高等數(shù)學(xué)求極限的常用方法(附例題和詳解)

高等數(shù)學(xué)求極限的14種方法

一、極限的定義

1.極限的保號性很重要：設(shè)lim/(x)=4，

(i)若A>0,則有b>0,使得當(dāng)—時，/(x)>0；

(ii)若有>>0,使得當(dāng)0<|彳一/|<：時,f(x)NO,則ANO。

2.極限分為函數(shù)極限、數(shù)列極限，其中函數(shù)極限又分為X—8時函數(shù)的極限和X3/的極限。要特別注意判定極

限是否存在在：

(i)數(shù)列｛七用攵斂于a的充要條件是它的所有子數(shù)列均收斂于a。常用的是其推論，即“一個數(shù)列收斂于a的

充要條件是其奇子列和偶子列都收斂于a”

(五)lim/(x)=Aolim/(無)=lim=A

X—>00X—>—00X—>4-00

(HDlim〃x)=A=lim=lim=A

Xf&X—>Xox—>Xo

(iv)單調(diào)有界準(zhǔn)則

(v)兩邊夾擠準(zhǔn)則(夾逼定理/夾逼原理)

(vi)柯西收斂準(zhǔn)則(不需要掌握)。極限存在的充分必要條件是：

Xf與

7￡>0,超〉0,使得當(dāng)玉、%2丁丁(%0)時，恒有|/區(qū))一/'。2)|<￡

二.解決極限的方法如下：

1.等價無窮小代換。只能在乘除時候使用。例題略。

2.洛必達(dá)(『hospital)法則(大題目有時候會有暗示要你使用這個方法)

它的使用有嚴(yán)格的使用前提。首先必須是X趨近，而不是N趨近，所以面對數(shù)列極限時候先要轉(zhuǎn)化成求x趨

近情況下的極限，數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的，不可能是負(fù)無窮。其次,必須是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在，假

如告訴f(x)、g(x),沒告訴是否可導(dǎo)，不可直接用洛必達(dá)法則。另外，必須是“0比0”或“無窮大比無窮大”，

并且注意導(dǎo)數(shù)分母不能為Oo洛必達(dá)法則分為3種情況：

(i)“2.”“藝”時候直接用

000

(ii)“8—8”,應(yīng)為無窮大和無窮小成倒數(shù)的關(guān)系，所以無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通

項之后，就能變成(i)中的形式了。即y(x)g(x)=/舁或/■")g(x)="獨；p(x)~f(x)

11J⑴-g⑺—j

g(x)/(x)fWg(x)

(iii)“0°”“廣”“8°”對于基指函數(shù)，方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，即

這樣就能把幕上的函數(shù)移下來了，變成“0?8”型未定式。

3.泰勒公式（含有"的時候，含有正余弦的加減的時候）

V2x"*

ex=l+x+:—+???+—+-----xn+

2!〃！(?+1)!

機(jī)+1

X'YCOSa力2，〃+3

sinx=x----1-----,,+(-I)"'+(_尸

3!5!(2/77+1)!(2機(jī)+3)!

x2x4x2,nCOSaa〃+2

cos=l-----1--------1-(-l),w+(_［嚴(yán)1

2!4!(2/7?)!(2m+2)!

23rtn+l

rrtvx

In(1+x)二x---1-------+(-1)〃----1-(一］)〃

23n(〃+1)(1+所)用

（1+x）"=1+ux+"（/），+…+c：x"+c廣（i+exy-n-'xn+'

以上公式對題目簡化有很好幫助

4.兩多項式相除:設(shè)?！傲ⅰ本粸榱?，

1m-

P(x)^a?x"+a?_1x"-+---+axx+aQ,Q(x)-bmx+b^x'"'+---+bix+bQ

—,(m=n)

b?則lim3「（X。）

PM(ii)

⑴0,(n<m)若Q(/)H。，理。(x)

lim。（尤0）

X-?00Q(x)oo,(n>m)

5.無窮小與有界函數(shù)的處理辦法。例題略。

面對復(fù)雜函數(shù)時候，尤其是正余弦的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。面對非常復(fù)雜的

函數(shù)可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了。

6.夾逼定理：主要是應(yīng)用于數(shù)列極限，常應(yīng)用放縮和擴(kuò)大不等式的技巧。以下面幾個題目為例：（1）設(shè)。＞力＞。＞0,

求limz

n—＞oo

aa

解：由于。＜xn＜以及］im〃=々，lim（ag）=,由夾逼定理可知lim"〃=

〃一＞8ZJ—＞00〃-X?

111

(2)求Hm+…+---r

n—>con2(〃+l)2(24

由o<!+—U+…+上<二+二+…+!」，以及l(fā)im0=limL=0可知，原式二°

解:

(〃+1)(2〃)nn"nw->oc幾

以及

2

limi=lim7^=Tim-f\=i得’原式口

n-^ong7n+H〃T8+1

Vn

7.數(shù)列極限中等比等差數(shù)列公式應(yīng)用(等比數(shù)列的公比q絕對值要小于1)。例如：

求limQ+2x+3/+…+以"")(|%|<1)?提示：先利用錯位相減得方法對括號內(nèi)的式子求和。

〃一>8

8.數(shù)列極限中各項的拆分相加(可以使用待定系數(shù)法來拆分化筒數(shù)列)。例如：

1以*七+…+■『1四亭捐+…++頒-%+】))=]

9.利用X、.與七用極限相同求極限。例如：

(1)已知q=2,?！?[=2+1~，且已知lim?！贝嬖?，求該極限值。

Cl""TOO

解:設(shè)]im%=A,(顯然A>o)則A=2+L即屋-24-1=0,解得結(jié)果并舍去負(fù)值得A=l+收

“T8A

(2)利用單調(diào)有界的性質(zhì)。利用這種方法時一牢把先證明單調(diào)性和有界性。例如

設(shè)X]=后,X2=)2+立…，居=J2+尤“T，求]imx“

解：(i)顯然再<x2<2(ii)假設(shè)乙_1<x*<2,則J2+Xj<j2+x?<.2+2,即尤"<尤加]<2。所以，

｛貓｝是單調(diào)遞增數(shù)列，且有上界，收斂。設(shè)lim=A，(顯然A>0)則A=J2+A,即A?一A—2=0。

〃一>8

解方程并舍去負(fù)值得A=2.即Hmz=2

“一>00

10.兩個重要極限的應(yīng)用。

(i)hm包廿=1常用語含三角函數(shù)的“2”型未定式

XTOX0

(ii)lim(i+x)：=e,在“18”型未定式中常用

.v-?0

11.還有個非常方便的方法就是當(dāng)趨近于無窮大時候不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的，〃"快于n!,n!快

于指數(shù)型函數(shù)/(b為常數(shù))，指數(shù)函數(shù)快于幕函數(shù)，幕函數(shù)快于對數(shù)函數(shù)。當(dāng)x趨近無窮的時候，它們比值的

極限就可一眼看出。

12.換元法。這是一種技巧，對一道題目而言，不一定就只需要換元，但是換元會夾雜其中。例如：求極限

7t

arcCOST-----

lirn----------?解：設(shè)，=arccosx一生，貝！JxT?附，0,且.x=cos(f+y)=-sinr0

sin2x2

TC71

?arccosx---arcco&r---

原式lim?=lim=lim.

in9r?r7n/~~2

XTOSillZ,XXTOZX/_>O-zsin/

13.利用定積分求數(shù)列極限。例如：求極限j+W+一由于_L=q,所以

〃+i,

n+n)1H--1

n

3

(1111111，21

…+后尸物…彳5[-=In2

J,x

\nnJ

14.利用導(dǎo)數(shù)的定義求型未定式極限。一般都是XTO時候，分子上是“/（。+幻-/（〃）”的形式，看見了這

0

種形式要注意記得利用導(dǎo)數(shù)的定義。（當(dāng)題目中告訴你/（心=!11告訴函數(shù)在具體某一點的導(dǎo)數(shù)值時，基本上

就是暗示一定要用導(dǎo)數(shù)定義）