湖北省恩施州高中教學(xué)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省恩施州高中教學(xué)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A.0 B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗.則，故選：A.2.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，所以.故選：C.3.設(shè)、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，直線過(guò)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△的周長(zhǎng)是（）．A.10 B.15 C.20 D.25〖答案〗C〖解析〗由橢圓的定義可知，，則△的周長(zhǎng)為，故選：.4.若是相互獨(dú)立事件，但不是互斥事件，則事件的概率是（）．A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知事件包含了三個(gè)基本事件：,所以事件的概率為：.故選:B.5.如圖，這是一半徑為的水輪示意圖，水輪圓心距離水面，已知水輪每逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，若當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮出時(shí)（圖中點(diǎn)）開(kāi)始計(jì)時(shí)，則（）A.點(diǎn)距離水面的高度與之間的函數(shù)關(guān)系式為B.點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要C.在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有的時(shí)間，點(diǎn)距離水面的高度不低于D.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在水面下方，距離水面〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閺拈_(kāi)始計(jì)時(shí)，所以水輪的高度和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為：.當(dāng)?shù)谝淮蔚竭_(dá)最高點(diǎn)，由，即第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要；由，，.即水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有的時(shí)間，點(diǎn)距離水面的高低不低于.當(dāng)時(shí)，.故選：D6.已知光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射，且反射光線所在直線過(guò)點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，即，所以反射光線所在直線方程為，即．故選：B．7.在中，，將沿翻折，使，則平面與平面夾角的余弦值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗平移使與重合，記平移后所在的點(diǎn)為點(diǎn),此時(shí),則的余弦值即為平面與平面夾角的余弦值，由已知,，在直角三角形中，,所以，故選：C.8.如圖，已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，雙曲線的右支上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，滿足，且，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由雙曲線定義可知，，又，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故，，故，，又，故、，有，故，即有，即有，故.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列選項(xiàng)正確的有（）A.若，則有最小值3B.若，則有最大值1C.若，則D.若，則〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)A：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，由，故不能取等，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，故有最大值1，故B正確；對(duì)C：若，則，故，故C正確；對(duì)D：若，則，故，即，故D正確.故選：BCD.10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，在線段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，分別是的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A. B.與所成角的余弦值是C.到直線的距離不是定值 D.三棱錐的體積為〖答案〗AB〖解析〗建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，即，而在上，因此A正確；，，所以與所成角的余弦值是，即與所成角的余弦值是，B正確；在正方體中由是平行四邊形，知，因此到直線的距離是定值，C錯(cuò)；，D錯(cuò)．故選：AB．11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，、是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，是平面內(nèi)一定點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的有（）A.拋物線準(zhǔn)線方程為B.若，則線段中點(diǎn)到軸距離為C.的周長(zhǎng)的最小為D.以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，故A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、，由拋物線的定義可得，可得，所以，線段的中點(diǎn)到軸的距離為，故B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)在準(zhǔn)線上投影為，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，所以的周長(zhǎng)的最小值為，故C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)、沒(méi)有任何限制條件，可以是拋物線上任意兩點(diǎn)，所以以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線不一定相切，故D錯(cuò).故選：BC.12.已知平面內(nèi)一點(diǎn)在圓上，分別過(guò)定點(diǎn)的兩條直線相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.動(dòng)點(diǎn)的軌跡是除去點(diǎn)的一個(gè)圓B.的最大值是C.點(diǎn)到直線的距離的最小值為D.動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓一定沒(méi)有交點(diǎn)〖答案〗ABD〖解析〗由配方得:,易得直線過(guò)定點(diǎn),直線過(guò)定點(diǎn)，且直線的斜率必存在，由可得：,如圖.對(duì)于A項(xiàng)，由，且可知點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的圓，其方程為：，又因直線的斜率必存在，故需要去掉圓上的點(diǎn)，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是除去點(diǎn)的一個(gè)圓，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)，因,則其中，因當(dāng)時(shí)，，故的最大值是，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C項(xiàng)，由，易得：，因圓心到直線的距離為：，故圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，(去掉點(diǎn))，設(shè)圓心為由可得兩圓沒(méi)有交點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗函數(shù)有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故〖答案〗為：14.已知數(shù)列滿足，，則________．〖答案〗〖解析〗由題意：，，，，，所以滿足.所以故〖答案〗為：15.已知雙曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，且直線的斜率之和為0，則的斜率為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，且，，因?yàn)橹本€的斜率之和為0，所以，如圖所示：聯(lián)立，得，，，，因?yàn)椋?，即：，所以，因?yàn)辄c(diǎn)，在直線上，所以，，所以代入上式得：，整理得：，將，代入得：，整理得：，即：，因?yàn)橹本€點(diǎn)，所以，所以，即.故〖答案〗為：16.如圖，在中，，過(guò)的中點(diǎn)的動(dòng)直線與線段交于點(diǎn)，將沿直線向上翻折至，使得點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在線段上，則斜線與平面所成角的正弦值的最大值為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗中，根據(jù)余弦定理，，根據(jù)正弦定理，得，由知，則，如圖1，以底面點(diǎn)為空間原點(diǎn)建系，根據(jù)底面幾何關(guān)系，得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)的投影在軸上，即，由，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可得，整理為．圖1圖2如圖2，在翻折過(guò)程中，作于點(diǎn)，則，并且平面，所以平面平面，所以，即，其中．又動(dòng)點(diǎn)在線段上，設(shè)，所以，且．由，得，又因?yàn)?，?duì)應(yīng)的的取值為，即，由已知斜線與平面所成角是，所以．故斜線與平面所成角的正弦值的最大值為．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.2023年12月21日，第十四屆學(xué)校文化論壇在某市舉行，志愿者的服務(wù)工作是會(huì)議舉辦的重要保障．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名志愿者候選人的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組．繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．（1）求，并估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的第25百分位數(shù)．（2）現(xiàn)從以上各組中采取按比例分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的志愿者．現(xiàn)計(jì)劃從第一組和第二組抽取的人中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)．求選出的2人來(lái)自不同組的概率．解：（1）由題意可知，解得因?yàn)椋O(shè)第25百分位數(shù)為，則，解得，所以第25百分位數(shù)為63．（2）根據(jù)分層隨機(jī)抽樣，和的頻率比為，在和中分別選取1人和5人，分別編號(hào)為和1，2，3，4，5，則在這6人中隨機(jī)抽取兩個(gè)的樣本空間包含的樣本點(diǎn)有：，，共15個(gè)，即，記事件“2人來(lái)自不同組”，則包含的樣本點(diǎn)有，共5個(gè)，即，所以．18.已知拋物線：，點(diǎn)在上．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)是的焦點(diǎn)，過(guò)作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，求的最小值．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，即：．（2）如圖：設(shè)，，，，直線的方程為（直線斜率存在且不為0）．聯(lián)立方程組，消去得：，所以．因?yàn)?，用代替，得：．由拋物線的定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．19.在銳角中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，已知．（1）求的值；（2）若，求面積的取值范圍．解：（1），由正弦定理得，即，由余弦定理得，因?yàn)椋裕?）在銳角中，，記的面積為．由正弦定理得，即．所以．因?yàn)樵阡J角中，，所以，解得，則，故．20.已知在非零數(shù)列中，，數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列．（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（3）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)樵诜橇銛?shù)列中，，兩邊同時(shí)除以，可得，所以．又，所以，所以是以1為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列；（2）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，所以，當(dāng)時(shí)，，又對(duì)也成立，所以；（3）由（1）可知，，又由（2）可知，所以，所以，可知為等差數(shù)列，所以．21.在四棱錐中，四邊形為菱形，，，，且，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，．（1）證明：平面．（2）若不是的中點(diǎn)，且直線與平面所成角的正切值為，求的值．解：（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接，，如圖：則，，又，，所以，，即為平行四邊形，即，又平面，平面，所以平面．（2）不妨設(shè)與平面所成的角為，則，即．如圖，連接．因?yàn)榈酌鏋榱庑危?，所以為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，又，所以.又中，，，所以：，所以.，，平面且，所以平面，平面，所以：，.所以，，兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，，，，，.所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，令，得平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，由.則，解得或（舍去），即．22.已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其內(nèi)切．（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓心的軌