新高考數(shù)學人教版一輪學案高考大題規(guī)范解答系列（六）-概率與統(tǒng)計含答案

需考大題規(guī)范解答糸列(今)——枷率與統(tǒng)計

考點一離散型隨機變量的分布列與期望

?■例1(2021?山西聯(lián)考)已知甲盒中有三個白球和三個紅球，乙盒中僅裝有三個白球,

球除顏色外完全相同.現(xiàn)從甲盒中任取三個球放入乙盒中.

(1)求乙盒中紅球個數(shù)X的分布列與期望；

(2)求從乙盒中任取一球是紅球的概率.

【標準答案】——規(guī)范答題步步得分

(1)由題意知X的可能取值為0,1,2,3.

P(X=0)=^^，=*,P(X=1)=^^3=4,2分得分點①

P(X=2)=7j=疝,尸(X=3)=疝'4分得分點②

所以X的分布列為

X0123

1991

P

20202020

5分|得分點③

1QQ13--------------

所以￡：(岀=0*砧+1*與+2*詬+3*而=字6分|得分點④'

(2)當乙盒中紅球個數(shù)為0時，P=0,7分|得分點⑤

當乙盒中紅球個數(shù)為1時，22=暴/=焉8分|得分點⑥

當乙盒中紅球個數(shù)為2,/,3=20X6=20,9分|得分，反◎

當乙盒中紅球個數(shù)為3時,24=+義焉=擊，10分|得分點⑧

所以從乙盒中任取一球是紅球的概率為Pi+P2+P.+P^A2分|得分點⑨

【評分細則】

(1)第一問中，正確算出P(X=0),尸(X=l),尸(X=2),P(X=3)各得1分，列出分布列得

1分，求出期望得1分.

(2)第二問中，分類討論，每種情況各占1分.

(3)其他方法按步驟酌情給分.

?■例2(2019?課標丨，21)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種

新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試

驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后，再安

排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并

認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠

治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則甲藥得1分，乙藥得一1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施

以甲藥的白鼠未治愈，則乙藥得1分，甲藥得一I分；若都治愈或都未治愈，則兩種藥均得

0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和尸，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1)求*的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pM=O,l,…，8)表示“甲藥的累計得分為

i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則po=O,p8=l，pi=api-i+bpi+cpi+i(i=\,2,…，

7),其中a=P(X=-l),b=P(X=O),c=P(X=\).假設a=0.5,^=0.8.

①證明：⑵+1一2}?=0,1,2,…，7)為等比數(shù)列；

②求P4,并根據(jù)P4的值解釋這種試驗方案的合理性.

【標準答案】——規(guī)范答題步步得分

(1)X的所有可能取值為-1,0,1.

P(X=-l)=(l-a)B，

P(X=0)=磔+(l-a>(l一份，

P(X=l)=a(l—用.

所以X的分布列為

X-101

p(1-a)pa￡+(l-a)(l一4)

4分|得分點①

(2)①由(1)得a=0.4,6=0.5,c=0.L5分函分點②

因此pi=0.4Pi1+0.5/?,+0.1p,+i,

故0.1(pi+1—pi)=0.4(p(—pi-1),

即Pi+l~Pi—4(Pi—Pi-1).6分得分點③

又因為pi-po=pi#o,

所以加+1一0,}?=0,1,2一“，7)是公比為4,首項為日的等比數(shù)列.7分[g踵⑥

②由①可得

P8=P8-P7+P7-P6H-----卜PLPo+p()

48-1

=(P8—P7)+(P7—P6)H-----H(/71—po)=3pi.

3

由于P8=1'故Pl=48_]'

所以P4=。4—pi)+⑦3~P2)+(P2—pi)+(pi-po)

44-11---------------

=—/7|=257.10分I得分點⑤I

P4表示最終認為甲藥更有效的概率.由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙藥

治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為網=擊-0.0039,11分|得分點⑥

此時得出錯誤結論的概率非常小，說明這種試驗方案合理.12分|得分點⑦|

【評分細則】

①每個式子1分，表格1分；給出X的可能取值給1分；

②得出a、b、c的值（有正確的）得1分；

③得到P,+LE=4（PLPLI）得1分；

④給出結論得1分；

⑤得出R,PA,PI的表達式各得1分；

⑥說明為非常小得1分；

⑦說明實驗方案合理得1分.

【名師點評】

1.核心素養(yǎng)：本題主要考查相互獨立事件的概率、隨機變量的期望、方差的應用、二

項分布、決策問題等，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查或然與必然思想，考查的核

心素養(yǎng)的邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析.

2.解題技巧：破解此類題的關鍵：一是認真讀題，讀懂題意；二是會利用導數(shù)求最值;

三是會利用公式求服從特殊分布的離散型隨機變量的期望值；四是會利用期望值，解決決策

型問題.

（變式訓練1〕

（2021?湖南五市十校教研教改共同體聯(lián)考）某學校為了了解學生對新冠病毒的傳播和預

防知識的掌握情況，學校決定組織一次有關新冠病毒預防知識競答.競答分為必答題（共5

題）和選答題（共2題）兩部分.每位同學答題相互獨立，且每道題答對與否互不影響.已知甲

同學答對每道必答題的概率為點4答對每道選答題的概率為方2

（1）求甲恰好答對4道必答題的概率；

（2）在選答階段，若選擇回答且答對獎勵5分，答錯扣2分，選擇放棄回答得0分.已

知甲同學對于選答的兩道題，選擇回答和放棄回答的概率均為去試求甲同學在選答題階段,

得分X的分布列.

［解析］（1）甲恰好答對4遒必答題的概率為

I256

尸

5-625-

121

(2)依題意，每道題選擇回答并答對的概率為

選擇回答且答錯的概率為"113=方3，

選擇放棄回答的概率為今

甲得分的可能性為一4分，一2分，。分，3分，5分和10分.

9

所以尸(X=-4)=礪，

P(X=-2)=嗎X^U，

11233

P(X=3)=C與義爐/5二藥

1121

P(X=5)=C22X2><5=5,

產底=10)=1/爐1?-=31.

所以X的分布列為

X-4-203510

931311

P—!■■

10010425525

考點二線性回歸分析

?■例3(2018?全國2)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資y(單位：億

元)的折線圖.

為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回

A

歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量「的值依次為1,2,…，17)建立模型①；y=

-30.4+13.56根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量，的值依次為1,2,…，7)建立模型

②：￡=99+17.5厶

(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；

(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.

【分析】⑴模型①中取f=19,模型②中取f=9,求出對應的函數(shù)值即可；(2)利用所給

折線圖中數(shù)據(jù)的增長趨勢，加以分析即可.

【標準答案】——規(guī)范答題步步得分

(1)利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為

f=-30.4+l3.5X19=226.1(億元).3分|得分點①

利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為

￡=99+17.5X9=256.5（億元）.6分|得分點②|

（2）利用模型②得到的預測值更可靠.

8分|得分點③

理由如下：

⑴從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線），=-30.4

+13.5/上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境

基礎設施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010

年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資

A

額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y=99+17.5/

可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預

測值更可靠.

（ii）從計算結果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預

測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模

型②得到的預測值更可靠.

（以上給出了2種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可得分）

12分|得分力④

【評分細則】

①根據(jù)模型①求出預測值給3分；

②根據(jù)模型②求出預測值給3分；

③判斷模型②得到的預測值更可靠給2分；

④作出正確的判斷，寫出合理理由，給4分；

【名師點評】

1.核心素養(yǎng)：本題主要考查線性回歸方程的實際應用，考查考生的應用意識，分析問

題與解決問題的能力以及運算求解能力，考查數(shù)學的核心素養(yǎng)是數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模、數(shù)學

運算.

2.解題技巧：統(tǒng)計中涉及的圖形較多、常見的有條形統(tǒng)計圖、折線圖、莖葉圖、頻率

分布直方圖、應熟練地掌握這些圖形的特點，提高識圖與用圖的能力.

〔變式訓練2〕

（2021?安徽蚌埠質檢）經銷商小王對其所經營的某一型號二手汽車的使用年數(shù)

MOaWlO,xCN）與每輛的銷售價格y（單位：萬元）進行整理，得到如表的對應數(shù)據(jù)：

使用年數(shù)246810

售價16139.574.5

(1)試求)，關于X的回歸直線方程；

(2)已知每輛該型號汽車的收購價格。(單位：萬元)與使用年數(shù)x(0<xW10,xGN)的函數(shù)

關系為o=0.05f—1.75x+17.2,根據(jù)(1)中所求的回歸方程，預測x為何值時，小王銷售一

輛該型號汽車所獲得的利潤z最大.

n__

?iyi-幾x-y

A

尸】A_A_

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為力=------------，a=y-bx.

》,一〃x2

/=!

一1

［解析］(1)由表中數(shù)據(jù)，得x=§X(2+4+6+8+10)=6,

7=1X(16+13+9.5+7+4.5)=10,

由最小二乘法得

A2義16+4X13+6X9.5+8X7+10X4.5-5X6X10__

b=4+16+36+64+100-5X36=-L45,

a=10-(-1.45)X6=18.7,

所以y關于x的回歸直線方程為y=-1.45x+18.7.

(2)由題意，z=y—co

=-1.45x+18.7-(0.05A2-1.75X+17.2)

=-0.05*+0.3x+1.5,

其中0a<10,且X6N,

z=-0.05f+0.3x+1.5

=-0.05(X-3)2+1.95,

所以預測x=3時，銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤最大.

考點三獨立性檢驗

?■例4(2018?課標全國III)某工廠為提高生產效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成

某項生產任務的兩種新的生產方式.為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們

隨機分成兩組,每組20人.第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式.根

據(jù)工人完成生產任務的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高，并說明理由；

(2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產任務所需時間超過m

和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過m不超過tn

第一種生產方式

第二種生產方式

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？

附"(ad-be辛

陽：~(a+b)(c+d)(a+cXb+d)-

P(即發(fā)k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【分析】(1)根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)大致集中在哪個莖，作出判斷；

(2)通過莖葉圖確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，按要求完成2義2列聯(lián)表；

(3)根據(jù)(2)中2X2列聯(lián)表，將有關數(shù)據(jù)代入公式計算得收的值，借助臨界值表作出統(tǒng)

計推斷.

【標準答案】——規(guī)范答題步步得分

(1)第二種生產方式的效率更高.4分|得分點①

理由如下：

⑴由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間

至少80分鐘，用第二種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至多79

分鐘.因此第二種生產方式的效率更高.

(ii)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數(shù)為85.5分

鐘，用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生

產方式的效率更高.

(iii)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80分鐘；

用第二種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80分鐘.因此第二種生產方式的

效率更高.

(iv)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最

多.關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7

上的最多，關于莖7大致呈對稱分布.又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布

的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完

成生產任務所需的時間更少.因此第二種生產方式的效率更高.

79+81--------------

(2)由莖葉圖知=80.6分|得分點②

列聯(lián)表如下：

超過m不超過m

第一種生產方式155

第二種生產方式515

8分|得分點③

亠十,40(15X15-5X5)2八?用八17

(3)由于心=卡方=六=1°>6.635,11分得分點④

所以有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異.

12分|得分點⑤

【評分細則】

①答案給岀了4種理由，考生答出任意一種或其他合理理由，均給4分；

②由莖葉圖求出中位數(shù)，給2分；

③按要求完成2X2列聯(lián)表，給2分；

④根據(jù)公式正確求出依的值，給3分；

⑤借助于臨界值表作出判斷，給1分.

【名師點評】

1.核心素養(yǎng)：莖葉圖及獨立性檢驗是高考命題的重點，在每年的髙考試題都以不同的

命題背景進行命制.此類問題主要考查學生的分析問題和解決實際問題的能力，同時考查

“數(shù)據(jù)分析”的數(shù)學核心素養(yǎng).

2.解題技巧：(1)審清題意：弄清題意，理順條件和結論；

(2)找數(shù)量關系：把圖形語言轉化為數(shù)字，找關鍵數(shù)量關系；

(3)建立解決方案：找準公式，將2X2列聯(lián)表中的數(shù)值代入公式計算；

(4)作出結論：依據(jù)數(shù)據(jù)，借助臨界值表作出正確判斷.

〔變式訓練3〕

(2021.湖南百校聯(lián)考)2020年3月受新冠肺炎疫情的影響，我市全體學生只能網上在線

學習.為了了解學生在線學習的情況，市教研院數(shù)學教研室隨機從市區(qū)各髙中學校抽取60

名學生對線上教學情況進行調查(其中男生與女生的人數(shù)之比為2：1),結果發(fā)現(xiàn)男生中有

10名對線上教學滿意，女生中有12名對線上教學不滿意.

(1)請完成如下2X2列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認為“對線上教學是否滿意與性

別有關"；

滿意不滿意合計

男生

女生

合計60

(2)以這60名學生對線上教學的態(tài)度的頻率作為1名學生對線上教學的態(tài)度的概率，若

從全市學生中隨機抽取3人，設這3人中對線上教學滿意的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布

列與數(shù)學期望.

附：參考公式及臨界值表

)_______n(ad-be辛_____

K(〃+h)(c+d)(a+c)(b+d)'其中〃=a+b+c+d.

P(K2>ko)0.100.050.0250.010

ko2.7063.8415.0246.635

I解析](1)由題意可知抽取60名學生中男生有40人，女生有20人，則列聯(lián)表如下:

滿意不滿意合計

男生103040

女生81220

合計184260

60X(10X12—30X8)2%1.429<2.706,

因為18X42X40X20

所以沒有90%的把握認為“對線上教學是否滿意與性別有關”.

(2)X的可能取值為0,1,2,3,由題意可知，X?B(3,匐，

p(x=z)=c(4)(總3-,

&=0,1,2,3,

隨機變量X的分布列為

X0123

34344118927

P

10001000TOGOTooo

39

芯(田=3X行=而

考點四正態(tài)分布

?■例5國慶70周年閱兵式上的女兵們是一道靚麗的風景線，每一名女兵都是經過

層層篩選才最終入選受閱方隊，篩選標準非常嚴格，例如要求女兵身高(單位：cm)在區(qū)間

[165,175]內.現(xiàn)從全體受閱女兵中隨機抽取200人，對她們的身高進行統(tǒng)計，將所得數(shù)據(jù)分

為[165,167),[167,169),[169,171),[171,173),[173,175]五組，得到如圖所示的頻率分布直

方圖，其中第三組的頻數(shù)為75,最后三組的頻率之和為0.7.

(1)請根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)三和方差52(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的

中點值代表)；

(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認為受閱女兵的身高X(cm)近似服從正態(tài)分布N3,丁)，其中〃近

似為樣本平均數(shù)三，『近似為樣本方差~

(i)^P(167.86<X<174.28)；

(ii)若從全體受閱女兵中隨機抽取10人，求這10人中至少有1人的身高在174.28cm

以上的概率.

參考數(shù)據(jù)：若X?NW，<r),則Pa—<7<X<〃+<7)=0.6826,P(/z-2<r<X</z+2a)=0.9544,

VH5仁10.7,0.9544"%0.63,0.97729心0.8i,o.9772'0?O.79.

［解析］⑴由題知五組頻率依次為0.1,0.2,0.375,0.25,0.075,1分

故7=0.1X166+0.2義168+0.375X170+0.25X172+0.075X174=170,2分

.*=(170-166)2X0.1+(170-168)2X0.2+(170-172)2X0.25+(170-174)2X0.075=

4.6；4分

(2)由題知〃=170,

<7=^^=#?5十2.14,5分

,0.9544-0.6826.

(1)P(167.86<X<174.28)=P(/i~a<X</i+2(r)=0.6826+--------------------=0.8185,8分

..1-0.9544

(n)P(X>174.28)=------5------=0.0228,

故10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率

P=1-<1-0.0228)'°=1-0.9772l0??1-0.79=0.21.12分

〔變式訓練4〕

(2021?貴州遵義模擬)3D打印通常是采用數(shù)字技術材料打印機來實現(xiàn)的，常在模具制造、

工業(yè)設計等領域被用于制造模型，后逐漸用于一些產品的直接制造，已經有使用這種技術打

印而成的零部件.該技術應用十分廣泛，可以預計在未來會有廣闊的發(fā)展空間，某制造企業(yè)

向4高校3D打印實驗團隊租用一臺3D打印設備，用于打印一批對內徑有較高精度要求的

零件.該團隊在實驗室打印出了一批這樣的零件，從中隨機抽取10件零件，度量其內徑的

莖葉圖如圖所示(單位：Mm).

(1)計算平均值〃與標準差6

(2)假設這臺3D打印設備打印出的零件內徑Z服從正態(tài)分布NQ/,巒)，該團隊到工廠安

裝調試后，試打了5個零件，度量其內徑分別為：86,95,103,109,118(單位：gm),試問：此

打印設備是否需要進一步調試，為什么？

參考數(shù)據(jù)：P(/i-2a<Z<n+2CT)=0.9544,

尸3-?>a<Z<n+3。)=0.9974,

0.95443=0.87,0.99744=0.99,

0.04562=0.002.

［解析］⑴

97+97+98+102+105+107+108+109+113+114

10

=105jim,

,(-8>+(-8)2+(—7)2+(-3)2+()2+22+32+42+82+92

/=10

=36,

所a=6gm.

(2)結論：需要進一步調試.

理由如下：如果機器正常工作，則Z服從正態(tài)分布N(105,62),

PQI-3a<Z<fi+3。)=P(87<Z<123)=0.9974,

零件內徑在(87,123)之外的概率只有0.0026,

而86陣(87,123),根據(jù)3。原則知機器異常，需要進一步調試.(還可有其它解釋，合理即

可)

考點五*概率、統(tǒng)計與函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合

?■例6(2021.百師聯(lián)盟期末)出版商為了解某科普書一個季度的銷售量》(單位:千本)

和利潤x(單位：元/本)之間的關系，對近年來幾次調價之后的季銷售量進行統(tǒng)計分析，得到

如下的10組數(shù)據(jù).

序號12345678910

X2.43.14.65.36.47.17.88.89.510

y18.114.19.17.24.93.93.22.32.11.4

根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出如圖所示的散點圖：

(1)根據(jù)圖中所示的散點圖判斷)，=以+6和>=。1必+〃哪個更適宜作為銷售量y關于利

潤x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不需要說明理由)；

(2)根據(jù)(1)中的判斷結果及參考數(shù)據(jù)，求出y關于x的回歸方程；

(3)根據(jù)回歸方程分析：設該科普書一個季度的利潤總額為z(單位：千元)，當季銷售量

y為何值時，該書一個季度的利潤總額預報值最大？(季利潤總額=季銷售量X每本書的利

潤)

參考公式及參考數(shù)據(jù)：

①對于一組數(shù)據(jù)(“1，V1),("2，V2),…，(“"，vn).其回歸直線v—a+/3u的斜率和截距

U)(v,—V)

的公式分別為2=------------二，1=7一2戸.

②參考數(shù)據(jù):

10-10―

—

10_10—Z(XLx)Z(W/“)

Z(即一X)22i=\/=!

XuZ(?,—u)

y/=1/=1

(yi-y)(yi-y)

6.506.631.7582.502.70一143.25-27.54

表中出=lnx,，M=正堂?

另：ln4.06F.40.計算時，所有的小數(shù)都精確到0.01.

[解析](l)y=dnx+d更適宜作為銷售量y關于利潤x的回歸方程類型.

(2)令〃=Inx,先建立y關于〃的線性回歸方程，

則一u)(>1,-y)

,工八______________一27.54

由于。="二一=2.7010.20,

軍一U)~

A———

a=y-c-u=6.63+10.20X1.75=24.48,

所以y關于〃的線性回歸方程為

A

y=24.48—10.20〃，

即y關于x的回歸方程為

A

>'=24.48-10.201nx.

(3)由題意得

z=xy=x(24.48—10.201nx),

z'=[x(24.48-10.201nr)]/

=14.28-10.201IU,

令z'=0即14.28-10.201nx=0,

解得ln%=1.40,所以x^4.06.

當xG(0,4.06)時,z'>0,

所以z在(0,4.06)上單調遞增，

當xG(4.06,+8)時，z'<0,

所以z在(4.06,+8)上單調遞減，

所以當尤=4.06時，即季銷量)=10.20千本時，季利潤總額預報值最