高考二輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)課件培優(yōu)拓展14雙變量問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

培優(yōu)拓展雙變量問(wèn)題的轉(zhuǎn)化在解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題時(shí),我們經(jīng)常會(huì)遇到在某個(gè)范圍內(nèi)都可以任意變動(dòng)的雙變量問(wèn)題,由于兩個(gè)變量都在變動(dòng),因此不知把哪個(gè)變量當(dāng)成自變量進(jìn)行函數(shù)研究,從而無(wú)法展開(kāi)思路,造成無(wú)從下手的感覺(jué),正因?yàn)槿绱?這樣的問(wèn)題往往穿插在高考試卷壓軸題的某些步驟之中,是考生感到困惑的難點(diǎn)問(wèn)題之一,這時(shí)針對(duì)不同的題設(shè)條件給出處理雙變量問(wèn)題的相應(yīng)策略,希望給同學(xué)們以幫助和啟發(fā).一、等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問(wèn)題規(guī)律方法雙變量存在性或任意性問(wèn)題的基本類型與“等價(jià)轉(zhuǎn)化”策略存在性或任意性問(wèn)題的基本類型等價(jià)轉(zhuǎn)化成的問(wèn)題對(duì)?x1∈A,都?x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立f(x)的值域是g(x)的值域的子集?x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立f(x)的值域和g(x)的值域的交集不為空集對(duì)?x1∈A及x2∈B,都有f(x1)<g(x2)成立[f(x)]max<[g(x)]min?x1∈A及x2∈B,使f(x1)<g(x2)成立[f(x)]min<[g(x)]max對(duì)?x1∈A,都?x2∈B,使得f(x1)<g(x2)成立[f(x)]max<[g(x)]max對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=7x2-28x-c,g(x)=2x3+4x2-40x.(1)對(duì)任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;(3)對(duì)任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求實(shí)數(shù)c的取值范圍.解

令k(x)=f(x)-g(x)=-2x3+3x2+12x-c,x∈[-3,3],k'(x)=-6x2+6x+12=0,得x1=-1,x2=2.x[-3,-1)-1(-1,2)2(2,3]k'(x)-0+0-k(x)↘極小值↗0↘k(-3)=45-c,k(3)=9-c,k(-1)=-7-c,k(2)=20-c,∴最大值為45-c,最小值為-7-c,(1)∵對(duì)任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,∴45-c≤0,即c≥45.(2)∵存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,∴-7-c≤0,即c≥-7.(3)f(x)=7x2-28x-c=7(x-2)2-28-c,x∈[-3,3],即有f(x)的最大值為f(-3)=147-c,g(x)=2x3+4x2-40x.g'(x)=6x2+8x-40,x∈[-3,3],可得g(x)在(-3,2)上單調(diào)遞減,在(2,3)上單調(diào)遞增,得出g(x)的最小值為g(2)=-48,∵對(duì)任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),∴147-c≤-48,即有c≥195.二、尋找兩變量的關(guān)系轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)問(wèn)題3-5ln2規(guī)律方法求二元函數(shù)的最小值或證明二元的某種關(guān)系,通過(guò)二元之間的關(guān)系或二元之間的函數(shù)的關(guān)系,運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想進(jìn)行消元,化歸為熟悉的一元問(wèn)題,再通過(guò)研究一元問(wèn)題使原問(wèn)題得到解決.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2023江西贛州二模)已知函數(shù)f(x)=x2-3x+lnx.(1)求函數(shù)f(x)的極值;(2)對(duì)于任意的x1,x2∈[1,2],當(dāng)x1<x2時(shí),不等式x1x2[f(x1)-f(x2)]-m(x1-x2)>0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.三、從雙變量問(wèn)題等價(jià)變換中構(gòu)造函數(shù)求解規(guī)律方法若題設(shè)條件中含有一個(gè)雙變量的恒等式,通過(guò)對(duì)該恒等式進(jìn)行等價(jià)變形,使恒等式兩邊的兩個(gè)變量對(duì)應(yīng)的代數(shù)式結(jié)構(gòu)相同,就可以構(gòu)造出一個(gè)函數(shù),從而利用此函數(shù)求解得出結(jié)論.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3四、利用換元法將兩個(gè)變量轉(zhuǎn)換成一個(gè)變量例4(2023四川樂(lè)山二模)已知函數(shù)f(x)=aex-x2有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2.(1)求a的取值范圍;(2)若x2≥3x1時(shí),不等式x1+λx2≥2x1x2恒成立,求λ的最小值