30°=工，

22

有Sin2∕>sin25,即選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,函數(shù)N=COSx在Xe（0,π）上單調(diào)遞減，因?yàn)?<8<∕<π,所以COS8>cos4

即選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)。，因?yàn)?<8V∕Vn,所以0<∕-8<τt,所以Sin（A-B）>0,

第12頁(yè)（共38頁(yè)）

所以CoS24-COS28=-2sin(A+B)sin(A-B)=-2sinCsin(A-B)<0,即COS24<

cos2β1故選項(xiàng)。正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，二倍角公式，和差化積公式等是解題

的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

（多選）13.（5分）（2022春?湖北期中）對(duì)于4N8C,有如下判斷，其中正確的判斷是

（）

A.若sin2∕=sin28,則△力8C為等腰三角形

B.若SirL4>sin8,則

C.若正?混（0,則△48C是鈍角三角形

D.若（?+c）:（c+α）:（a+b）=4：5：6,則44δC一定是一個(gè)鈍角三角形

【考點(diǎn)】正弦定理；命題的真假判斷與應(yīng)用.

【專題】整體思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)抽象.

【分析】由已知結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，正弦定理，余弦定理，三角形大邊對(duì)大角及向量數(shù)

量積定義分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：由sin2Z=sin28可得2/=28或2∕+28=π,

所以/=B或/+B=?!-,4錯(cuò)誤；

2

若SilU>sin8,則α>b,所以力>8,8正確；

若正.而<0,則C為銳角，無(wú)法判斷C是否為鈍角，C錯(cuò)誤；

由題意可設(shè)∕>+c=44,c+a=5k,a+b=6k,

貝IJa=-?,b=—,c=-.

222

故最大角為4

222222

因?yàn)閎+c-α2?25k+9k-49k="15k<0）

44

故/為鈍角，即aZBC一定是一個(gè)鈍角三角形.

故選：BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函數(shù)性質(zhì)，三角形大邊對(duì)大角在求

解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

（多選）14.（5分）（2022?湖北二模）定義空間兩個(gè)非零向量的一種運(yùn)算：l0b=∣ail^5?

第13頁(yè)（共38頁(yè)）

SinVZ，E>,則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立的有（）

A?λ（a?b）=（λa）?bb?a?b=b?a

C.若a?b=O，則a_Lbd?∣a?b∣≤∣a∣∣b∣

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】理解新定義，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【解答】解：對(duì)于/若人為負(fù)數(shù)，可知χ（ζSb）=-（λ?）?b1故Z錯(cuò)誤，

對(duì)于8,由定義知8正確，

對(duì)于C,若ZwE=°，則Sin（Lb>=0,藍(lán)線，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于。，由定義知a③b=IaIIbhSin〈a,b）≤∣a∣∣b∣,故。正確,

故選：BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）15.（5分）（2022春?淮安期中）在4/8C中，內(nèi)角力,B,C的對(duì)邊分別是α,b,

c,下列結(jié)論正確的是（）

A.若QCOSZ=bcos8,則△力5C為等腰或直角三角形

B.若b2+c2-a2=bc,貝!j??.?

C.若Z>3,則SinJ>sinδ

D.若4=6,?=8,8=60°,則符合條件的446C有兩個(gè)

【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】選項(xiàng)a利用正弦定理化邊為角，再由二倍角公式，推出N=B或Z+B=2L,

2

得解；

選項(xiàng)8,由余弦定理，即可得解；

選項(xiàng)C,根據(jù)“大邊對(duì)大角”和正弦定理，得解；

選項(xiàng)。，利用正弦定理求得SinZ=0逅，再由“大邊對(duì)大角，知角/只有一個(gè)，得解.

8

【解答】解：選項(xiàng)4,由正弦定理及QeoSZ=bcos5,知SinJCoS4=SinBcosB,

所以sin24=sin23,

第14頁(yè)（共38頁(yè)）

所以2/=28或2∕+28=τr,即4=8或/+B=H-,

2

所以azsC為等腰或直角三角形，即選項(xiàng)/正確；

222

選項(xiàng)8,由余弦定理知，COM=———■~——=be=?,

2bc2bc2

因?yàn)?e（0,n）,所以/=工，即選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

3

選項(xiàng)C,因?yàn)镹>8,所以α>%,

由正弦定理知，F(xiàn)-J-,所以sin∕>sin8,即選項(xiàng)C正確；

sinAsinB

選項(xiàng)。，由正弦定理知，a=b,所以」_=_8.,解得SilU=W近，

sinAsinBsinAsin608

又a<b,所以ZV8,所以角N只有一解，即符合條件的ANBC只有1個(gè)，故選項(xiàng)。錯(cuò)

誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推

理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

≡.填空題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

16.（5分）（2022?浙江）設(shè)點(diǎn)尸在單位圓的內(nèi)接正八邊形4/2…掰的邊小山上，則

pA；+pA：+…+pA；?的取值范圍是l^12+2λ/^,161.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算：二倍角的三角函數(shù).

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】以圓心為原點(diǎn)，由4所在直線為X軸，山小所在直線為y軸，建立平面直角坐

標(biāo)系，求出正八邊形各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)尸（X,y）,進(jìn)而得到引2+畫(huà)2+???+m7=8

（x2+y2）+8,根據(jù)點(diǎn)P的位置可求出f+y2的范圍，從而得到PA7÷PA7÷-+PA7W

取值范圍.

【解答】解：以圓心為原點(diǎn)，/7/3所在直線為X軸，/5由所在直線為y軸，建立平面直

角坐標(biāo)系，如圖所示,

則4(0,-1),

Z√2

λA6?

設(shè)P(x,y)9

第15頁(yè)（共38頁(yè)）

則PA72+PA：2+-+PA：2=?PAι∣2+∣Λ4∣2+∣Λ43∣2+∣Λ44∣2+∣^5∣2+∣Λ46∣2+∣Λ4∣2+∣Λ48∣2=8

12827

(x2+y2)+8,

Vcos22.5oWIOPlW1,Λχ2+y2≤V

??<χ2÷y2<l?

?'?12+2√^W8(x2+y2)+8≤16,

即PA；+PA7+…+PA；?的取值范圍是[12+2我，16],

故答案為：[12+2√],16].

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，考查了學(xué)生分析問(wèn)題和轉(zhuǎn)化問(wèn)

題的能力，屬于中檔題.

17.（5分）（2022?甲卷）已知44δC中，點(diǎn)。在邊BC上，N∕Dδ=120°,/0=2,CD

=2BD.當(dāng)柜取得最小值時(shí)，8。=_、行

AB-

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；正弦定理.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形.

【分析】首先設(shè)出8。，CD,在兩個(gè)三角形中分別表示/C,BC,繼而挺?=

AB

22

b4X-4X+412

??=U-&=4——坦丁，從而利用均值不等式取等號(hào)的條件即可.

cx4+2x+4χ+∣+~^―

x+1

【解答】解：設(shè)8O=x,CD=2x,

在三角形ZCZ）中，?2=4X2+4-2?2x?2?cos60o,可得：?2=4x2-4x÷4,

第16頁(yè)（共38頁(yè)）

在三角形ZHD中，C2=X2+4-2?x?2?cosl20o,可得:c2=x2+2x+4,

2

要使得想最小，即當(dāng)最小，

ABc2

b4x-4x+44(X,+2X+4)-12X-12

-299

CX+2x÷4X÷2x+4

x+112

4-12?^43_

(X+1)2+31

χ+F

2

Kl4jχ+l+-?-≥2λ∕3,此時(shí)號(hào)"34-2?，

v+I4

當(dāng)且僅當(dāng)（x+l）2=3時(shí)，即χ=√ξ-l或χ=-√^-l（舍去），即χ=√ξ-M取等號(hào)，

故答案為：√3-l?

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦定理及均值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.（5分）（2022?甲卷）已知向量a=（"?，3）,b=（1，?+1）.若a，b，則∕w=-3.

【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法：平面向量及應(yīng)用：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意，利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形

式的運(yùn)算法則，計(jì)算求得機(jī)的值.

【解答】解：向量a=（加，3）,b=（1，wι+1）?a?b'

?'?a?b=〃?+3（∕w÷l）=0,

則m--―,

4

故答案為：-3.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形

式的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.

19.（5分）（2022?靜海區(qū)校級(jí)模擬）在平面四邊形NBCD中，∕8=√3BC,ZABC=90°,

/0=4,連接力C,NZCz）=90°,NC40=30°,則赤而=-3；E為線段上

的動(dòng)點(diǎn)，則瓦?赤的最小值為_(kāi)鯉_.

16

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

第17頁(yè)（共38頁(yè)）

【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)最值的求法求解即可.

【解答】

解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

由ZB=我Be,ZABC=90°,”。=4,連接zc,ZACD=9O°,NC40=30°,

則。/=2盯，CD=2、BC=M,N8=3,

則8(0,0),A(3,0),C(0,√3)-D(1,2√3)-

則而=(0,-√3)'CD=(1,√3λ

則而?而=OXl+(√3)×√3=-3;

設(shè)標(biāo)=入菽，θ≤λ≤l,

則箴=或+近=(3-2λ,2√3λ),

CE=(3-2λ,2√3λ-√3),

則瓦?通=<3-2λ)2+2√3λ×(2√3λ-√3)=16(λ-X)2里,

1616

當(dāng)入△-時(shí)，施?"?最小值為空■.

1616

故答案為：-3；毀.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，重點(diǎn)考查了二次函數(shù)最值的求法，屬

中檔題.

20.(5分)(2022?濱海新區(qū)校級(jí)模擬)如圖所示，在梯形/8C。中，/8=90°,?AB?=2,

∣8C∣=2√5,∣4)∣V∣8C∣,點(diǎn)E為/8的中點(diǎn)，若向量而在向量而上的投影向量的模為2,

則而?^≡=6；設(shè)M為線段CZ)上的動(dòng)點(diǎn)，則而?而的最小值為—二

第18頁(yè)(共38頁(yè))

An

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想：綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)。，利用坐標(biāo)法，結(jié)合“向量而在向量而上的投影

向量的模為2”求出而?五及D的坐標(biāo)，

再設(shè)點(diǎn)然后結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算建立函數(shù)模型求出最值.

【解答】解：建立如右圖的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得：

A(0,2),B(0,0),C(2√2-0),

E(0,1),設(shè)。(/,2),t∈(0,2√2),

2

又II而∣?cos<≡,≡>-τS-∣≈'

ICEI

λICDI?ICO≡<CD,溫>1=2，???~^^^=2,又ICEI=√8+I=3，

，ICD?CE1=6,又由圖可知而?而〉ο,

.β?CD*CE=6;

?(t-2√2,2)?(-2√2,1)=6,Λ-2√2t+8+2=6.?t=√2.C√2>2),

又M為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，二設(shè)而=λ而，λ∈[0,1],

?,?BM?Ol=(CM-CB)?CM=(CM)2-CB?≡=λ2(CD)2-λCB?CD,

又而=(-&,2>CB=(-2√2,0),,∣CD∣=√^CB?CD=4,

ΛBM?CM=6λ2-4λ=2λ(3λ-2),λ∈[0,1],

.?.當(dāng)入=%寸，BM?^?得最小值2,

33

故答案為：6；/■.

3

第19頁(yè)(共38頁(yè))

【點(diǎn)評(píng)】本題考查投影向量，數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算，函數(shù)模型求最值，屬中檔題.

四.解答題(共5小題，滿分50分，每小題10分)

21.(10分)(2022春?船山區(qū)校級(jí)期中)在448C中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為α,b,

c,它的面積為S且滿足S邛Q2+c2-b2)?

(1)求角8的大小；

(2)若BC為銳角三角形，且c=l,求4/8C面積的取值范圍.

【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理.

【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)據(jù)分析.

【分析】(1)根據(jù)余弦定理化簡(jiǎn)S=I2αccosB=Lcsin5,求得tan5=J§,可得3；

42

(2)根據(jù)三角形面積公式結(jié)合正弦定理，可得Sjsc=3-+1，根據(jù)角力的范圍

8tanC8

求三角形面積的范圍.

【解答】解：(1)因?yàn)镾岑q2+c2.b2),

由余弦定理可得：2accosB=a2+c2-?2,

所以S=!acsin\2accosB?

24

可得：sin5=ycos8,cos8≠0,，tanB=J^且8∈(0,π),所以B=^

(2)因?yàn)镾Ag-acsinB=?a■且=°，

,△ABC24sinAsinC

?！恰秦?/p>

...Bd=--T-r-,..?∕+λ,Crι=±2——,U∣JAa=—2——―「,

333

.∕2πC√3l._

?Sln(F--C)-^-COSCr+77SinCrz

所以LSlnAa=3=22=73Jλ,

sinCsinCsinC2tanC2

所以S*ABC=?~a=?(M.Λ)=—&—

44k2tanC2)8tanC8

第20頁(yè)(共38頁(yè))

又因?yàn)锳/8C為銳角三角形，所以C∈（2L,?）,所以tance（亙

62

所以3也_e（√1爽_）,所以AZBC面積的取值范圍是

8tanC882

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用.考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)

的綜合運(yùn)用.

22.（10分）（2022春?馬尾區(qū)校級(jí)月考）在△中，角4B,C的對(duì)邊分別是α,b,c且

b+c=a(V3sinC+cosC)?

（1）求角出

(2)求SirL8+sinC的最大值.

【考點(diǎn)】正弦定理.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯

推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出4的值;

（2）利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答