2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué) 人教A版2019必修第一冊(cè) 同步講義 第30講 三角函數(shù)解答題7種常見(jiàn)題型總結(jié) 含解析

第30講三角函數(shù)解答題7種常見(jiàn)題型總結(jié)

【題型目錄】

題型一：三角恒等變換的應(yīng)用

題型二：三角函數(shù)最值值域問(wèn)題

題型三：三角函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

題型四：五點(diǎn)法作圖問(wèn)題

題型五：三角函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題

題型六：三角函數(shù)零點(diǎn)根的個(gè)數(shù)問(wèn)題

題型七：三角函數(shù)的應(yīng)用性問(wèn)題

【典例例題】

題型一：三角恒等變換的應(yīng)用

【例1】(2022?江蘇蘇州?高一一期末)已知函數(shù)/(x)=Sin與+Gsirwcoar(XeR).

⑴若函數(shù)/(χ+6)的圖象過(guò)點(diǎn)p[?0｝且Oeia求e的值；

⑵若=且αe(θ,[),求sin(α+的值.

【答案】(1)：，(2)逅

43

【分析】(1)利用三角恒等變換整理化筒/(x),根據(jù)題意代入整理得CoS29=O,結(jié)合角。的

范圍求解；

(2)根據(jù)題意代入整理，以α+0為整體運(yùn)算求解，注意根據(jù)角的范圍判斷三角函數(shù)值的

符號(hào).

【詳解】(1)因?yàn)?(X)=匕箋幺+*sin2x-g=Sin(2x—宗)

所以/(x+e)=sin(2x+2e-2].

因?yàn)楹瘮?shù)/(χ+e)的圖象過(guò)點(diǎn)PUQ

所以Sind+29—t=Sin2。+/=cos26=0.

因?yàn)?，e(θg｝所以26∈(0,π),所以26=],解得6=：.

(2)因?yàn)楱籩(θ,?j,所以2α-1π∈

6H-

所以(一弓]=(一胃=

因?yàn)?(cr)=sin[2σ-?^COS2aJl-Sin22a?.

所以cos[21+期)=cos[2α—E+兀)=-cos(2cr--^?)=--

又cos[2α+7j=l_2sin2[α+7^j,所以si/(ɑ+區(qū)J=1.

因?yàn)棣痢?θ,g),所以α+?^e信岑),所以sin(α+總=9.

【例2】(2022?重慶八中高三開(kāi)學(xué)考試)已知α,∕e(θ,]),cosα=∣,cos(α+/?)=^.

(1)求sin/的值；

⑵求cos(α+2∕?)的值.

【答案】（1）伊，（2）票

65845

【分析】（1）根據(jù)同角三.角函數(shù)的基本關(guān)系求出Sina,sin（α+/）,再根據(jù)

Sin尸=sin［（α+∕）-α∣及兩角差的正弦公式計(jì)算可得；

（2）首先求出cos",再根據(jù)cos（α+20=CoSKa+0+切及兩角和的余弦公式計(jì)算可得.

【詳解】（1）解：因?yàn)棣?夕均為銳角，所以0<α+6<τr.

35

乂CoSa=-,cos(a+/?)=—

所以Sina=J1?cos2a-∣.sin(α+I)=Jl-COS2(α+[)=j∣

所以sin尸=SinKaΛ-β)-a]

=sin(ɑ+β)cosa-cos(α+y?)sina=—×--------×-=—.

13513565

(2)解：根據(jù)第(1)問(wèn)可知COSH=JI-Sin2夕=粵,

所以CoS(α+20)=CoSKa+4)+切

=c°s(α+0c°s即sin(α+0si"=WX先上X竺=些.

【例3】（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知cos（α-f）=-手，=→α<π,

0<y5<∣,求：

(I)CoSw2的值;

⑵tan(α+⑶的直

【答案】（1）-口，（2）也

1411

【分析】（1）先由己知條件判斷一夕的范圍，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出

sin（ɑ-?）,COSe-尸），則由儂號(hào)^=COS利用兩角差的余弦公式可

求得cos^g,

2

（2）由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出SinW2,從而可求得tang2的值，再利用正切的二倍

角公式可求得tan（α+/）的值.

【詳解】（1）因?yàn)?<α<π,0<β<-,所以C<α-2<乃，--<--β<~,

224242Z

所以sin(α-')=jl-eos(ɑ-g),cos?^1^sin2?^?T,

∣cos?-?sin(flf4)?sin?^^

所以CoS"；'=COS(ɑ-g[?-)]=CoS(α-,

2√7√3√2TI√ΣT

=-------------X----------1-----------X—=-------------.

727214

⑵因?yàn)槔?lt;手，COS3=-叵，

424214

所以Sin"2=J1-cos?幺空■=辿,

2V214

.a+β

sιn

rrr,a+β25√3

所以ta∏T=Tj=-亍,

COS------

2

2tan32x(一叫

所以tan(2)=乙WrL丁丁

2'E

【例4】(2022?江蘇?高一開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(X)=COSX.

(l)α,夕為銳角，/(α+/)=-學(xué),tana=—,求COS2α及tan(∕-α

3

⑵已知/(α)+〃夕)-"α+∕7)=1，α,∕e(0,])，求α及A的值.

7.、2分?π

【答案】(I)COS2]=-石，tan(y0-.?)=—>(2)α=∕7=-

【分析】(I)由平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系即可求得cos"；由cos2α結(jié)合平方關(guān)系求得sin2α,

進(jìn)而求得tan2α,同理求得tan(a+/?),再由正切差角公式求出tan(2-α)即可；

3

(2)由CoSa+cos夕-cos(α+尸)=不結(jié)合平方關(guān)系及余弦和角公式化簡(jiǎn)得

；(Sina-Sinβ)2+?∣^(cosa+cos/?)2一2(CoSa+cos/)+1]=0,進(jìn)而得到Sina-Sin∕?=0及

CoSa+cos4-1二0,即可求出α及/7的值.

、1』

?、-.，、、4C2?2cos2a-sin2aI-tan2ao7

【詳解】(1)?tancr=-,.*.cos2a=cos^a-sιn^a=------------------=--------；—=——?=------

3CoSa+sin~al+tan~α∣+∞25

9^

Qa,夕為銳角，即α,夕e[θ,],.?.2α∈(0,ι),a+β∈(0,^?).,sin2a=>∕l-cos22a=∣∣

CSin2α24“、/、/、有

.,.tan2a=—^―=--,f[x)=∞sx,.?./(α+∕5)=cos(α+夕)=--—，

sin(α+/)=Jl-CoS2(α+6)=子，，tan(α+?)==~2

24

/c、/?tan(α+夕)-tan2α—十亍2

.?.tan(5-σ)=tan(a+β-2a)=--^―；——J-----=---------4=一

')')l+tan(a+∕J)tan2a1+2χ24H

7

72

綜上，cos2a=--,tan(y0-a)=-；

3,3

(2),/(?)+/(/?)-/(?+/?)=—,..cosa+cosy0-cos(6Z+/?)=-,

cosa+cos/?=^+cos(α+0)=^+^sin2a+cos2a

yinasinβ

111

=—÷-(sina-sinβ)~2+—(cosa÷cosβ)~9,

所以g(sinα—Sinβ)2+g[(cosα+COS尸)2-2(CoSa+cos4)+1]=0,即

1212

—(sina-sinβ)÷-(cos<z÷cos^-l)^=0,

.?.Sina-Sinβ=0J[cosa+cos∕7-l=0,XQ?t∕?∈((),〃)，當(dāng)α=/?時(shí)，CoSa=CoSB=三、

當(dāng)α二乃一夕時(shí)，COSa=-CoS肘與COSa+cos尸-1=0相矛盾,不符合題意.綜上所述,

a=*，

【題型專練】

?>∏-、一tjsina+cosaC小兀、

1.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?∣?一+期末)已知---------=3,a∈(0,—).

sina-cosa2

⑴求cos2a的值；

⑵若sin(α-0=巫，且尸∈(0,[),求角￡.

102

3TT

【答案】(D-?(2)y.

54

【分析】(1)根據(jù)條件由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出tana,再由二倍角的余弦公式轉(zhuǎn)化

為正切化簡(jiǎn)求值；

(2)利用角的變換?=a-(a-￡)及兩角差的正弦公式求解即可.

?in(y+CCqCI

【詳解】(1)由2-------:—=3可得Sina+cosa=3sina-3cosa，即tana=2，

sina-cosa

2?2

cosa-sina_l-tan2a1-43

:.cos2a=

cos2cr+sin2al÷tan2aT+45

(2)?a∈(0,y)∈(0,?,.,.—y<a-β<^-,又?,sin(α―6)=,.,.cos(a-β)=???θ?

22221010

,,Cπ,22Λ∕51√5

由(z1λ)矢a口πtana=2,cr∈(0,-)λ,.?.sina=-；==-------,cosa=-==——，

2√55√j55

：?sinβ=sin[a-(a-βy?=sinacos(a-/7)-cosasin(a一β)

2√53√10√5√iδ√2

=---×---------×----=—,

5105102

又左(OTgE),”=TT

rr45

2.(2022?廣西?桂林市第十九中學(xué)高一期中)已知凡如(。-夕)=不80/=-5.

(1)求小2夕和tan2β；

⑵求COSa.

?田GQ?、U9120C63

【答案】⑴-演；―，(2)--

【分析】(I)由二倍角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式結(jié)合角的范圍可直接計(jì)算出結(jié)果；

⑵拆分角c=(a-6)+4，利用兩角和的余弦公式可計(jì)算出結(jié)果.

511Q

【詳解】⑴由二倍角公式得：COS2∕7=2COS2∕7-1=2×(-?2-1=-^;

因?yàn)橄?lt;萬(wàn)且cos6=-^<0,所以sin4=^∣,則tan/=-￡，所以

2tang120

tan2/3=y

1-tan2>5-719

(2)因?yàn)椋荩肌辏肌＃甲?，所以O(shè)Ca-4＜g,又因?yàn)閟in(α-∕7)=1,所以

cos(α一/)=二，則cosa=cos[(cr-/?)+/?]=COS(Q-β)cosβ-sin(α-β)sinβ

2)∕χ263

51351365

3.(2022?四川省成都市新都一中高一期中(理))已知αe0,：

sin(∕J-2α)=,cos(2/?-a)=-^^.求:

⑴cos(e+0；

(2)tan2(a÷/?).

【答案】(i)?3,⑵B

【分析】(1)利用角的變換，由cos(α+⑶=CoS［(2/7-。)—(4―20］求解;

4

(2)先求得tan(α+/)=-g,再利用二倍角的正切公式求解.

冗元TC,冗冗冗

【詳解】(1)解：***—</7<—,0<2cx<—,—<β—2a<一,—<2/7—。<兀.

422424

2=

?,?cos(∕7-2a)=JI-Sin-2α)=^-.；?sin(2y0-a)=-Jl-cos(2^-α),

cos(α÷∕7)=cos[(2/?-a)-(y?-2a)]=CoS(2/7—a)COS伊-2α)+sin(2/7-α)sin(∕-2a)

(7⑶√2√2√23

=--------------X-------------1---------X--------=——.

10J21025

⑵???：<”￡哼.?.sin(α+0=WCOS2(")=；3")=黑詈

7小2tan(α+/7)24

v72

l-tan(α+y0)7

4.(2022?四川自貢?高一期末)已知【函數(shù)/(x)=2?∕5SinXCoSx+2COS2χ.

⑴求函數(shù)“力的周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵將“X)的圖象向右平移已個(gè)單位，得到g(x)的圖象，已知g(七)*,?∈??,求

cos2x°值.

【答案】⑴萬(wàn)，,乃+［，覬+尋(AeZ),(2)-5+12.

_63_26

【分析】(1)首先利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可

得；

23

(2)首先根據(jù)三角函數(shù)的平移變換規(guī)則求出g(x)的解析式，根據(jù)g(%)=yp得到

可2%-￡|=得，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cos(2々「J),最后根據(jù)兩角和的

余弦公式計(jì)算可得；

A

21

(l)W：V/(x)=2Λ∕3sinxcosx÷2cosx=λ^sin2Λ+cos2x+l=2∣^-y-sin2x+-cos2x+1

=2sin(2x+7)+l,即/(x)=2Sin(2工+2)+1,

所以函數(shù)的最小正周期T=4="，

2

令2kπ+^≤2x+?^≤2kπ÷∈Z),解得?τr+菅≤x≤攵乃+?^-(?∈Z).

jr24

故函數(shù)y=∕(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ+-,kπ+-(?∈Z).

π.π

因此CoS2X()=Cossin—

66

12√3515+12√3

--------X------------------X—=------------------------

13213226

5.(2023安徽?高三階段練習(xí)(理))已知函數(shù)“司=201125+2＞/^山88$5-1(0＜口＜1),

滿足了

⑴求/(x)的解析式;

(2)將/(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，然后再向右平移號(hào)個(gè)單

位長(zhǎng)度得到g(x)的圖象，若g(29+￡|=_g,八(0，)求COSe的值.

【答案】(l)”x)=2Sin(Xq)⑵有心

【分析】(I)化簡(jiǎn)/(x)解析式，根據(jù)/(x)的對(duì)稱軸求得0,進(jìn)而求得了(x)的解析式.

(2)根據(jù)二角函數(shù)圖象變換求得g(x),由g(20+￡|=q求得8s[o+K，進(jìn)而求得

SinU+看)=《，從而求得COSa

⑴由題意得，/(X)=-cos2ωx+√3sin23,=2sin(2s-^

由/保T=”)得圖象的一條對(duì)稱軸為XT，

.4cυπ

’?丁k∈Z,

311

?*?co=-k—,Z∈Z,又O<°vl,解得口=—

422

.,./(x)=2sin

(2)由題意得,

V^20÷^=-∣,Λ-2COS^÷^=-∣,即COS,+∕∣,

?ππ(/)兀)πππ

..cosΘC-cos夕n+—I——=Cos6∕÷-cos—+sι?nIσΛ+-Isi?n—

?6j6j(616?6)6

3√3413√3+4

=-X-+-x-二

525210

題型二：三角函數(shù)最值值域問(wèn)題

【例1】函數(shù)/(x)=Sin2刃尤+Gsinox?cos刃龍(口＞0)且滿足.

①函數(shù)/(x)的最小正周期為乃；②已知XlWX2，/(?i)=/(?)=^?且IX-Wl的最小

π

值為一，在這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線處，然后解答問(wèn)題.

2

(I)確定0的值并求函數(shù)/(χ)的單調(diào)區(qū)間；

JT

(2)求函數(shù)F(X)在尤C0,-上的值域.

TCJC

【答案】條件選擇見(jiàn)解析；(1)ω=?,單調(diào)增區(qū)為一二+k兀，三+kπ(&∈Z),單調(diào)減區(qū)

63

Ji54

IHj為—Fkτr,----Fkτt(&∈Z)；(2)o

36'l

【分析】化簡(jiǎn)/(χ)=Sin+

rj-ι

(1)若選①，根據(jù)周期公式可得0；若選②，由|%-91-=一=工，可得周期和切，

I1zImin22

再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得/(X)單調(diào)區(qū)間；

(2)由X的范圍求出2光一生及sin(2x-+1的范圍可得答案.

6<6j2

……?/、I-CoS26υX∕τ.∕311

【洋"解】/(x)=HV?sincoxcoscox——λsinf2,cox—cosQ,cox4—

2222

=sinI2ct)x----∣H—.(1)若選①,則有T=1，；.2(0=——=2,即<υ=1,

I6；2π

?-r<?

若選②，則有其一刃皿m=_=?，?,20=-^=2,即0=1,

22Tt

?TT11TT7tTT

綜上/(x)=Sin2x--+—,于是由---+2kπ<2x-----≤-+2kπ(k∈Z),

I6)2262

JTTTTTTT

解得一一+Jbr≤尤≤-+Jbr(Z∈Z),即/(%)單調(diào)增區(qū)為一二+k兀,三+k兀(Z∈Z),

63L63

TTTT377TT54

由——F2kπ≤2x≤----?-2kπ(?k∈Z),解得——?-kπ<x<----?-kπ(k∈Z),

26236

Ji54

所以/(X)單調(diào)減區(qū)間為-^kπ,-Λ-kπ(&∈Z).

_36_

_TCI1-TC_TC7TTt

2%--+—,右x∈0,—,則2工--^-∈,

(6√2L3」6Le2

則Sin(2X1W]+G∈0,—,所以/(χ)值域?yàn)?,—.

V6；2L2JL2」

【點(diǎn)睛】本題考杳了/(x)=ASin(5+0)+b的性質(zhì)，有關(guān)三角函數(shù)的解答題，考查基礎(chǔ)

知識(shí)、基本技能和基本方法，且難度不大，主要考查以下四類問(wèn)題；(1)與三角函數(shù)單調(diào)性

有關(guān)的問(wèn)題：(2)與三角函數(shù)圖象有關(guān)的問(wèn)題；(3)應(yīng)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公

式求三角函數(shù)值及化筒和等式證明的問(wèn)題；(4)與周期、對(duì)稱性有關(guān)的問(wèn)題，考查了計(jì)算能

力.

【例2】(2022?浙江高三開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=cos2χ+√5sinx?CoSX-g.

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間;

⑵求/(χ)在區(qū)間[o,1]上的最值.

TrTT1

【答案】(1)kπ--,kπ+-(Λ∈Z),(2)最大值為1,最小值為-不.

_5oj/

【分析】(1)由三角函數(shù)降基公式與二倍角公式，根據(jù)輔助角公式，化筒函數(shù)為單角三角函

數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；

(2)利用整體思想，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，可得答案.

【詳解】(1)fW=*+cos^λψsi∏2x-?=—sin2x+—cos2x=sinf2x+?\

22222I6j

冗TT

因?yàn)?，=SinX的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ--,2kπ+-(?≡Z),

4加Tr冗冗

令2xH—∈2kτt,2kTiτ—(%￡Z),得XEkττ,kτrT—(kwZ).

622]L36.

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ~,kπ+^-(?∈Z).

36

(2)因?yàn)镵W[0,g∣,所以.

2666

當(dāng)2'+[=1，即X=J時(shí)，/(%)最大值為1,

O2O

當(dāng)2x+?=K，即X=]時(shí)，f(χ)最小值為

【例3】(2022?遼寧撫順?高一期末)函數(shù)/(x)=sin(yxcosewx+cos%x,(y>0,函數(shù)/(x)的最

小正周期為

(1)求函數(shù)/(x)的遞增區(qū)間：

(2)將函數(shù)f(χ)的圖像向左平移(個(gè)單位，得到函數(shù)g(χ)的圖像，再將函數(shù)g(χ)的圖像上

所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)MX)的圖像，求函數(shù)〃(x)在

ττTt

上的值域.

【答案】(1)一.+左肛J+Z乃,(?∈Z),(2)0,」+1

o?JN

【分析】(1)利用三角恒等變換對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，由最小正周期求得0=1，得到函數(shù)/(X)的

解析式，根據(jù)iE弦型三角函數(shù)的單調(diào)性，整體代入求解函數(shù)/(χ)的遞增區(qū)間即可；

(2)根據(jù)題意結(jié)合三角函數(shù)圖象的變換得到函數(shù)MX)的解析式，整體代入求解正弦型函數(shù)

在閉區(qū)間的值域即可.

【詳解】(1)解：[(x)=Sin3XCoSS:+cos%=sin69X?cos(?λr+①X

=—sin2tyχ+-cos2ft?x+—=——sin2ωx+-+—,

2222I4)2

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的最小正周期為萬(wàn).

所以15=%，所以0=1?所以f(x)=等sin(2x+71+；.

TTTTTT'4TT

令一5+2kπ≤2x+-≤-+2kπ,攵∈Z即一-—+kπ<x≤-+kπ,左EZ

?rr-IT

所以函數(shù)“X)的遞增區(qū)間為-y+k兀Wk兀,(ΛeZ).

OO

(2)解：將函數(shù)〃x)的圖像向左平移?個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖像,

再將函數(shù)g(x)的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)網(wǎng)力的圖

像，

MX)=sin(x+,)+g.

因?yàn)閄eCw,x+&匹置Sin(尤+為』-立』

L22j4[44」I4J[2

τsin[2x+τ]+r[o'?1]?

所以MX)在上的值域?yàn)?,與'.

【例4】(2022.遼寧.高一期末)函數(shù)f(x)=4sinxsin[x+eJ-6(xeR)

(1)說(shuō)明函數(shù)f(x)的圖像是由函數(shù)y=sin2x經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的；

(2)函數(shù)g(x)=gf卜+利卜!/(X-E),求函數(shù)g(x)的值域，并指出g(x)的最小正周

期(不需要證明).

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)[1,√2]:

【分析】(1)利用兩角和與差的正弦公式，二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)f(x),并

將函數(shù)y=Sin2x先平移再伸縮可得〃x)；

(2)求出函數(shù)g(x)的解析式，利用正弦函數(shù)的有界性和周期性的定義可得答案.

【詳解】

?

/(x)=4sinxsin-?/?=4sinxΛ+-COSX-G=2λ∕3sin2x+2SinXCoSX-6

2

=?∕3(1-cos2x)+sin2x-?∕3=2sinf2x-y

(I)y=sin2元圖象向右平移聿π個(gè)單位可得)，=sin(2x-再將所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)

6

的2倍，得至IJf(X)=2sin(2x-方J；

(2)

g(H=g∕ππ2sin2.r∣+?∣-2cos2x∣=∣sin2x?+∣cos2x?=^l+∣sin4^∣

x÷-X-----

612

則函數(shù)g(χ)的值域?yàn)椋踠,v?;g(χ)的最小正周期為

π1

［例5】(2022?安徽?合肥工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二期末)已知函數(shù)F(X)=&sin%+—COSX——

42

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)若將函數(shù)/(可的圖象向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的

兩倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(χ)的圖象，求函數(shù)y=g(χ)在區(qū)間［0,可上的值域.

【答案】⑴兀，E++(Z∈Z),⑵-

ooZZ

【分析】⑴利用三角恒等變換整理可得〃力=冬.2》+，代入最小正周期7=空運(yùn)算

21”ω

求解,再以2x+：為整體結(jié)合正弦函數(shù)可得2?π+∕≤2x+W≤2E+與,AeZ,運(yùn)算求解/(x)

的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)根據(jù)圖像變換可得g(x)=曰Sin(X-E),以x-(為整體結(jié)合正弦函

數(shù)圖像求值域.

⑴

仄(.π.兀、1°1

/(x)=V2sin∣x+-∣cosx——√2SlnJVCoS—+cosxsin—cosx——=sιnxcosx+cos^x——

I44)22

l+cos2xC兀

=—sin2x+2XH—

224

???f(X)的最小正周期為T號(hào)=無(wú)

7ΓjrSITττ?jr

?,2kjι+—≤2x+一≤2kπ+—,?∈Z,則Λπ+-≤x≤fac+一,左∈Z

24288

JrSjr

.??∕(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為?π+-Λπ+-(ZeZ)

OO

(2)根據(jù)題意可得：將函數(shù)/(x)的圖象向右平移(個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的兩倍(縱坐標(biāo)不變)，則g(x)=乎Sin(X

r?τ,.7tTt3兀

-x≡[°'π]'則lX-r-TW

sin(x-^)e-??.貝IJg(X)e-?`?

即函數(shù)y=g(χ)在區(qū)間［O,π］上的值域?yàn)椴?,孝］

【例6】先將函數(shù)y=2sin(2尤+f-Gsin2x圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍

(橫坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖像橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)/(x)的圖

像.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)若α,夕滿足/(α).∕(0=半，且e+"=5，設(shè)

g(x)=3V^sin(x+a)?sinQ+0,求函數(shù)g(χ)在χ∈∣^一g,g］上的最大值.

COS2ΛL44J

【答案】(1)/(x)=2cosx；(2)4.

【分析】

(1)先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)變形可得y=cos2x,再由三角函數(shù)圖像變換規(guī)律可求出/(x)的解析式;

(2)由己知條件可得COSaCo=,sincifsinβ=則可得

g(x)=2tan2x+3tanx-l,然后令1二tanx∈［-l,l］,則Zz⑺=2/+3,一1,從而可求出

其最值

【詳解】(I)原函數(shù)化簡(jiǎn)得到y(tǒng)=2sin2xcos—+cos2xsin--?/?sin2Λ=COS2Λ,

66

將y=cos2x圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，可得y=2cos2x,再

將y=2cos2x的圖像橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到γ=2cosx,所以

/(x)=2cosx.

(2)由題意知CoSaCoS/?=*，，因?yàn)棣?萬(wàn)=5,所以

CoS(α+尸)=cosacos尸一Sinasinβ--?,

5

解得SinaSin，=———,則有:

3?∕2(sinXCosa+Cosxsina)(sinxcos尸+cosxsinβ)

g(x)

COS2X

令t=tanxe(-l,l],//(/)=2r+3r-l.

3

則對(duì)稱軸為f=一一.所以∕l(f)max=〃(1)=4.

4

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三角恒等變換公式的應(yīng)用，考查三角函數(shù)圖像變換規(guī)律，考

查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解題的關(guān)鍵是由/(α)?∕(4)=竽求出CoSaCoS夕=￥，再對(duì)

α+尸=?兩邊取余弦化簡(jiǎn)可求出SinaSin/=-#，從而可對(duì)g(x)化簡(jiǎn)可得

g(x)=2tan2x+3tanx-l,再利用換無(wú)法可求得結(jié)果，屬于中檔題

【題型專練】

1.(2022?廣西?北海市教育教學(xué)研究室高一期末)已知函數(shù)

/(x)=Sin5COS公r-gcos2G_r(G>0)的最小正周期為兀.

(1)求。的值；

(2)將函數(shù)/(x)的圖象向右平移夕個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)也擴(kuò)大為原來(lái)的

0

2倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)在區(qū)間?上的值域.

【答案】⑴。=1,⑵[-√I1]

【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換，將/(X)化為日sin(20x-：),根據(jù)正弦函數(shù)的周

期公式，即可求得答案；

TrSjr

(2)根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換伸縮變換規(guī)律可得g(x)的解析式，根據(jù)Xe—,

7TtTt

(1??2x--π∈,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.

(1)由題意得：/(x)=sinωxcosωx——cos2ωx=—sin2ωx——cos2ωx-

222

因?yàn)椤Φ淖钚≌芷跒樨＃訲=-=π,所以G=1；

269

⑵由(1)知/(X)=1sin(2x-，故由題意得

π5πππ

g(x)=&sin(2X-Vπ),x∈…7πe

24,l2，故2x一五~2,4

???g(x)∈[-√2,1],.?.g(x)的值域?yàn)閇-√2,1].

2.(2022?陜西西安?高一期末)已知函數(shù)"x)=2Sin(OX+s)(0>O,冏<守)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之

間的距離為g,且/(χ)的圖像關(guān)于點(diǎn)(w，0)對(duì)稱.

212

(1)求函數(shù)/(*)的解析式；

(2)將/(χ)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的g,縱坐標(biāo)不變，再將所得的圖像向右平移全

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖像，若g(x)在[0,%]上的值域?yàn)閇―1,2],求巾的取值范

圍.

【答案】(l)〃x)=2sin(2x+/

IT

【分析】(1)由F(X)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為可得T=萬(wàn)，從而可求出0,再由/(X)的

5TT

圖像關(guān)于點(diǎn)(/，0)對(duì)稱，可得/5π=2Sin(2x^1+s)=0,從而可求出。的值，進(jìn)而

^n

可求出/a)的解析式;

(2)由三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律求出g(x),然后由蟋Ikm,得-E都民-g4m,再

666

-τrn"ITr

結(jié)合g(x)在[0,網(wǎng)上的值域?yàn)閇-1,2],可得W強(qiáng)姐-1?,從而可求出川的取值范圍

2JJ66

(1)

由題得T=萬(wàn)0=至=2,則/(x)=2sin(2x+⑼,

π

:函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于點(diǎn)(五，0)對(duì)稱，

+e∣=o,^??^+φ=kπ,Z∈Z,

..71

1初＜5，

?∕(x)=2sin(2x+^?J.

(2)

將/(*)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的縱坐標(biāo)不變，得y=2sin(4x+?)

再將所得的圖像向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得y=2sin∣^4(x-S+g]=2sin(4x-J

12LI26」I6

所以g(x)=2sin(4x-小，

,畸Ikm,

??.-工釉X-工4∕n--,

666

-1,,2siπ^4x——,

.g(x)在［0,汨上的值域?yàn)椋?1，2］,

Λ,

266

解得C≤m≤∕

63

ππ

故，”的取值范圍為.

O?

3.(2022?福建?高二學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù)/(x)=sin2x÷2Λ∕5sinxcosx+3cos2x,x∈R求:

⑴求函數(shù)/(x)的最小正周期；

TTJT

⑵求函數(shù)/(χ)在區(qū)間-f,上的值域.

(3)描述如何由y=sinx的圖象變換得到函數(shù)f(x)的圖象.

【答案】(1)、,(2)[1,4],(3)變換見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，降暴公式和輔助角公式化簡(jiǎn)求解即可；

(2)結(jié)合正弦函數(shù)在區(qū)間上的圖象和取值范圍求解即可；

(3)根據(jù)三角函數(shù)圖象平移伸縮的變換分析即可

⑴由題，/(x)=1+Gsin2X+2COS2X=?/?sin2x+cos2x+2=2sin∣2x+-}+2,故最小正周

期7卷

=π

⑵由(1)/(?)=2sin∣2x+?^-|+2,當(dāng)Xe時(shí)，2x+gw—,故

Iθ)L63」6[_66_

T≤2sin”x+?≤2,故l≤∕(x)≤4,即函數(shù)”x)在區(qū)間上的值域?yàn)閇1,4]

(3)

y=SinX的圖象先向左平移?個(gè)單位得到y(tǒng)=Sin[x+,再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)

的T得到V=sin(2x+。再橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到y(tǒng)=2sin(2x+，

再往」二平移2個(gè)單位得至IJf(X)=2sin(2x+'J+2的圖象

4.(2022?湖北啷州市鄂城區(qū)教學(xué)研究室高一期中)已知/(x)=2CoS20x+275sin3xcos3x,

其中0v<υ<2,給出三個(gè)條件：

①〃χ)關(guān)于直線X=E對(duì)稱；②弁-與|=1；③/(x)圖象沿X軸向左平移2個(gè)單位可以得

到一個(gè)偶函數(shù).

(1)在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，求

JTTT

⑵根據(jù)(1)所求函數(shù)表達(dá)式，求〃X)在-77上的值域?

【答案】⑴任選一條件，都有(-?)=I-宕

(2)[0,3]

【分析】(1)/(x)=2sin2ox+g+1,若選擇①，則有Z/xJ+J=覬+1,kcZ,然

Vθ√662

冗rr

后求出0即可；若選擇②，可得-20+9=化左，然后求出0即可：若選擇③，可得

66

々3+3=k*[,然后求出0即可；

362

(2)根據(jù)正弦函數(shù)的知識(shí)可得答案.

(1)

/(x)=2cos2ωx+2有sinωxcosωx=l+cos2ωx+?/?sin2ωx=2sin^2ωx++1

若選擇①，則有20xg+g=%jτ+W,?∈Z

662

即0=3Z+1,0<69<2,故口=1,f(?)—2sin^2x+-^+1

/(j)=2sin(q)+l=l一百

若選擇②，則有1^]=2sin(-表+*+l=l

即—至G+工=Aτr,Z∈z,即G=I-6Z,0<ω<2,故0=1,/(?)=2sin∣2x+?^?|+1

66I6J

《力=2Sin(T+1=1-后

若選擇③，/(x)圖象沿X軸向左平移[個(gè)單位得到

O

J1C?「C(乃、乃Ilr?(cππ?1

fXH——2sin269XH—H—+1=2Sinl2GXH—co??—÷1

I6jLl6j6j