壓軸小題07 三維想象解決立體幾何綜合問題（原卷版）

壓軸小題07三維想象解決立體幾何綜合問題壓軸壓軸秘籍立體幾何基礎(chǔ)公式所有椎體體積公式：，所有柱體體積公式：，球體體積公式：球體表面積公式：，圓柱：圓錐：長方體（正方體、正四棱柱）的體對角線的公式已知長寬高求體對角線：已知共點三面對角線求體對角線：棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.歐拉定理(歐拉公式)(簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).（1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：；（2）若每個頂點引出的棱數(shù)為，則頂點數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：.5．空間的線線平行或垂直設(shè)，，則；.夾角公式設(shè)，b＝，則.6．異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）7．直線與平面所成角，(為平面的法向量).8..二面角的平面角（，為平面，的法向量）.異面直線間的距離(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).點到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.球的表面積和體積公式球的表面積：S＝4πR2球的體積：V＝eq\f(4,3)πR3球的切接概念空間幾何體的外接球：球心到各個頂點距離相等且等于半徑的球是幾何體的外接球空間幾何體的內(nèi)切球：球心到各面距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.墻角模型（三條直線兩兩垂直）補形為長方體，長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).直棱柱外接球之漢堡模型（1）補型：補成長方體，若各個頂點在長方體的頂點上，則外接球與長方體相同（2）作圖：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理直三校柱內(nèi)接于一球（棱柱的上下底面為直角三角形）R底面外接圓的半徑r的求法（1）正弦定理（2）直角三角形：半徑等于斜邊的一半（3）等邊三角形：半徑等于三分之二高（4）長（正）方形：半徑等于對角線的一半正棱錐類型h-R2+側(cè)棱垂直與底面-垂面型R側(cè)面垂直與底面-切瓜模型如圖：平面PAC⊥平面BAC,AB⊥BC(AC為小圓直徑)

（1）由圖知球心O必為△PAC的外心,即△PAC在大圓面上,先求出小圓面直徑AC的長;

（2）在△如圖：:平面PAC⊥平面BAC（1）確定球心O的位置,由圖知P,O,H三點共線;

（2）算出小圓面半徑AH=r,算出棱錐的高PH=h

（3內(nèi)切球如圖：求任意三棱雉的內(nèi)切球半徑(等體積法)

（1）先求出四個表面的面積和整個椎體的體積;

（2）設(shè)內(nèi)切球半徑為r,建立等式:VP?

（3）解出r結(jié)論：若棱錐的體積為V，表面積為S，則內(nèi)切球的半徑為.壓軸訓(xùn)練壓軸訓(xùn)練一、單選題1．（2023秋·江蘇常州·高三常州高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）將一個半徑為的球削成一個體積最大的圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的半徑為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知正四面體的棱長為，為棱上的動點（端點、除外），過點作平面垂直于，與正四面體的表面相交．記，將交線圍成的圖形面積表示為的函數(shù)，則的圖象大致為（

）A． B．C． D．3．（2023·江蘇南通·三模）已知三棱錐，為中點，，側(cè)面底面，則過點的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖①，已知邊長為4的等邊分別為邊的中點，現(xiàn)以為折痕將折起為四棱錐，使得，如圖②，則四棱錐的外接球體積為（

）A． B． C． D．5．（2023·江蘇南京·南京市第九中學(xué)?？寄M預(yù)測）三面角是立體幾何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解決三面角問題的重要依據(jù).三面角是由有公共端點且不共面的三條射線，，以及相鄰兩射線間的平面部分所組成的圖形，設(shè)，，，平面與平面所成的角為，由三面角余弦定理得.在三棱錐中，，，，，，則三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．6．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在三棱錐中，平面，，，，，點M在該三棱錐的外接球O的球面上運動，且滿足，則三棱錐的體積最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知正四面體的棱長為2，下列說法正確的是（

）A．正四面體的外接球表面積為B．正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和為定值C．正四面體的相鄰兩個面所成二面角的正弦值為D．正四面體在正四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動，則正四面體的體積最大值為8．（2023秋·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在中，，，D是AB的中點．將沿CD翻折，得到三棱錐，則（

）A．B．當(dāng)時，三棱錐的體積為C．當(dāng)時，二面角的大小為D．當(dāng)時，三棱錐的外接球的表面積為9．（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正三棱柱分別為棱的中點，則（

）A． B．面C． D．面10．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)?？级＃┮阎襟w的棱長均為為線段的中點,,其中,則下列選項正確的是（

）A．當(dāng)時,B．當(dāng)時,的最小值為C．若直線與平面所成角為,則點的軌跡長度為D．當(dāng)時,正方體被平面截的圖形最大面積為11．（2023秋·江蘇揚州·高三儀征市第二中學(xué)?？计谥校┮阎襟w的棱長為4，正四面體的棱長為a，則以下說法正確的是（

）A．正方體的內(nèi)切球直徑為4B．正方體的外接球直徑為C．若正四面體可以放入正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，則a的最大值是D．若正方體可以放入正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，則a的最小值是12．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知正方體的棱長為，，，其中，，則下列說法中正確的有（

）A．若平面，則 B．若平面，則C．存在，，使得 D．存在，使得對于任意的，都有13．（2023春·江蘇揚州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在四面體的四個面中，有公共棱的兩個面全等，，，，二面角大小為，下列說法中正確的有（

）A．四面體外接球的表面積為B．四面體體積的最大值為C．若，，則D．若，，則14．（2023春·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）六面體中，底面ABCD、分別是邊長為4和2的正方形，側(cè)面、側(cè)面均是直角梯形，且，．若該六面體為臺體，下列說法正確的是（

）A．六面體的體積為28B．異面直線與的夾角的余弦值為C．二面角的正弦值為D．設(shè)P為上底面上一點，且，則P的軌跡為一個圓15．（2023春·江蘇南京·高三南京市第五高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正四棱臺的上下底面邊長分別為4，6，高為，E是的中點，則（

）A．正四棱臺的體積為B．平面平面C．AE∥平面D．正四棱臺的外接球的表面積為104π16．（2023·江蘇南通·二模）如圖，正三棱錐A-PBC和正三棱錐D-PBC的側(cè)棱長均為，BC2．若將正三棱錐A-PBC繞BC旋轉(zhuǎn)，使得點A，P分別旋轉(zhuǎn)至點處，且，B，C，D四點共面，點，D分別位于BC兩側(cè)，則（

）A．B．平面BDCC．多面體的外接球的表面積為D．點A，P旋轉(zhuǎn)運動的軌跡長相等17．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，沿對角線將△折起到△的位置，使得平面平面，下列說法正確的有（

）A．三棱錐四個面都是直角三角形 B．平面平面C．與所成角的余弦值為 D．點到平面的距離為18．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，點M是棱長為l的正方體中的側(cè)面上的一個動點（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（

）A．不存在點M滿足平面B．存在無數(shù)個點M滿足C．當(dāng)點M滿足時，平面截正方體所得截面的面積為D．滿足的點M的軌跡長度是19．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）在正四棱柱中，已知，，則下列說法正確的有（

）A．異面直線與的距離為B．直線與平面所成的角的余弦值為C．若該正四棱柱的各頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為D．以A為球心，半徑為2的球面與該正四棱柱表面的交線的總長度為20．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知四棱柱的底面為正方形，，，則（

）A．點在平面內(nèi)的射影在上B．平面C．與平面的交點是的重心D．二面角的大小為21．（2023·江蘇揚州·江蘇省高郵中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，已知正四棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點分別在半圓?。ň缓它c）上，且在球上，則（

）

A．當(dāng)點在的三等分點處，球的表面積為B．球的表面積的取值范圍為C．當(dāng)點在的中點處，過三點的平面截正四棱柱所得的截面的形狀都是四邊形D．當(dāng)點在的中點處，三棱錐的體積為定值22．（2023秋·江蘇蘇州·高三江蘇省梁豐高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，為邊的中點，沿將折起，點折至處平面分別在線段和側(cè)面上運動，且，若分別為線段的中點，則在折起過程中，下列說法正確的是（

）

A．面積的最大值為B．存在某個位置，使得C．三棱錐體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為D．三棱錐體積最大時，點到平面的距離的最小值為.23．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）用一個平行于正三棱錐底面的平面去截正三棱錐，我們把底面和截面之間那部分多面體叫做正三棱臺.如圖，在正三棱臺中，已知，則（

）

A．在上的投影向量為B．直線與平面所成的角為C．點到平面的距離為D．正三棱臺存在內(nèi)切球，且內(nèi)切球半徑為24．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在邊長為2的菱形ABCD中，，將菱形ABCD沿對角線BD折成空間四邊形A'BCD，使得．設(shè)E，F(xiàn)分別為棱BC，A'D的中點，則（

）A． B．直線A'C與EF所成角的余弦值為C．直線A'C與EF的距離為 D．四面體A'BCD的外接球的表面積為25．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？既＃┮阎襟w的棱長為1，為棱（包含端點）上的動點，下列命題正確的是（

）A．B．二面角的大小為C．點到平面距離的取值范圍是D．若平面，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為26．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）在棱長為2的正方體中，，，分別為棱，，的中點，為的中點，是平面內(nèi)異于點的一點，則（

）A．存在點，使得直線與平面相交B．對任意點均有C．線段長度的最小值為D．過的平面截三棱錐的外接球所得的截面面積可能為27．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）圓柱高為1，下底面圓的直徑長為2，是圓柱的一條母線，點分別在上、下底面內(nèi)（包含邊界），下列說法正確的有（

）．A．若，則點的軌跡為圓B．若直線與直線成，則的軌跡是拋物線的一部分C．存在唯一的一組點，使得D．的取值范圍是28．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測）棱長為1的正方體中，點為線段上一點（不包括端點），點為上的動點，下列結(jié)論成立的有（

）A．過的截面截正方體所得的截面多邊形為等腰梯形B．的最小值為C．當(dāng)點為線段中點時，三棱錐的外接球的半徑為D．兩點間的最短距離為29．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，點分別在線段和上．給出下列四個結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號是（

）

A．的最小值為1B．四面體的體積為C．存在無數(shù)條直線與垂直D．點為所在邊中點時，四面體的外接球半徑為三、填空題30．（2023·江蘇徐州·江蘇省沛縣中學(xué)校考模擬預(yù)測）在三棱錐中，，且，則直線PC與平面ABC所成角的余弦值為.31．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在棱長為6的正四面體中，已知點為該四面體的外接球的球心，則以為球心，為半徑的球面與該四面體的表面形成的交線長為．32．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)校考二模）在正四棱臺中，，，M為棱的中點，當(dāng)正四棱臺的體積最大時，平面截該正四棱臺的截面面積是.33．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）三棱錐中，，為邊長為2的等邊三角形，二面角的余弦值為，①三棱錐的體積最大為；②當(dāng)三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為.34．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知菱形ABCD的邊長為1，，將沿AC翻折，當(dāng)三棱錐表面積最大時，其內(nèi)切球表面積為.35．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知四面體各頂點都在半徑為3的球面上，平面平面，直線與所成的角為，則該四面體體積的最大值為.36．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？既＃┮阎拿骟w的棱長為3，點滿足，過點作平面平行于和，設(shè)分別與該正四面體的棱，，相交于點，，，則四邊形的周長為，四棱錐的體積的最大值為.37．（2023秋·江蘇常州·高三華羅庚中學(xué)校考階段練習(xí)）在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為．38．（2023秋·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正三棱錐中，底面的邊長為4，E為AD的中點，，則以D為球心，AD為半徑的球截該棱錐各面所得交線長為．四、雙空題39．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形中，，，，，分別為，，，的中點，與交于點，現(xiàn)將，，，分別沿，，，把這個矩形折成一個空間圖形，使與重合，與重合，重合后的點分別記為，，為的中點，則多面體的體積為