新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第10章概率10.3頻率與概率10.3.2隨機(jī)模擬教師用書新人教A版必修第二冊

10.3.2隨機(jī)模擬學(xué)習(xí)任務(wù)了解隨機(jī)模擬的含義，會利用隨機(jī)模擬估量概率．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)在求解頻率與概率的關(guān)系時(shí)需要做大量的重復(fù)試驗(yàn)去驗(yàn)證，既費(fèi)時(shí)又費(fèi)勁，有沒有更好的其他方法可以替代試驗(yàn)?zāi)?？學(xué)問點(diǎn)隨機(jī)模擬1．產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)．(2)構(gòu)建模擬試驗(yàn)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)．2．蒙特卡洛方法利用隨機(jī)模擬解決問題的方法稱為蒙特卡洛方法．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)隨機(jī)數(shù)是用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器任憑按鍵產(chǎn)生的數(shù)． ()(2)不能用偽隨機(jī)數(shù)估量概率． ()(3)用隨機(jī)模擬試驗(yàn)估量大事的概率時(shí)，試驗(yàn)次數(shù)越多，所得的估量值越接近實(shí)際值． ()[答案](1)√(2)×(3)√類型1隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法【例1】要產(chǎn)生1～25之間的隨機(jī)整數(shù)，你有哪些方法？[解]法一：可以把25個(gè)大小外形相同的小球分別標(biāo)上1，2，3，…，24，25，放入一個(gè)袋中，把它們充分?jǐn)嚢杈鶆?，然后從中摸出一個(gè)，這個(gè)球上的數(shù)就稱為隨機(jī)數(shù)，放回后重復(fù)以上過程，就得到一系列的1～25之間的隨機(jī)整數(shù)．法二：可以利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，以Excel為例：(1)選定A1格，輸入“＝RANDBETWEEN(1，25)”，按Enter鍵，則在此格中的數(shù)是隨機(jī)產(chǎn)生的；(2)選定A1格，點(diǎn)擊復(fù)制，然后選定要產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的格，比如A2至A100，點(diǎn)擊粘貼，則在A2至A100的格中均為隨機(jī)產(chǎn)生的1～25之間的數(shù)，這樣我們就很快得到了100個(gè)1～25之間的隨機(jī)數(shù)，相當(dāng)于做了100次隨機(jī)試驗(yàn)．隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的方法比較方法抽簽法用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生優(yōu)點(diǎn)保證機(jī)會均等操作簡潔，省時(shí)、省力缺點(diǎn)耗費(fèi)大量人力、物力、時(shí)間，或不具有實(shí)際操作性由于是偽隨機(jī)數(shù)，故不能保證完全等可能[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．某校高一班級共20個(gè)班，1200名同學(xué)，期中考試時(shí)如何把同學(xué)安排到40個(gè)考場中去？[解]要把1200人分到40個(gè)考場，每個(gè)考場30人，可用計(jì)算機(jī)完成．(1)按班級、學(xué)號挨次把同學(xué)檔案輸入計(jì)算機(jī)．(2)用隨機(jī)函數(shù)按挨次給每個(gè)同學(xué)一個(gè)隨機(jī)數(shù)(每人都不相同)．(3)使用計(jì)算機(jī)的排序功能按隨機(jī)數(shù)從小到大排列，可得到1200名同學(xué)的考試號0001，0002，…，1200，然后0001～0030為第一考場，0031～0060為其次考場，依次類推．類型2簡潔的隨機(jī)模擬試驗(yàn)的應(yīng)用【例2】一個(gè)袋中有7個(gè)大小、外形相同的小球，6個(gè)白球，1個(gè)紅球，現(xiàn)任取1個(gè)，若為紅球就停止，若為白球就放回，攪拌均勻后再接著取，試設(shè)計(jì)一個(gè)模擬試驗(yàn)計(jì)算恰好第三次摸到紅球的概率．[解]用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示紅球，利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到7之間(包括1和7)取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)．由于要求恰好第三次摸到紅球的概率，所以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組．如下，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)：666743671464571561156567732375716116614445117573552274114662就相當(dāng)于做了20次試驗(yàn)，在這些數(shù)組中，前兩個(gè)數(shù)字不是7，第三個(gè)數(shù)字恰好是7就表示第一次、其次次摸到的是白球，第三次摸到的是紅球，它們分別是567和117，共兩組，因此恰好第三次摸到紅球的概率約為220＝在設(shè)計(jì)隨機(jī)模擬試驗(yàn)時(shí)，留意以下兩點(diǎn)(1)要依據(jù)具體的大事設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)脑囼?yàn)，使試驗(yàn)?zāi)軌蛘嬲啬M隨機(jī)大事．(2)留意用不同的隨機(jī)數(shù)來表示不同的隨機(jī)大事的發(fā)生．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．在一個(gè)盒中裝有10支圓珠筆，其中7支一級品，3支二級品，任取一支，用模擬方法求取到一級品的概率．[解]設(shè)大事A：“取到一級品”．(1)用計(jì)算機(jī)的隨機(jī)函數(shù)RANDBETWEEN(1，10)或計(jì)算器產(chǎn)生1到10之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，分別用1，2，3，4，5，6，7表示取到一級品，用8，9，10表示取到二級品．(2)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N及其中消滅1至7之間數(shù)的次數(shù)N1．(3)計(jì)算頻率fn(A)＝N1N，即為大事類型3較簡單的隨機(jī)模擬試驗(yàn)的應(yīng)用【例3】A地的天氣預(yù)報(bào)顯示，A地在今后的三天中，每一天有強(qiáng)濃霧的概率為30%，現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法估量這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的概率，先利用計(jì)算器產(chǎn)生0－9之間整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，并用0，1，2，3，4，5，6表示沒有強(qiáng)濃霧，用7，8，9表示有強(qiáng)濃霧，再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，代表三天的天氣狀況，產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：102798391925173845812529769683231307592027516588730113977539則這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的概率近似為()A．14B．25C．7D[在20組隨機(jī)數(shù)中表示三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的可以通過列舉得到，共4組隨機(jī)數(shù)：798，769，588，977，所求概率為420利用隨機(jī)模擬估量概率應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)用整數(shù)隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)估量概率時(shí)，首先要確定隨機(jī)數(shù)的范圍和用哪些數(shù)代表不同的試驗(yàn)結(jié)果．我們可以從以下三方面考慮：(1)當(dāng)試驗(yàn)的基本大事等可能時(shí)，基本大事總數(shù)即為產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的范圍，每個(gè)隨機(jī)數(shù)代表一個(gè)基本大事．(2)爭辯等可能大事的概率時(shí)，用按比例安排的方法確定表示各個(gè)結(jié)果的數(shù)字個(gè)數(shù)及總個(gè)數(shù)．(3)當(dāng)每次試驗(yàn)結(jié)果需要n個(gè)隨機(jī)數(shù)表示時(shí)，要把n個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組來處理，此時(shí)肯定要留意每組中的隨機(jī)數(shù)字能否重復(fù)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．袋子中有四個(gè)小球，分別寫有“文、明、中、國”四個(gè)字，有放回地從中任取一個(gè)小球，直到“中”“國”兩個(gè)字都取到就停止，用隨機(jī)模擬的方法估量恰好在第三次停止的概率．利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用0，1，2，3代表“文、明、中、國”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：232321230023123021132220001231130133231013320122103233由此可以估量，恰好第三次就停止的概率為()A．19B．16C．2B[經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生的18組隨機(jī)數(shù)中，恰好第三次就停止包含的樣本點(diǎn)有：023，123，132，共3個(gè)，由此可以估量，恰好第三次就停止的概率為3181．用隨機(jī)模擬的方法估量概率時(shí)，其精確?????程度打算于()A．產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的大小B．產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)C．隨機(jī)數(shù)對應(yīng)的結(jié)果D．產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法B[用隨機(jī)模擬的方法估量概率時(shí)，產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)越多，精確?????程度越高，故選B.]2．?dāng)S兩枚骰子，用隨機(jī)模擬方法估量消滅點(diǎn)數(shù)之和為9的概率時(shí)，產(chǎn)生的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)中，每幾個(gè)數(shù)字為一組()A．1B．2C．9D．12B[由于擲兩枚骰子，所以產(chǎn)生的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)中，每2個(gè)數(shù)字為一組．]3．已知某運(yùn)動員每次投籃命中的概率低于40%，現(xiàn)接受隨機(jī)模擬的方法估量該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估量，該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為()A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15B[由題意知模擬三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)，在20組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的有191，271，932，812，393，共5組隨機(jī)數(shù)，∴所求概率為520＝14．在用隨機(jī)數(shù)(整數(shù))模擬“有4個(gè)男生和5個(gè)女生，從中選4個(gè)，求選出2個(gè)男生2個(gè)女生”的概率時(shí)，可讓計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1～9的隨機(jī)整數(shù)，并用1～4代表男生，用5～9代表女生，由于是選出4個(gè)，所以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組．若得到的一組隨機(jī)數(shù)“4678”，則它代表的含義是________．選出的4人中，只有1個(gè)男生[用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示1男3女，即選出的4人中，只有1個(gè)男生．]回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法有哪些？[提示]產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法有抽簽法、利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的隨機(jī)模擬方法等．2．如何用隨機(jī)模擬的方法估量概率？[提示]用隨機(jī)模擬法估量概率的主要步驟：(1)設(shè)計(jì)概率模型．(2)進(jìn)行模擬試驗(yàn)．(3)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果，估量概率．“黃金72小時(shí)”中的概率當(dāng)?shù)卣鸬鹊刭|(zhì)災(zāi)難發(fā)生后，在媒體上經(jīng)?？梢钥吹健包S金72小時(shí)”這幾個(gè)字．你知道它表示的是什么意思嗎？醫(yī)學(xué)爭辯和統(tǒng)計(jì)表明，在沒有食物尤其是沒有水的條件下，生命的存續(xù)期一般不會超過3天．國際救援界認(rèn)為，在地震等地質(zhì)災(zāi)難發(fā)生后的72小時(shí)內(nèi)，被救出人員的存活率隨時(shí)間的消逝呈遞減趨勢：第一天(即24小時(shí)內(nèi))，存活率約為90%；其次天，存活率為50%—60%；第三天，存活率為20%—30%.再往后的話，存活率將進(jìn)一步削減．這里的存活率可以用概率來理解：被救出的人員，假如是在24小時(shí)內(nèi)被發(fā)覺的，那么該人員生還的概率為90%；假如是在第24—48小時(shí)內(nèi)被發(fā)覺的，那么生還的概率為50%—60%；假如是第48—72小時(shí)內(nèi)發(fā)覺的，那么生還的概率為20%—30%.這就意味著，當(dāng)?shù)卣鸬鹊刭|(zhì)災(zāi)難發(fā)生后，應(yīng)當(dāng)“與時(shí)間賽跑”，利用各種手段和機(jī)會盡可能早地發(fā)覺被困人員．需要留意的是，概率描述的只是大事發(fā)生的可能性大小，發(fā)生的可能性小(即概率小)并不代表不會發(fā)生．統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，地震六天后，被埋人員生還的概率幾乎為零．但是這樣的事例并不是沒有：2005年巴基斯坦7.6級地震中，一名青年被埋27天后獲救生還；2008年我國汶川地震中，一位60歲的老人被困11天后獲救生還；等等．因此，幾乎全部的救援工作，在“黃金72小時(shí)”之外都會連續(xù)，以發(fā)覺更多生命的奇跡．課時(shí)分層作業(yè)(五十)隨機(jī)模擬一、選擇題1．(多選)下列能產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的是()A．拋擲骰子試驗(yàn)B．拋硬幣C．計(jì)算器D．正方體的六個(gè)面上分別寫有1，2，2，3，4，5，拋擲該正方體ABC[D項(xiàng)中，消滅2的概率為26，消滅1，3，4，5的概率均是12．利用拋硬幣產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)1和2，消滅正面表示產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)為1，消滅反面表示產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)為2．小王拋兩次，則消滅的隨機(jī)數(shù)之和為3的概率為()A．12B．13C．1A[拋擲硬幣兩次，產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的狀況有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)共四種，其中隨機(jī)數(shù)之和為3的狀況有(1，2)，(2，1)兩種，故所求概率為243．假定某運(yùn)動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現(xiàn)接受隨機(jī)模擬的方法估量該運(yùn)動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每兩個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：9328124585696834312573930275564887301135據(jù)此估量，該運(yùn)動員兩次擲鏢恰有一次正中靶心的概率為()A．0.50 B．0.45C．0.40 D．0.35A[兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機(jī)數(shù)中有且只有一個(gè)數(shù)為1，2，3，4中的一個(gè)．它們分別是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35，共10個(gè)．因此估量所求的概率為1020＝0.50．二、填空題4．在利用整數(shù)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬試驗(yàn)中，整數(shù)a到整數(shù)b之間的每個(gè)整數(shù)消滅的可能性是________．1b-a+1[[a，b]中共有b5．甲、乙兩支籃球隊(duì)進(jìn)行一局競賽，甲獲勝的概率為0.6，若接受三局兩勝制進(jìn)行一次競賽，現(xiàn)接受隨機(jī)模擬的方法估量乙獲勝的概率．先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)生成0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用0，1，2，3，4，5表示甲獲勝；6，7，8，9表示乙獲勝，這樣能體現(xiàn)甲獲勝的概率為0.6．由于接受三局兩勝制，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組．例如，產(chǎn)生30組隨機(jī)數(shù)：034743738636964736614698637162332616804560111410959774246762428114572042533237322707360751據(jù)此估量乙獲勝的概率約為________．(保留3位有效數(shù)字)0.367[產(chǎn)生30組隨機(jī)數(shù)，就相當(dāng)于做了30次試驗(yàn)．假如6，7，8，9中恰有2個(gè)或3個(gè)數(shù)消滅，就表示乙獲勝，它們分別是738，636，964，736，698，637，616，959，774，762，707，共11個(gè)．所以接受三局兩勝制，乙獲勝的概率約為1130≈0.367．三、解答題6．某籃球愛好者做投籃練習(xí)，假設(shè)其每次投籃命中的概率是60%，若該籃球愛好者連續(xù)投籃4次，求至少投中3次的概率．用隨機(jī)模擬的方法估量上述概率．[解]利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1，2，3，4，5，6表示投中，用7，8，9，0表示未投中，這樣可以體現(xiàn)投中的概率是60%，由于投籃4次，所以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)作為1組．例如5727，7895，0123，…，4560，4581，4698，共100組這樣的隨機(jī)數(shù)，若全部數(shù)組中沒有7，8，9，0或只有7，8，9，0中的一個(gè)數(shù)的數(shù)組的個(gè)數(shù)為n，則至少投中3次的概率近似值為n1007．拋擲兩顆相同的骰子，用隨機(jī)模擬方法估量“上面點(diǎn)數(shù)的和是6的倍數(shù)”的概率時(shí)，用1，2，3，4，5，6分別表示上面的點(diǎn)數(shù)是1，2，3，4，5，6，用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)分別產(chǎn)生1到6的兩組整數(shù)隨機(jī)數(shù)各60個(gè)，每組第i個(gè)數(shù)組成一組，共組成60組數(shù)，其中有一組是16，這組數(shù)表示的結(jié)果是否滿足上面點(diǎn)數(shù)的和是6的倍數(shù)：________(選填“是”或“否”)．否[16表示第一顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)是1，其次顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)是6，則上面點(diǎn)數(shù)的和是1＋6＝7，不表示和是6的倍數(shù)．]8．在一個(gè)大轉(zhuǎn)盤上，盤面被均勻地分成12份，分別寫有1～12這12個(gè)數(shù)字，其中2，4，6，8，10，12這6個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的獎品是文具盒，而1，3，5，7，9，11這6個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的獎品是書包．玩耍規(guī)章是轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動后指針停在哪一格，則連續(xù)向前前進(jìn)相應(yīng)的格數(shù)．例如：你轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤停止后，指針落在4所在區(qū)域，則還要往前前進(jìn)4格，到標(biāo)有8的區(qū)域，此時(shí)8區(qū)域?qū)?yīng)的獎品就是你的，依此類推．請問：小明在玩這個(gè)玩耍時(shí)，得到的獎品是書包的概率是________．0[∵轉(zhuǎn)盤停止后，指針?biāo)趨^(qū)域再前進(jìn)相應(yīng)格數(shù)后所在位置均為標(biāo)為偶數(shù)的區(qū)域，又∵得到書包對應(yīng)的區(qū)域均標(biāo)為奇數(shù)，∴得到的獎品為書包的概率為0．]9．某市為了了解一周內(nèi)同學(xué)的線上學(xué)習(xí)狀況，從該市抽取了1000名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，依據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)為了估量從該市任意抽取的3名同學(xué)中恰有2人線上學(xué)習(xí)時(shí)間在[200，300)的概率P，特設(shè)計(jì)如下隨機(jī)模擬試驗(yàn)：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，依次用0，1，2，3，…，9的前若干個(gè)數(shù)字表示線上學(xué)習(xí)時(shí)間在[200，300)內(nèi)，剩余的數(shù)字表示線上學(xué)習(xí)時(shí)間不在[200，300)內(nèi)；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表線上學(xué)習(xí)的狀況．假設(shè)用上述隨機(jī)模擬方法產(chǎn)生了如下30組隨機(jī)數(shù)：90796619192527156981245893268343125739302755643887373011