滬科版圓周角

關(guān)于滬科版圓周角一.復(fù)習(xí)引入:1.圓心角的定義?.OBC在同圓（或等圓）中，如果圓心角、弧、弦、弦心距有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余兩個(gè)量都分別相等。答:頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角2.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一個(gè)反映圓心角、弧、弦、弦心距四個(gè)量之間關(guān)系的一個(gè)結(jié)論，這個(gè)結(jié)論是什么？第2頁,共50頁，2024年2月25日，星期天探索1:我們知道：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角，當(dāng)圓心角的頂點(diǎn)發(fā)生變化時(shí),我們得到以下三種情況:A.OBC.OBCA.OBCA圓內(nèi)角圓外角圓周角探索第3頁,共50頁，2024年2月25日，星期天oABC考考你：你能仿照?qǐng)A心角的定義，給下圖中象∠ACB這樣的角下個(gè)定義嗎？頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．

第4頁,共50頁，2024年2月25日，星期天

頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角．什么叫做圓周角？·ABCDEO二、概念第5頁,共50頁，2024年2月25日，星期天辯一辯圖中的∠CDE是圓周角嗎?CDECDECDECDE第6頁,共50頁，2024年2月25日，星期天6．5圓周角（一）練習(xí)一：判斷下列各圖中，哪些是圓周角，為什么？

oABoABoABoABoABoABoABoABoABCCCCCCCC圖1圖2圖3圖4圖5圖6圖7圖8圖9第7頁,共50頁，2024年2月25日，星期天如圖是一個(gè)圓柱形的海洋館的橫截面的示意圖,人們可以通過其中的圓弧形玻璃AB觀看窗內(nèi)的海洋動(dòng)物,同學(xué)甲站在圓心的O位置，同學(xué)乙站在正對(duì)著玻璃窗的靠墻的位置C，他們的視角（∠AOB和∠ACB）有什么關(guān)系？如果同學(xué)丙、丁分別站在他靠墻的位置D和E，他們的視角（∠ADB和∠AEB

）和同學(xué)乙的視角相同嗎？二、觀察第8頁,共50頁，2024年2月25日，星期天深入探究１．視角∠AOB和∠ACB有什么關(guān)系？即同弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系．２．∠ADB和∠AEB和∠ACB相等嗎？即同弧所對(duì)的圓周角之間的大小關(guān)系．第9頁,共50頁，2024年2月25日，星期天類比圓心角探知圓周角在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓心角相等.在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角有什么關(guān)系？

為了解決這個(gè)問題,我們先探究同弧所對(duì)的圓周角和圓心角之間有的關(guān)系.你會(huì)畫同弧所對(duì)的圓周角和圓心角嗎?第10頁,共50頁，2024年2月25日，星期天圓周角和圓心角的關(guān)系在⊙O任取一個(gè)圓周角∠BCA，將圓對(duì)折，使折痕經(jīng)過圓心O和∠BCA的頂點(diǎn)C。由于點(diǎn)C的位置的取法可能不同，這時(shí)有三種情況：（1）折痕是圓周角的一條邊，如圖（1）（2）折痕在圓周角的內(nèi)部，如圖（2）

（3）折痕在圓周角的外部．如圖（3）

第11頁,共50頁，2024年2月25日，星期天圓周角和圓心角的關(guān)系1.首先考慮一種特殊情況：當(dāng)圓心(O)在圓周角(∠ABC)的一邊(BC)上時(shí),圓周角∠ABC與圓心角∠AOC的大小關(guān)系.∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，●OABC∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即∠ABC=∠AOC.根據(jù)以上證明你能得到什么結(jié)論？

第12頁,共50頁，2024年2月25日，星期天(1)圓心在圓周角的一邊上證明：∵OA=OC∴∠BAC＝∠C∴∠BOC＝∠BAC+∠C=2∠BAC∴∠BAC=∠BOC定理證明第13頁,共50頁，2024年2月25日，星期天2.考慮第二種情況當(dāng)圓心(O)在圓周角(∠ABC)的內(nèi)部時(shí),圓周角∠ABC與圓心角∠AOC的大小關(guān)系會(huì)怎樣?

能否轉(zhuǎn)化為1的情況?過點(diǎn)B作直徑BD.由1可得:●O∴∠ABC=∠AOC.根據(jù)以上證明你又能得到什么結(jié)論？ABCD∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,圓周角和圓心角的關(guān)系第14頁,共50頁，2024年2月25日，星期天(2)圓心在圓周角的內(nèi)部證明：連結(jié)AO并延長交⊙O于D點(diǎn)D∠ＣAＤ=∠ＣOＤ由（１）得∠BAＤ=∠BOＤ∴∠BＡC＝∠BＯＣ∴∠BＡC＝∠BＯＤ+∠CＯＤ))))第15頁,共50頁，2024年2月25日，星期天圓周角和圓心角的關(guān)系3.考慮第二種情況當(dāng)圓心(O)在圓周角(∠ABC)的外部時(shí),圓周角∠ABC與圓心角∠AOC的大小關(guān)系會(huì)怎樣?能否也轉(zhuǎn)化為1的情況?過點(diǎn)B作直徑BD.由1可得:●OD∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,ABC∴∠ABC=∠AOC.根據(jù)以上證明你又能得到什么結(jié)論？第16頁,共50頁，2024年2月25日，星期天(３)圓心在圓周角的外部證明：連結(jié)AO并延長交⊙O于D點(diǎn)D∠ＣAＤ=∠ＣOＤ由（１）得∠BAＤ=∠BOＤ∴∠BＡC＝∠BＯＣ∴∠BＡC＝∠ＣＯＤ－∠ＢＯＤ))))第17頁,共50頁，2024年2月25日，星期天三.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。思考：在同圓或等圓中，如果圓周角相等，所對(duì)的弧一定相等嗎？定理歸納.ABCDO弧等角等第18頁,共50頁，2024年2月25日，星期天結(jié)論：

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。圓周角定理第19頁,共50頁，2024年2月25日，星期天考眼力如圖,點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)圓上，四邊形ABCD的對(duì)角線把4個(gè)內(nèi)角分成8個(gè)角，這些角中哪些是相等的角？∠1=∠4∠2=∠7∠3=∠6∠5=∠8★★★★★★★★第20頁,共50頁，2024年2月25日，星期天思考如圖，線段AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上任意一點(diǎn)（除點(diǎn)A、B），那么，∠ACB就是直徑AB所對(duì)的圓周角，想想看，∠ACB會(huì)是怎樣的角？OCBA90°的圓周角所對(duì)的弦是什么?

半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．推論第21頁,共50頁，2024年2月25日，星期天·ABC1OC2C3定理

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。定理

半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．推論第22頁,共50頁，2024年2月25日，星期天CODBA如圖：圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∵∠BAD等于弧BCD所對(duì)圓心角的一半,∠BCD等于弧BAD所對(duì)圓心角的一半.而弧BCD所對(duì)的圓心角+弧BAD所對(duì)的圓心角=360°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°.

同理∠ABC＋∠ADC＝180°.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).四邊形與圓的位置關(guān)系第23頁,共50頁，2024年2月25日，星期天如果延長BC到E，那么∠DCE＋∠BCD＝180°.∴∠A＝∠DCE.又∵∠A＋∠BCD＝180°，CODBAE四邊形與圓的位置關(guān)系因?yàn)椤螦是與∠DCE相鄰的內(nèi)角∠DCB的對(duì)角,我們把∠A叫做∠DCE的內(nèi)對(duì)角.圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角.第24頁,共50頁，2024年2月25日，星期天試金石：2.如圖，圓心角∠AOB=100°，則∠ACB=___。OABCBAO.70°x1.求圓中角X的度數(shù)C第25頁,共50頁，2024年2月25日，星期天3、如圖AB是⊙O的直徑,C,D是圓上的兩點(diǎn),若∠ABD=40°,則∠BCD=＿＿＿＿＿.ABOCD40°第26頁,共50頁，2024年2月25日，星期天4.如圖：OA、OB、OC都是⊙O的半徑，且∠AOB=2∠BOC.求證：∠ACB=2∠BAC.AOBC第27頁,共50頁，2024年2月25日，星期天5⑴如圖5，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=

。⑵如圖6：已知弦AB、CD相交于P點(diǎn)，且∠AOC=44、∠BOD=46求∠APC的度數(shù)。12345圖5OABCDP圖6第28頁,共50頁，2024年2月25日，星期天例1如圖，⊙O直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，求BC、AD、BD的長．又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，解：∵AB是直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.四、例題第29頁,共50頁，2024年2月25日，星期天求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．（提示：作出以這條邊為直徑的圓.）·ABCO求證：△ABC

為直角三角形.證明：CO=AB,以AB為直徑作⊙O，∵AO=BO， ∴AO=BO=CO.∴點(diǎn)C在⊙O上.又∵AB為直徑,∴∠ACB=×180°=90°.已知：△ABC中，CO為AB邊上的中線，且CO=AB∴△ABC

為直角三角形.練習(xí)第30頁,共50頁，2024年2月25日，星期天練習(xí):如圖AB是⊙O的直徑,C,D是圓上的兩點(diǎn),若∠ABD=40°,則∠BCD=＿＿＿＿＿.ABOCD40°第31頁,共50頁，2024年2月25日，星期天3、AB、AC為⊙O的兩條弦，延長CA到D，使AD=AB，如果∠ADB=35°

，求∠BOC的度數(shù)?！螧OC=140°350700第32頁,共50頁，2024年2月25日，星期天交流合作１.ΔABC內(nèi)接于⊙O，∠BOC=80o，則∠BAC等于().(A)80o(B)40o(C)140o(D)40o或140oＤ第33頁,共50頁，2024年2月25日，星期天交流合作２．已知:如圖,AB=AC=AD,∠BAC=40o,則∠BDC的度數(shù)為()（A）40o

（B）30o（C）20o

（D）不能確定ABCDＣ第34頁,共50頁，2024年2月25日，星期天交流合作15°或75°3．在半徑為1的⊙O中，弦AB、AC分別是則∠BAC的度數(shù)為＿＿＿＿＿．第35頁,共50頁，2024年2月25日，星期天交流合作4．如圖，⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，直線O1O2交兩圓于C、D∠O1AO2=40°，則∠CBD等于（）（A）110°（B）120°（C）130°（D）140°A第36頁,共50頁，2024年2月25日，星期天課堂反饋1．如圖，已知圓心角∠BOC＝100°，則圓周角∠BAC的度數(shù)為（）A、100°B、130°C、50°D、80°2．圓內(nèi)接正三角形的一條邊所對(duì)的圓周角為()A、30°B、60°C、30°或150°D、60°或120°3．如圖，A、B、C三點(diǎn)在⊙O上，∠AOC=100°，則∠ABC等于()A、140°B、110°C、120°D、130°CＤＤ第37頁,共50頁，2024年2月25日，星期天課堂反饋4.若圓的一條弦把圓分成度數(shù)的比為1∶3的兩條弧，則劣弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)為（）A、45°

B、90°

C、135°

D、270°5．已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，∠ABC＝30°，則∠CAD等于_________。6．在⊙O中，一條弦的長度等于半徑，則它所對(duì)的圓周角的度數(shù)為_________。7．半徑為1的圓中有一條弦，如果它的長為那么這條弦所對(duì)的圓A周角的度數(shù)等于

.60°60°或120°30°或150°第38頁,共50頁，2024年2月25日，星期天弦AB分圓為l∶5兩部分，則弦AB所對(duì)的圓周角度數(shù)等于

9．已知：如圖，AB為⊙O的直徑，∠BED=35o，則∠ACD=

o。10．圓內(nèi)接四邊形相鄰三個(gè)內(nèi)角之比是3:1:6，則這個(gè)四邊形的最大角的度數(shù)為

。ODABCE30°或150°55160°課堂反饋第39頁,共50頁，2024年2月25日，星期天7學(xué)以致用作業(yè)適量分層要求A層（基礎(chǔ)題）

⑶如圖9，已知AB=AC=2cm,∠BDC=60，則△ABC的周長是

。

⑷如圖10：∠A是⊙O的圓周角，∠A=40°，求∠OBC的度數(shù)。ABCDO圖9ABCO圖10第40頁,共50頁，2024年2月25日，星期天7學(xué)以致用作業(yè)適量分層要求B層（中等題）

⑴在⊙O中，∠BOC=100o，則弦BC所對(duì)的圓周角是

度。

⑵如圖11，AD是⊙O直徑，BC=CD，∠A=30°，求∠B的度數(shù)。

ABCDO圖11第41頁,共50頁，2024年2月25日，星期天7學(xué)以致用作業(yè)適量分層要求C層（提高題）

如圖12，AB是⊙O直徑，點(diǎn)C在圓上，∠BAC的平分線交圓于點(diǎn)E，OE交BC于點(diǎn)H，已知AC=6，AB=10，求HE的長。ABCOHE圖12第42頁,共50頁，2024年2月25日，星期天7

學(xué)以致用作業(yè)適量分層要求D層（課外延拓、承上啟下）

如圖13：“世界杯”賽場上李鐵、邵佳一、郝海東三名隊(duì)員互相配合向?qū)Ψ角蜷T進(jìn)攻，當(dāng)李帶球沖到如圖C點(diǎn)時(shí)，邵、郝也分別跟隨沖到圖中的D點(diǎn)、E點(diǎn)，李應(yīng)把球傳給誰好？請(qǐng)你從數(shù)學(xué)角度幫忙合情說理、分析說明。ABCDEO圖13球門第43頁,共50頁，2024年2月25日，星期天能力提升

1、在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A第44頁,共50頁，2024年2月25日，