江蘇省泰州市靖江季中學高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

江蘇省泰州市靖江季中學高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.為了研究一片大約一萬株樹木的生長情況，隨機測量了其中100株樹木的底部周長（單位：cm），根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出的樣本頻率分布直方圖如圖，那么在這片樹木中底部周長大于100cm的株樹大約中(

)A．3000 B．6000 C．7000 D．8000參考答案：C【考點】頻率分布直方圖．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】在頻率分布表中，頻數(shù)的和等于樣本容量，頻率的和等于1，每一小組的頻率等于這一組的頻數(shù)除以樣本容量．頻率分布直方圖中，小矩形的面積等于這一組的頻率．底部周長小于100cm的矩形的面積求和乘以樣本容量即可．【解答】解：由圖可知：底部周長小于100cm段的頻率為（0.01+0.02）×10=0.3，則底部周長大于100cm的段的頻率為1﹣0.3=0.7那么在這片樹木中底部周長大于100cm的株樹大約10000×0.7=7000人．故選C．【點評】本小題主要考查樣本的頻率分布直方圖的知識和分析問題以及解決問題的能力．統(tǒng)計初步在近兩年高考中每年都以小題的形式出現(xiàn)，基本上是低起點題．2.已知向量，則下列結(jié)論正確的是A．B．C．D．參考答案：D∵（﹣2，﹣3，1），（2，0，4），（﹣4，﹣6，2），∴，∴．∵，∴．故選：D．

3.下列命題中正確的是（）①若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且am+an=as+at（m、n、s、t∈N*），則m+n=s+t；②若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項的和，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差數(shù)列；③若Sn是等比數(shù)列{an}的前n項的和，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比數(shù)列；④若Sn是等比數(shù)列{an}的前n項的和，且；（其中A、B是非零常數(shù)，n∈N*），則A+B為零．A．①② B．②③ C．②④ D．③④參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應用；等差數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】①取數(shù)列{an}為常數(shù)列，即可推出該命題是假命題；②根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，推出2（S2n﹣Sn）=Sn+（S3n﹣S2n），即可得到Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…為等差數(shù)列；③利用等比數(shù)列an=（﹣1）n，判斷選項是否正確；④根據(jù)數(shù)列的前n項的和減去第n﹣1項的和得到數(shù)列的第n項的通項公式，即可得到此等比數(shù)列的首項與公比，根據(jù)首項和公比，利用等比數(shù)列的前n項和的公式表示出前n項的和，即可得到結(jié)論．【解答】解：①取數(shù)列{an}為常數(shù)列，對任意m、n、s、t∈N*，都有am+an=as+at，故錯；②設等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，則Sn=a1+a2+…+an，S2n﹣Sn=an+1+an+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+an+nd=Sn+n2d，同理：S3n﹣S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=an+1+an+2+…+a2n+n2d=S2n﹣Sn+n2d，∴2（S2n﹣Sn）=Sn+（S3n﹣S2n），∴Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等差數(shù)列，此選項正確；③設an=（﹣1）n，則S2=0，S4﹣S2=0，S6﹣S4=0，∴此數(shù)列不是等比數(shù)列，此選項錯；④因為an=Sn﹣Sn﹣1=（Aqn+B）﹣（Aqn﹣1+B）=Aqn﹣Aqn﹣1=（Aq﹣1）×qn﹣1，所以此數(shù)列為首項是Aq﹣1，公比為q的等比數(shù)列，則Sn=，所以B=，A=﹣，∴A+B=0，故正確；故選C．4.已知△ABC的周長為20，且頂點B（0，﹣4），C（0，4），則頂點A的軌跡方程是（）A．（x≠0） B．（x≠0）C．（x≠0） D．（x≠0）參考答案：B【考點】橢圓的定義．【專題】計算題．【分析】根據(jù)三角形的周長和定點，得到點A到兩個定點的距離之和等于定值，得到點A的軌跡是橢圓，橢圓的焦點在y軸上，寫出橢圓的方程，去掉不合題意的點．【解答】解：∵△ABC的周長為20，頂點B（0，﹣4），C（0，4），∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，∵12＞8∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是橢圓，∵a=6，c=4∴b2=20，∴橢圓的方程是故選B．【點評】本題考查橢圓的定義，注意橢圓的定義中要檢驗兩個線段的大小，看能不能構(gòu)成橢圓，本題是一個易錯題，容易忽略掉不合題意的點．5.已知,且,則

(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C10.如圖，在正四面體中，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是A.平面PDFB.DF平面PAEC.平面平面ABCD.平面平面ABC參考答案：C7.雙曲線的漸近線方程為

A． B． C． D．參考答案：C8.若，則sin（π+2α）=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】GS：二倍角的正弦．【分析】利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡已知等式，得：（cosα﹣sinα）=，兩邊平方后，利用二倍角公式可求sin2α的值，進而利用誘導公式化簡所求即可得解．【解答】解：∵，可得：（cosα﹣sinα）=，∴兩邊平方可得：1﹣2sinαcosα=，解得：sin2α=，∴sin（π+2α）=﹣sin2α=﹣．故選：A．9.在等比數(shù)列中，若，，則公比為A．

B.

C.

D.，

參考答案：D10.某中學學生會為了調(diào)查愛好游泳運動與性別是否有關(guān)，通過隨機詢問110名性別不同的高中生是否愛好游泳運動得到如下的列聯(lián)表：由并參照附表，得到的正確結(jié)論是（

）

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110

A．在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“愛好游泳運動與性別有關(guān)”

B．在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“愛好游泳運動與性別無關(guān)”

C．有99.9%的把握認為“愛好游泳運動與性別有關(guān)”

D．有99.9%的把握認為“愛好游泳運動與性別無關(guān)”參考答案：A所以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“愛好游泳運動與性別有關(guān)”,選A.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數(shù)，且函數(shù)有最小值，則=__________。參考答案：12.四面體ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，則該四面體體積的最大值是，表面積的最大值是

．參考答案：，

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】當平面ABC⊥平面BDC時，該四體體積最大；當AC⊥CD，AB⊥BD時，該四面體表面積取最大值．【解答】解：∵四面體ABCD中，AB=AC=BC=BD=CD=1，∴當平面ABC⊥平面BDC時，該四體體積最大，此時，過D作DE⊥平面ABC，交BC于E，連結(jié)AE，則AE=DE==，∴該四面體體積的最大值：Smax==．∵△ABC，△BCD都是邊長為1的等邊三角形，面積都是S==，∴要使表面積最大需△ABD，△ACD面積最大，∴當AC⊥CD，AB⊥BD時，表面積取最大值，此時=，四面體表面積最大值Smax==1+．故答案為：，．【點評】本題考查四面體的體積的最大值和表面積最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．13.若是一組基底，向量，則稱為向量在基底下的坐標，現(xiàn)已知向量在基底下的坐標為，則在另一組基底下的坐標為

。參考答案：14.如圖，第n個圖形是由正n+2邊形“擴展”而來，（n=1、2、3、…）則在第n個圖形中共有個頂點．參考答案：（n+2）（n+3）【考點】歸納推理．【分析】本題考查的知識點是歸納推理，由已知圖形中，我們可以列出頂點個數(shù)與多邊形邊數(shù)n，然后分析其中的變化規(guī)律，然后用歸納推理可以推斷出一個一般性的結(jié)論．【解答】解：由已知中的圖形我們可以得到：當n=1時，頂點共有12=3×4（個），n=2時，頂點共有20=4×5（個），n=3時，頂點共有30=5×6（個），n=4時，頂點共有42=6×7（個），…由此我們可以推斷：第n個圖形共有頂點（n+2）（n+3）個，故答案為：（n+2）（n+3）．15.復數(shù)的實部為

，虛部為

。參考答案：1,-1.16.若是一組基底，向量，則稱為向量在基底下的坐標，現(xiàn)已知向量在基底下的坐標為，則在另一組基底下的坐標為

。參考答案：117.設是橢圓C:的焦點，P為橢圓上一點，則的周長為

.參考答案：18三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.對于不等式，，，它們都是正確的.(1)根據(jù)上面不等式的規(guī)律，猜想與的大小并加以證明；(2)若不等式成立，請你寫出所滿足的一個等式和一個不等式，不必證明.參考答案：(1)猜想：，證明如下：因為，要證，只需證：，即證：，也就是證：，只需證：，即證：，顯然成立.故.(2)如，.19.已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的半焦距為c，原點O到經(jīng)過兩點（c，0），（0，b）的直線的距離為c．（Ⅰ）求橢圓E的離心率；（Ⅱ）如圖，AB是圓M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A、B兩點，求橢圓E的方程．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；曲線與方程．【專題】創(chuàng)新題型；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）求出經(jīng)過點（0，b）和（c，0）的直線方程，運用點到直線的距離公式，結(jié)合離心率公式計算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，橢圓E的方程為x2+4y2=4b2，①設出直線AB的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，結(jié)合圓的直徑和中點坐標公式，解方程可得b2=3，即可得到橢圓方程．【解答】解：（Ⅰ）經(jīng)過點（0，b）和（c，0）的直線方程為bx+cy﹣bc=0，則原點到直線的距離為d==c，即為a=2b，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，橢圓E的方程為x2+4y2=4b2，①由題意可得圓心M（﹣2，1）是線段AB的中點，則|AB|=，易知AB與x軸不垂直，記其方程為y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=．x1x2=，由M為AB的中點，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，從而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=?|x1﹣x2|=?==，解得b2=3，則有橢圓E的方程為+=1．【點評】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的求法和橢圓方程的運用，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，同時考查直線和圓的位置關(guān)系，以及中點坐標公式和點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題．20.假設關(guān)于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元），有如下的統(tǒng)計資料：x23456y2238556570若由資料可知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：（1）線性回歸方程；（2）估計使用年限為10年時，維修費用是多少？參考公式：回歸直線方程=bx+a，，a=﹣b．參考答案：【考點】線性回歸方程．【分析】（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，做出變量x，y的平均數(shù)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)b，在根據(jù)樣本中心點一定在線性回歸直線上，求出a的值，求得線性回歸方程；（2）當自變量為10時，代入線性回歸方程，求出維修費用．【解答】解：（1）列表如下：i12345xi23456yi2238556570xiyi4411422032542049162536，，，=4，=50，，，于是b===12.3，，=bx+a=12.3x+0.8，∴線性回歸方程為：=12.3x+0.8，（2）當x=10時，=12.3×10+0.8=123.8（萬元），即估計使用10年時維修費用是123.8萬元．21.、如圖所示，平面//平面，點,點，點分別在線段上，所在直線異面,且（Ⅰ）求證：;

（Ⅱ）若分別是的中點，，且所成的角為，求的長.參考答案：略22.定義：稱為n個正數(shù)p1，p2，…，pn的“均倒數(shù)”，已知數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為．（1）求{an}的通項公式（2）設Cn=，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】計算題；新定義；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法．【分析】（1）數(shù)列{an}的前項和