新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第10章概率10.3頻率與概率10.3.2隨機模擬教師用書新人教A版必修第二冊

10.3.2隨機模擬學(xué)習(xí)任務(wù)了解隨機模擬的含義，會利用隨機模擬估量概率．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算)在求解頻率與概率的關(guān)系時需要做大量的重復(fù)試驗去驗證，既費時又費勁，有沒有更好的其他方法可以替代試驗?zāi)兀繉W(xué)問點隨機模擬1．產(chǎn)生隨機數(shù)的方法(1)利用計算器或計算機軟件產(chǎn)生隨機數(shù)．(2)構(gòu)建模擬試驗產(chǎn)生隨機數(shù)．2．蒙特卡洛方法利用隨機模擬解決問題的方法稱為蒙特卡洛方法．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)隨機數(shù)是用計算機或計算器任憑按鍵產(chǎn)生的數(shù)． ()(2)不能用偽隨機數(shù)估量概率． ()(3)用隨機模擬試驗估量大事的概率時，試驗次數(shù)越多，所得的估量值越接近實際值． ()[答案](1)√(2)×(3)√類型1隨機數(shù)的產(chǎn)生方法【例1】要產(chǎn)生1～25之間的隨機整數(shù)，你有哪些方法？[解]法一：可以把25個大小外形相同的小球分別標上1，2，3，…，24，25，放入一個袋中，把它們充分攪拌均勻，然后從中摸出一個，這個球上的數(shù)就稱為隨機數(shù)，放回后重復(fù)以上過程，就得到一系列的1～25之間的隨機整數(shù)．法二：可以利用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)，以Excel為例：(1)選定A1格，輸入“＝RANDBETWEEN(1，25)”，按Enter鍵，則在此格中的數(shù)是隨機產(chǎn)生的；(2)選定A1格，點擊復(fù)制，然后選定要產(chǎn)生隨機數(shù)的格，比如A2至A100，點擊粘貼，則在A2至A100的格中均為隨機產(chǎn)生的1～25之間的數(shù)，這樣我們就很快得到了100個1～25之間的隨機數(shù)，相當于做了100次隨機試驗．隨機數(shù)產(chǎn)生的方法比較方法抽簽法用計算器或計算機產(chǎn)生優(yōu)點保證機會均等操作簡潔，省時、省力缺點耗費大量人力、物力、時間，或不具有實際操作性由于是偽隨機數(shù)，故不能保證完全等可能[跟進訓(xùn)練]1．某校高一班級共20個班，1200名同學(xué)，期中考試時如何把同學(xué)安排到40個考場中去？[解]要把1200人分到40個考場，每個考場30人，可用計算機完成．(1)按班級、學(xué)號挨次把同學(xué)檔案輸入計算機．(2)用隨機函數(shù)按挨次給每個同學(xué)一個隨機數(shù)(每人都不相同)．(3)使用計算機的排序功能按隨機數(shù)從小到大排列，可得到1200名同學(xué)的考試號0001，0002，…，1200，然后0001～0030為第一考場，0031～0060為其次考場，依次類推．類型2簡潔的隨機模擬試驗的應(yīng)用【例2】一個袋中有7個大小、外形相同的小球，6個白球，1個紅球，現(xiàn)任取1個，若為紅球就停止，若為白球就放回，攪拌均勻后再接著取，試設(shè)計一個模擬試驗計算恰好第三次摸到紅球的概率．[解]用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示紅球，利用計算器或計算機產(chǎn)生1到7之間(包括1和7)取整數(shù)值的隨機數(shù)．由于要求恰好第三次摸到紅球的概率，所以每三個隨機數(shù)作為一組．如下，產(chǎn)生20組隨機數(shù)：666743671464571561156567732375716116614445117573552274114662就相當于做了20次試驗，在這些數(shù)組中，前兩個數(shù)字不是7，第三個數(shù)字恰好是7就表示第一次、其次次摸到的是白球，第三次摸到的是紅球，它們分別是567和117，共兩組，因此恰好第三次摸到紅球的概率約為220＝在設(shè)計隨機模擬試驗時，留意以下兩點(1)要依據(jù)具體的大事設(shè)計恰當?shù)脑囼?，使試驗?zāi)軌蛘嬲啬M隨機大事．(2)留意用不同的隨機數(shù)來表示不同的隨機大事的發(fā)生．[跟進訓(xùn)練]2．在一個盒中裝有10支圓珠筆，其中7支一級品，3支二級品，任取一支，用模擬方法求取到一級品的概率．[解]設(shè)大事A：“取到一級品”．(1)用計算機的隨機函數(shù)RANDBETWEEN(1，10)或計算器產(chǎn)生1到10之間的整數(shù)隨機數(shù)，分別用1，2，3，4，5，6，7表示取到一級品，用8，9，10表示取到二級品．(2)統(tǒng)計試驗總次數(shù)N及其中消滅1至7之間數(shù)的次數(shù)N1．(3)計算頻率fn(A)＝N1N，即為大事類型3較簡單的隨機模擬試驗的應(yīng)用【例3】A地的天氣預(yù)報顯示，A地在今后的三天中，每一天有強濃霧的概率為30%，現(xiàn)用隨機模擬的方法估量這三天中至少有兩天有強濃霧的概率，先利用計算器產(chǎn)生0－9之間整數(shù)值的隨機數(shù)，并用0，1，2，3，4，5，6表示沒有強濃霧，用7，8，9表示有強濃霧，再以每3個隨機數(shù)作為一組，代表三天的天氣狀況，產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：102798391925173845812529769683231307592027516588730113977539則這三天中至少有兩天有強濃霧的概率近似為()A．14B．25C．7D[在20組隨機數(shù)中表示三天中至少有兩天有強濃霧的可以通過列舉得到，共4組隨機數(shù)：798，769，588，977，所求概率為420利用隨機模擬估量概率應(yīng)關(guān)注三點用整數(shù)隨機數(shù)模擬試驗估量概率時，首先要確定隨機數(shù)的范圍和用哪些數(shù)代表不同的試驗結(jié)果．我們可以從以下三方面考慮：(1)當試驗的基本大事等可能時，基本大事總數(shù)即為產(chǎn)生隨機數(shù)的范圍，每個隨機數(shù)代表一個基本大事．(2)爭辯等可能大事的概率時，用按比例安排的方法確定表示各個結(jié)果的數(shù)字個數(shù)及總個數(shù)．(3)當每次試驗結(jié)果需要n個隨機數(shù)表示時，要把n個隨機數(shù)作為一組來處理，此時肯定要留意每組中的隨機數(shù)字能否重復(fù)．[跟進訓(xùn)練]3．袋子中有四個小球，分別寫有“文、明、中、國”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“國”兩個字都取到就停止，用隨機模擬的方法估量恰好在第三次停止的概率．利用電腦隨機產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，分別用0，1，2，3代表“文、明、中、國”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：232321230023123021132220001231130133231013320122103233由此可以估量，恰好第三次就停止的概率為()A．19B．16C．2B[經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生的18組隨機數(shù)中，恰好第三次就停止包含的樣本點有：023，123，132，共3個，由此可以估量，恰好第三次就停止的概率為3181．用隨機模擬的方法估量概率時，其精確?????程度打算于()A．產(chǎn)生的隨機數(shù)的大小B．產(chǎn)生的隨機數(shù)的個數(shù)C．隨機數(shù)對應(yīng)的結(jié)果D．產(chǎn)生隨機數(shù)的方法B[用隨機模擬的方法估量概率時，產(chǎn)生的隨機數(shù)越多，精確?????程度越高，故選B.]2．擲兩枚骰子，用隨機模擬方法估量消滅點數(shù)之和為9的概率時，產(chǎn)生的整數(shù)值隨機數(shù)中，每幾個數(shù)字為一組()A．1B．2C．9D．12B[由于擲兩枚骰子，所以產(chǎn)生的整數(shù)值隨機數(shù)中，每2個數(shù)字為一組．]3．已知某運動員每次投籃命中的概率低于40%，現(xiàn)接受隨機模擬的方法估量該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估量，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為()A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15B[由題意知模擬三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)，在20組隨機數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的有191，271，932，812，393，共5組隨機數(shù)，∴所求概率為520＝14．在用隨機數(shù)(整數(shù))模擬“有4個男生和5個女生，從中選4個，求選出2個男生2個女生”的概率時，可讓計算機產(chǎn)生1～9的隨機整數(shù)，并用1～4代表男生，用5～9代表女生，由于是選出4個，所以每4個隨機數(shù)作為一組．若得到的一組隨機數(shù)“4678”，則它代表的含義是________．選出的4人中，只有1個男生[用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示1男3女，即選出的4人中，只有1個男生．]回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．產(chǎn)生隨機數(shù)的方法有哪些？[提示]產(chǎn)生隨機數(shù)的方法有抽簽法、利用計算機或計算器產(chǎn)生隨機數(shù)的隨機模擬方法等．2．如何用隨機模擬的方法估量概率？[提示]用隨機模擬法估量概率的主要步驟：(1)設(shè)計概率模型．(2)進行模擬試驗．(3)統(tǒng)計試驗結(jié)果，估量概率．“黃金72小時”中的概率當?shù)卣鸬鹊刭|(zhì)災(zāi)難發(fā)生后，在媒體上經(jīng)?？梢钥吹健包S金72小時”這幾個字．你知道它表示的是什么意思嗎？醫(yī)學(xué)爭辯和統(tǒng)計表明，在沒有食物尤其是沒有水的條件下，生命的存續(xù)期一般不會超過3天．國際救援界認為，在地震等地質(zhì)災(zāi)難發(fā)生后的72小時內(nèi)，被救出人員的存活率隨時間的消逝呈遞減趨勢：第一天(即24小時內(nèi))，存活率約為90%；其次天，存活率為50%—60%；第三天，存活率為20%—30%.再往后的話，存活率將進一步削減．這里的存活率可以用概率來理解：被救出的人員，假如是在24小時內(nèi)被發(fā)覺的，那么該人員生還的概率為90%；假如是在第24—48小時內(nèi)被發(fā)覺的，那么生還的概率為50%—60%；假如是第48—72小時內(nèi)發(fā)覺的，那么生還的概率為20%—30%.這就意味著，當?shù)卣鸬鹊刭|(zhì)災(zāi)難發(fā)生后，應(yīng)當“與時間賽跑”，利用各種手段和機會盡可能早地發(fā)覺被困人員．需要留意的是，概率描述的只是大事發(fā)生的可能性大小，發(fā)生的可能性小(即概率小)并不代表不會發(fā)生．統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，地震六天后，被埋人員生還的概率幾乎為零．但是這樣的事例并不是沒有：2005年巴基斯坦7.6級地震中，一名青年被埋27天后獲救生還；2008年我國汶川地震中，一位60歲的老人被困11天后獲救生還；等等．因此，幾乎全部的救援工作，在“黃金72小時”之外都會連續(xù)，以發(fā)覺更多生命的奇跡．課時分層作業(yè)(五十)隨機模擬一、選擇題1．(多選)下列能產(chǎn)生隨機數(shù)的是()A．拋擲骰子試驗B．拋硬幣C．計算器D．正方體的六個面上分別寫有1，2，2，3，4，5，拋擲該正方體ABC[D項中，消滅2的概率為26，消滅1，3，4，5的概率均是12．利用拋硬幣產(chǎn)生隨機數(shù)1和2，消滅正面表示產(chǎn)生的隨機數(shù)為1，消滅反面表示產(chǎn)生的隨機數(shù)為2．小王拋兩次，則消滅的隨機數(shù)之和為3的概率為()A．12B．13C．1A[拋擲硬幣兩次，產(chǎn)生的隨機數(shù)的狀況有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)共四種，其中隨機數(shù)之和為3的狀況有(1，2)，(2，1)兩種，故所求概率為243．假定某運動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現(xiàn)接受隨機模擬的方法估量該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每兩個隨機數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：9328124585696834312573930275564887301135據(jù)此估量，該運動員兩次擲鏢恰有一次正中靶心的概率為()A．0.50 B．0.45C．0.40 D．0.35A[兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機數(shù)中有且只有一個數(shù)為1，2，3，4中的一個．它們分別是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35，共10個．因此估量所求的概率為1020＝0.50．二、填空題4．在利用整數(shù)隨機數(shù)進行隨機模擬試驗中，整數(shù)a到整數(shù)b之間的每個整數(shù)消滅的可能性是________．1b-a+1[[a，b]中共有b5．甲、乙兩支籃球隊進行一局競賽，甲獲勝的概率為0.6，若接受三局兩勝制進行一次競賽，現(xiàn)接受隨機模擬的方法估量乙獲勝的概率．先利用計算器或計算機生成0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，用0，1，2，3，4，5表示甲獲勝；6，7，8，9表示乙獲勝，這樣能體現(xiàn)甲獲勝的概率為0.6．由于接受三局兩勝制，所以每3個隨機數(shù)作為一組．例如，產(chǎn)生30組隨機數(shù)：034743738636964736614698637162332616804560111410959774246762428114572042533237322707360751據(jù)此估量乙獲勝的概率約為________．(保留3位有效數(shù)字)0.367[產(chǎn)生30組隨機數(shù)，就相當于做了30次試驗．假如6，7，8，9中恰有2個或3個數(shù)消滅，就表示乙獲勝，它們分別是738，636，964，736，698，637，616，959，774，762，707，共11個．所以接受三局兩勝制，乙獲勝的概率約為1130≈0.367．三、解答題6．某籃球愛好者做投籃練習(xí)，假設(shè)其每次投籃命中的概率是60%，若該籃球愛好者連續(xù)投籃4次，求至少投中3次的概率．用隨機模擬的方法估量上述概率．[解]利用計算機或計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，用1，2，3，4，5，6表示投中，用7，8，9，0表示未投中，這樣可以體現(xiàn)投中的概率是60%，由于投籃4次，所以每4個隨機數(shù)作為1組．例如5727，7895，0123，…，4560，4581，4698，共100組這樣的隨機數(shù)，若全部數(shù)組中沒有7，8，9，0或只有7，8，9，0中的一個數(shù)的數(shù)組的個數(shù)為n，則至少投中3次的概率近似值為n1007．拋擲兩顆相同的骰子，用隨機模擬方法估量“上面點數(shù)的和是6的倍數(shù)”的概率時，用1，2，3，4，5，6分別表示上面的點數(shù)是1，2，3，4，5，6，用計算器或計算機分別產(chǎn)生1到6的兩組整數(shù)隨機數(shù)各60個，每組第i個數(shù)組成一組，共組成60組數(shù)，其中有一組是16，這組數(shù)表示的結(jié)果是否滿足上面點數(shù)的和是6的倍數(shù)：________(選填“是”或“否”)．否[16表示第一顆骰子向上的點數(shù)是1，其次顆骰子向上的點數(shù)是6，則上面點數(shù)的和是1＋6＝7，不表示和是6的倍數(shù)．]8．在一個大轉(zhuǎn)盤上，盤面被均勻地分成12份，分別寫有1～12這12個數(shù)字，其中2，4，6，8，10，12這6個區(qū)域?qū)?yīng)的獎品是文具盒，而1，3，5，7，9，11這6個區(qū)域?qū)?yīng)的獎品是書包．玩耍規(guī)章是轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動后指針停在哪一格，則連續(xù)向前前進相應(yīng)的格數(shù)．例如：你轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤停止后，指針落在4所在區(qū)域，則還要往前前進4格，到標有8的區(qū)域，此時8區(qū)域?qū)?yīng)的獎品就是你的，依此類推．請問：小明在玩這個玩耍時，得到的獎品是書包的概率是________．0[∵轉(zhuǎn)盤停止后，指針所在區(qū)域再前進相應(yīng)格數(shù)后所在位置均為標為偶數(shù)的區(qū)域，又∵得到書包對應(yīng)的區(qū)域均標為奇數(shù)，∴得到的獎品為書包的概率為0．]9．某市為了了解一周內(nèi)同學(xué)的線上學(xué)習(xí)狀況，從該市抽取了1000名同學(xué)進行調(diào)查，依據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)為了估量從該市任意抽取的3名同學(xué)中恰有2人線上學(xué)習(xí)時間在[200，300)的概率P，特設(shè)計如下隨機模擬試驗：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，依次用0，1，2，3，…，9的前若干個數(shù)字表示線上學(xué)習(xí)時間在[200，300)內(nèi)，剩余的數(shù)字表示線上學(xué)習(xí)時間不在[200，300)內(nèi)；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表線上學(xué)習(xí)的狀況．假設(shè)用上述隨機模擬方法產(chǎn)生了如下30組隨機數(shù)：90796619192527156981245893268343125739302755643887373011