幾何與代數(shù)四章維向量

幾何與代數(shù)

主講:吳霞

東南大學線性代數(shù)課程

第四章

n

維向量

第一節(jié)

n維向量空間

第二節(jié)

向量組的線性相關性

第三節(jié)

子空間的基和維數(shù)

第四節(jié)

向量的內積

第五節(jié)

線性方程組的解的結構第六節(jié)最小二乘解第七節(jié)

用Matlab解題

第四章n維向量§4.1n維向量空間§4.1n維向量空間

一.n維向量的概念

n維向量

本質

表現(xiàn)形式

幾何背景

n個數(shù)a1,a2,…,an構成的有序數(shù)組

向量/點的坐標

列矩陣

行矩陣

行向量

列向量

分量

第四章n維向量§4.1n維向量空間1.定義.與矩陣的線性運算相同二.n維向量的線性運算2.性質.與矩陣的線性運算性質相同

=k1

1+k2

2+…+ks

s

n維向量數(shù)3.線性組合:k1

1+k2

2+…+ks

s

4.

能由

1,

2,…,

s線性表示:

第四章n維向量§4.1n維向量空間

,則

與

共線

能由

線性表示幾何:

k1

k2

=k1

+k2

與

不共線,則

與

,

共面

能由

,

線性表示

第四章n維向量§4.1n維向量空間代數(shù):

n=,a1n

a2n

…asn

2=,a12

a22

…as2

1=,a11

a21

…as1

…,

=,b1

b2

…bs

k1

1+k2

2+…+kn

n

=k1

k2

…kn

A=(

1,

2,…,

n)

能由

1,

2,…,

n線性表示方程組Ax=

有解(

1,

2,…,

n)

第四章n維向量§4.1n維向量空間例1.n維基本單位向量組e1=100…,e2=010…,en=001….…,

第四章n維向量§4.1n維向量空間任何一個n維向量

=a1a2an…都能由e1,e2,…,en線性表示.a1

100…+a2

010…+…+an

001….

=

第四章n維向量§4.1n維向量空間5.向量組等價若

1,…,

t能由

1,…,

s線性表示,則稱向量組

1,…,

t能由向量組

1,…,

s線性表示.

——

1,

2,…,

s與

1,…,

t等價

若

1,…,

s也能由

1,…,

t線性表示,

能由線性表示,例2:2030,1001,能由線性表示.2030,10不能由線性表示.2030,01

第四章n維向量§4.1n維向量空間例3.I:

1=(1,1),

2=(1,1),

3=(2,1),II:

1=(1,0),

2=(1,2).即I可以由II線性表示.

1=

1+

2,2121

2=

1

2,2321

3=

1+

2,2321即II可以由I線性表示.

1=

1+

2+0

3,2121

2=

1

2+0

3,2321故向量組I與II等價.

第四章n維向量§4.1n維向量空間注①向量組之間的等價關系具有以下性質:(對稱性)若I與II等價,則II與I等價.(傳遞性)若I與II等價且II與III等價,則I與III等價.(反身性)

1,…,

s與其自身等價.

第四章n維向量§4.1n維向量空間矩陣的乘積Cm

n

=

Am

sBs

n,行向量

i=ai1

1

+ai2

2

+…+ais

s,i=1,2,…,m.列向量

j=b1j

1

+b2j

2

+…+bsj

s,j=1,2,…,n,向量組的線性表示:注

②向量組的線性表示與矩陣乘積

第四章n維向量§4.1n維向量空間注③矩陣等價與向量組等價初等行變換

矩陣A與B的行向量組等價

(行等價)

B=MA

A=NB

初等行變換

第四章n維向量§4.1n維向量空間

矩陣A與B的列向量組等價

(列等價)

B=AM

A=BN

初等列變換初等列變換

第四章n維向量§4.1n維向量空間初等行變換

(1)無法通過初等列變換實現(xiàn)矩陣A與B的行向量組等價,但列向量組不等價.初等列變換

(1)無法通過初等行變換實現(xiàn)矩陣C與B的列向量組等價,但行向量組不等價.

第四章n維向量§4.1n維向量空間1000A=0001B=矩陣A與B等價,但它們的行向量組不等價,列向量組也不等價.

第四章n維向量§4.1n維向量空間例4.

2=

3=021,I:

1=112,

150,

2=20

t

,II:

1=113,令A=(

1,

2)=101221,B=(

1,

2,

3)=.121

1053t0問：t為何值時兩個向量組等價？

第四章n維向量§4.1n維向量空間(A

B)=10121

12105

213t0

初等行變換10121

0111

2

0000010121

011t4

2

000102t0t=5(B

A)=121101051235021

初等行變換121

1001

3

1100000當t=5時,I與II等價.

第四章n維向量§4.1n維向量空間1.Rn={(a1,…,an)T|a1,…,an

R}三.Rn的子空間

SRn,2.Rn的子空間S:

,

S,kR,有

+

S,k

S,注:Rn平凡子空間①S={

}.②S=Rn.且S對加法及數(shù)乘封閉,即

第四章n維向量§4.1n維向量空間3.三個典型的例子(1)K(As

n)={x|Ax=

}Rn

——A的核空間,Ax=

的解空間

A(k

)=k(A

)=

A

=

,A

=

,

K(A),kR,

A(

+

)=A

+A

=

+

K(A)

k

K(A)

第四章n維向量§4.1n維向量空間3.三個典型的例子(2)R(As

n)={Ax|xRn}Rs

——A的值域,列空間

(1)K(As

n)={x|Ax=

}Rn

——A的核空間,Ax=

的解空間

(3)L(

1,…,

s)——

1,…,

s生成的子空間

={k1

1+…+ks

s|k1,…,ksR}(A的列向量組生成的子空間)

第四章n維向量§4.1n維向量空間注:①

時,{x|Ax=

}Rn

L(

1,…,

t)={k1

1+…+kt

t|k1,…,ktR}L(

1,…,

s)={k1

1+…+ks

s|k1,…,ksR}L(

1,…,

s)=L(

1,…,

t).

②

1,…,

s與

1,…,

t等價不是Rn的子空間!§4.2向量組的線性相關性

一.線性相關和線性無關

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性

不全為零的k1,k2,…,ks使

1,

2,…,

s線性相關:k1

1+

k2

2+…+ks

s

=

k1

1+…+ks

s

=

k1

=…=ks

=0.

1,

2,…,

s線性無關:1.定義

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性幾何:

①

,

共線

,

線性相關.

k1

k2

=k1

+k2

②

,

,

共面

,

,

線性相關.

k1

k2

+1

=

2

=

,2

+

=

.

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性代數(shù):

n=,a1n

a2n

…asn

2=,a12

a22

…as2

1=,a11

a21

…as1

…,

=,00…0

k1

1+k2

2+…+kn

n

k1a11

+

k2a12

+…+kna1nk1a21

+

k2a22

+…+kna2n…

………k1as1

+

k2as2

+…+knasn=a11k1

+

a12k2

+…+a1nkna21k1

+

a22k2

+…+a2nkn…

………as1k1

+

as2k2

+…+asnkna11

a12

…

a1na21

a22

…

a2n…

………as1

as2

…

asnk1

k2

…kn

A=(

1,

2,…,

n)

1,

2,…,

s線性相關方程組Ax=

有非零解

第四章n維向量§4.1n維向量空間例4.n維基本單位向量組

e1=100…,e2=010…,en=001……,k1

100…+k2

010…+…+kn

001…=k1k2kn…線性無關.

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性例5.

1=1213,

2=122

.212

1,

4=1

120,

3=k1

1+k2

2+k3

3+k4

4

=k1

+

k2

+2k3

+k4

2k1

k2

+

k3

+2k4

k1

+2k2

+2k3

2k43k1

k3

+

k41

1

2121

1

2

1222301

k1

k2

k3

k4

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性例5.

1=1213,

2=122

.212

1,

4=1

120,

3=A=1

1

2121

1

2

1222301

線性相關Ax=

有非零解,其中3(

7)=0|A|=0

=7.

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性2.幾個常用的結論(1)含有零向量的向量組一定線性相關.(3){

,

}線性相關(2){

}線性相關

1

+0

=

.例如:

=

.

存在k0使得k=

設

=k,

不妨設k0()

=

.lk

與

的分量成比例.k+l=

()則1

k=

.

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性(4)

1,…,

s線性相關若

1,

2,…,

s,

s+1,…,

t線性無關,

1,…,

s,

s+1,…,

t也線性相關.則

1,

2,…,

s也線性無關.

不全為零的k1,…,ks,0,…,0s.t.k1

1+…+ks

s+0

s+1+…+0

t=

不全為零的k1,…,kss.t.k1

1+…+ks

s

=

k1

1+…+ks

s+0s+1+…+0t

=

令則關鍵

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性特別地,任意n+1個n維向量線性相關.(5)當s>n時,n維向量

1,…,

s

線性相關.A=(

1,…,

s),Ax=

中未知量的個數(shù)s>方程的個數(shù)n,因而有非零解.關鍵

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性,,…,(6)若線性相關,其中

1,

2,…,

s維數(shù)相同,則

1,

2,…,

s也是線性相關的.

2

2

s

s

1

1k1

+k2

+…+ks

2

2

s

s

1

1=

=k1

1

+k2

2

+…+ks

s

k1

1+k2

2+…+ks

s

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性3.判定k1

1+k2

2+…+ks

s

=

ki0

ki

i

=k1

1

ki1

i1

ki+1

i+1…ks

s

i

=

1

i1

i+1…

s

k1

ki

ki1

ki

ki+1

ki

ks

ki

i

=k1

1+ki1

i1+ki+1

i+1+…+ks

s

k1

1

ki1

i1+1

i

ki+1

i+1…ks

s

=

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性3.判定定理4.1.

1,

2,…,

s(s2)線性相關

i可由其余的向量線性表示.

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性因而

1,

2,…,

s線性相關.

k1

1+k2

2+…+ks

s=

.存在不全為零的k1,k2,…,ks,k使得若k=0,則k1,k2,…,ks不全為零,

且k1

1+k2

2+…+ks

s+k

=

.

1,

2,…,

s,

線性相關

1,

2,…,

s線性無關k0

能由

1,

2,…,

s線性表示.

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性定理4.2.

能由

1,

2,…,

s線性表示,

1,

2,…,

s線性無關

1,

2,…,

s,

線性相關

并且表示的方式是唯一的.

=k1

1+k2

2+…+ks

s

=l1

1+l2

2+…+ls

s

=(k1

l1)

1+(k2

l2)

2+…+(ks

ls)

s

任意n+1個n維向量線性相關

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性

能由

1,

2,…,

n線性表示.例6.n維向量

1,

2,…,

n線性無關

為任意一個n維向量

1,

2,…,

n,

線性相關定理4.2

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性定理4.3.表示,并且t

>s,令A=(

1,

2,…,

s),B=(

1,

2,…,

t),t>s

Cx=

有非零解

Bx=

有非零解

1,

2,…,

t是線性相關的.若

1,

2,…,

t

可由

1,

2,…,

s線性則

1,

2,…,

t是線性相關的.則存在Cs

t使得B=AC.證明:

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性定理4.3.表示,并且t

>s,若

1,

2,…,

t

可由

1,

2,…,

s線性則

1,

2,…,

t是線性相關的.若

1,

2,…,

t

可由

1,

2,…,

s

線性表示,且

1,

2,…,

t線性無關,則若向量組

1,

2,…,

s和

1,

2,…,

t

都線性無關,并且這兩個向量組等價,則推論2.t

s.s=t.推論1.

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性二.向量組的極大無關組和秩設

1,

2,

3,

4,

5線性相關比如說

4能由其余的線性表示設

1,

2,

3,

5線性相關去掉

1

設

2,

3,

5線性無關去掉

4比如說

1能由其余的線性表示

1,

2,

3,

4,

5能由

2,

3,

5線性表示

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性1.極大無關組若{}

,…,

i1

,

i2

ir

線性無關;,…,

i1

(1)

,

i2

ir

(2)

1,

2,…,

s中任一向量都可由線性表示,,…,

i1

,

i2

ir

極大(線性)無關組.為

1,

2,…,

s的一個,…,

i1

則稱

,

i2

ir

{

1,

2,…,

s}且注:

1,

2,…,

s與

,

,…,

等價.i1

i2

ir

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性例如,11中,01,10,

3=

1=

2=

2,

3線性無關,

1,

2,

3能由

2,

3線性表示,可見

2,

3也是

1,

2,

3的一個極大無關組.

1,

2線性無關,

1,

2,

3能由

1,

2線性表示,可見

1,

2是

1,

2,

3的一個極大無關組.可見

1,

3也是

1,

2,

3的一個極大無關組.

1,

3線性無關,

1,

2,

3能由

1,

3線性表示,

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性極大無關組,是

1,

2,…,

s的一個極大無,…,

i1

設

,

i2

ir

關組,也是

1,

2,…,

s的一個,…,

,

j1

j2

jt

則線性無關,,…,

(2)

,

j1

j2

jt

i1

i2

ir

能由

,

,…,

線性表示.,…,

,

j1

j2

jt

線性無關,,…,

i1

(1)

,

i2

ir

能由

,

,…,

線性表示.,…,

,

j1

j2

jt

i1

i2

ir

根據(jù)前面的推論2可知r

=t.

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性定理4.4.同一個向量組中,任意兩個極大無關組所含向量的個數(shù)相等.2.向量組的秩

1,

2,…,

s的極大無關組,…,

i1

,

i2

ir

秩{

1,

2,…,

s}r

1,…,

t

可由

1,…,

s

線性表示

r

p

i1

ip

,…,

,…,

j1

jr

可由線性表示

,即r{

1,…,

t}r{

1,…,

s}.

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性定理4.4.同一個向量組中,任意兩個極大無關組所含向量的個數(shù)相等.2.向量組的秩

1,

2,…,

s的極大無關組,…,

i1

,

i2

ir

秩{

1,

2,…,

s}r

1,…,

t

與

1,…,

s

等價推論.

r{

1,…,

t}=r{

1,…,

s}.

1,…,

t

可由

1,…,

s

線性表示

定理4.5.

r{

1,…,

t}r{

1,…,

s}.

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性例7.r{

1,…,

n}=r

{

,…,

}

{

1,

…,

s}j1

jr

,…,

線性無關j1

jr

1,…,

n有極大無關組

,…,

i1

ir

i能由

,…,

線性表示j1

jr

,…,

,

i能由

,…,

線性表示j1

jr

i1

ir

,…,

,

i線性相關j1

jr

,…,

為

1,…,

n的極大無關組j1

jr

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性例7.r{

1,…,

n}=r

{

,…,

}

{

1,

…,

s}j1

jr

,…,

線性無關j1

jr

,…,

為

1,…,

n的極大無關組j1

jr

注:①只含零向量的向量組沒有極大無關組,規(guī)定它的秩為0.②

1,

2,…,

s線性無關

r{

1,

2,…,

s}=s.

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性三.向量組的秩與矩陣的秩初等行變換

矩陣A與B的行向量組等價

(行等價)

B=MA

A=NB

初等行變換初等行變換不改變行(向量組的)秩

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性三.向量組的秩與矩陣的秩初等行變換

Ax=

當且僅當Bx=

B=MA

A=M1B

初等行變換初等行變換不改變列向量組間的線性關系初等行變換不改變列(向量組的)秩

Ax=

有非零解當且僅當Bx=

有非零解

(

1,…,

n)線性相關當且僅當(

1,…,

n)線性相關

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性

1

2

3

4

5

1

2

3

4

極大無關組極大無關組秩(

1,

2,

3,

4,

5)=3.秩(

1,

2,

3,

4)=3.最簡形矩陣的行秩=秩=列秩

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性初等行變換不改變行秩初等行變換不改變列秩最簡形矩陣的行秩=秩=列秩

定理4.6.任意矩陣的行秩=秩=列秩.

第四章n維向量§4.2向量組的線性相關性

3

=–

1–

2,

5

=4

1+3

2–3

4.初等行變換解:故A的第1,2,4列為A的列向量組的一個最大無關組,例8.求矩陣組的一個極大無關組,并把其余列向量用這個極大無關組線性表示出來.的列向量物理幾何論向量，通觀大小及方向。且看加法與數(shù)乘，代數(shù)形式可推廣。分塊矩陣向量組，手足情深常相伴。線性相關有冗余，選出代表得精華。n維向量

注:dim{

}=0.§4.3子空間的基和維數(shù)

一.基和維數(shù)

第四章n維向量§4.3子空間的基和維數(shù)Rn

V

{

1,

…,

s}

——能由

1,…,

s線性表示

——線性無關V的一組基

V的維數(shù)dimV=s

第四章n維向量§4.3子空間的基和維數(shù)極大無關組,是

1,

2,…,

s的一個極大無,…,

i1

設

,

i2

ir

關組,也是

1,

2,…,

s的一個,…,

,

j1

j2

jt

則r

=t.

根據(jù)前面的推論2可知r

=t.

1,…,

r是V的一組基,

1,…,

t也是V的一組基,

1,…,

r線性無關,

1,…,

r

能由

1,…,

t線性表示.

1,…,

t線性無關,

1,…,

t

能由

1,…,

r線性表示.

第四章n維向量§4.3子空間的基和維數(shù)例9.n維基本單位向量組

e1=100…,e2=010…,en=001……,k1

100…+k2

010…+…+kn

001…=k1k2kn…是Rn的一組基.dimRn=n.

第四章n維向量§4.3子空間的基和維數(shù)例10.V={(x,y,z)T|x+2y3z=0}={(2y+3z,y,z)T|y,zR}=y+z

2y+3z

y

z210

301

210

301

,線性無關

210

301

,為V的一組基,dimV=2.

第四章n維向量§4.3子空間的基和維數(shù)例7.r{

1,…,

n}=r

{

,…,

}

{

1,

…,

s}j1

jr

,…,

線性無關j1

jr

1,…,

n有極大無關組

,…,

i1

ir

i能由

,…,

線性表示j1

jr

,…,

,

i能由

,…,

線性表示j1

jr

i1

ir

,…,

,

i線性相關j1

jr

,…,

為

1,…,

n的極大無關組j1

jr

.dimV=r

V有一組基

1,…,

r

{

1,…,

r}V

1,…,

r

,

能由

1,…,

r線性表示

1,…,

r

,

線性相關

1,…,

r

線性無關

能由

1,…,

r表示

1,…,

r為V的一組基

第四章n維向量§4.3子空間的基和維數(shù)是

1,

2,…,

s的一個極大無,…,

i1

設

,

i2

ir

關組,L(

1,…,

s)={k1

1+…+ks

s|k1,…,ksR}能由

,

,…,

線性表示i1

i2

ir

可見

,

,…,

是L(

1,…,

s)的一組基,i1

i2

ir

dimL(

1,…,

s)=r{

1,…,

s}.

第四章n維向量§4.3子空間的基和維數(shù)定理4.7.設V=L(

1,…,

s),則

1,…,

s的

每一個極大無關組都是V的一組基且dimL(

1,…,

s)=r{

1,…,

s}.求L(

1,

2,

3,

4)的一組基和維數(shù).例11.設A=[

1,

2,

3,

4]=101210111111,

第四章n維向量§4.3子空間的基和維數(shù)解:初等行變換可見dimL(

1,

2,

3,

4)=2,

1,

2是L(

1,

2,

3,

4)的一組基.注:此外

1,

3也是L(

1,

2,

3,

4)的一組基.

還有

1,

4.100210110110101210111111

第四章n維向量§4.3子空間的基和維數(shù)二.坐標和坐標變換公式

1,

2,…,

r——V的一組基

=k1

1+k2

2+…+kr

r

(k1,k2,…,kr)T——

在基

1,

2,…,

r

下的坐標

例如=a+b+c

a

b

c

100010001=ae1+be2+ce3

1.坐標

第四章n維向量§4.3子空間的基和維數(shù)例如=a+b+c

a

b

c

100010001=ae1+be2+ce3

=(a

b)+(a

c)+(a+b+c)101110111=(a

b)

1+(a

c)

2+(a+b+c)

3

在e1,e2,e3下的坐標為a

b

c

a

b

c

1,

2,

3下的坐標為

a

b

a

c

a+b+c

——從

1,…,

r到

1,…,

r的

過渡矩陣

第四章n維向量§4.3子空間的基和維數(shù)2.過渡矩陣

1,

2,…,

r——V的一組基

1,

2,…,

r——V的另一組基A=(

1,

2,…,

r),B=(

1,

2,…,

r)B=ACr

r

r=秩(B)

C可逆

秩(C)

r

秩(C)=r

A=BC1

從

1,…,

r到

1,…,

r的過渡矩陣為C1

第四章n維向量§4.3子空間的基和維數(shù)3.坐標變換

1,

2,…,

r——V的一組基

1,

2,…,

r——V的另一組基A=(

1,

2,…,

r),B=(

1,

2,…,

r)

=x1

1+…+xr

r

B=AC,A=BC1

=Axx=

x1

xr

…=y1

1+…+yr

r

=Byy=

y1

yr

…

第四章n維向量§4.3子空間的基和維數(shù)3.坐標變換

1,

2,…,

r——V的一組基

1,

2,…,

r——V的另一組基A=(

1,

2,…,

r),B=(

1,

2,…,

r)

=x1

1+…+xr

r

B=AC,A=BC1

A(x

Cy)=

=Ax=y1

1+…+yr

r

=By

=ACy

x

Cy=

x=Cy

y=C1x

第四章n維向量§4.3子空間的基和維數(shù)定理4.8.

1,

2,…,

r——V的一組基

1,

2,…,

r——V的另一組基A=(

1,…,

r),B=(

1,…,

r)B=AC,

=Ax=By

x=Cy,y=C1x.3.坐標變換§4.4向量的內積

一.內積和正交性

第四章n維向量§4.4向量的內積設非零向量

=(a1,a2,a3),

=(b1,b2,b3)之間的夾角為

,則i

j

k

=||

||

||

||cos

=a1b1+a2b2+a3b3.

=/2

=0

cos

=0

a1b1+a2b2+a3b3=0.

第四章n維向量§4.4向量的內積

=(a1,a2,…,an)T與

=(b1,b2,…,bn)T

的內積

,

=a1b1+…+anbn=aibi

n

i=1

的長度(模)||

||=a12+…+an2.=

T

.顯然,

,

=

,

;

a+b,

=a

,

+b

,

;

,

0;

,

=0

=

.||

||=1時稱

為單位向量.

第四章n維向量§4.4向量的內積

=(a1,a2,…,an)T

||

||0

令

=1||

||

,則||

||=1.把

單位化

容易驗證||k

||=|k|

||

||.

第四章n維向量§4.4向量的內積

,

x2+2

,

x+

,

n=(aix+bi)20(xR)i=1=(2

,

)24

,

,

0

,

2

,

,

.

=(a1,a2,…,an)T,

=(b1,b2,…,bn)T

=(a1+a2+…+an)x2+2(a1b1+a2b2+…+anbn)x

+(b1+b2+…+bn)2

2

2

2

2

2

=(a1

x2+2a1b1x+b1)+(a2

x2

+2a2b2x+b2)+…+(an

x2+2anbnx+bn)2

2

2

2

2

2

Cauchy-Schwartz不等式

第四章n維向量§4.4向量的內積

,

2

,

,

=(a1,a2,…,an)T,

=(b1,b2,…,bn)T

(a1b1+…+anbn)2(a1+…+an)(b1+…+bn)2

2

2

2

|

,

|||

||||

||||

+

||2=

+

,

+

=(||

||+||

||)2

=

,

+2

,

+

,

||

||2+2||

||||

||+||

||2

||

+

||||

||+||

||

第四章n維向量§4.4向量的內積若

,

,則

,

的夾角當

,

=0時,

=

/2,稱

與

正交,記為

.

=arccos

,

||

||·||

||,0

此時||

+

||2=

+

,

+

=

,

+2

,

+

,

=||

||2+||

||2

定理4.9.(1)||

+

||||

||+||

||.(2)

||

+

||2=||

||2+||

||2.

第四章n維向量§4.4向量的內積正交向量組:

1,…,

s兩兩正交.如e1=100…,e2=010…,en=001……,又如,,.1211

1110

1

第四章n維向量§4.4向量的內積定理4.10.設

1,

2,…,

s是正交向量組,

則

1,

2,…,

s線性無關.k1

1+k2

2+…+ks

s=

1,

2,…,

s是正交向量組

0=

k1

1+k2

2+…+ks

s,

1

=k1

1,

1

+k2

2,

1

+…+ks

s,

1

=k1||

1||2

k1=0

第四章n維向量§4.4向量的內積標準正交向量組:

1,…,

s兩兩正交且

1,…,

s都是單位向量如121

1=,1626161

11

2=,131313

10

1

3=0.1212

第四章n維向量§4.4向量的內積ki=

,

i,i=1,2,…,s.例12.設

1,

2,…,

s是標準正交向量組,

=k1

1+k2

2+…+ks

s,則=k1

1+k2

2+…+ks

s,

1

=k1

1

,

1

+k2

2,

1

+…+ks

s,

1

=k1||

1||2

=k1.

,

1

證明:…

第四章n維向量§4.4向量的內積二.標準正交基和Schmidt正交化方法

1,…,

s——V的一組基兩兩正交,且均為單位向量V——向量空間V的標準正交基

如e1=100…,e2=010…,en=001……,Rn的一組標準正交基.

第四章n維向量§4.4向量的內積

1,…,

s——V的一組基

1=

1,………

2=

2

2,

1

1,

1

1,

s=

s

s,

1

1,

1

1…

s,

s1

s1,

s1

s1.

1=

1

||

1||,

2=

2

||

2||,…,

s=

s

||

s||.正交化

單位化

1,…,

s——與

1,…,

s等價

第四章n維向量§4.4向量的內積定理4.11.每個非零向量空間都有標準正交基.例14.求V={(x,y,z)T|x+2y3z=0}的一組標準正交基.

解:

1=,

2=為V的一組基(見例10).210

301

令

1=

1,

2=

2

2,

1

1,

1

1

=+65210301

=.3/56/51

再令

1=(,,0)T,1525

2=(,,)T.670570370

第四章n維向量§4.4向量的內積三.正交矩陣

(1)Q為實方陣,正交矩陣(簡稱為正交陣)Q:例如:Q=cos

sin

sin

cos

QT=cos

sin

sin

cos

(2)QTQ=E(即Q1=QT).QTQ=cos2

+sin2

sin2

+cos2

00=E.

第四章n維向量§4.4向量的內積設Q=[q1,q2,…,qn],…,其中q1=,q11

q21

qn1

…qn=,q1n

q2n

qnn

…q2=,q12

q22

qn2

…QT=,q1T

q2T

qnT

…

QTQ=q1T

q2T

qnT

…

[q1,q2,…,qn]

第四章n維向量§4.4向量的內積.=QTQ=q1T

q2T

qnT

…

[q1,q2,…,qn]………q1Tq1q1Tq2

q1Tqn

…q2Tq1q2Tq2

q2Tqn

…qnTq1qnTq2

qnTqn

…Q為正交陣

q1,q2,…,qn為標準正交向量組

第四章n維向量§4.4向量的內積定理4.12.n階實方陣Q為正交陣

Q的列(行)向量組構成Rn的標準正交基.注:正交陣還具有以下性質(1)Q為正交陣

|Q|=1.|QTQ|=|E||Q|2=|Q||Q|=|QT||Q|==1.

第四章n維向量§4.4向量的內積定理4.12.n階實方陣Q為正交陣

Q的列(行)向量組構成Rn的標準正交基.注:正交陣還具有以下性質(3)A,B為正交陣

AB為正交陣.(1)Q為正交陣

|Q|=1.(2)Q為正交陣

Q1=QT也是正交陣.(AB)T(AB)=(BTAT)(AB)=BTEB

=BTB

=E

第四章n維向量§4.4向量的內積定理4.12.n階實方陣Q為正交陣

Q的列(行)向量組構成Rn的標準正交基.注:正交陣還具有以下性質(3)A,B為正交陣

AB為正交陣.(1)Q為正交陣

|Q|=1.(2)Q為正交陣

Q1=QT也是正交陣.||Qx||2

=(Qx)T(Qx)=xTQTQx

=xTEx

=xTx

(4)Q為正交陣

||Qx||=||x||.=||x||2

§4.5線性方程組的解的結構

一.解的存在性與唯一性

第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結構

n=,a1n

a2n

…asn

2=,a12

a22

…as2

1=,a11

a21

…as1

…,b=,b1

b2

…bs

A=(

1,

2,…,

n)b能由

1,

2,…,

n線性表示方程組Ax=b有解

第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結構Ax=b有解b能由

1,

2,…,

n線性表示A=(

1,

2,…,

n)

1,

2,…,

n,

b能由

1,

2,…,

n線性表示

1,

2,…,

n,

b與

1,

2,…,

n等價r{

1,

2,…,

n,

b}=r{

1,

2,…,

n}r{

1,

2,…,

n,

b}=r{

1,

2,…,

n}=r

,…,

i1

ir

i1

ir

,…,

,

b線性相關(否則r{

1,…,

n,

b}r+1)(極大無關組)

b能由

1,

2,…,

n線性表示

b能由

,…,

線性表示i1

ir

Ax=b有解

第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結構Ax=b有解A=(

1,

2,…,

n)r{

1,

2,…,

n,

b}=r{

1,

2,…,

n}r{

1,

2,…,

n,

b}=r{

1,

2,…,

n}

Ax=b有解r(A,b)=r(A)

第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結構Ax=b有解r(A,b)=r(A)A=(

1,

2,…,

n)k1

1+…+kn

n=

Ax=b有唯一解設

是Ax=b的解.

A=

,其中

=(k1,…,kn)T

A(

+

)=A+A=b+

=b

+

也是Ax=b的解

1,…,

n

線性無關r{

1,…,

n}=n

第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結構定理4.13.Ax=b有解r(A,b)=r(A),

Ax=b有唯一解r(A,b)=r(A)=n.

二.齊次線性方程組的基礎解系

第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結構Ax=

的解空間{

|A

=

}

1,

2,…,

s線性無關Ax=

的基礎解系

可以由

1,

2,…,

s

線性表示

第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結構Ax=

的一個基礎解系

1,

2,…,

s

=

k1

1+k2

2+…+ks

s

任意數(shù)Ax=

的結構式通解

(一般解)

第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結構x1=c1,r+1xr+1

+c1,r+2xr+2

+…+c1nxn

x2=c2,r+1xr+1

+c2,r+2xr+2

+…+c2nxn

………xr=cr,r+1xr+1

+cr,r+2xr+2

+…+crnxn

xr+1=

xr+1

xr+2=

xr+2

xn=

xn

………A初等行變換111…

r

第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結構A初等行變換111…

r=xr+1

+xr+2

+…+xn

x1

x2

…xr

xr+1xr+2

…xn

c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…