2023-2024學(xué)年重慶市高二年級(jí)下冊(cè)第二次月考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年重慶市校高二下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)模擬試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的

α

r/(?)-∕(?+)_

1,若/'(*。)=1,則黑a().

A.2B.1C.-2D.-I

【正確答案】D

【分析】根據(jù)極限的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)?'(%)=1,

所以lim∕(?)-∕(?÷^)=Tim/U+")-"/)=-1

α→0aa→0Q

故選：D

2.(x—2)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()

2I

A.B.-C^C.-2"D.-2,C2^

【正確答案】C

【分析】直接由二項(xiàng)展開(kāi)式求常數(shù)項(xiàng)即可.

【詳解】展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.c??√'?

故選：C.

2cosY

3.函數(shù)/(x)=---------,X￡[-肛乃]的圖象大致為()

【分析】根據(jù)函數(shù)的特殊值及單調(diào)性進(jìn)行解題.

2cosx

【詳解】解：V=-——,當(dāng)X=O.01時(shí)，y<0,所以排除C,D,

ex

又，2(SinX+cosX)2Λ∕Σsin(x+/,

y=---------------=----------------

ejr/

TT

所以X=—J為極值點(diǎn)，排除B,

4

故選A.

4.天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、

辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順

序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲'’起，地支由“子'’起，比如第

一年為“甲子，，,第二年為“乙丑”,第三年為“丙寅,以此類推，排列到“癸酉”后，天干回至產(chǎn)甲”重新

開(kāi)始，即“甲戌”，"乙亥”，之后地支回到“子’’重新開(kāi)始，即“丙子”，…，以此類推，在1980年庚申年，我

國(guó)正式設(shè)立經(jīng)濟(jì)特區(qū)，請(qǐng)問(wèn)：在100年后的2080年為()

A.戊戌年B.辛丑年C.己亥年D.庚子年

【正確答案】D

【分析】將天干和地支分別看作等差數(shù)列，結(jié)合100÷10=10,100÷12=8…4,分別求出100年后天

干為庚，地支為子，得到答案.

【詳解】由題意得，天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，

由于100÷10=10,余數(shù)為0,故IOO年后天干為庚，

由于100÷12=8…4,余數(shù)為4,故100年后地支為子，

綜上：100年后的2080年為庚子年.

故選：D.

5.用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給下圖著色，要求有公共邊的兩塊不著同色.在所有著色方案中，①③⑤著

相同色的方案有（）種

A.96B.24C.48D.108

【正確答案】D

【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)棰佗邰葜嗤念伾?，可以有C；=4種，

②④⑥按要求可隨意著與①③⑤不同色的另外三種顏色，故有C；XC；XeI=27種，

所以共有4x27=108種.

故選：D.

6.隨機(jī)變量自滿足分布列如下：

4012

P2a-baa+b

則隨著6的增大（）

A.EC）增大，Qe）越來(lái)越大

B.Eq）增大，OC）先增大后減小

C.EC）減小，?；┫葴p小后增大

D.Ee）增大,先減小后增大

【正確答案】B

【分析】結(jié)合分布列的性質(zhì)求出”的值以及b的范圍，然后根據(jù)期望與方差的概念表示出期望與方差，結(jié)

合函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)?a—b+α+α+b=l,所以。=工，

4

O<?-/,<1

又因?yàn)椤?，解?/p>

O<-+b<l—

I4

所以￡(§)=。+2。+26=；+26,隨著b的增大，Ee)增大；

22

D(ξ)=(→2h)^-b)+(26-?×→(f-2b)2(J+b)=-4b+b+二，

42444416

因?yàn)?；</><；,所以Qe)先增大后減小.

故選：B.

7.定義在R匕的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),若對(duì)任意實(shí)數(shù)X,有/(χ)>∕'(χ),且/(x)+2023為

奇函數(shù)，則不等式/(x)+2023e'<0的解集是()

A.(-oo,θ)B.1-8」)C.(0,+oo)D.(L+∞)

【正確答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)R(X)=10+2023,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得單調(diào)性，利用單調(diào)性求解不等式的解集.

【詳解】因?yàn)?(x)+2023為奇函數(shù)，

所以/(O)+2023=0,即/(O)=—2023,

設(shè)尸(X)=幺2+2023，

則k(X)J(X)了白)<0，

e

所以E(X)=/?j+2023在R上單調(diào)遞減,

又尸(O)=4^+2023=O，/(x)+2023e'<0的解集等價(jià)于史l+2023<0的解集，即

eex

F(x)<F(0),

所以X>0,即不等式/(x)+2023e'<0的解集為(0,+力).

故選：C.

8.設(shè)橢圓C：=+與=1(a>Δ>0)的右焦點(diǎn)為凡橢圓C上的兩點(diǎn)/、8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足

Ω2b-

成.麗=0，IESl≤∣E4∣≤3∣F用，則橢圓C的離心率的取值范圍是()

D.[√3-l,l)

A剽B與粵Eg

【正確答案】B

【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)尸’，由橢圓的對(duì)稱性結(jié)合⑸.麗=0,得到四邊形/必E'為矩形，設(shè)“尸|=〃,

2c2

?AF?=m,在直角AZBE中，利用橢圓的定義和勾股定理化簡(jiǎn)得到生+△,再根據(jù)

nm

IEgl≤∣E4∣≤3∣E8∣,得到生的范圍，從而利用對(duì)勾函數(shù)的值域得到鳥(niǎo)的范圍，進(jìn)而由

na

即可得解.

【詳解】如圖所示:

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)E',由橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形/必產(chǎn)為平行四邊形,

又成?麗=0,則E4_LF8,所以平行四邊形NEg?為矩形，故M4=∣"'∣=2C,

設(shè)M尸[=〃，∣4FI=加,則忸尸|=〃,

222

在直角AABF中，m+n=2afm+n=4c，

所以=(w+Z?)2-+“J=4a2-4C2=4b2,則mn=Ih2，

222

所以二m+/?Ic

r

nmmnT

m

n

又由∣F5∣≤∣E4∣<3∣ES∣,得％=f∈[l,3],

n

因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)y=t+；在[1,3]上單調(diào)遞增，所以今=f+；e2,y

21

Cπ,ae2，|，故展3?

所以e1'則正

F5a8,2

所以

所以橢圓_離心率的取值范圍是一√2,三√i一o

24

故選：B.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用橢圓的對(duì)稱性證得四邊形AFBF'為矩形，再利用橢圓的定義與勾股定

理，結(jié)合條件得到關(guān)于α,b,c的齊次不等式，從而得解.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中P(X=O)=；,E(X),O(X)分別為隨機(jī)變量X的均值與方差，

則下列結(jié)論正確的是()

A.尸(X=I)=E(X)B,E(3X+2)=4

C.Q(3X+2)=4D.O(X)=I

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布推出P(X=I)=：,根據(jù)公式先計(jì)算出E(X)、D(X),由此分別

計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)得出結(jié)果.

12

【詳解】隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中尸(X=O)=??.p(x=i)=],

122

E(X)=OX—+lx-=—,

333

7I7??

P(X)=(0--)2×-+(l--)2×-=-,

33339

在A中，P(X=I)=E(X),故A正確；

2

在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=3x§+2=4,故B正確；

在C中，D(3X+2)=90(X)=9x?∣=2,故C錯(cuò)誤；

在D中，Z)(X)=I,故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.某工廠有甲、乙兩個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量比為2：3.從兩個(gè)車間中各隨機(jī)抽取了10個(gè)樣品

進(jìn)行測(cè)量，其數(shù)據(jù)(單位：mm)如下：

甲車間：9.49.69.89.810.010.110.110.210.210.3

乙車間：9.29.49.69.810.010.210.310.310.310.4

規(guī)定數(shù)據(jù)在(9.5,10.5)之內(nèi)的產(chǎn)品為合格品.若將頻率作為概率，則以下結(jié)論正確的是()

A.甲車間樣本數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為9.9

B.從樣本數(shù)據(jù)看，甲車間的極差小于乙車間的極差

C.從兩個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品任取一件，取到合格品的概率為0.72

D.從兩個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品任取一件，若取到不合格品，則該產(chǎn)品出自甲車間的概率為0.25

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則判斷A,計(jì)算出極差即可判斷B,根據(jù)全概率公式計(jì)算C,根據(jù)條件概率

公式計(jì)算D.

【詳解】對(duì)于A：甲車間樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為：9.4、9.6、9.8、9.8、10.0、10.1、10.1、10.2、

10.2、10.3,

又10x40%=4,所以第40百分位數(shù)為第四、五兩數(shù)的平均數(shù)，

即為"8+10=99,故A正確；

2

對(duì)于B：甲車間的極差為10.3—9.4=0.9,乙車間的極差為10.4—9.2=1.2,

所以甲車間的極差小于乙車間的極差，故B正確；

984

對(duì)于C：從樣本數(shù)據(jù)可知甲車間合格品的概率《=歷，乙車間合格品的概率巴=歷=,，

且甲、乙兩車間產(chǎn)量比為2:3,

293421

若從兩個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品任取一件，取到合格品的概率P=-x—+—X一=一=0.84,故C錯(cuò)誤;

5105525

對(duì)于D：由C可知取到不合格品的概率A=I—尸=l-0?84=0.16,

zxr1.n

所以若取到不合格品，則該產(chǎn)品出自甲車間的概率5(?，故D正確.

IA=-

40.16

故選：ABD.

11.設(shè)(2x+1)6=%+%(χ+1)+。2(工+1)2+…+%(x+1)6,下列結(jié)論正確的是()

A,a2+a3=100B.a?！?Z∣+生—。3+—。5+。6=3‘

C.+2%+3%+…+6以=12D.當(dāng)x=9時(shí)，(2x+l)6除以20的余數(shù)是-1

【正確答案】BC

【分析】利用換元法將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為(一1+2/)6=4+《/+生/+…對(duì)于A,利用展開(kāi)通項(xiàng)公

式求解判斷即可；對(duì)于B,利用賦值法即可判斷；對(duì)于C,對(duì)，求導(dǎo)后，再利用賦值法即可判斷；對(duì)于D,

將X=9代入后利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式子，從而得以判斷.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?2x+l),=4+/(%+1)+。2(工+1)2+…+%(x+l)6，

6626

令f=x+1,則(2X+1)6=[-l+2(x+l)]=(-1+2/)=a0+ait+a2tH----Fa6Z,

因?yàn)?―1+2fY的展開(kāi)通項(xiàng)公式為I+】=C(T)6"(2/『=2*C*—IpMJ,

33

所以的=22xC；(—1)4=60,α3=2×C^(-l)=-160,故生+。3=-10°，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,令f=—1,得α0—α∣+%-/+%—%+4=(―1-2)6=3“，故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)?27—1)=(—1+2/)=α0+α/+四廠+,,,+°6’6，

兩邊對(duì)f求導(dǎo)得，12⑵—I)，=q+2^+3%/+…+64兒

令f=l得，＜21+2a2H----1"64=12,故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)x=9時(shí)，(2x+1)6=196=(20-1)6=206-C；205+??--e?×20+1,

展開(kāi)式右邊共7項(xiàng)，前6項(xiàng)都是20的整數(shù)倍，因此它除以20的余數(shù)是1,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

Y

12.對(duì)于函數(shù)/(x)=-,下列說(shuō)法正確的是()

Inx

A./(x)在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增

B.當(dāng)0<芭<工2<1時(shí),2?In%2>%?InM

C.若函數(shù)y=∕(k∣)-左有兩個(gè)零點(diǎn)，則左<o

D.設(shè)g(x)=χ2+α,若對(duì)VXl∈R,3χ2∈(l,+∞),使得g(xj=∕(x2)成立，則α≥e

【正確答案】BD

【分析】利用函數(shù)的定義域判斷A選項(xiàng)的正確性；利用/(元)的單調(diào)性來(lái)判斷B選項(xiàng)的正確性；結(jié)合

V=/(W)的圖象來(lái)判斷C選項(xiàng)的正確性；通過(guò)求/(X)和g(x)在給定區(qū)間上的取值范圍來(lái)判斷D選項(xiàng)

的正確性.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，/(x)=上的定義域?yàn)?0,1)U(I,+8),所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

Inx

、Inx-I-、/、

對(duì)于B選項(xiàng)，/(X)=記彳,當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)<0,/(x)遞減.

?≠0<xl<x2<1,所以

Inx1Inx2

由于Inx1<0,Inx2<0,(lnx1)?(Inx2)>0,

所以由丁“一兩邊乘以(InXj?(lnw)得Xι-lnx2>x2-Inx1,所以B選項(xiàng)正確.

IU√VI??X)

對(duì)于C選項(xiàng)，令y=∕(∣x∣)-A=0,/(國(guó))=左，

由于/(X)=號(hào)F，所以在區(qū)間(°，1)，(13)，/(力<°，/(力遞減；

在區(qū)間(e,+∞),/(x)>0,∕(x)遞增.

當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)=^-<0；當(dāng)x>l時(shí)，/(x)=^->0;/(e)=e.

l??Xlr?X

函數(shù)歹=/(即是定義域?yàn)?-8,-1)5—1，°)5°，1)51，+8)的偶函數(shù).

由此畫(huà)出y=∕(∣χ∣)的圖象如下圖所示，

由圖可知，直線N=e與y=∕(W)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)k=e時(shí)，

函數(shù)y=∕(W)-左有兩個(gè)零點(diǎn)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于D選項(xiàng)，由上述分析可知，x2∈(l,+∞),則g(X2)e[e,+8),

x∣∈R,g(x∣)>0,要使"對(duì)VXl∈R,3X2∈(l,+∞),使得g(xj=∕(x2)成立"，

則需αNe,所以D選項(xiàng)正確.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，首先要求函數(shù)的定義域，單調(diào)性必須在定義域這個(gè)大前提下進(jìn)行求解.求解恒

成立、存在性問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為求最值或取值范圍來(lái)進(jìn)行求解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則/(x)可能是.(本

題答案不唯一)

x÷2,x≤-1,

【正確答案】/(x)=√-3x(或/(x)=<-x,-l<x<l,等，本題答案不唯一，符號(hào)題意即可)

x-2,x≥1

【分析】本題答案不唯一，符合題意即可，

x+2,x≤-l,

/(X)=X3-3X,滿足/(x)為奇函數(shù)，且/(x)在R上有且只有三個(gè)零點(diǎn)；或者/(X)=<-x,-l<x<l,滿

x-2,x≥l

足/(X)為奇函數(shù)，且/(X)在R上有且只有三個(gè)零點(diǎn).

【詳解】本題答案不唯一，符合題意即可，如/(x)=χ3-3x,/(x)為奇函數(shù)，且/(x)在R上有且只有

三個(gè)零點(diǎn)0，±√3.滿足題意.

一題多解

由題知，本題答案不唯一，符合題意即可，易知/(0)=0,故可畫(huà)出符合題意的草圖

x+2,x≤-l,

如圖所示，此時(shí)/(x)=,τ,-l<x<l,

x-2,x≥1

開(kāi)放性試題，可以從常用函數(shù)或者基本初等函數(shù)思考找到解題方向.

14.袋中裝有5個(gè)同樣大小的球，編號(hào)為1,2,3,4,5.現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出2個(gè)球，記被取出的球的

最大號(hào)碼數(shù)為J，則￡《）等于,

【正確答案】4

【分析】由題意J的可能取值為2,3,4,5,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出E（J）.

【詳解】；袋中裝有5個(gè)同樣大小的球，編號(hào)為1,2,3,4,5.

現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出2個(gè)球，記被取出的球的最大號(hào)碼數(shù)為九

??3的可能取值為2,3,4,5,

c21c'1

P(ξ=2)=一■=—，P(ξ=3)=7■=—

C10Cj5

C13C'2

PC=4)=Ff=帝P(^=5)=-f=-

1132

,1.￡（?）=2x—+3×-+4×-+5×-=4.

v7105105

故4.

15.學(xué)校高三大理班周三上午四節(jié)、下午三節(jié)有六門科目可供安排，其中語(yǔ)文和數(shù)學(xué)各自都必須上兩節(jié)而

且兩節(jié)連上，而英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物最多上一節(jié)，則不同的功課安排有種情況.

【正確答案】336

【分析】可分類，一類是語(yǔ)文數(shù)學(xué)都排上午，另一類是語(yǔ)文數(shù)學(xué)上下午各排一門.

【詳解】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午，

此時(shí)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)的安排方法有2種，在剩下的4門課中任選3門，安排在下午，有田種情況，則此時(shí)有

2x/；=48種安排方法；

②，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)分別安排上午和下午，

若語(yǔ)文在上午，有3種安排方法，數(shù)學(xué)在下午，有2種安排方法，在剩下的4門課中任選3門，安排在其

他時(shí)間，有另種情況,

則語(yǔ)文在上午、數(shù)學(xué)在下午的安排方法有3x2x團(tuán)=144種，

同理：數(shù)學(xué)在上午，語(yǔ)文在下午的安排方法也有144種，

則不同的安排方法有48+144+144=336種；

故336種；

本題考查排列與組合的綜合應(yīng)用.對(duì)特殊元素的位置優(yōu)先安排，利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解.

16.定義函數(shù)/(x)=[x[x]],其中H表示不超過(guò)X的最大整數(shù)，例如，[1.3]=1,[-1.5]=-2,[2]=2,

當(dāng)xe[O,〃),〃eN*時(shí)，/(x)的值域?yàn)?,記集合4中元素的個(gè)數(shù)為4,則(1)生=；⑵

k=2QA_?

【正確答案】①.2②.2∣l-?I

【分析】當(dāng)〃=2時(shí)，先求得了(X)的解析式，由此求得。2的值?求得[x[x]]在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)，由此

求得為,利用裂項(xiàng)求和法求得￡一1

k=2ak-Γ

【詳解】(1)當(dāng)〃=2時(shí),

0,x∈[0,1)進(jìn)而得用叫o,?∈[0,1)

根據(jù)題意得：LTl,2)'

[x]=?,

x9x∈[1,2)

O,x∈[θ,l)

所以/(x)=[x[x]]=LJ在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)分別為：1,1；所以。2=2

r[x1],x∈[l,2)

0,x∈[0,1)0,x∈[0,1)

l,x∈[l,2)x,x∈[1,2)

2,X∈[2,3)2x,x∈[2,3)

(2)解:根據(jù)題意得：兇=v3,x∈[3,4)，進(jìn)而得HH=<3x,x∈[3,4)

4,x∈[4,5)4x,x∈[4,5)

M-1,X∈[∕z-l,w)(w-l)x,x∈[∕7-l,λ7)

所以[x[x]]在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)為：1,1,2,3,4,…,〃一1,

所以當(dāng)xe[0,""∈N*時(shí)，/(x)的值域?yàn)?,集合4中元素的個(gè)數(shù)為為滿足:

2

z、(W-1)Γ1+(M-1)1n-n+2

an=1+1+2+3+4H----F(H-1)=IH------------------=---------，

n(n-??12Jln

所以&-1=〃U),所以--=7~—=2-,所以

n2a,,-lyn-?)n?H—1nJ

通項(xiàng)公式的分母是兩個(gè)等差數(shù)列乘積的形式的數(shù)列求和，可采用裂項(xiàng)求和法.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,且滿足2S"+2”=3a,,(〃eN)

(1)｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)若"=〃/+〃，求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和7；,.

π

【正確答案】⑴an=3-l

Sitt—1/、

【分析】(1)根據(jù)?！?1°C作差得到%=3/τ+2,從而得到Q"+1=3(4T+1),即可得

電一S5〃≥2

到｛4+1｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式;

(2)由(1)可知"="x3",利用錯(cuò)位相減法求和即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?S“+2〃=3α,,("wN")①，

當(dāng)〃=1時(shí)2S∣+2=3α∣,則q=2,

當(dāng)"22時(shí)2S,ι+2(〃-l)=3α,ι②，

①一②得2S“+2〃-2S,ι-2(〃-1)=3%-3q,τ,即Ian+2=3alt-3an_t,

則al,=3α,τ+2,所以α,,+1=3+1),

所以｛%+l｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以4+1=3",則%=3"-1.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?="4+",所以"=/?(3"-1)+〃="x3",

所以7；=lχ3∣+2χ32+3χ3'+…+〃x3”③，

37；,=1×32+2×33+3×34+???+∕J×3Π+1Φ,

l23,,+1

?~?n~2Tn=l×3+l×3+l×3+??→l×3'-n×3'

≡^(f-?3n+'+l?

18.福州紙傘是歷史悠久的中國(guó)傳統(tǒng)手工藝品，屬于福州三寶之一，紙傘的制作工序大致分為三步：第一

步削傘架，第二步裱傘面；第三步繪花刷油.一個(gè)優(yōu)秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技

術(shù)要求，已知某工藝師在每個(gè)環(huán)節(jié)制作合格的概率分別為一，一，；，只有當(dāng)每個(gè)環(huán)節(jié)制作都合格才認(rèn)為

453

一次成功制作.

(1)求該工藝師進(jìn)行3次制作，恰有一件優(yōu)秀作品的概率；

(2)若該工藝師制作4次，其中優(yōu)秀作品數(shù)為X,求X概率分布列及期望；

54

【正確答案】(1)----

125

O

(2)分布列見(jiàn)解析，E(X)=—

【分析】(1)先求出制作一件優(yōu)秀作品的概率，再結(jié)合二項(xiàng)分布概率公式，即可求解;

(2)若該工藝師制作4次，其中優(yōu)秀作品數(shù)為X,X的可能取值為0,1,2,3,4,求出對(duì)應(yīng)的概率,

即可得X的分布列，代入期望公式求解期望即可.

【小問(wèn)1詳解】

3422

由題意可知，制作一件優(yōu)秀作品的概率為士x—X-=一,

4535

所以該工藝師進(jìn)行3次制作，恰有一件優(yōu)秀作品的概率P==—.

35⑸125

【小問(wèn)2詳解】

該工藝師制作4次，其中優(yōu)秀作品數(shù)為X,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,

由題意知X~8∣4,∣

則P(X=O)=c：(∣∫(1-∣)4=??P(X=D=C(tj(ι-∣)3=≡

P(X=2)F∣)2(管嗡,尸(I)=C羽IT嚷,

故X的分布列為:

X01234

P812162169616

625625625625625

2c

所以數(shù)學(xué)期望為E(X)=4χχ=w?

19.如圖，在四棱錐S-ZBCA中，側(cè)面SCD為鈍角三角形且垂直于底面4SCD,底面為直角梯形且

NABC=90°,AB=AD=-BC,CO=SD,點(diǎn)〃是S4的中點(diǎn).

2

S

(1)求證：6。人平面SCz)；

（2）若直線SO與底面Z6C。所成的角為60。，求SO與平面用8。所成角的正弦值.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）叵

14

【分析】（1）根據(jù)已知條件證明BDLCD,根據(jù)線面垂直的判定定理即可得到80人平面SeD；

（2）根據(jù)已知條件建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量與平面法向量夾角的余弦值的絕對(duì)

值求解出SZ）與平面兒必。所成角的正弦值.

【詳解】解：（1）證明：取BC的中點(diǎn)E,連接。E,

設(shè)∕8=ZQ=α,BC=2a,依題意，四邊形ZBEO為正方形，

且有BE=DE=CE=a,BD=CD=√2α，

，BD2+CD2=BC2）則BDLCD.

又平面SCD1底面ABCD,平面SCDD底面ABCD=CO,，8。1平面SCD

A

（2）過(guò)點(diǎn)S作CO的垂線，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接力〃，

?.?平面SCZ），底面/68,平面SCon底面Z6C。=C。，SH±CD,S"u平面SC。，SH_1底

面ABCD,

故DH為斜線SD在底面48C。內(nèi)的射影，NSDH為斜線SD與底面ABCD所成的角，即ZSDH=60°.

由（1）得，SD=√∑α，，在RtASUO中，SD=&a，SH=-a-

2

B

在“。H中，AADH=45o,4D=a,DH=-a＞由余弦定理得

2

I2f√∑Y√f也

AH=Aa^+—a-2?α-----Q?COS45°=—a?

?I2J22

.?.AH2+DH2=AD2，從而ZAHD=90°,過(guò)點(diǎn)。作DFHSH,：.DF1底面ABCD,：.DB、DC、

。/7兩兩垂直，

如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，而為X軸正方向，反為歹軸正方向，而為Z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)

系,

Z

、

a,--a,θ?,M√2√6)

a,AQ,--------a,—u

/2J24J

n?DB=y∣2ax-O

,取z=l,得I=[。,*],

設(shè)平面MBD的法向量n=(x,?z)，由＜

-7r77亞加I2J

n?DM=----ax------ay----az=On

222

又/"0,包a,-星a,.,.sinθ=Icos<H,SD>∣=

2214

.?.SD與平面MBD所成角的正弦值為叵.

14

方法點(diǎn)睛：求解線面角的正弦值的兩種方法：

(1)幾何法：通過(guò)線面垂直的證明，找到線面角，通過(guò)長(zhǎng)度的比值即可計(jì)算線面角的正弦值；

(2)向量法：求解出直線的方向向量和平面的法向量，根據(jù)直線的方向向量與平面法向量夾角的余弦值

的絕對(duì)值等于線面角的正弦值求解出結(jié)果.

20.某機(jī)器生產(chǎn)商，對(duì)一次性購(gòu)買兩臺(tái)機(jī)器的客戶推出兩種超過(guò)質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修方案：

方案一：交納延保金6000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修2次，超過(guò)2次每次收取維修費(fèi)1500元；

方案二：交納延保金7740元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修4次，超過(guò)4次每次收取維修費(fèi)。元.

某工廠準(zhǔn)備一次性購(gòu)買兩臺(tái)這種機(jī)器，現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)購(gòu)買哪種延保方案，為此搜集并整理了臺(tái)

這種機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，統(tǒng)計(jì)得下表：

維修次數(shù)0123

機(jī)器臺(tái)數(shù)20104030

以上100臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替一臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這兩臺(tái)機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延

保兩年內(nèi)共需維修的次數(shù).

（1）求X的分布列；

（2）以所需延保金與維修費(fèi)用之和的期望值為決策依據(jù)，該工廠選擇哪種延保方案更合算？

【正確答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）確定X所有可能的取值為0,1,2,3,4,5,6,依次計(jì)算X每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的的概率，從而可列

出分布列；（2）分別求解兩種方案的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的大小比較，確定選擇哪一種更劃算.

【詳解】（1）X所有可能的取值為0,1,2,3,4,5,6

P(X=O)=IX1=L,P(X=I)=—x—x2=—,

'755251,10525

P(X=2)=LLJX2χ2=衛(wèi)，P(X=3)=L2χ2+,χ2χ2=,

'7101055100,71055105

P(X=4)=—X—+—X—×2=--,P(X=5)=-X—X2=—,

'755101050,751025

,1.339

',1010100

X的分布列為

X0123456

1117?1169

P

252510055025100

（2）選擇延保方案一，所需費(fèi)用乂元的分布列為:

X6000750090001050012000

??1169

P

455025100

E(X)=IX6000+Jχ7500+Uχ9000+9χ10500+2x12000=8580(元)

'"455025100

選擇延保方案二，所需費(fèi)用Y2元的分布列為:

η77407740+47740+2。

6769

P

10025Too

於*7UQ?1

E（YΛ=—×7740+—X（7740+a）+（7740+2?>7740+—（元）

'2710025v,100v,50

.??石⑻―E㈤=840型

當(dāng)雙外-化）=-工

E840>0,BP0<α<2000時(shí)，選擇方案二

當(dāng)黑）—（）等

EU=840—=0,即a=2000時(shí)，選擇方案一，方案二均可

當(dāng)名⑺—化）=需

E840—<0,即0>2000時(shí),選擇方案一

本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、利用數(shù)學(xué)期望解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是明確選擇方案的原因在于平均花

費(fèi)更少，即數(shù)學(xué)期望更小，屬于中檔題.

21.已知A/(x0,0),N(O,%)兩點(diǎn)分別在X軸和y軸上運(yùn)動(dòng),且IKVI=1,若動(dòng)點(diǎn)G滿足04=237+，

動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為E.

(1)求E的方程；

(2)已知不垂直于X軸的直線/與軌跡E交于不同的/、8兩點(diǎn)，。f?4√,3θ1總滿足NZ。。=/^。。，

'>

證明：直線/過(guò)定點(diǎn).

【正確答案】⑴—+y2=l;(2)證明見(jiàn)解析.

4-

【分析】(1)根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得XO=］、％=y，結(jié)合∣Λ∕N∣=1和兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式可得

22

x0+?ɑ=1,將χt)=?∣?、%=_y代入計(jì)算即可；

(2)設(shè)直線/的方程為：y=kχ+m.Z(Xr凹)、B(X2,8)，聯(lián)立橢圓方程并消去乃根據(jù)韋達(dá)定理表示

出玉+%2、XZ，利用兩點(diǎn)求斜率公式求出心°、KBQ,結(jié)合題意可得4我=一須0,列出關(guān)于/和川的方

程，化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)槎?2兩+麗,即(/刃=2(%,0)+(0,NO)=(2?，No)，

X

所以X=2/，y=y0,則/=］，%=y，

又IMNl=1,得χ02+y02=l,即(；)2+/=i,

r2

所以動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程E為：—+/=1；

4?

【小問(wèn)2詳解】

由題意知，

設(shè)直線/的方程為：y=kx+m,Z(χ∣,y),B[X2,%),

,

則>1-kxλ+m,y2-kx2+m,

，2I

----Fy~1-)^)?

<4，消去y，得(4左2+l)f+8ytmχ+4加2-4=o,

y=kx-?-m

222

由△二64?∕W-16(4左2+l)(w-l)>0,得加2<4/+1,

-Sktn4m2-4

…=Eg=赤r

k=%