江蘇省連云港市2023-2024學年高三年級上冊期中考試 數(shù)學含答案

江蘇省連云港市2023-2024學年高三上學期期中考試

2022-2023學年第一學期期中調(diào)研考試

高三數(shù)學試題

注意事項：

1.考試時間120分鐘，試卷滿分150分。

2.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

3.請用2B鉛筆和0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上指定區(qū)域內(nèi)作答。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.設加為實數(shù)，A=二{加-1,-31,B={2m_1,加一3}.若/Cl5={-3},則m

A.1B.-1C.0D.0或-1

2.“/<1”是“。<2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

z

eR),若」■<(),則加=(

3.設Z]=2+3i,z2=m—i(m)

2233

A.——B.-C.——D.-

3322

4.連云港海濱浴場是我省最優(yōu)質(zhì)的天然海濱浴場，浪緩灘平，水清沙細，當陽光射入海水后，海水中的光照強

度隨著深度增加而減弱，可用〃=/°e-KD表示其總衰減規(guī)律，其中K是平均消光系數(shù)，D（單位：米）是

海水深度，ID（單位：坎德拉）和（單位：坎德拉）分別表示在深度。處和海面的光強.已知某海區(qū)5米深

處的光強是海面光強的40%,則該海區(qū)消光系數(shù)K的值約為（參考數(shù)據(jù)：ln2?0.7,ln5?1.6）（）

A.0.2B.0.18C.0.16D.0.14

5.已知2cos(2。+，)-3cos/?=0,則tanatan(a+/)=()

11

A.5B.-C.-5D.——

55

“小產(chǎn)、

”，則()

6.若〃=1萬)，b=log32,c--

3

A.b<c<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b

7.設G,b,己都是單位向量，且萬與B的夾角為60。，則修—的最大值為（）

8.若函數(shù)/(x)=sin(yx—Gcosox在7171

75上存在唯一的極值點，則正數(shù)0的取值范圍是(

511

B.U5,y

33

511

D.5,

33uT

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。

9.在等比數(shù)列｛%｝中，%=8，則()

A.{a/〃+i}的公比為4B.{log2^}的前20項和為170

35

C.{4}的前10項積為2D.{an+an+l}的前n項和為|—1)

10.已知直線/：mx-y-^-l-m=0(mGR),貝U()

A.直線/過定點(1,1)B.直線/與圓/+/=2相切時，加的值是一1

C.原點到直線I的最大距離為2D.直線/與圓V+y2—4x+2=0相交

m—n

11.定義在(—1/)的函數(shù)/(x)滿足/(m)—/(〃)=/,且當—l<x<0時，/(x)<0,則(

1—mn

A./(x)是奇函數(shù)B./(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減

12.在正四棱柱Z8CD—481GA中，AB=1,AAl=2.H,耳，E分別為NC,A,Q,8片的中點，點〃

在直線"i上，萬必=4防1,2eR.下列說法正確的有()

1

A.當％=—時，及M與q/所成角的余弦值為J

23

B.當4=工時，點M到平面4GE的距離為電

42

3

c當彳=a時，用/,平面4GE

D.若平面ABM與平面481c所成銳二面角的余弦值為,則X=2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知/(x)=3sinx-4tanx+l,若/(a)=2,則/(-a)=.

14.若直角三角形兩條直角邊的和為10,則其斜邊的最小值是.

22

15.點下為雙曲線二―4=1(a>0,b〉0)的右焦點，直線y=2b與雙曲線交于8,C兩點，且

a"b~

ZBFC=90°,則該雙曲線的離心率為.

16.如圖，對于曲線G所在平面內(nèi)的點。若存在以。為頂點的角°,使得對于曲線G上的任意兩個不同的點

A,8恒有NZ05,a成立，則稱角。為曲線G的相對于點。的“界角”，并稱其中最小的''界角”為曲線G

xevl+l,x>0

的相對于點。的“確界角”.已知曲線C：y=12(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))，點。為坐標原

—x~+1,x?0

116

點，曲線C的相對于點。的“確界角”為廣，貝Usin￡=.

四、解答題：本題共6題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

已知數(shù)列｛。〃｝滿足---1----1----1----1-------〃.

a2a3an

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式

(2)若數(shù)列也｝的前〃項和為S,,證明：Sn<-.

a”%+i2

18.（12分）

TT

在△ZBC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c.已知/=—（1+=2sinC.

6

(1)證明：b=42a；

(2)若445。的面積為2+26,求6.

19.（12分）

如圖，在幾何體NBCDEb中，四邊形N8CD是邊長為3的正方形，平面/跳E與平面CDE尸的交線為

EF.

（1）證明：EF//AB-,

（2）若平面必C，平面48CD,〃為8C的中點，F(xiàn)H=2,FC=2.5,EF=15,求該幾何體的體積.

20.（12分）

某高中有50名學生參加數(shù)學競賽，得分（滿分：150分）如下:

[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]

女生145532

男生0241293

（1）若得分不低于120分的學生稱為“數(shù)學優(yōu)秀者”.同是否有95%的把握認為“數(shù)學優(yōu)秀者”與性別有關

（2）若在競賽得分不低于130分的男生中隨機抽取3人，求這3人中至少有1人得分在［140,150］內(nèi)的概率.

n(ad-be)2

附：K2=其中n=a+b+c+d.

(a+Z))(c+t7)(a+c)(Z?+t/)

pg.ko)0.050.0250.0100.001

k03.8415.0246.63510.828

21.(12分)

22(

己知橢圓j+=l經(jīng)過點M-2,

cici—7

（1）求橢圓的標準方程;

（2）過點N（0,6）的直線1交該橢圓于C,。兩點（點C在點。的上方），橢圓的上、下頂點分別為4,B,

直線幺。與直線8c交于點。.證明：點。在定直線上.

22.（12分）

1Y

已知函數(shù)/（x）=-----\-a\mx.

x-1)

（1）若/（x）〉0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍;

（2）若/（X）在區(qū)間（1,+oo）上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍.

2022?2023學年第一學期期中調(diào)研考試

高三數(shù)學試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.【答案】B

【解析】A[}B={-3},則2機一1=一3或〃z-3=-3,...機=一1或0

機=-1時，Z={—2,—3},5={-3,-4},Zn5={—3},滿足.

機=0時，^={-1,-3},5={-1,-3},^05={-1,-3},不滿足，選B.

2.【答案】A

【解析則一則一定有。<2,充分.

a<2時，不一定有/<1,不必要，選A.

3.【答案】A

【解析】、=2+3i=（2+3i）」+i）=2M+（2q+3+）i—3

22

z2m—im+1m+1

2m-3+（2+3m）i2,

=---------------------<0,2+3m=0,m=—，選A.

m2+l3

4.【答案】B

2?

【解析】4O%/o=/oe-5，??.e-5K5K=ln—,

°°55

5.【答案】D

【解析】2cos(2a+￡)=3cos4,貝(J2cos(a+P+a)=3cos(a+2一。)

2cosacos(a+0-2sin(a+/?)sino=3cos(a+cosa+3sin(a+0sina,,

一5sin(a+/?)sina=cos(a+0cosa,-5tan(a+tana=1,

tan(6K+/?)tana,選D

6.【答案】C

j，^=log32>pC邛

【解折】a=<＞—,工。最小.

I2

171c31百371c5

—<b=log,2<—,—<c=——<—,p=log,2>—,c<—,a<c<b,選C.

234234388

7.【答案】D、

(｝巧

【解析】設1=(1,0),b=c=(x,y),x2+y2=1.

一7

(1V3

)

(c-a)(c-6=(x-l,j)x——,y------+y>―-%

22\2)

=/-也y、-3c°s”@sind

222222222

——V3sin||—+\/3,選D

232

8.【答案】B

nnn.7T717C7171

【解析】/(x)=2sinG)X----—<x<—,n貝―①---<cox-----<—a)-----

36263323

nnn

—CD----<一

nn632511

/(x)在上存在唯一的極值點，貝心-<。W—.

石'57in〃，333

—<——a)----<—n

〔2232

7171713

—<—O)----<—71,r

2632J7

或＜，??5W(yW—，選B.

3萬乃乃，53

---<——CO-----<—71

I2232

7T7T7T3

—FknV——co----<—7i+k兀

2662

左21時，＜,無解.

3771萬,57

一兀+k兀<——co----<-n-\-kn

12232

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。

9.【答案】ABC

【解析】/=8,；.q=2,=L-2"T=2"2,4土%1衛(wèi)=/=4,A對.

2a?an+i

log2tzw=n-2,10g2。]+log2472H---Flog2a20=—1+0H---1-18=170,B對.

的2…%0=2…°++8=235,C對.{%+4+]}的前〃項和|(2"_1),D錯,

選ABC.

10.【答案】AB

【解析】加一天+1=0過定點尸(1,1),A對.

,,、、1—m\I—

直線/與圓x+y=2相切時，一I=A/2,???加=—1,B對.

Vm2+1

。尸=血，.?.原點到/的最大距離為正，C錯.

圓x?+72-4x+2=0,化簡(x-2)2+/=2,圓心(2,0),r-41,

尸（1,1）在圓上，直線/與圓可能相切，D錯，選AB.

11.【答案】AC

m-n

【解析】〃=0時，/(m)-/(O)=/(?),.--/(0)=0,/(?)=/(?)+/

1—mn

加=0,/（0）=/（〃）+/（—〃），.?./（X）為奇函數(shù),A對.

11,m-n711

n=—M加=一時，------=一,C對.

321-mn]_』5I3I

~6

—l＜x＜0時，/（x）＜0,而/（0）=0,不可能單調(diào)減，B錯.

x-x

令_1<否</<1，則/(%)—x2%]一%2<0,

、1一卬*1-xrx2

占一々門_（1+占）（1+々）（\

>o,.-._i<Az^/再一/

<0)<0

1-XxX21-XxX21-xxx2

則/（再）-/（Z）＜0,即/（再）＜/（馬），則/（X）在（-1,1）/，

也＞嗎MgM撲叫｝D錯'選AC

12.【答案】BC

【解析】如圖建系，片（1,1,2）,q（0,1,2）,￡（1,1,1）.

對于訪=(-1,0,1),

1aar)r)

對于B,S^MA[C[=-x-x2xV2=-^-,E到面"Ze的距離為B到面/CC/i的距離d=\-,

=-Xx^——=一=4G=V2?*?SAQ————.

—EMAC,EA}=EC、9EA

H-AZT4JC]3424]]]]ZA7IYIJCJ2

11J3

設M到平面4GE的距離刀，則一=—?J*3_〃，.?.//=J,B對.

114322

對于C，2=jM==(-1,0,1),=(-1,1,0),

西?西=0,西?猛=0,；.MB]上面4GE，c對.

對于D,Mlz(l,0,0),5(1,1,0),面兒僅3的法向量)=(X1，%,4),

n-AB=0必=o

11,不妨設馬=1,則石=44,%=0，

n-MA=0~xi~2^-2^zi=0

々=(42,0,1),而431c的法向量%二(%2，%/2),

、

n-A}B.=0(y?=0

<___.，**?5，不妨設Z2=l,則％2=-2，%=0，

n-A.C=0[-x2+y2-2z2=0

_3|1—8H彳=一工或2,D錯，選BC.

?2=(-2,0,1),-r=

=COS(〃1，〃2V16A2+1-V5，

y/LJ7

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.【答案】0

【解析】令g(x)=3sinx-4tanx,g(x)為奇函數(shù)，/(x)=g(x)+l,

/(a)=g(a)+l=2,，g(a)=l,則g(-a)=-l,f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0.

14.【答案】572

______5

【解析】設兩直角邊為a,b,則。+6=10,斜邊之芋（。+6）=5收

15.【答案】1

5

22

xyx=±yl~5a

二1(V^a,2b),C^-\/5a,2b^

【解析】藍一聲,貝小,JJ

J=2b

J=2b

二0,：J正

NBFC=90°,

a5

16.【答案】1

【解析】過原點作了=朧1+1的切線，切點4外,西爐7+1),V=(x+l)ei

k、=(%i+1)鏟與，y_('同廠1+1)=(再+l)e*—i(x—xj過(0,0),

1-1X1-1

—Xje'—1=—x；—xJe/T,x^e-1=0,x{=l,k{=2.

切點8卜,^x；+1），y'=1左2=/,1一］記1焉+11/

—X,=/(》一

816

——,—

—1——%2/=—4，k2—.k、k?=—1,兩切線垂直，*,?夕=萬，sin/?=1.

四、解答題：本題共6題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.【解析】

、1352n-l

d-y^^3d在

_.1352n—3

〃22時，---1----1----F???H-------n-1②

%%。34T

2n-l

①一②n-----=1=%=2〃-1(n>2),而q=1也滿足上式,

an=2^-1.

一1一111______

(2)b

n(2〃-1)(2〃+1)12?+1)

1

2〃一1卜2

18.【解析】

(1)證明：(l+2cos/)sin5=2siiL4cosB+2cos/sin5

sinB=2siib4cosHntanS=1,B=—.

4

：2=2=垃nb=4ia.

asiib4

1V2V3V2V6+V2

二——X--------1X=-------------------

22224

???Sac」.上0.近業(yè)1=2+2百nb=4.

△*BC2V24

19.【解析】

(1)證明：CD//AB,而CD(z平面45巫，Z8u平面43EE,

CZ)〃平面ABFE,又：CDu平面CDEF,

平面CQEbn平面4s比=①"CD//EF,：.EF//AB.

(2)FH=2,FC=25,H為BC中點、，：.CH=15.

IfnFH2+CH2=CF2,m_L8C,?.?平面F5CL平面N8CZ).

平面FBCCl平面4SC￡>=8C,；.EH，平面ABCD.

過￡分別作￡7〃必交48于點/,EJ〃FC交CD于點、J,連接〃.

VV

-t?EF-ABCD=BCF-E1J+VE-AIJD=1x3x2x1.5+1x1.5x3x2=4.5+3=7.5.

20.【解析】

(1)2X2列聯(lián)表如下:

學是否優(yōu)秀

數(shù)學優(yōu)秀者不優(yōu)秀合計

性別

男24630

女101020

合計341650

"二舞"…

...有95%的把握認為“數(shù)學優(yōu)秀者”與性別有關.

(2)得分不低于130分的男生有12人，其中得分在［140,150］內(nèi)的有3人.

C334

,3人中至少有1人得分在［140,150］內(nèi)的概率尸=1-6=不

21.【解析】

427

(1):橢圓過點/，二^+—廠In"-7)(a2-16)=0,

a24a2-7

Vtz2>7,?.a1=16,

22

橢圓的標準方程為土+匕=1.

169

(2)方法一：設直線/的方程為y=Ax+6,。(再,必)，4(0,3),5(0,-3)

<y~kX+6,n(9+16左2"+i92丘+432=0,A>0

9/+16/=144'>

直線方程為：y=%二^x+3,直線方程：y=M上^x—3.

石

聯(lián)立Z。，8C方程=3=/工=3±羋

Je+3%（必+3）（優(yōu)+9區(qū)

432576左

kxxx2+3(X[+x2)-3X29+16左2―9+16左2

kxx+9X432

x22+9%