安徽省淮南市西部地區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析

安徽省淮南市西部地區(qū)2023-2024學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2,請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.如圖，已知，M,N分別為銳角N408的邊。4,上的點(diǎn)，ON=6,把△OMN沿MN折疊，點(diǎn)。落在點(diǎn)C處，

MC與OB交于點(diǎn),P,若MN=MP=5,貝!JPN=（）

士

°A/A

810

A.2B.3C.-D.—

33

2.在0,1,2三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)，組成兩位數(shù)，則在組成的兩位數(shù)中是奇數(shù)的概率為（）

1113

A.—B.—C.——D.一

4624

3.10件產(chǎn)品中有2件次品，從中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（）

1111

A.—B.-C.-D.-

2345

4.下列幾何體中，主視圖和左視圖都為矩形的是（）

B-A

DO

5.在△A5C中，ZC=90°,AB=12,sinA=-,則BC等于()

3

11

A.-B.4C.36D.—

436

6,若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(：J,1),則它的圖象也一定經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是()

X

A.(-3,1)B.(3,-1)C.(1,-3)D.(-1,-3)

7.如圖，矩形ABC。中，AC,BD交于息O,M，N分別為BC,OC的中點(diǎn).若MN=3,AB=6,則/4CB

8.已知二次函數(shù)y=—2（x-a『—b的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)y=幺與一次函數(shù)y=公+人的圖象可能是

9.如圖,學(xué)校的保管室有一架5m長(zhǎng)的梯子斜靠在墻上，此時(shí)梯子與地面所成的角為45。如果梯子底端O固定不變，頂端

靠到對(duì)面墻上，此時(shí)梯子與地面所成的角為60。,則此保管室的寬度AB為（）

A.|-(V2+1)mB.|-(V2+3)mC.(3+72)mD.■|(G+l)m

10.如圖，在AABC中，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，且DE〃AB,若SACDE:SABDE=1S3,則SACDE:SAABE=

()

BD

A.1：9B.1：12

C.1：16D.1：20

二、填空題(每小題3分，共24分)

11.如圖，直線y=J叫-1交y軸于點(diǎn)B,交X軸于點(diǎn)C,以BC為邊的正方形ABCD的頂點(diǎn)A(-1,a)在雙曲線

2k

y=-、(xV0)上，D點(diǎn)在雙曲線y=：(x>0)上，則后的值為.

13.如果拋物線y=-x?+(m-1)x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1),那么m的值為.

k

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是函數(shù))=-(x<0)圖象上的點(diǎn)，AB±x軸，垂足為B,若△ABO的面積為

15.下面是“經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：直線”和直線外一點(diǎn)P.

圖1

求作：直線。的垂線，使它經(jīng)過(guò)P.

作法：如圖2.

（1）在直線。上取一點(diǎn)A,連接Q4;

（2）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)P為圓心，大于=的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于3,C兩點(diǎn)，連接8C交Q4于點(diǎn)。；

（3）以點(diǎn)。為圓心，DP為半徑作圓，交直線。于點(diǎn)E（異于點(diǎn)A）,作直線PE.所以直線PE就是所求作的垂線.

請(qǐng)你寫出上述作垂線的依據(jù)：.

16.一元二次方程x2=3x的解是：.

17.如圖，矩形ABCD中，AD=2,AB=5,P為CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AADP與ABCP相似時(shí)，DP=_.

18.如圖，△ABC和△A，B，C是兩個(gè)完全重合的直角三角板，NB=30。，斜邊長(zhǎng)為10cm.三角板A，B，C繞直角頂點(diǎn)C

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A，落在AB邊上時(shí)，CA，旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的扇形的弧長(zhǎng)為<

三、解答題（共66分）

19.（10分）一元二次方程/+以一3=0的一個(gè)根為1,求機(jī)的值及方程另一根.

20.（6分）如圖,在小山的東側(cè)A處有一一熱氣球，以每分鐘28米的速度沿著與垂直方向夾角為30。的方向飛行，半小

時(shí)后到達(dá)C處，這時(shí)氣球上的人發(fā)現(xiàn)，在A處的正西方向有一處著火點(diǎn)8,5分鐘后，在。處測(cè)得著火點(diǎn)B的俯角是

15°,求熱氣球升空點(diǎn)A與著火點(diǎn)3的距離.（結(jié)果保留根號(hào)，參考數(shù)據(jù)：

sin\5°=------,cosl5°=』+——50=2-6,cot15°=2+G）

44

(1)如圖1,在邊BC上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,在邊AC上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D,滿足NAPD=60。，求證：AABP?APCD

(2)如圖2,若點(diǎn)P在射線BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在直線AC上，滿足NAPD=120。，當(dāng)PC=1時(shí)，求AD的長(zhǎng)

(3)在(2)的條件下，將點(diǎn)D繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。到點(diǎn)D，，如圖3,求AD，AP的面積.

22.(8分)如圖，在Rt_ABC中，/ACB=90，_DCE是_ABC繞著點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，此時(shí)B、C,

E在同一直線上.

(1)求旋轉(zhuǎn)角的大??；

⑵若AB=10,AC=8,求BE的長(zhǎng).

23.(8分)某商店將成本為每件60元的某商品標(biāo)價(jià)100元出售.

(1)為了促銷，該商品經(jīng)過(guò)兩次降低后每件售價(jià)為81元，若兩次降價(jià)的百分率相同，求每次降價(jià)的百分率；

(2)經(jīng)調(diào)查，該商品每降價(jià)2元，每月可多售出10件，若該商品按原標(biāo)價(jià)出售，每月可銷售100件，那么當(dāng)銷售價(jià)

為多少元時(shí)，可以使該商品的月利潤(rùn)最大？最大的月利潤(rùn)是多少？

24.(8分)已知：如圖，在四邊形A5C。中，AD//BC,NC=90。，AB=AD,連接8D,AELBD,垂足為E.

(1)求證：AABEsADBC；

(2)若4。=25,BC=32,求線段AE的長(zhǎng).

25.(10分)如圖，在aABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，且AD=AC,DE±BC,DE與AB相交于點(diǎn)E,EC與AD

相交于點(diǎn)F.

(1)求證：AABC^AFCD；

⑵若SAABC=20,BC=10,求DE的長(zhǎng).

26.(10分)閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，

鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)是：如圖，CO為。。的直徑，弦垂足為E,CE=1寸,

45=1尺，其中1尺=10寸，求出直徑CD的長(zhǎng).

解題過(guò)程如下:

連接。4,設(shè)。4=/■寸，則OE=r-CE=(r-l)寸.

?.?48,8,48=1尺，，4￡=』/18=5寸.

2

在中，OA2^AE2+OE2,即/=5?+(—1)二解得r=13,

CD=2r=26寸.

任務(wù)：

(1)上述解題過(guò)程運(yùn)用了定理和定理.

(2)若原題改為已知OE=25寸，AB=1尺，請(qǐng)根據(jù)上述解題思路，求直徑CD的長(zhǎng).

(3)若繼續(xù)往下鋸，當(dāng)鋸到AE=OE時(shí)，弦A3所對(duì)圓周角的度數(shù)為.

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1、D

【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角，得出NMNP=NMPN,由外角的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，進(jìn)一步證明△CPNS^CNM,通過(guò)三

角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例計(jì)算出CP,再次利用相似比即可計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】解：,:MN=MP,

：.NMNP=NMPN,

：.ZCPN=ZONM,

由折疊可得，NONM=NCNM,CN=ON=6,

：.NCPN=NCNM,

又,：NC=NC,

:ACPNSMNM,

CPCN

——，即CN2=CPxCM,

~CNCM

，62=CPX(CP+5),

解得：CP=4,

又「,,PN=CP

'NMCN

?PN_4

??一9

56

：.PN=—,

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2、A

【分析】列舉出所有情況，看兩位數(shù)中是奇數(shù)的情況占總情況的多少即可.

【詳解】解：在0,1,2三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)，組成兩位數(shù)有：12,10,21,20四個(gè)，是奇數(shù)只有21,所以組成的兩位

數(shù)中是奇數(shù)的概率為

4

故選A.

【點(diǎn)睛】

數(shù)目較少，可用列舉法求概率.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

3、D

21

【分析】由于10件產(chǎn)品中有2件次品，所以從10件產(chǎn)品中任意抽取1件，抽中次品的概率是一=一.

105

71

【詳解】解：P（次品）=歷=《.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用概率公式求事件的概率，根據(jù)題目找出全部情況的總數(shù)以及符合條件的情況數(shù)目是解此題的關(guān)

鍵.

4、A

【解析】分別畫出各幾何體的主視圖和左視圖，然后進(jìn)行判斷.

【詳解】A、主視圖和左視圖都為矩形的，所以A選項(xiàng)正確；

B、主視圖和左視圖都為等腰三角形，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、主視圖為矩形，左視圖為圓，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、主視圖是矩形，左視圖為三角形，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖：畫物體的主視圖的口訣為：主、俯：長(zhǎng)對(duì)正；主、左：高平齊；俯、左：寬相等.記

住常見(jiàn)的幾何體的三視圖.

5、B

【分析】根據(jù)正弦的定義列式計(jì)算即可.

Be

【詳解】解：在△A8C中，NC=90°,sinA=——，

AB

???B-C-—-19

123

解得BC=4,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)正弦的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.

6、D

【分析】由反比例函數(shù)y='的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,1）,可求反比例函數(shù)解析式，把點(diǎn)代入解析式即可求解.

X

【詳解】?.?反比例函數(shù)y=&的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,1）,

X

：.y=~.

x

把點(diǎn)一一代入，發(fā)現(xiàn)只有（-1,-3）符合.

故選。.

【點(diǎn)睛】

本題運(yùn)用了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的知識(shí)點(diǎn)，然后判斷點(diǎn)是否在反比例函數(shù)的圖象上.

7、A

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，即可得到答案.

【詳解】TM,N分別為8C,0C的中點(diǎn)，

AMN是AOBC的中位線，

/.OB=2MN=2x3=6,

?.?四邊形ABC。是矩形，

/.OB=OD=OA=OC=6,即：AC=12,

?；AB=6,

.*.AC=2AB,

VZABC=90",

二ZACS=30°.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，掌握矩形的對(duì)角線互相平分且相等，是解題的關(guān)鍵.

8、B

【分析】觀察二次函數(shù)圖象，找出。＞0,b＞0,再結(jié)合反比例函數(shù)、一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】觀察二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：

拋物線），=—2（x—of-〃的頂點(diǎn)坐標(biāo)（。,一。）在第四象限，即a＞（）,—/?＜（）,

?b>0.

ah

?反比例函數(shù)y=——中。6>0,

x

，反比例函數(shù)圖象在第一、三象限；

???一次函數(shù)y=^+。，?>0,b>0,

...一次函數(shù))，=辦+人的圖象過(guò)第一、二、三象限.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的圖象找出a>(),

b>Q.解決該題型題目時(shí)，熟記各函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9、A

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)分別求出OB和OA,即可求出AB.

【詳解】解：如下圖所示，OD=OC=5m,ZDOB=60°,ZCOA=45°,

在RtAOBD中，OB=OD?cosZDOB=-m

2

5J?

在RtAOAC中，OA=OC?cosZCOA=^—m

2

5r-

.*.AB=OA+OB=y(V2+1)m

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是解直角三角形，掌握用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵.

10、B

【分析】由SACDE:SABDE=1：3得CD：BD=1：3,進(jìn)而得到CD：BC=1：4,然后根據(jù)DE〃AB可得ACDES/\CAB,

S1

利用相似三角形的性質(zhì)得到w色也=—,然后根據(jù)面積和差可求得答案.

3m16

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)H作EH_LBC交BC于點(diǎn)H,

VSACDE:SABDE=1:3,

ACD：BD=1：3,

ACD：BC=1：4,

VDE/7AB,

AACDE^ACBA,

.‘J①.二(C2)2=J_

,,sCBACB16'

SAABC=SACDE+SABI)E+SAABF：＞

/?SACDE：SAZ\BE=1：12,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì).

二、填空題(每小題3分，共24分)

11、6

【分析】先確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出AB,再確定出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用平移即可得出結(jié)論.

2

【詳解】??2(-1#)在反比例函數(shù)丫二?一上，

x

:.a=2,

???A(-1,2),

???點(diǎn)B在直線y=kxT上，

.*.AB=Vio,

?四邊形ABCD是正方形，

.,.BC=AB=V10，

設(shè)B(m,O),

,,,J病+1=V10?

:.m=-3(舍)或m=3,

r.c(3,o),

???點(diǎn)B向右平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，

，點(diǎn)D是點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，

.?.點(diǎn)D(2,3),將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=勺中，

X

Ak=6

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考察反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解題突破口是確定出點(diǎn)A的坐標(biāo).

12、-

3

x2x+y3+25

【解析】根據(jù)和比性質(zhì)，得一-=--=-,

y3y33

故答案為g.

13、2

【分析】把點(diǎn)(2,1)代入y=-x?+(m-1)x+3,即可求出m的值.

【詳解】?.?拋物線y=-x?+(m-Dx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1),

二1=-4+2(m/)+3,解得m=2,故答案為2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是找出二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式.

14、-6

【解析】根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何性質(zhì)，矩形的性質(zhì)即可解題.

【詳解】解：由反比例函數(shù)k的幾何性質(zhì)可知,k表示反比例圖像上的點(diǎn)與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積，

?.?△ABO的面積為3,

由矩形的性質(zhì)可知,點(diǎn)A與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積=6,

?.?圖像過(guò)第二象限，

k=-6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)k的幾何性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題，熟悉性質(zhì)內(nèi)容是解題關(guān)鍵.

15、直徑所對(duì)的圓周角是直角

【分析】由題意知點(diǎn)E在以PA為直徑的圓上，根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”可得NPEA=90°,即PE_L直線a.

【詳解】由作圖知，點(diǎn)E在以PA為直徑的圓上，

所以NPEA=90°,

則PEL直線a,

所以該尺規(guī)作圖的依據(jù)是：直徑所對(duì)的圓周角是直角，

故答案為：直徑所對(duì)的圓周角是直角.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查作圖-尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵是掌握線段中垂線的尺規(guī)作圖及其性質(zhì)和直徑所對(duì)的圓周角是直角.

16、xi=O,X2=l

【分析】先移項(xiàng)，然后利用因式分解法求解.

【詳解】X2=1X

x2-lx=0,

x(x-l)=O,

x=0或x-l=O,

X1=O,X2=l.

故答案為X1=O,X2=l

【點(diǎn)睛】

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右邊變形為0,再把方程左邊分解為兩個(gè)一次式的乘積，這樣原方

程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解

17、1或4或2.1.

【分析】需要分類討論：AAPDs/iPBC和APADS/^PBC,根據(jù)該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得DP的長(zhǎng)度.

40np

【詳解】設(shè)DP=x,則CP=Lx,本題需要分兩種情況情況進(jìn)行討論，①、當(dāng)APADs/XPBC時(shí)，一=—

BCCP

2x

-----，解得：x=2.1；

25-x

Anr)p7Y

②、當(dāng)AAPDsaPBC時(shí)，—=—,即，?=土，

CPBC5-x2

解得：x=l或x=4,

綜上所述DP=1或4或2.1

【點(diǎn)晴】

本題主要考查的就是三角形相似的問(wèn)題和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，首先將各線段用含x的代數(shù)式進(jìn)行表示，然后看是否有相同的角，

根據(jù)對(duì)應(yīng)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例將線段寫成比例式的形式，然后分別進(jìn)行計(jì)算得出答案.在解答這種問(wèn)題的時(shí)候千萬(wàn)不

能出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象，每種情況都要考慮到位.

5n

18、T

【分析】根據(jù)RtAABC中的30。角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)推知△AAC是等邊三角形，所以根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)利用弧長(zhǎng)公式來(lái)求CA，旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的扇形的弧長(zhǎng).

【詳解】解：?.,在RtAABC中，NB=30。，AB=10cm,AAC=-AB=5cm.

2

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，A(C=AC,,*.A,C=-AB=5cm.

2

.??點(diǎn)A，是斜邊AB的中點(diǎn)，.-.AA,=-AB=5cm.

2

，AA，=A，C=AC,/.ZA,CA=60°.

60XXSS7T

.??CA，旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的扇形的弧長(zhǎng)為：J。=q-(cm).

故答案為：丁.

三、解答題(共66分)

19、m=2,x2=—3

【分析】把x=l代入已知方程，列出關(guān)于m的新方程，通過(guò)解新方程來(lái)求m的值；由根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)求方程的另

一根.

【詳解】解：由題意得：F+lxm-3=0,解得〃2=2,

當(dāng)"2=2時(shí)，方程為丁+21_3=0，解得：玉=1,X2=-3,

方程的另一根”=一3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系.一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩

邊相等的未知數(shù)的值.即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立.

20、98073+980.

【分析】過(guò)D作DHJLBA于H,在RtZkDAH中根據(jù)三角函數(shù)即可求得AH的長(zhǎng)，然后在Rt^DBH中，求得BH的

長(zhǎng)，進(jìn)而求得BA的長(zhǎng).

【詳解】解：由題意可知AD=(30+5)X28=980,

過(guò)D作DH_LBA于H.

n

在RtADAH中，DH=AD?sin60°=980X-=49073,

2

1

AH=ADXcos60°=980X-=490,

2

在RtADBH中，BH=--------=490GX(2+6)=1470+98073,

tan150

/.BA=BH-AH=(1470+980百)-490=980(1+73)(米).

答：熱氣球升空點(diǎn)A與著火點(diǎn)B的距離為980(1+73)(米).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了仰角和俯角的定義，一般三角形的計(jì)算可以通過(guò)作高線轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算.

21、(1)見(jiàn)解析；(2)Z；(3)遞

28

【分析】(1)先利用三角形的內(nèi)角和得出NBAP+NAPB=120。，再用平角得出NAPB+NCPD=120。，進(jìn)而得出NBAP

=ZCPD,即可得出結(jié)論；

(2)先構(gòu)造出含30。角的直角三角形，求出PE,再用勾股定理求出PE,進(jìn)而求出AP,再判斷出△ACPs/APD,

得出比例式即可得出結(jié)論；

(3)先求出CD,進(jìn)而得出CD',再構(gòu)造出直角三角形求出DH,進(jìn)而得出PG,再求出AM,最后用面積差即可得

出結(jié)論.

【詳解】解：(1);.△ABC是等邊三角形，

.,.ZB=ZC=60°,

在△ABP中，ZB+ZAPB+ZBAP=180°,

.?.ZBAP+ZAPB=120°,

VZAPB+ZCPD=180°-ZAPD=120°,

/.ZBAP=ZCPD,

/.△ABP^APCD；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PE_LAC于E,

.".ZAEP=90°,

??.△ABC是等邊三角形，

.*.AC=2,ZACB=60°,

???NPCE=60。，

在RtACPE中，CP=1,ZCPE=90°-ZPCE=30°,

11

ACE=-CP=-,

22

22

根據(jù)勾股定理得，PE=yJcP-CE=—9

2

15

在RtAAPE中，AE=AC+CE=2+-=-,

22

根據(jù)勾股定理得，AP2=AE2+PE2=7,

VZACB=60°,

/.ZACP=120°=ZAPD,

VZCAP=ZPAD,

AAACP^AAPD,

APAC

???_一,

ADAP

_7

/.AD=————；

AC

7

(3)如圖3,由(2)知，AD=一，

2

.A

圖3D

VAC=2,

3

/.CD=AD-AC=-,

2

3

由旋轉(zhuǎn)知，NDCD'=120。，CD'=CD=-,

2

VZDCP=60°,

...NACD'=NDCP=60°,

過(guò)點(diǎn)D'作D，H_LCP于H,

*413

在RtACHD，中，CH=-CD'=-,

24

根據(jù)勾股定理得，D，H=J5CH=￡I,

4

過(guò)點(diǎn)D作D，Gd_AC于G,

VZACD'=ZPCD',

.,.D'G=D，H=上叵(角平分線定理)，

4

1113813A/39A/3

..SACPD^SAACD'+SAPCD^-AC?D'G+-CP?DH'=-x2x*+—xlx'=王，

2224248

過(guò)點(diǎn)A作AMJ_BC于M,

VAB=AC,

.*.BM=-BC=1,

2

在RtAABM中，根據(jù)勾股定理得，AM=J5BM=百，

SAACP=—CP?AM=—xlx5/3>

222

,q_9有百_5/

??bAD'AP—bHa?ACPD_SAACP------------------------------------?

828

【點(diǎn)睛】

此題主要考查四邊形綜合，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)及相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理

的應(yīng)用.

22、(1)90°；(2)1.

【分析】(1)根據(jù)題意/ACE即為旋轉(zhuǎn)角，只需求出NACE的度數(shù)即可.

(2)根據(jù)勾股定理可求出BC,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CE=CA=8,從而可求出BE的長(zhǎng)度.

【詳解】解：(1)是△ABC繞著點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，此時(shí)點(diǎn)B、C、E在同一直線上，

:.ZACE=90°,即旋轉(zhuǎn)角為90°,

(2)在RtAABC中，

VAB=10,AC=8,

-AC2=6,

VAABC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到小DCE,

.?.CE=CA=8,

.*.BE=BC+CE=6+8=1

23、(1)10%；(2)當(dāng)定價(jià)為90元時(shí)，w最大為4500元.

【分析】(1)設(shè)該藥品平均每次降價(jià)的百分率為x,根據(jù)降價(jià)后的價(jià)格=降價(jià)前的價(jià)格(1-降價(jià)的百分率)，則第一

次降價(jià)后的價(jià)格是100(1-x)，第二次后的價(jià)格是100(1-x)2,據(jù)此即可列方程求解：

(2)銷售定價(jià)為每件機(jī)元，每月利潤(rùn)為y元，列出二者之間的函數(shù)關(guān)系式利用配方法求最值即可.

【詳解】解：(1)根據(jù)題意得：100(1-x)2=81,

解得:*1=0.1,必=1.9,

經(jīng)檢驗(yàn)*2=1.9不符合題意，

.*.x=0.1=10%,

答：每次降價(jià)百分率為10%；

(2)設(shè)銷售定價(jià)為每件，〃元，每月利潤(rùn)為y元，則

y=Cm-60)[100+5X(100-/n)]=-5(m-90)2+4500,

?：a=-5<0,

，當(dāng)機(jī)=90元時(shí)，w最大為4500元.

答:(1)下降率為10%；(2)當(dāng)定價(jià)為90元時(shí)，w最大為4500元.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的找到題目中的等量關(guān)系且利用其列出方

程.

24、(1)證明見(jiàn)解析；(2)1

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)可知NABD=NADB,由AD〃BC可知，ZADB=ZDBC,由此可得NABD=NDBC,

又因?yàn)镹AEB=NC=90。，所以可證△ABEs/\DBC；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)可知，BD=2BE,根據(jù)AABESADBC,利用相似比求BE,在RSABE中，利用勾股定理

求AE即可.

【詳解】(1)證明：：AB=AD=25,

.".ZABD=ZADB,

VAD/7BC,

/.ZADB=ZDBC,

.,.ZABD=ZDBC,

VAE±BD,

.,.ZA