2022年吉林省長春市于家鄉(xiāng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2022年吉林省長春市于家鄉(xiāng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，那么|PF1|?|PF2|的值是（）A．m﹣a B．m2﹣a2 C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】圓錐曲線的共同特征．【分析】不妨設(shè)P在雙曲線的右支上，則|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|﹣|PF2|=2a，由此即可求得|PF1|?|PF2|的值．【解答】解：由題意，不妨設(shè)P在雙曲線的右支上，則|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|﹣|PF2|=2a∴|PF1|=m+a，|PF2|=m﹣a∴|PF1|?|PF2|=m2﹣a2故選B．【點(diǎn)評】本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓、雙曲線的定義，屬于基礎(chǔ)題．2.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線（）A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條 C．有無窮多條 D．不存在參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的應(yīng)用．【分析】過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，先看直線AB斜率不存在時(shí)，求得橫坐標(biāo)之和等于2，不符合題意；進(jìn)而設(shè)直線AB為y=k（x﹣1）與拋物線方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理表示出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，進(jìn)而求得k．得出結(jié)論．【解答】解：過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，若直線AB的斜率不存在，則橫坐標(biāo)之和等于2，不適合．故設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB為y=k（x﹣1）代入拋物線y2=4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0∵A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于5，∴，則這樣的直線有且僅有兩條，故選B．3.數(shù)列的前n項(xiàng)和為

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D4.已知是虛數(shù)單位,則（▲）A．

B.

C.

D.參考答案：B略5.如圖，已知⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為30°，過C點(diǎn)的切線PC與AB的延長線交于P，PC=5，則⊙O的半徑為（

）A.

B.

C.10

D.5參考答案：A6.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，則cosB=（）A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：D【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】根據(jù)正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的邊角關(guān)系確定∠B的范圍，進(jìn)而利用sin2B+cos2B=1求解．【解答】解：根據(jù)正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B為銳角，∴，故選D．【點(diǎn)評】正弦定理可把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，進(jìn)一步可以利用三角函數(shù)的變換，注意利用三角形的邊角關(guān)系確定所求角的范圍．7.用“輾轉(zhuǎn)相除法”求得和的最大公約數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D8.4種不同產(chǎn)品排成一排參加展覽，要求甲、乙兩種產(chǎn)品之間至少有1種其它產(chǎn)品，則不同排列方法的種數(shù)是A.12 B.10 C.8 D.6參考答案：A【分析】先求出所有的排法，再排除甲乙相鄰的排法，即得結(jié)果．【詳解】解：4種不同產(chǎn)品排成一排所有的排法共有種，其中甲、乙兩種產(chǎn)品相鄰的排法有種，故甲、乙兩種產(chǎn)品之間至少有1種其它產(chǎn)品，則不同排列方法的種數(shù)是排法有種．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查排列與組合及兩個(gè)基本原理的應(yīng)用，相鄰的問題用捆綁法，屬于中檔題．9.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：A略10.若圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等，圓柱、球的表面積分別記為S1、S2，則S1：S2=（）A．1：1 B．2：1 C．3：2 D．4：1參考答案：C【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】根據(jù)圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等，設(shè)為球的半徑為1，結(jié)合圓柱的表面積的公式以及球的表面積即可得到答案．【解答】解：由題意可得：圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等，設(shè)球的半徑為1，所以等邊圓柱的表面積為：S1=6π，球的表面積為：S2=4π．所以圓柱的表面積與球的表面積之比為S1：S2=3：2．故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若不等式＜對于任意的正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.參考答案：略12.已知二面角α－AB－β為120°，CDα，CD⊥AB，EFβ，EF與AB成30°角，則異面直線CD與EF所成角的余弦值為

參考答案：13.已知拋物線y2=2px（p＞0），F(xiàn)為其焦點(diǎn)，l為其準(zhǔn)線，過F作一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，A′，B′分別為A，B在l上的射線，M為A′B′的中點(diǎn)，給出下列命題：①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F∥BM；④A′F與AM的交點(diǎn)在y軸上；⑤AB′與A′B交于原點(diǎn)．其中真命題的是

．（寫出所有真命題的序號）參考答案：①②③④⑤【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】①由于A，B在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義可知A'F=AF，B'F=BF，從而由相等的角，由此可判斷A'F⊥B'F；②取AB中點(diǎn)C，利用中位線即拋物線的定義可得CM=，從而AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，從而可得A′F⊥AM，根據(jù)AM⊥BM，利用垂直于同一直線的兩條直線平行，可得結(jié)論；④取AB⊥x軸，則四邊形AFMA'為矩形，則可得結(jié)論；⑤取AB⊥x軸，則四邊形ABB'A'為矩形，則可得結(jié)論．【解答】解：①由于A，B在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義可知A'A=AF，B'B=BF，因?yàn)锳′、B′分別為A、B在l上的射影，所以A'F⊥B'F；②取AB中點(diǎn)C，則CM=，∴AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A'F∥BM；④取AB⊥x軸，則四邊形AFMA′為矩形，則可知A'F與AM的交點(diǎn)在y軸上；⑤取AB⊥x軸，則四邊形ABB'A'為矩形，則可知AB'與A'B交于原點(diǎn)故答案為①②③④⑤．14.已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，（），當(dāng)時(shí)，的最小值為1，則a的值等于

．參考答案：1由于當(dāng)時(shí)，f(x)的最小值為1，且函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最大值為-1，從而由，所以有；故答案為：1．

15.下列五個(gè)命題①任何兩個(gè)變量都具有相關(guān)關(guān)系

②圓的周長與該圓的半徑具有相關(guān)關(guān)系③某商品的需求量與該商品的價(jià)格是一種非確定性關(guān)系④根據(jù)散點(diǎn)圖求得的回歸直線方程可能是沒有意義的⑤兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系可以通過回歸直線，把非確定性問題轉(zhuǎn)化為確定性問題進(jìn)行研究正確命題的序號為____________．參考答案：③④⑤16.若函數(shù)，則=

參考答案：17.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知命題：方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，命題：恒成立；若或?yàn)檎?，且為假，求?shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：解：由命題可以得到：

∴由命題可以得到：∴∵或?yàn)檎?，且為?/p>

∴有且僅有一個(gè)為真所以，的取值范圍為或．

略19.（2016秋?湛江期末）如圖邊長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是CC1，B1C1的中點(diǎn)，（Ⅰ）證明：A1N∥平面AMD1；（Ⅱ）求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明A1N∥平面AMD1．（Ⅱ）求出平面ADD1的一個(gè)法向量和平面AMD1的法向量，利用向量法能求出二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．【解答】證明：（Ⅰ）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1為軸建立如圖直角坐標(biāo)系．…（1分）則A1（2，0，2），N（1，2，2），M（0，2，1），A（2，0，0），D1（0，0，2）．．…（2分）設(shè)平面AMD1的法向量是．則．…（3分）取x=1，得．…（4分）所以，即．…又A1N?平面AMD1．∴A1N∥平面AMD1．…（6分）解：（Ⅱ）平面ADD1的一個(gè)法向量為，…（8分）平面AMD1的法向量是．由（Ⅰ）得．…（11分）由圖形得二面角M﹣AD1﹣D的平面角是銳角，所以二面角M﹣AD1﹣D的余弦值是．…（12分）【點(diǎn)評】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．20.（12分）已知函數(shù)f(x)＝x2－alnx(a∈R)．（1）若a＝2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）求f(x)在[1，e]上的最小值．參考答案：（1）增區(qū)間；減區(qū)間；21.(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：平面；(Ⅱ)若，，且，求平面與底面所成的銳二面角的大?。甗注：側(cè)棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱]

參考答案：解：（Ⅰ）（法一）取邊的中點(diǎn)，連接

……………1分∵為的中點(diǎn)，∴∥且=

同理可得：

∥且=…………2分又∵在直三棱柱中，∥且=∴四邊形為平行四邊形

…………1分∴∥

……………1分又∵平面,且平面∴∥平面

………1分（法二）取邊的中點(diǎn)

………1分∵分別為,的中點(diǎn)∴∥,∥

………2分[∴平面∥平面

………2分∴∥平面

………1分略22.（本小題滿分14分）已知橢圓過點(diǎn)，其焦距為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為，則橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：（i）如圖（1），點(diǎn)為在第一象限中的任意一點(diǎn)，過作的切線，分別與軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn)，求面積的最小值；（ii）如圖（2），過橢圓上任意一點(diǎn)作的兩條切線和，切點(diǎn)分別為.當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在定圓恒與直線相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由. 圖（1）

圖（2）參考答案：（I）解：依題意得：橢圓的焦點(diǎn)為，由橢圓定義知：，所以橢圓的方程為.

……………4分（II）（?。┰O(shè)，則橢圓在點(diǎn)B處的切線方程為

令，，令，所以