四川省成都市郫都區(qū)高三上學(xué)期二模文科數(shù)學(xué)試題

郫都區(qū)高2021級階段性檢測（二）數(shù)學(xué)（文）說明：1.本卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，時(shí)間120分鐘.2.所有試題均在答題卡相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一.選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）1.已知：，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，即可得出答案.【詳解】，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定直接判斷即可.【詳解】命題“，”的否定是“，”.故選：A.3.已知集合，，則集合的元素個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定義求出集合，即可得解.【詳解】因?yàn)?，，則，故集合的元素個(gè)數(shù)為.故選：B.4.在中，已知，，，則邊的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合正弦定理，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，可得，由正弦定理可?故選：B.5.已知銳角滿足則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用代入計(jì)算即可.【詳解】由已知，，因?yàn)殇J角，所以，，即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.6.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再考慮時(shí)，的取值情況，即可作出選擇.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B和C，當(dāng)時(shí)，比x增長的快，，排除選項(xiàng)D，故選：A.7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（）A.95 B.100 C.135 D.175【答案】D【解析】【分析】由，推導(dǎo)出數(shù)列是等差數(shù)列，再由求和公式求出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得.故選：D8.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.對稱軸為， B.在內(nèi)單調(diào)遞增C.對稱中心為， D.在內(nèi)最小值為【答案】C【解析】【分析】通過平移變換可得，然后由正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性求解即可.【詳解】則由題意可得，令得對稱軸方程為，A錯(cuò)誤；由得，所以在上單調(diào)遞增，由得，所以在上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；令得，所以的對稱中心為，C正確；因?yàn)?，，結(jié)合選項(xiàng)B可知在內(nèi)的最小值為，D錯(cuò)誤.故選：C.9.已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得在上為增函數(shù)，再證明函數(shù)為奇函數(shù)，最后由，分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)函數(shù)，因?yàn)?，所以在上恒成立，則在上為增函數(shù)；，所以為奇函數(shù)，所以，又由，則；故選：D．10.教室通風(fēng)的目的是通過空氣的流動(dòng)，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進(jìn)室外的新鮮空氣．按照國家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應(yīng)小于．經(jīng)測定，剛下課時(shí)，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時(shí)間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)需要的時(shí)間（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（）（參考數(shù)據(jù)，）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由時(shí)，可求得；由可解不等式求得的范圍，由此可得結(jié)果.【詳解】由題意知：當(dāng)時(shí)，，解得：，；令，即，即，，所需時(shí)間（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為.故選：A.11.已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列前2023項(xiàng)的積為（）A.2 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】先找到數(shù)列的周期，然后求得數(shù)列前2023項(xiàng)的積.【詳解】依題意，，，所以，，所以數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，，，所以數(shù)列前項(xiàng)的積為.故選：B12.若指數(shù)函數(shù)（且）與冪函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定，由進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)和圖象來求得的取值范圍.【詳解】冪函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，若，則指數(shù)函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖象沒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以.由兩邊取以為底的對數(shù)得，即直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，先考慮兩者相切的情形，設(shè)，令，解得，，故切點(diǎn)為，將切點(diǎn)代入得，所以，要使直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則需，所以的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，可以考慮的方向有：零點(diǎn)存在性定理、數(shù)形結(jié)合、利用導(dǎo)數(shù)研究.本題采用的是利用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行研究.考慮到原本函數(shù)的復(fù)雜性，可先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為直線和曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題來進(jìn)行研究.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）注意事項(xiàng)：必須使用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指定的答題區(qū)域內(nèi)作答，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚，答在試題卷上無效.二.填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，.若，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)得到，解得答案.【詳解】，則，解得.故答案為：.14.函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______．【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，結(jié)合指對數(shù)的運(yùn)算法則，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以由奇函?shù)得：．故答案為：15.在數(shù)列中，，，，則______.【答案】【解析】【分析】利用來求得正確答案.【詳解】依題意，，，則，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：16.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)在是增函數(shù)得到的取值范圍，根據(jù)得到和的值，進(jìn)而得到的表達(dá)式，從而分類討論即可得解.【詳解】由題意得：，所以或，因?yàn)?，所以，，因?yàn)楹?，所以，則，所以，則，故，得，因?yàn)榛?，所以或，解得或，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，，其在上單調(diào)遞增，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，其在上單調(diào)遞減，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；綜上，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于在是增函數(shù)得到的取值范圍.三、解答題（本大題共6小題共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列的首項(xiàng)為3，且滿足.（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列.【答案】（1）證明見解析（2），數(shù)列不是等比數(shù)列【解析】【分析】（1）化簡變形為，結(jié)合定義即可證明；（2）由即可判斷.【小問1詳解】由，，得，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）得，，所以所以數(shù)列不是等比數(shù)列.18.某食品廠2021年2月至6月的某款果味飲料生產(chǎn)產(chǎn)量（單位：萬瓶）的數(shù)據(jù)如表：（月份）23456（生產(chǎn)產(chǎn)量：萬瓶）356.5810.5（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程；（2）調(diào)查顯示該年7月份的實(shí)際市場需求量為13.5萬件，求該年7月份所得回歸方程預(yù)測的生產(chǎn)產(chǎn)量與實(shí)際市場需求量的誤差.附：（參考公式：；；）.【答案】（1）；（2）15萬件.【解析】【分析】（1）先計(jì)算，，再利用最小二乘法公式計(jì)算，即可得到答案；（2）把代入線性回歸方程，即可得到答案；詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可知，，，，，，，關(guān)于的線性回歸方程為.（2）把代入線性回歸方程，有，，故該年7月份所得回歸方程預(yù)測的生產(chǎn)產(chǎn)量與實(shí)際市場需求量的誤差為1.5萬件.19.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求角C；（2）若的面積為，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，且，求c邊的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再利用三角形內(nèi)角和消去角A，求角C；（2）先利用向量運(yùn)算及三角形面積公式得到邊a，b的關(guān)系，再利用余弦定理求邊c.【小問1詳解】由得，，因?yàn)樗?【小問2詳解】由已知得，所以，所以，所以，因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，，由余弦定理得，所以.20.如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，是邊長為2的正三角形，平面平面，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)的交點(diǎn)為，連接，通過證明即可得到，從而即可得證.（2）由題意，故只需求出點(diǎn)到底面的距離、的面積即可得解.【小問1詳解】菱形中，設(shè)的交點(diǎn)為，連接，由∽且為的中點(diǎn)，得，在中，，所以，所以，又平面，平面，則平面.【小問2詳解】取的中點(diǎn)為，連接，由是正三角形，得，又平面平面，平面平面，平面，則平面，因?yàn)槭沁呴L為的正三角形，所以點(diǎn)到底面距離為，因?yàn)槠矫?，所以P，C到平面BEF的距離相等，又，，所以三棱錐的體積為.21.已知函數(shù).（1）求在處的切線方程；（2）若是的最大的極大值點(diǎn)，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)值即可求解，（2）先對上考慮導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性，進(jìn)而考慮上導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可確定函數(shù)的極值點(diǎn)求證.【小問1詳解】∵，∴又，所以在處的切線方程為，【小問2詳解】由（1）得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在無極大值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，則在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.又，，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以是的極小值點(diǎn)，在內(nèi)無極大值點(diǎn)∵，，所以存在，使得，即，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以是的極大值點(diǎn)，也是的最大的極大值點(diǎn).因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，.所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．請考生在22、23題中任選一題作答，共10分，如果多作，則按所作的第一題計(jì)分.作答時(shí)，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題目題號的方框涂黑.選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，且為正三角形．（1）求點(diǎn)，的極坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求的最大值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，即得解；（2）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．將此代入曲線的方程，可得點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，所以的最大值為，即得解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，為正三角形，所以點(diǎn)在曲線上．又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以點(diǎn)的極坐標(biāo)是，從而，點(diǎn)的極坐標(biāo)是．（2）由（1）可知，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，B的直角坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．將此代入曲線的方程，有即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上．，所以的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)和參數(shù)方程綜合，考查了極坐標(biāo)和