2022年湖南省常德市蔣家嘴鎮(zhèn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022年湖南省常德市蔣家嘴鎮(zhèn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量=（4，2），=（x，3），且∥，則x等于（）A．9 B．6 C．5 D．3參考答案：B【考點(diǎn)】平行向量與共線向量．【分析】利用向量共線定理即可得出．【解答】解：∵，∴2x﹣12=0，解得x=6．故選B．2.設(shè)變量x，y滿足約束條件：．則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值為（） A．6 B．7 C．8 D．23參考答案：B【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃． 【專題】計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用． 【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y對應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)x=2，y=1時(shí)，z=2x+3y取得最小值為7． 【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域， 得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（2，1），B（1，2），C（4，5） 設(shè)z=F（x，y）=2x+3y，將直線l：z=2x+3y進(jìn)行平移， 當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值 ∴z最小值=F（2，1）=7 故選：B 【點(diǎn)評】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎(chǔ)題． 3.已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，且為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則的外接圓方程為（）A．

B.C.

D.參考答案：B4.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線”的結(jié)論顯然是錯誤的，這是因?yàn)?/p>

（

）A.大前提錯誤

B.小前提錯誤

C.推理形式錯誤

D.非以上錯誤參考答案：A略5.在空間直角坐標(biāo)系中，A，B，C三點(diǎn)到坐標(biāo)分別為A（2，1，﹣1），B（3，4，λ），C（2，7，1），若，則λ=（）A．3 B．1 C．±3 D．﹣3參考答案：C【考點(diǎn)】向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積的定義，利用時(shí)?=0，列出方程求出λ的值．【解答】解：∵A（2，1，﹣1），B（3，4，λ），C（2，7，1），∴=（1，3，λ+1），=（1，﹣3，λ﹣1），又，∴?=0，即1×1+3×（﹣3）+（λ+1）（λ﹣1）=0，解得λ=±3．故選：C．6.把一枚骰子連續(xù)擲兩次，已知在第一次拋出的是偶數(shù)點(diǎn)的情況下，第二次拋出的也是偶數(shù)點(diǎn)的概率為

（

）

A．1

B．

C．

D．參考答案：B略7.下列四個(gè)函數(shù)中，在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù)的是 (

)A．y＝logx

B．y＝

C．y＝－

D．y＝參考答案：D8.若條件p：|x+1|＞2，條件q：x＞a且￢p是￢q的充分不必要條件，則a取值范圍是（）A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≥﹣3 D．a(chǎn)≤﹣3參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】求出：|x+1|＞2，根據(jù)￢p是￢q的充分不必要條件，得出q?p，再運(yùn)用集合關(guān)系求解．【解答】解：∵p：|x+1|＞2，∴p：x＞1或x＜﹣3，∵￢p是￢q的充分不必要條件，∴q是p充分不必要條件，∴p定義為集合P，q定義為集合q，∵q：x＞a，p：x＞1或x＜﹣3，∴a≥1故選：A9.已知a＞b＞0，橢圓C1方程為=1，雙曲線C2的方程為=1，C1與C2離心率之積為，則C2的漸近線方程為(

)A．x±y=0 B．x±2y=0 C．x±y=0 D．2x±y=0參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】運(yùn)用橢圓和雙曲線的離心率公式，可得a，b的方程，再由雙曲線的漸近線方程，即可得到結(jié)論．【解答】解：圓C1方程為=1的離心率為e1=，雙曲線C2的方程為=1的離心率為e2=，由題意可得?=，可得a2=2b2，即為a=b，即有雙曲線的漸近線方程為y=±x，則為xy=0，故選C．【點(diǎn)評】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查離心率和漸近線方程的求法，考查運(yùn)算能力，屬于易錯題．10.設(shè)向量a，b滿足|a|=|b|=1，且a，b的夾角為120°，則|a+2b|=（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖是某校高二年級舉辦的歌詠比賽上，五位評委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方差為

．參考答案：【考點(diǎn)】莖葉圖．【分析】根據(jù)所給的莖葉圖，去掉一個(gè)最高分92和一個(gè)最低分78后，把剩下的3個(gè)數(shù)字求出平均數(shù)和方差．【解答】解：由莖葉圖知，去掉一個(gè)最高分92和一個(gè)最低分78后，所剩數(shù)據(jù)83，84，85的平均數(shù)為84；方差為[（83﹣84）2+（84﹣84）2+（85﹣84）2]=．故答案為．12.給出下列命題：

①，使得；

②曲線表示雙曲線；

③的遞減區(qū)間為

④對，使得

.

其中真命題為

（填上序號）參考答案：①③13.函數(shù)f（x）=，x∈的最大值為

．參考答案：考點(diǎn)：運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值；兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：計(jì)算題；三角函數(shù)的求值．分析：由兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡可得f（x）=，設(shè)t=tanx+1，由x∈，則t=tanx+1∈，f（x）=，從而可求當(dāng)t=1時(shí)，f（x）min的值．解答： 解：∵f（x）===，設(shè)t=tanx+1，由x∈，則t=tanx+1∈，∴f（x）==+，∴當(dāng)t=1時(shí)，f（x）min==．故答案為：．點(diǎn)評：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．14.將編號1，2，3，4，5的小球放入編號1，2，3，4，5的盒子中，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，則至多有兩個(gè)小球的編號與盒子的編號相同的放法共有種．參考答案：109【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題．【分析】利用間接法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：5個(gè)球全排列為A55=120種情況3個(gè)球的編號與盒子的相同，先選出3個(gè)小球，放到對應(yīng)序號的盒子里，有C53=10種情況，另外2個(gè)球，有1種不同的放法，故10種情況4個(gè)球的編號與盒子的相同，有1種不同的放法，故至多有兩個(gè)小球的編號與盒子的編號相同的放法共有120﹣10﹣1=109種不同的放法，故答案為：109．15.已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，等于

．參考答案：

16..如圖二面角內(nèi)一點(diǎn)P到平面的距離為PC=1,到平面

的距離為PD=3,且CD=，則二面角的大小為______________.

參考答案：120o略17.已知.若是的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖4，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，AD=AE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G，將沿AF折起，得到如圖5所示的三棱錐，其中.（1）證明://平面;（2）證明:平面;（3）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積.參考答案：(1)在等邊三角形中，

，在折疊后的三棱錐中也成立，，平面，平面，平面;(2)在等邊三角形中，是的中點(diǎn)，所以①，.在三棱錐中，，②;(3)由(1)可知，結(jié)合(2)可得.19.已知，復(fù)數(shù)．（1）若z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求m的取值范圍．（2）若z與復(fù)數(shù)相等，求m的值；參考答案：（1）（2）【分析】（1）直接由實(shí)部與虛部大于0聯(lián)立不等式組求解；（2）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)相等的條件列方程組求值．【詳解】（1）由題意得，，解得或．的取值范圍是；（2），且與復(fù)數(shù)相等，，解得．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．20.已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動點(diǎn)，直線與直線

分別交于兩點(diǎn)。

（I）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求線段MN的長度的最小值；

（Ⅲ）當(dāng)線段MN的長度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由.

參考答案：解：（I）由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為

故橢圓的方程為（Ⅱ）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而

,

由得0

設(shè)則得，從而

即又

由得

故

又

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立

時(shí)，線段的長度取最小值（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)取最小值時(shí)，

此時(shí)的方程為

要使橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。設(shè)直線則由解得或

(舍)直線與橢圓教于兩點(diǎn),所以有兩個(gè)T點(diǎn)。略21.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=，公比q=的等比數(shù)列，設(shè)bn+2=3an（n∈N*），數(shù)列{cn}滿足cn=an?bn．（1）求證：{bn}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn；（3）若cn≤m2+m﹣1對一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】（1）根據(jù)題意和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出an，再由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出bn，根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明；（2）由（1）和題意求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法能求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和；（3）先化簡cn+1﹣cn，再根據(jù)結(jié)果的符號與n的關(guān)系，判斷出數(shù)列{cn}的最大項(xiàng)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為具體的不等式，再求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】證明：（1）由題意得，an==，又bn+2=3an（n∈N*），則bn+2=3=3n，所以bn=3n﹣2，即bn+1﹣bn=3，且b1=1，所以{bn}是為1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；解：（2）由（1）得，an=，bn=3n﹣2所以cn=an?bn=，則Sn=①，Sn=②，①﹣②得，Sn===，所以Sn=，（3）由（2）得，cn=，cn+1﹣cn=﹣=，所以當(dāng)n=1時(shí)，c2=c1=，當(dāng)n≥2時(shí)，c2=c1＞c3＞c4＞c5＞…＞cn，則當(dāng)n=1或2時(shí)，cn的最大值是，因?yàn)閏n