北京市燕山地區(qū)2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試題（含答案解析）

北京市燕山地區(qū)2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試題

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一、單選題

1.圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史.2017年5月，世界

圍棋冠軍柯潔與人工智能機器人4pWG。進行圍棋人機大戰(zhàn).截取首局對戰(zhàn)棋譜中的四

個部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱的是（）

A.(-5,2)B.(5,-2)C.(5,2)D.(-5,-2)

3.如圖，AB為。。的直徑，點C是。。上的一點，NABC=70。，則（)

C.30°D.20°

4.一元二次方程x（x—1）=0的解是（）

A.X|=0,%=1B.&=x?=]

C.=0,々=—1D.&==-]

5.如圖，△ABC內(nèi)接于。O,若NAOB=1()0",則/ACB的度數(shù)是（）

AB

A.40°B.50°C.60°D.80°

6.用配方法解方程X2-2XT=0,配方結果正確的是()

A.(x+/)2=/B.(x-lf=lC.(x+1—2D.(x-1)2=2

7.某市2020年底已有綠化面積300公頃，經(jīng)過兩年綠化、綠化面積逐年增加，到2022

年底增加到363公頃.設綠化面積平均每年的增長率為x,由題意，所列方程正確的是

()

A.300(1+x)=363B.300(1+x)2=363

C.300(1+2x)=363D.363(1-x)2=300

8.如圖，已知關于x的一元二次方程-1=0的兩根在數(shù)軸上對應的點分別在區(qū)

域①和區(qū)域②，區(qū)域均含端點，則我的值可能是()

A.-1B.0C.1D.2

二、填空題

9.拋物線y=3(x-iy+2的頂點坐標是.

10.方程4x2=1的根是.

11.寫出一個二次函數(shù)，使其滿足：①圖象開口向上；②圖象過原點，這個二次函數(shù)的

解析式可以是

12.將拋物線y=3/向下平移2個單位長度，得到的拋物線解析式為.

13.如圖，O的直徑為10,AB為弦,C是AB的中點，若OC=3,則弦的長為.

G

ACH

14.如圖，在平面直角坐標系xOy中，△CCE可以看作是AAOB經(jīng)過若干次圖形的變

化(平移、軸對稱、旋轉)得到的，寫出一種由△AOB得到△CDE的過程：.

試卷第2頁，共6頁

15.已知二次函數(shù)丫=以2+法+C的部分圖象如圖所示，則使得函數(shù)值y大于2的自變

量x的取值范圍是.

16.小云計劃戶外徒步鍛煉，每天有“低強度”“高強度""休息''三種方案，下表對應了每

天不同方案的徒步距離（單位：km）.若選擇“高強度”要求前一天必須"休息”（第一天

可選擇"高強度”）.則小云5天戶外徒步鍛煉的最遠距離為km.

日期第1天第2天第3天第4天第5天

低強度86654

高強度121315128

休息00000

三、解答題

17.解方程：X2-2X-3=0.

18.已知。是方程2/-7x-1=0的一個根，求代數(shù)式。3-7）+5的值.

19.已知關于X的一元二次方程/+4工-3^=0有兩個不相等的實數(shù)根.

（1）求m的取值范圍;

(2)當機取負整數(shù)時，求此時方程的根.

20.如圖，在等邊ABC中，點。是A8邊上一點，連接C￡),將線段CO繞點C按順時

針方向旋轉60。后得到CE,連接AE.求證：ACE^BCD.

21.二次函數(shù)y=f+/zr+c的圖象經(jīng)過點(0,2)和點(1,5),求此二次函數(shù)解析式.

22.已知二次函數(shù)y=f-4x+3.

23.如圖，要給鄰邊不相等的矩形花圃A8CO圍上圍欄，邊可利用已有的圍墻(可

利用的圍墻長度超過6m),另外三邊所圍柵欄總長度為6m,若矩形的面積為4m?，求A8

的長度.

AD

/////////

BC

24.如圖，。是"C的外接圓，AD是二。的直徑，于點E.

試卷第4頁，共6頁

B

(1)求證：NBAD=NCAD；

⑵連接80并延長，交：。于點G,連接GC.若。的半徑為5,OE=3,求GC和BC

的長.

25.某廣場有一個小型噴泉，水流從垂直于地面的水管3噴出，長為1.5米.水流

在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落到地面上，某方向上拋物線路徑的形狀如圖所

示.建立平面直角坐標系，水流噴出的高度y(米)與水平距離x(米)之間近似滿足

函數(shù)關系丫=加+x+c(aH0).

下面是水流高度y和水平距離x之間的幾組數(shù)據(jù):

x/米00.511.522.53

y/米1.51.87521.8751.50.8750

(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出水流噴出的最大高度，并求出滿足的函數(shù)關系式

尸加+x+c(awO)；

(2)由于調(diào)整了水壓，水流噴出高度y與水平距離x之間近似滿足函數(shù)關系

y=-^x2+x+}.5,調(diào)整后水流落點為8',則080*.(填或"<”)

26.已知拋物線y=a?+/>x+b2-伏。工0).

⑴若b=2a,求拋物線的對稱軸；

(2)若”=1,且拋物線的對稱軸在y軸右側，點4-3,%),,C(3,%)在拋物線上.若

求6的取值范圍.

27.在正方形ABC。中，M是8c邊上一點，且點M不與B、C重合，點尸在射線AM

上，將線段4尸繞點A順時針旋轉90。得到線段AQ,連接BP,DQ.

(1)如圖1,當點尸在線段AM上時，依題意補全圖1；

(2)在圖1的條件下，延長BP,QD交于點、H,求證：Z//=90°.

(3)在圖2中，當點尸在線段AM的延長線上時，連接。P,若點尸，Q,。恰好在同

一條直線時，猜想OP,DQ,之間的數(shù)量關系，并說明理由.

圖1圖2

28.對于平面直角坐標系xOy中的圖形W,給出如下定義：點P是圖形卬上任意一點,

若存在點Q,使得NOQ尸是直角，則稱點。是圖形W的“直角點

(1)已知點A(6,8),在點Q(0,8),0(-4,2),Q.,(8,4)中，是點A的“直角點”;

(2)已知點8(-3,4),C(4,4),若點Q是線段8c的“直角點”，求點Q的橫坐標〃的

取值范圍;

⑶在⑵的條件下，己知點。(/,0),E(/+I,O),以線段為邊在x軸上方作正方

形DEFG.若正方形OEFG上的所有點均為線段BC的“直角點”，直接寫出f的取值范

圍.

斗

7-

6-

5-

4-

3-

2-

1-

?????____????????.

-5-4-3-2-10~23456789X

-1-

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可.

【詳解】解：A、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

B、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

C、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

D、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

故選A.

【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形的識別，解題的關鍵在于能夠熟練掌握中心對稱圖形

的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，

那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心.

2.B

【分析】此題主要考查了關于原點對稱點的性質(zhì)，利用兩個點關于原點對稱時，它們的坐標

符號相反，即點尸(x,y)關于原點。的對稱點是(-乂-y),進而得出答案.

【詳解】解：點尸(-5,2)關于原點對稱的點的坐標為：(5,-2).

故選：B.

3.D

【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，為。O的直徑，點C是。。上的一點，則NAC8=90°,在zMCB

中，運用內(nèi)角和定理，結合NA8C=70。，可得NA4c=180。-(44(73+//出。)=20。.

【詳解】解：為。O的直徑，點C是。。上的一點，

ZACB=90°,

ZABC=1Q°,

；.NBAC=180。一(NAC8+ZABC)=180°-90°-70°=20°.

故選：D.

【點睛】本題考查了在圓中，直徑所對的圓周角為直角，靈活運用該知識點是解題的關鍵.

4.A

【分析】本題考查解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，即可.

【詳解】解：???x(x-l)=0，

答案第1頁，共15頁

工=0或％-1=0,

?**X|=0,9=1；

故選A.

5.B

【分析】根據(jù)圓周角定理可得N4CB=gNAOB,代值計算即可.

【詳解】解：是"BC的外接圓，ZAOB=100°,

：.ZACB=^ZAOB=50°,

故選B.

【點睛】本題考查了圓周角定理，同弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半，解題的關鍵是

熟練掌握相關定理.

6.D

【分析】先移項，再等號兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半即可.

【詳解】解：一一2工-1=0,

x2-2x=1>

—2x+1=2,

(1)2=2,

故選：D.

【點睛】本題主要考查一元二次方程的配方，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵.

7.B

【分析】設綠化面積平均每年的增長率為x,根據(jù)題意列出方程，即可求解.

【詳解】解：設綠化面積平均每年的增長率為x,根據(jù)題意得，300(1+x)2=363

故選：B.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關鍵.

8.C

【分析】先確定方程兩根的范圍，然后再確定拋物線的對稱軸，最后根據(jù)拋物線與x軸的兩

個交點關于對稱軸對稱即可解答.

【詳解】解：???關于x的一元二次方程”(x-Z)2_l=0的兩根在數(shù)軸上對應的點分別在區(qū)域

①和區(qū)域②，區(qū)域均含端點,

答案第2頁，共15頁

一個根,另一個根2<々<3,

,/拋物線y=a（x-k）2的對稱軸是直線x=k,

.?.拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，

.?/的值可能為1.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像與一元二次方程的關系，掌握二次函數(shù)圖像與x軸的

交點關于對稱軸對稱是解答本題的關鍵.

9.（1,2）

【分析】直接根據(jù)頂點公式的特點求頂點坐標.

【詳解】??>=3（彳-1）2+2是拋物線的頂點式，

二頂點坐標為（1,2）.

故答案為：（1,2）.

【點睛】主要考查了求拋物線的頂點坐標、對稱軸及最值的方法.解題的關鍵是熟知頂點式

的特點.

【分析】先把方程變形為-然后利用直接開平方法解方程.

4

【詳解】解：4/=1,

r2=-,

4

1

、=±展

故答案為：-^1=--,-^2=21

【點睛】本題考查了解一元二次方程-直接開平方法：形如/=0或（心+加）2=p（p>0）的一

元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程.

11.y=N（答案不唯一）

【分析】根據(jù)題意，只要二次函數(shù)的解析式滿足：二次項系數(shù)為正，常數(shù)項為0即可.

【詳解】解：設二次函數(shù)的解析式為）=以2+云+C.

???拋物線圖象開口向上，

答案第3頁，共15頁

...a>Q.

???拋物線圖象過原點，

，c=0.

取a=l,6=0時，二次函數(shù)的解析式為y=/.

故答案為：12（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像特征及性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖像特征及性質(zhì)是解題的

關鍵.

12.y=3x2-2/y=-2+3x2

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進行

解答即可.

【詳解】解：將拋物線y=3*2向下平移2個單位長度，得到的拋物線解析式為y=3/-2.

故答案為：y=3x2-2

13.8

【分析】此題考查了垂徑定理和勾股定理，垂徑定理“平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，

且平分弦所對的兩條弧”.連接04,根據(jù)垂徑定理可得XLAB,根據(jù)勾股定理求出AC,

即可求解.

【詳解】解：連接3,

；。的直徑為10,

...OA=5,

是A8的中點，

OCLAB,

根據(jù)勾股定理可得：AC=y/OA2-OC2=75^7=4.

AB=2AC=8.

故答案為：8.

答案第4頁，共15頁

14.將A40B繞點。順時針旋轉90。，再沿x軸向右平移一個單位(答案不唯一)

【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)，平移的性質(zhì)即可得到由AAOB得到的過程.

【詳解】解：將AAOB繞點。順時針旋轉90。，再沿x軸向右平移一個單位得到△CDE.

故答案為：將AAOB繞點0順時針旋轉90。，再沿x軸向右平移一個單位.

【點睛】考查了坐標與圖形變化——旋轉，平移，解題時需要注意：平移的距離等于對應點

連線的長度，對稱軸為對應點連線的垂直平分線，旋轉角為對應點與旋轉中心連線的夾角的

大小.

15.-3<x<0

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和圖象性質(zhì)判斷即可：

【詳解】???拋物線的對稱軸為x=-1.5,

???點(0,2)關于直線x=-1.5的對稱點為(-3,2),

當-3<x<0時，函數(shù)值y大于2；

故答案是：-3<x<0.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，準確分析判斷是解題的關鍵.

16.36

【分析】根據(jù)題意得，只有第一天和第三天選擇“高強度”，計算出此時的距離即可.

【詳解】解：如果第二天和第三天選擇低強度，則距離為6+6=12(km),

如果第三天選擇高強度，則第二天休息，則距離為15加，

V12<15,

,第二天休息，第三天選擇高強度，

如果第四天和第五天選擇低強度，則距離為5+4=9(km),

如果第五天選擇高強度，則第四天休息，則距離為8h〃，

V9>8,

...第四天和第五天選擇低強度，

為保持最遠距離，則第一天為高強度，

答案第5頁，共15頁

.?.最遠距離為12+0+15+5+4=36(km)

故答案為36.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法應用，解題的關鍵是理解題意并掌握有理數(shù)的加法.

17.=-1,x2=3

【分析】根據(jù)因式分解法求解即可.

【詳解】解：???/―2x-3=0,

二(x+l)(x-3)=O,

.,.x+l=0或x—3=O,

..&=—1,X]=3,

【點睛】本題考查了解一元二次方程，常見的解法有：直接開平方法、配方法、公式法、因

式分解法，選擇合適的解法解方程是解題的關鍵.

18.6

【分析】把“代入方程，得出2a2-7a=l,再整體代入求值即可.

【詳解】解：?(2a-7)+5=2F一7a+5.

a是方程2/一7*-1=0的根

?*.2a2-7a-l=0.

1cr-1a=\.

原式=1+5=6.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解和代數(shù)式求值，解題關鍵是明確方程解的意義，整體

代入求值.

4

19.⑴，”——

3

(2)為=-1,%=-3

【分析】(1)本題考查一元二次方程的根的判別式，當一元二次方程有兩不相等的實數(shù)根時，

A>0,據(jù)此列不等式，即可求解，掌握一元二次方程的根的判別式是解題的關鍵；

(2)本題考查解一元二次方程，根據(jù)(1)中結論及當“，"取負整數(shù)”確定用的值，再解方程

即可，解題的關鍵是能夠運用因式分解法解一元二次方程.

【詳解】(1)解：..?方程有兩個不相等的實數(shù)根，

答案第6頁，共15頁

/.A=/?2—4ac=42-4x(-3〃z)=16+12m>0,

.4

??m＞—.

3

4

(2)解：??,根取負整數(shù)，且加＞一§,

m=—\,

原方程化為X2+4X+3=0，

即(x+l)(x+3)=0,

?*.x+l=0或x+3=0,

解得％=-1，￡=-3.

20.見解析

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，全等三角形的判定.明確全等三角形

的判定條件是解題的關鍵.

由一ABC是等邊三角形，可得AC=BC,ZACB=60°,由旋轉的性質(zhì)可知，CD=CE,

NDCE=60°,則ZDCE=ZACB,/BCD=ZACE，證明.ACE金B(yǎng)CD(SAS)即可.

【詳解】證明：：43c是等邊三角形，

AAC=BC,ZAC8=60°,

由旋轉的性質(zhì)可知，CD=CE,ZDCE=60°,

：.NDCE=ZACB,

二ZDCE-ZDCA=ZACB-ZDCA,即ZACE=NBCD,

?；AC=BC,ZACE=ZBCD,EC=DC,

：.ACE^BCD(SAS).

21.y=x1+2x+2

【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法及方程組的解法，將點(O,2)和點(1,5)

代入解析式中，求出b,c即可.

【詳解】解：將(0,2),(1,5)代入＞=/+加+。得，

fc=2

|l+/?+c=5'

答案第7頁，共15頁

b=2

解得

c=2

...此二次函數(shù)解析式為y=/+2x+2.

22.（1）見解析；（2）-\<y<3

【分析】（1）根據(jù)題目中的函數(shù)解析式可以將表格中補充完整，然后描點、連線作出圖象即

可；

（2）根據(jù)函數(shù)圖象寫出y的取值范圍即可.

【詳解】⑴

X01234

y...30--103

故答案為：-1W）03.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關系，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)

以及函數(shù)圖象的作法是解題的關鍵.

23.A8的長度為1m.

【分析】本題考查一元二次方程的應用.設AB的長為mi,從而可得8C的長度為（6-2x）m,

再根據(jù)矩形的面積公式列方程求解即可.

【詳解】解：設A8的長為根據(jù)題意，得

答案第8頁，共15頁

x（6-2x）=4,

解得占=1,I,=2（不合題意，舍去）,

所以，的長度為1m.

24.（1）見解析

⑵CG=6,8C=8

【分析】本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、三角形中位線定理.

（1）根據(jù)垂徑定理得到BZ）=C。，再根據(jù)圓周角定理證明結論；

（2）根據(jù)垂徑定理得到點E為8C的中點，再根據(jù)三角形中位線定理可得CG=2OE=6,

然后根據(jù)圓周角定理得到N8CG=90。，再根據(jù)勾股定理，即可求解.

【詳解】（1）證明：：AD是。的直徑，AD1BC,

：?BD=CD，

：.ABAD=ACAD.

（2）解：如圖，

???AD是。的直徑，AD1BC,

.?.點E為BC的中點，

:點。是BG的中點，

二CG=2OE=2x3=6.

是。的直徑，

，ZBCG=90°.

：。的半徑為5,

；?BG=10,

BC=yjBG2-CG2=8-

答案第9頁，共15頁

25.(1)2米

【分析】本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法，頂點坐標的應用.

（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；

（2）分別求出點8（3,0）,45+產(chǎn),0,即可求解.

\7

【詳解】（1）解：水流噴出的的最大高度為2米.

由題意可得，拋物線經(jīng)過點（0,1.5）和（3,0）,

將上述兩個點坐標代入卜=以2+*+。（。70）中，得

（c=1.5

[9a+3+c=0'

1

a=——

2

解得3，

c=—

2

1Q

函數(shù)關系式為y=-^x2+x+|；

i3

（2）解：對于W-5X2+X+5,

i3

當y=0時，x2+x+-=0,

22

解得:百=3,工2=-1,

.,?點B（3,0）,即。3=3,

1,

對于>=一耳廠+工+1.5,

當y=0時，一9+工+15=0,

陰汨15+3屈15-3x/33

解得：X.=---------,x=--------，

14224

.?.點,0〕，即。B，J5+3后,

I4）4

..15+3亞_

?---------------->3>

4

答案第1（）頁，共15頁

即03<OB'.

故答案為：<

26.(1)直線x=-l

(2)-2</><0

【分析】本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象

上點的坐標特征，解題的關鍵是：

(1)根據(jù)對稱軸公式即可求得；

(2)根據(jù)題意得出三士<-^〈甘，即可得到一2<匕<0.

【詳解】(1)解：拋物線的對稱軸為直線x=-二，

2a

b=2a,

/.x=-l,

???拋物線的對稱軸為直線x=-l.

(2)當〃=1時，拋物線y=爐+灰+/一〃，

拋物線的對稱軸為直線X=-g,

點(-3,%),(3,%)在拋物線上，且%>%>%，

，上<上土2,

222

/.-2<Z?<0.

27.(1)見銜接；(2)見詳解；(3)DP2+DQ2=2AB2,理由見詳解

【分析】(1)根據(jù)要求畫出圖形，即可得出結論；

(2)由旋轉的性質(zhì)可得AQ=AP,NQAP=ND4B=90°,由“S4S'可證△AQOgZXAPB,可

得PB=QD,ZAQD^ZAPB,由平角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和定理可得NQHP=90。，即可

得出結論；

(3)連接B。，如圖2,只要證明△AOQg/MBP,NDPB=90。,利用勾股定理，即可解決

問題.

【詳解】解：(1)補全圖形如圖1：

答案第II頁，共15頁

(2)如圖1,延長8P,QD交于點H,

???四邊形ABC。是正方形，

：.AD=ABfZDAB=90°f

???將線段AP繞點A順時針旋轉90。得到線段AQ,

：.AQ=AP,NQ4P=ND48=90°,

：.ZQAD=ZBAP9

：./\AQD^/\APB(SAS),

；?PB=QD,ZAQD=ZAPB1

'：ZAPB+ZAPH=]S00,

???ZAQD+ZAPH=\S0°t

???ZQAP+ZAPH+ZAQD+N"=360。，

/.Z//=90°；

(3)DP2+DQ2=1AB2.

證明：連接30,如圖2,

圖2

線段AP繞點4順時針旋轉90。得到線段AQ,

：.AQ=AP,NQAP=90。，

???四邊形ABC。是正方形，

答案第12頁，共