湖南省邵陽市新邵縣2022-2023學(xué)年高一年級下冊學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（含答案）

湖南省邵陽市新邵縣2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1、復(fù)數(shù)z=i（l+i）的實(shí)部為（）

A.1B.-lC.iD.-i

2、能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的是（）.

A.眾數(shù)B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.方差

3、設(shè)a為平面，a,〃為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是（）

A.若a_La，a/lb>則Z?_LaB.若口〃。，blla，則a〃匕

C.若a//a，a±b,則8J_aD.若aj_a，aLb,則》〃a

4、已知a,b,c為△AB。三個內(nèi)角A,B,。的對邊，b=2,A=45。，C=75°?則

。=()

.日J(rèn)及.亞

A.巫BD

3

5、已知卜卜忖=1，向量a與。的夾角為6（）。，則囚-4囚=（）

A.5C.3夜D，713

6、若一個圓錐的底面面積為兀，其側(cè)面展開圖是圓心角為目的扇形，則該圓錐的體

3

積為（）

A百

a-----兀B

3-3兀。扃0。島

7、在ABC中，。是8C的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，若BE=/IA3+〃AC，則，+〃=（）

331

A.lB.-C.--D.」

442

8、從1,2,3,4中取隨機(jī)選出一個數(shù)字，記事件4="取出的數(shù)字是1或2”，

4="取出的數(shù)字是1或3"，4="取出的數(shù)字是1或4"，命題“①A與4相互獨(dú)立；

②A2與A3相互獨(dú)立；③4與&相互獨(dú)立中真命題”的個數(shù)是（）

A.lB.2C.3D.O

二、多項(xiàng)選擇題

9、已知復(fù)數(shù)滿足（l-i）z=2i（i是虛數(shù)單位），則下列關(guān)于復(fù)數(shù)的結(jié)論正確的是（）

A.忖=V2

B.復(fù)數(shù)的共軻復(fù)數(shù)為三=_IT

C.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于第三象限

D.復(fù)數(shù)是方程f+2兀+2=0的一個根

10、下列說法中正確的是（）

A.若W/b，R/c，則W/c

B.若a〃b，則存在唯一實(shí)數(shù)％使得。=幾人

C.兩個非零向量b,若卜-q=M+則與人共線且反向

D.若尸是△ABC的重心，則PA+P8+PC=0

11、已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列說法正確的是（）

A.若sin2A=sin23,則此三角形為等腰三角形

B.若，^=上，則A=P

cosAsinB4

C.若a=i，b=4i，A=30。，則解此三角形必有兩解

D.若△ABC是銳角二角形，則sinA+sinB>cosA+cosB

12、如圖，正方體ABC。-〃的棱長為2,則下列四個命題正確的是（）

A.直線BC與平面ABCQi所成的角等于三

B.點(diǎn)A到面ABCtD1的距離為O

C.兩條異面直線D.C和BG所成的角為三

D.三棱柱MA-外接球表面積為371

三、填空題

13、已知復(fù)數(shù)-5+i與-3-2i分別表示向量和08,則表示向量的復(fù)數(shù)為.

14、鄂州市半程馬拉松比賽需要學(xué)生志愿者若干名，其中某路段從某校高一年級800

人中采用男女比例分配分層抽樣抽取一個容量為32的樣本，已知樣本中男生比女生多

8人，則該校高一年級男生有人.

3i

15、已知甲、乙兩人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為了和二，甲和乙是否命中目標(biāo)互不

影響，且各次射擊是否命中目標(biāo)也互不影響.若按甲、乙、甲、乙…的次序輪流射擊，直

到有一人擊中目標(biāo)就停止射擊，則停止射擊時，甲、乙共射擊了四次的概率是

16、如圖，在△ABC中，8c=B4.BC=3，點(diǎn)2為邊8。上的一動點(diǎn)，則P4PC的

最小值為.

四、解答題

17、已知向量。=(1,2)，向量匕=(x,l).

(1)當(dāng)時，求實(shí)數(shù)九的值；

(2)當(dāng)％=3時，求向量q與向量8的夾角.

18、在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a+/,=6，c=4，且

c(cosA+sinA)=/>.

(1)求C；

(2)求△ABC的面積.

19、某中學(xué)演講社團(tuán)共有6名同學(xué)，其中來自高一年級的有一女兩男，來自高二年級

的有兩女一男.

(1)若從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出兩人參加演講比賽，

(i)求高二年級的男生被選中的概率；

(”)求其中至少有一名男生的概率；

(2)若從每個年級的3名同學(xué)中各任選1名，求選出的2名同學(xué)性別相同的概率.

20、如圖，在直三棱柱ABC—J中，NABC=90。，AB=BC=AA[=2,M,N分

別為棱AC、44的中點(diǎn).

（1）證明：MN〃平面64GC.

⑵求點(diǎn)8到平面CMN的距離.

21、一家商場根據(jù)以往某商品的銷量記錄繪制了日銷量的頻率分布直方圖，但工作人

員不小心滴到直方圖上一滴墨水，如下圖.

（1）求直方圖中被墨水污損的數(shù)字的值；

（2）由直方圖估計(jì)日銷量的平均數(shù)、眾數(shù)和80%分位數(shù).（80%分位數(shù)精確到小數(shù)點(diǎn)后

兩位）

22、如圖所示，在四棱錐P—ABC。中，已知底面A3CO是邊長為6的菱形，

RF1

ZABC=12O0*PA=PC，NPBD=NPDB=60°,E為線段AB上的點(diǎn)，且^—=-.

AE2

（1）證明：平面平面PBO；

(2)月為線段尸。上的一點(diǎn)，且Er〃平面PBC，求”的值及直線所與平面A3CO的

PD

夾角.

參考答案

1、答案：B

解析：z=i(l+i)=i+F=-1+i，；.實(shí)部為-1，

故選：B.

2、答案：D

解析：眾數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的一般水平，

平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，

中位數(shù)可將數(shù)值集合劃分為相等的上下兩部分，

方差能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度，

綜上，能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的是方差，

故選:D.

3、答案：A

解析：對于A,因?yàn)閍_La，a/ib，所以Z?_La，所以A正確；

對于B,當(dāng)R/a，6/a時，a與匕可能平行，可能相交，也可能異面，所以B錯誤，

對于C,當(dāng)a//a，.J.》時，。與a可能平行，可能相交不垂直，也可能。在a內(nèi)，所

以C錯誤，

對于D,當(dāng)4_1々，。工/，時，。與a可能平行，可能相交不垂直，也可能。在a內(nèi)，

所以D錯誤，

故選：A

4、答案：A

解析：依題意，3=180°-45°-75°=60°，

rfaabZ?sinA2sin45°2顯

ttj-----------~------------KU，a---------------------?

sinAsin3sin3sin6003

故選：A.

5、答案：D

解析：,卜W=1,向量〃與〃的夾角為60。

:ab=p/||/?|cos60°=g

一24。?。+16慟=\/9—12+16=V13

故選：D.

6、答案：B

解析：設(shè)該圓錐的底面半徑為r,則兀/=兀,

所以該圓錐的底面半徑廠=1，

設(shè)圓錐的母線長為/,則也=2"，即/=3,

3

則圓錐的高為出二P"=2夜，

因此該圓錐的體積v=_17rxi2、20=速兀，

33

故選:B

7、答案：D

解析：。是的中點(diǎn)，E為A。的中點(diǎn)，

1111

:.BE=-BA+-BD=-BA+-BC

2224

1131

=——AB+-(AC-AB)=--AB+-AC?

2444

.31

BE=AAB+/JAC?；/=-[,〃=]，

,1

.'.，+〃=一萬，

故選：D.

8、答案：C

解析：從1,2,3,4中取隨機(jī)選出一個數(shù)字，記事件4="取出的數(shù)字是1或2”,

4="取出的數(shù)字是1或3"，4="取出的數(shù)字是1或4”，則

尸(A)=；=:P(A)=；6'P(4)=；=；，

P(A4)=：,P(4A)=:'P(AA)=：,

對于命題①：p(A4)=p(A)p(A2)=gxg=；,：.4與&相互獨(dú)立，故①是真命

題;

對于命題②：2(424)=尸(4)2(&)=3><3=；，，4與43相互獨(dú)立，故②是真命

題;

對于命題③：P(AA)=P(A)P(AJ=；X；=；,與A3相互獨(dú)立，故③是真命

題；

故選：C

9、答案：ABD

477xr.r+i/i.\?ze2i2i(l+i)—2+2i—2+2i.

解析：由(l-i)z=2i，＜z=—=--~—=------=---------=-l+i.

v)1-i(l-i)(l+i)1-i22

.1z]=J(-1尸+產(chǎn)=血，故A正確；

2=-i-i?故B正確；

平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,1),位于第二象限，故C錯誤；

；(-l+i)2+2(-l+i)+2=—2i-2+2i+2=0，

；.復(fù)數(shù)是方程d+2x+2=0的一個根，故D正確.

故選：ABD.

10、答案：CD

解析：若方=0，可滿足a〃b，bHc?但”//c不一定成立，A選項(xiàng)錯誤；

若0=0,可滿足“//》，但不滿足存在唯一實(shí)數(shù)4使得二彳匕，B選項(xiàng)錯誤;

由1-0=忖+忖,兩邊平方得a?+b2-2ab=a2+戶+2同忖,

a-b=]a\\b\cos^a,fey=-|a||/?|?得cos(a/)=一1,即(4￡)=兀,

則非零向量a與人共線且反向，C選項(xiàng)正確;

若P是△ABC的重心，如圖所示，

A

PA+PB+PC=--（AD+BE+CF\=--[-AB+-AC+-BA+-BC+-CB+-CA\=O

,D選項(xiàng)正確.

故選：CD

11、答案：BCD

解析：對于A：因?yàn)?AG（0,2兀），2BG（0,2TI）,且角2A,28最多有一個大于兀，

所以由sin2A=sin2B可知，2A=28或2A+28=兀，即A=8或4+3=乙，

2

所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，故A錯誤;

對于B：由正弦定理可知，_=_2_,又，_=_2_,所以_L=_L

sinAsinBcosAsinBcosAsinA

可得tanA=l，因?yàn)锳G（O,兀），所以A='，故B正確;

4

對于C：由正弦定理可得血也,

a-V

因?yàn)锽e（O,兀）且。>4,即B>A，所以8=工或3=型，故此三角形有兩解，故C正

44

確;

對于D：因?yàn)椤鰽fi。是銳角三角形，所以A+B〉色，即色>4〉巴一8〉0,

222

又y=sinx在（（XT]上單調(diào)遞增，所以sinA>sin-8J=cos8,

同理sinB>sin-A]=cosA,

所以5由4+$1113>8524+8$3，故D正確.

故選：BCD

12、答案：BC

解析：由題意，正方體ABC。-44GA的棱長為2,

對于A中，連接耳C,設(shè)耳。與BQ交于點(diǎn)O,

因?yàn)橛肅LBG，B{C1AB,可得證得平面ABCQ，

所以NC6G即為直線8C與平面ABCQi所成的角，且NC6G=W，所以A不正確;

對于B中，連接AQ,設(shè)AQ與AA交于點(diǎn)M,可得證得4加，平面ABCB，

即4M即為點(diǎn)A到面ABC.D,的距離，可得|AM|=3，

即點(diǎn)片到面45GR的距離為友,所以B正確；

對于c中，在正方體力8c4GA中，連接as,AG，可得AB〃RC,

所以兩條異面直線D,C和BG所成的角，即為相交直線A1與BG所成的角，

又因?yàn)锳BG為等邊三角形，可得NABq=1，

即兩條異面直線0c和BG所成的角為三，所以c正確；

對于D中，三棱柱A4Q]-BB|G外接球與正方體的外接球?yàn)橥粋€球，

由正方體的性質(zhì)，可得外接球的半徑為/?=』!三五=百，

2

所以外接球的表面積為S=4兀箱=4"（百＞=12兀，所以D不正確.

故選：BC.

13、答案:2-3i

解析：QA=—5+i，OB=-3-2i

.-.AB=OB-OA=(-3-2i)-(-5+i)=2-3i>

即向量AB表示的復(fù)數(shù)為2-3i.

故答案為：2-3i.

14、答案:500

解析：設(shè)樣本中男生為x人，則女生為x—8人，由x+x-8=32得x=2()，

總體中男生人數(shù)為〃，則」-=改，解得〃=5()().

80032

故答案為：500.

15、答案：或0.01

100

解析：設(shè)事件A表示“甲射擊一次命中目標(biāo)”，事件3表示“乙射擊一次命中目標(biāo)”，則

A,B相互獨(dú)立，停止射擊時甲、乙共射擊了四次，說明甲、乙第一次射擊都未命中，甲

第二次射擊未命中，乙第二次射擊命中，此時的概率

故停止射擊時，甲、乙共射擊了四次的概率是

100

故答案為：_L

100

16、答案：-1

解析：由題意，設(shè)=/le[0,l]?

所以尸A=PB+BA=-BP+BA=-ABC+BA，PC={\-X)BC-

又BC=3,BABC=3>

所以PA-PC=(—28C+BA)?(1—4)BC=—/l(1一4)BO?+0一4)BA.BC

=9(A2-A)+3(1-/L)=9A2-12/1+3

=9(八|).1，

當(dāng)/=|時，PA?PC取得最小值J

故答案為：-1.

17、答案：⑴x=-2；

⑵巴.

4

解析：（1）當(dāng)a時,Lx+2」=0,解得：x=-2-

（2）當(dāng)％=3時，a=（3,iy即a，b夾角為。，則

ab3+2y/2

l?ll^rVsxVio_2

6h0,兀］,...當(dāng)x=3時，向量d與向量b的夾角為土

4

18、答案：（DC」

4

（2）5（V2-1）

解析：（1）因?yàn)閏（cosA+sinA）=。，

所以在△ABC中由正弦定理可知：sinC（cosA+sinA）sinB，

又因?yàn)锳+B+C=TT，

所以sinB=sin［兀一（4+C）］=sin（A+C），

所以sinC（cosA+sinA）=sin（A+C）?

所以sinCcosA+sinCsinA=sinAcosC+cosAsinC，

即sinCsinA=sinAcosC-

因?yàn)閟inAh0，所以sinC=cosC>

即tanC=1，

因?yàn)?<C<7l'

所以c=￥.

4

（2）由（1）可知。=色，所以sinC=cosC=---'

42

由余弦定理可得°?=/+6一2abcosC=a2+b2-42ab-（2+，

因?yàn)閍+h=6，c=4?

所以16=36-（2+夜）而，

解得ab=10（2-0）,

所以S%c="sinC=；xlO（2-⑹x曰=5（血-1）.

19、答案：（1）（z）-；（〃）￡；（2）

359

解析：高一年級的一女兩男分別記為X~小丫?；高二年級的兩女一男分別記為王，

（1）從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出兩人有（X"）,（XJ），（幾切，（%,馬），（石,弘），

（孫X）（X”石），（乂],馬），（X],%），（Y，5），（工,％2），（X，yj，。，石），化,W），

（X，yJ共15個樣本點(diǎn).

⑺高二年級的男生M被選中有a，y）,（w，%）,（X，y），（X，y），化,y）共5個

樣本點(diǎn)，所以高二年級的男生被選中的概率為

153

（n）“至少有一名男生''是"全是女生'’的對立事件，“全是女生”有（%,%），（X，xJ，

（X“看）共3個樣本點(diǎn)，所以“至少有一名男生”的概率為1一（=9

（2）從每個年級的3名同學(xué)中各任選1名有（X，%），（凡與），（XQ），（匕玉），

（乂赴），（Y，X）,化,X）,化，尤2），化，X）共9個樣本點(diǎn)，性別相同共有（%,%），

（X”w），（幾凹），化,y）共4個樣本點(diǎn)，所以概率為，

20、答案：（1）證明見解析；

⑵土4

3

解析：（1）取45中點(diǎn)D.連接ND,MD,

因?yàn)樵谥崩庵鵄BC-A4G中，M,N分別是AC,Ag中點(diǎn)，

所以ND//BB],ND=BB,,MD//BC-

ND.平面BCG四，BB|U平面BCCM，所以NO〃平面BCC4，同理〃平面

BCC]B],

NDMD=D，NDUMD平面MND,

所以平面MND//平面BCC}B],又MNu平面MND,

所以MN〃平面8CC4；

(2)連接8M,BN,AN,CD,由直棱柱8瓦，平面ABC,知平面ABC,

而COu平面ABC,所以N￡)_LC￡>，同理NDJ_￡>M，

x

S^BCM=]S&ABC=5X/X2X2=1，VN_BCM=—S^BCM-ND=—lx2=—?

231

CD^BC'BD=A/22+肝=亞，CN=JN￡>2+CD=萬+(⑹2=3,

M0=；8C=1，MN=NNlf+DM2=BCM=1AC=V2?

△MOV中，cos/MCN=.9+2：=也,所以sin/MCN=立，

2x3xV222

11pyo

sAMCN=aCN?CMsinNMCN=3乂3x血乂%=3，

設(shè)8到平面MCN的距離為人,

則匕V-6CM=VB-CMN=耳S&MCN"h,

2

所以〃=2=3.即點(diǎn)8到平面CMN的距離為&.

-1X3-33

32

21、答案:(1)0.0125；

(2)平均數(shù)、眾數(shù)和80%分位數(shù)分別為33.6,30,47.69.

解析：(1)設(shè)被墨水污損的數(shù)字為a.

由直方圖的所有矩形的面積和為1得，

20x(。+0.025+O.(X)65+0.003+0.003)=1，

解得a=().0125.

(2)平均數(shù)的估計(jì)值為

20x0.0125xl()+20x0.025x3()+20xO.(X)65x50+20x0.003x7()+20xO.(X)3x90=33.6，

所以平均數(shù)的估計(jì)值為33.6個.

眾數(shù)的估計(jì)值為生竺=30.

2

設(shè)80%分位數(shù)為》由圖可