湖南省汨羅市沙溪中學(xué)2024年八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

湖南省汨羅市沙溪中學(xué)2024年八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．函數(shù)y=中自變量x的取值范圍是（）A．x≥-1且x≠1 B．x≥-1 C．x≠1 D．-1≤x＜12．若一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是45°，則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于（）A．1440° B．1260° C．1080° D．1800°3．如圖，?OABC的頂點(diǎn)O、A、C的坐標(biāo)分別是（0，0），（2，0），（0.5，1），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A．（1，2） B．（0.5，2） C．（2.5，1） D．（2，0.5）4．如果分式有意義，那么的取值范圍是（）A． B．C． D．或5．如圖是甲、乙兩個(gè)探測(cè)氣球所在位置的海拔高度（單位：）關(guān)于上升時(shí)間（單位：）的函數(shù)圖像.有下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，兩個(gè)探測(cè)氣球位于同一高度②當(dāng)時(shí)，乙氣球位置高；③當(dāng)時(shí)，甲氣球位置高；其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)6．下列所述圖形中，既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．矩形 B．平行四邊形 C．正五邊形 D．正三角形7．已知實(shí)數(shù)a、b，若a＞b，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．8．正n邊形每個(gè)內(nèi)角的大小都為108°，則n=（）A．5 B．6 C．7 D．89．如圖所示是一些常用圖形的標(biāo)志，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形但不是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．AB．BC．CD．D10．若分式有意義，則的取值范圍是()A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．如果有意義，那么x的取值范圍是_____．12．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，AB=8，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_______.13．如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則AB2＝_____，∠ABC＝_____°．14．如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，下列結(jié)論：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=．其中正確的序號(hào)是（把你認(rèn)為正確的都填上）．15．若是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則=__________．16．如果關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是_______________．17．一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是_____．18．某中學(xué)人數(shù)相等的甲、乙兩班學(xué)生參加了同一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，兩班平均分和方差分別為分，分，，.那么成績(jī)較為整齊的是______班.三、解答題(共66分)19．（10分）計(jì)算：（1）（2）（﹣1）2﹣（﹣）（+）20．（6分）“最美女教師”張麗莉，為搶救兩名學(xué)生，以致雙腿高位截肢，社會(huì)各界紛紛為她捐款，我市某中學(xué)九年級(jí)一班全體同學(xué)參加了捐款活動(dòng)，該班同學(xué)捐款情況的部分統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：（1）求該班的總?cè)藬?shù)；（2）將條形圖補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出捐款總額的眾數(shù)；（3）該班平均每人捐款多少元？21．（6分）近年來(lái)霧霾天氣給人們的生活帶來(lái)很大影響，空氣質(zhì)量問(wèn)題倍受人們關(guān)注．某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批、兩種空氣凈化裝置，每臺(tái)種設(shè)備價(jià)格比每臺(tái)種設(shè)備價(jià)格多0.7萬(wàn)元，花3萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)種設(shè)備和花7.2萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)種設(shè)備的數(shù)量相同．（1）求種、種設(shè)備每臺(tái)各多少萬(wàn)元？（2）根據(jù)銷(xiāo)售情況，需購(gòu)進(jìn)、兩種設(shè)備共20臺(tái)，總費(fèi)用不高于15萬(wàn)元，求種設(shè)備至少要購(gòu)買(mǎi)多少臺(tái)？（3）若每臺(tái)種設(shè)備售價(jià)0.6萬(wàn)元，每臺(tái)種設(shè)備售價(jià)1.4萬(wàn)元，在（2）的情況下商場(chǎng)應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批空氣凈化裝置售完后獲利最多？22．（8分）（1）解方程：．（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．23．（8分）如圖，等腰直角三角形OAB的三個(gè)定點(diǎn)分別為、、，過(guò)A作y軸的垂線(xiàn).點(diǎn)C在x軸上以每秒的速度從原點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在上以每秒的速度同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)C、D同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.當(dāng)C、D停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，將△OAB沿y軸向右翻折得到△，與CD相交于點(diǎn)E，P為x軸上另一動(dòng)點(diǎn).(1)求直線(xiàn)AB的解析式，并求出t的值.(2)當(dāng)PE+PD取得最小值時(shí)，求的值.(3)設(shè)P的運(yùn)動(dòng)速度為1，若P從B點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示△PAE的面積.24．（8分）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對(duì)角線(xiàn)AC上任意一點(diǎn)，F(xiàn)是線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且CF=AE，連接BE、EF．（1）如圖1，當(dāng)E是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：BE=EF．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E不是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，其它條件不變時(shí)，請(qǐng)你判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說(shuō)明理由．25．（10分）如圖，在銳角中，點(diǎn)、分別在邊、上，于點(diǎn)，于點(diǎn)，（1）求證：；（2）若，，求的值．26．（10分）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線(xiàn)上.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)以每小時(shí)16海里的速度向北偏東40°方向航行，“海天”號(hào)以每小時(shí)12海里的速度向北偏西一定的角度的航向行駛，它們離港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于Q、R處，且相距30海里（即RQ=30）.解答下列問(wèn)題:（1）求PR、PQ的值；（2）求“海天”號(hào)航行的方向.(即求北偏西多少度？)

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【解析】分析：根據(jù)分式的分母不為0；偶次根式被開(kāi)方數(shù)大于或等于0；當(dāng)一個(gè)式子中同時(shí)出現(xiàn)這兩點(diǎn)時(shí)，應(yīng)該是取讓兩個(gè)條件都滿(mǎn)足的公共部分．詳解：根據(jù)題意得到：，解得x≥-1且x≠1，故選A．點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍問(wèn)題，判斷一個(gè)式子是否有意義，應(yīng)考慮分母上若有字母，字母的取值不能使分母為零，二次根號(hào)下字母的取值應(yīng)使被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)．易錯(cuò)易混點(diǎn)：學(xué)生易對(duì)二次根式的非負(fù)性和分母不等于0混淆．2、C【解析】

先利用360°÷45°求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）?180°計(jì)算即可求解．【詳解】解：多邊形的邊數(shù)為：360°÷45°=8，

多邊形的內(nèi)角和是：（8-2）?180°=1080°．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的外角與邊數(shù)的關(guān)系，以及多邊形內(nèi)角和公式，利用外角和為360°求出多邊形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵．3、C【解析】

延長(zhǎng)BC交y軸于點(diǎn)D，由點(diǎn)A的坐標(biāo)得出OA=2，由平行四邊形的性質(zhì)得出BC=OA=2，由點(diǎn)C的坐標(biāo)得出OD=1，CD=0.5，求出BD=BC+CD=2.5，即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)．【詳解】延長(zhǎng)BC交y軸于點(diǎn)D,如圖所示：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)，∴OA=2，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴BC=OA=2，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0.5,1)，∴OD=1，CD=0.5，∴BD=BC+CD=2.5，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2.5,1)；故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作輔助線(xiàn).4、C【解析】

分式有意義，則分式的分母不為0，可得關(guān)于x的不等式，解不等式即得答案.【詳解】解：要使分式有意義，則x+1≠0，解得，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，屬于基礎(chǔ)題型，分式的分母不為0是分式有意義的前提條件.5、D【解析】

根據(jù)圖象進(jìn)行解答即可．【詳解】解：①當(dāng)x=10時(shí)，兩個(gè)探測(cè)氣球位于同一高度，正確；

②當(dāng)x＞10時(shí)，乙氣球位置高，正確；

③當(dāng)0≤x＜10時(shí)，甲氣球位置高，正確；

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象進(jìn)行解答．6、A【解析】試題分析：在一個(gè)平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形；在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與另一個(gè)圖形重合，這樣的圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形.根據(jù)定義可得：平行四邊形只是中心對(duì)稱(chēng)圖形，正五邊形、正三角形只是軸對(duì)稱(chēng)圖形，只有矩形符合.考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)圖形與中心對(duì)稱(chēng)圖形.7、D【解析】

不等式的兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向不變，不等式的兩邊同時(shí)除以或乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向也不變，所以A、B、C錯(cuò)誤，D正確.故選D.8、A【解析】試題分析：∵正n邊形每個(gè)內(nèi)角的大小都為108°，∴每個(gè)外角為：72°，則n=360°÷72°=1．故選A．考點(diǎn)：多邊形內(nèi)角與外角．9、B【解析】A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)正確；C、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．10、A【解析】

根據(jù)分式有意義的條件：分母不等于0，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：x-1≠0，

解得：x≠1．

故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查分式有意義的條件，正確理解條件是解題的關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、x＞1【解析】

根據(jù)二次根式有意義的條件可得＞1，再根據(jù)分式分母≠1可得x＞1．【詳解】由題意得：x>1，故答案為：x>1【點(diǎn)睛】此題考查二次根式有意義的條件，掌握其定義是解題關(guān)鍵12、1【解析】【分析】根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理進(jìn)行求解即可得.【詳解】∵D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴DE=AB==1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線(xiàn)定理，熟記定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.13、101．【解析】

連接AC，根據(jù)勾股定理得到AB2，BC2，AC2的長(zhǎng)度，證明△ABC是等腰直角三角形，繼而可得出∠ABC的度數(shù)．【詳解】連接AC．根據(jù)勾股定理可以得到：AB2＝12+32＝10，AC2＝BC2＝12+22＝5，∵5+5＝10，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝1°．故答案為：10，1．【點(diǎn)睛】考查了勾股定理及其逆定理，判斷△ABC是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．14、①②④【解析】分析：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD?！摺鰽EF是等邊三角形，∴AE=AF?！咴赗t△ABE和Rt△ADF中，AB=AD，AE=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）?！郆E=DF。∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF。∴CE=CF?！啖僬f(shuō)法正確?！逤E=CF，∴△ECF是等腰直角三角形。∴∠CEF=45°?！摺螦EF=60°，∴∠AEB=75°?！啖谡f(shuō)法正確。如圖，連接AC，交EF于G點(diǎn)，∴AC⊥EF，且AC平分EF?！摺螩AD≠∠DAF，∴DF≠FG?！郆E+DF≠EF?！啖壅f(shuō)法錯(cuò)誤?！逧F=2，∴CE=CF=。設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，在Rt△ADF中，，解得，∴?！??！啖苷f(shuō)法正確。綜上所述，正確的序號(hào)是①②④。15、-1【解析】

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【詳解】由根與系數(shù)的關(guān)系可知：x1+x2=﹣1，x1x2=﹣2，∴x1+x2+x1x2=﹣1故答案為﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．16、【解析】分析：根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式,即可得出△=16-8m≥0,解之即可得出m的取值范圍.詳解：∵關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根,

∴△=(-4)2-4×2m=16-8m≥0,

解得:m≤2

故答案為:m≤2點(diǎn)睛：本題考查了根的判別式,根的判別式大于0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;根的判別式等于0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;根的判別式小于0,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.17、【解析】試題解析：根據(jù)圖象和數(shù)據(jù)可知，當(dāng)y>0即圖象在x軸的上方，x>1．

故答案為x>1．18、乙【解析】

根據(jù)平均數(shù)與方差的實(shí)際意義即可解答.【詳解】解：已知兩班平均分相同，且>，故應(yīng)該選擇方差較小的，即乙班.【點(diǎn)睛】本題考查方差的實(shí)際運(yùn)用，在平均數(shù)相同時(shí)方差較小的結(jié)果穩(wěn)定.三、解答題(共66分)19、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義、有理數(shù)的乘方、二次根式的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義化簡(jiǎn)，進(jìn)而求和即可；（2）根據(jù)二次根式混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】（1）原式==；（2）原式===．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算．熟練掌握相關(guān)法則是解答本題的關(guān)鍵．20、（1）該班的總?cè)藬?shù)為50（人）;（2）捐款10元的人數(shù)1人，圖見(jiàn)解析；（3）該班平均每人捐款13.1元.【解析】

（1）根據(jù)頻數(shù)、頻率和總量的關(guān)系，用捐款15元的人數(shù)14除以所占的百分比28%，計(jì)算即可得解．（2）用該班總?cè)藬?shù)減去其它四種捐款額的人數(shù)，計(jì)算即可求出捐款10元的人數(shù)，然后補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)眾數(shù)的定義，人數(shù)最多即為捐款總額的眾數(shù)．（3）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的求解方法列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：（1）該班的總?cè)藬?shù)為14÷28%=50（人）．（2）捐款10元的人數(shù)：50﹣9﹣14﹣7﹣4=50﹣34=1．圖形補(bǔ)充如下圖所示，眾數(shù)是10：（3）∵（5×9+10×1+15×14+20×7+25×4）=×655=13.1（元），∴該班平均每人捐款13.1元．21、（1）種設(shè)備每臺(tái)0.5萬(wàn)元，種設(shè)備每臺(tái)l.2萬(wàn)元；（2）種設(shè)備至少購(gòu)買(mǎi)13臺(tái)；（3）當(dāng)購(gòu)買(mǎi)種設(shè)備13臺(tái)，種設(shè)備７臺(tái)時(shí)，獲利最多．【解析】

（1）設(shè)種設(shè)備每臺(tái)萬(wàn)元，則種設(shè)備每臺(tái)萬(wàn)元，根據(jù)“3萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)種設(shè)備和花7.2萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)種設(shè)備的數(shù)量相同”列分式方程即可求解；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)種設(shè)備臺(tái)，則購(gòu)買(mǎi)種設(shè)備臺(tái)，根據(jù)總費(fèi)用不高于15萬(wàn)元，列不等式求解即可；【詳解】（1）設(shè)種設(shè)備每臺(tái)萬(wàn)元，則種設(shè)備每臺(tái)萬(wàn)元，根據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴.則種設(shè)備每臺(tái)0.5萬(wàn)元，種設(shè)備每臺(tái)l.2萬(wàn)元；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)種設(shè)備臺(tái)，則購(gòu)買(mǎi)種設(shè)備臺(tái)，根據(jù)題意得：，解得：，∵為整數(shù)，∴種設(shè)備至少購(gòu)買(mǎi)13臺(tái)；（3）每臺(tái)種設(shè)備獲利（萬(wàn)元），每臺(tái)種設(shè)備獲利（萬(wàn)元），∵，∴購(gòu)進(jìn)種設(shè)備越多，獲利越多，∴當(dāng)購(gòu)買(mǎi)種設(shè)備13臺(tái)，種設(shè)備（臺(tái)）時(shí)，獲利最多．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用，關(guān)鍵是弄懂題意，找出題目中的關(guān)鍵語(yǔ)句，列出方程和不等式．22、（1）x=；（2）x-1，．【解析】

（1）直接找出最簡(jiǎn)公分母進(jìn)而去分母解方程得出答案；

（2）首先將括號(hào)里面通分運(yùn)算，再利用分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】（1）方程兩邊同乘以3（x-1）得：

3x-3（x-1）=2x，

解得：x=，

檢驗(yàn)：當(dāng)x=時(shí)，3（x-1）≠0，

故x=是原方程的解；

（2）原式=

=x-1，

當(dāng)時(shí)，原式=．【點(diǎn)睛】此題考查解分式方程，分式的混合運(yùn)算，正確進(jìn)行分式的混合運(yùn)算是解題關(guān)鍵．23、（1）；（2）；(3)①當(dāng)時(shí)，S△PAE=,②當(dāng)時(shí),S△PAE=.【解析】

（1）設(shè)直線(xiàn)AB為，把B(-3,0)代入，求得k，確定解析式；再設(shè)設(shè)秒后構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)題意列出方程，求出t即可；（2）過(guò)E作關(guān)于軸對(duì)于點(diǎn),連接EE′交x軸于點(diǎn)P,則此時(shí)PE+PD最小.由（1）得到當(dāng)t=2時(shí)，有C（，0），D(,3)，再根據(jù)AB∥CD，求出直線(xiàn)CD和AB1的解析式，確定E的坐標(biāo)；然后再通過(guò)乘法公式和線(xiàn)段運(yùn)算，即可完成解答.（3）根據(jù)（1）可以判斷有和兩種情況，然后分類(lèi)討論即可.【詳解】（1）解：設(shè)直線(xiàn)AB為，把B(-3,0)代入得：∴∴由題意得：設(shè)秒后構(gòu)成平行四邊形，則解之得：，（2）如圖:過(guò)E作關(guān)于軸對(duì)于點(diǎn),連接EE′交x軸于點(diǎn)P,則此時(shí)PE+PD最小.由（1）t=2得：∴C（，0），D(,3)∵AB∥CD∴設(shè)CD為把C（，0）代入得b1=∴CD為：易得為：∴解之得：E(,)∴(3)①當(dāng)時(shí)S△PAE=S△PAB1-S△PEB1=②當(dāng)時(shí)：S△PAE=S△PAB1-S△PEB1=【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)的綜合題型，主要考查了用待定系數(shù)求一次函數(shù)的關(guān)系式，點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn).解題的關(guān)鍵是扎實(shí)的基本功和面對(duì)難題的自信.24、(1)詳見(jiàn)解析；（2）結(jié)論成立，理由詳見(jiàn)解析.【解析】

（1）由四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，可知△ABC是等邊三角形，因?yàn)镋是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，所以∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，由AE=CF得CE=CF可知∠CEF=∠F由∠ACF=120°可知∠F=30°∴∠F=∠CBE=30°。即可證明BE=EF.（2）過(guò)點(diǎn)E作EG∥BC交AB于點(diǎn)G，可得∠AGE=∠ABC=60°，因?yàn)椤螧AC=60°，所以△AGE是等邊三角形，可知AG=AE=GE，∠AGE=60°，可知BG=CE，因?yàn)镃F=AE，所以GE=CF，進(jìn)而可證明△BGE≌△ECF，即可證明BE=EF.【詳解】（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BCA=60°，∵E是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，∵CF=AE，∴CE=