2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）第二講 特殊四邊形的性質(zhì)與判定（題型突破+專題精練）（解析版）

→?題型突破←→?專題訓(xùn)練←題型一菱形的性質(zhì)判定及其應(yīng)用1．（如圖，四邊形是菱形，點E，F(xiàn)分別在邊上，添加以下條件不能判定的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形全等判定定理SAS可判定A，三角形全等判定定理AAS可判定B，三角形全等判定定理可判定C，三角形全等判定定理AAS可判定D即可．【詳解】解:∵四邊形是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D,A.添加可以，在△ABE和△ADF中，，∴(SAS)，故選項A可以；B.添加可以，在△ABE和△ADF中，∴(AAS)；故選項B可以；C.添加不可以，條件是邊邊角故不能判定；故選項C不可以；D.添加可以，在△ABE和△ADF中，∴(SAS)．故選項D可以；故選擇C．【點睛】本題考查添加條件判定三角形全等，菱形性質(zhì)，掌握三角形全等判定定理，菱形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．如圖，在菱形ABCD中，，，過菱形ABCD的對稱中心O分別作邊AB，BC的垂線，交各邊于點E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH的周長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的長，即可求出該四邊形的周長．【詳解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,∴∠BEO=∠BFO=90°，∵∠A=120°，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，由菱形的對邊平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，因為O點是菱形ABCD的對稱中心，∴O點到各邊的距離相等，即OE=OF=OG=OH，∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，所以四邊形EFGH是矩形；設(shè)OE=OF=OG=OH=x，∴EG=HF=2x，，如圖，連接AC，則AC經(jīng)過點O，可得三角形ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB=2,∴OA=1,∠AOE=30°，∴AE=，∴x=OE=∴四邊形EFGH的周長為EF+FG+GH+HE=,故選A．

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，要求學(xué)生在理解相關(guān)概念的基礎(chǔ)上學(xué)會應(yīng)用，能分析并綜合運用相關(guān)條件完成線段關(guān)系的轉(zhuǎn)換，考查了學(xué)生的綜合分析與應(yīng)用的能力．3．如圖，已知點是菱形的對角線延長線上一點，過點分別作、延長線的垂線，垂足分別為點、．若，，則的值為（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)菱形的基性質(zhì)，得到∠PAE=30°，,利用勾股理求出AC=，則AP=+PC，PE=AP=+PC，由∠PCF=∠DCA=30°，得到PF=PC，最后算出結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2，∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，∴∠CAE=30?，∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2，∴AC=，∴AP=+PC，在直角△AEP中，∵∠PAE=30°，AP=+PC，∴PE=AP=+PC，在直角△PFC中，∵∠PCF=30°，∴PF=PC，∴=+PC-PC=，故選：B．【點睛】本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，關(guān)鍵會在直角三角形中應(yīng)用30°．4．如圖，在菱形中，，連接、，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)AC與BD的交點為O，由題意易得，，進而可得△ABC是等邊三角形，，然后問題可求解．【詳解】解：設(shè)AC與BD的交點為O，如圖所示：∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴△ABC是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴；故選D．【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．如圖，菱形的對角線與相交于點，點在上，連接，，，，，則（）A．4 B．3 C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件，可得是等邊三角形，可得，進而根據(jù)，可得，進而可得,根據(jù)，，，即可求得．【解析】四邊形是菱形，,，，是等邊三角形，，，，，，，，即，，．故選A．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是CD中點，連接OE，則下列結(jié)論中不一定正確的是（）A．AB＝AD B．OEAB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO【答案】C【分析】由菱形的性質(zhì)可得AB=AD=CD，AC⊥BD，由直角三角形的性質(zhì)可得OE=DE=CE=CD=AB，即可求解．【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD，AC⊥BD，故選項A不合題意，∵點E是CD的中點，∴OE=DE=CE=CD=AB，故選項B不合題意；∴∠EOD=∠EDO，故選項D不合題意；故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，點G，H分別是AC的三等分點，則S四邊形EHFG÷S菱形ABCD的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可證EG∥BC，EG＝2，HF∥AD，HF＝2，可得四邊形EHFG為平行四邊形，即可求解．【解析】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，∴，∵G、H分別是AC的三等分點，∴，，∴，∴EG∥BC∴，同理可得HF∥AD，，∴，故選：A．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，由題意可證EG∥BC，HF∥AD是本題的關(guān)鍵．9．如圖，菱形的對角線、相交于點O，，垂足為E，，，則的長為______．【答案】【分析】直接利用菱形的性質(zhì)得出AO，DO的長，再利用勾股定理得出菱形的邊長，進而利用等面積法得出答案．【詳解】解：∵菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且AC=8，DB=6，∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，∴AD=5，在中，由等面積法得：,∴故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的高的求法（等面積法），熟記性質(zhì)與定理是解題關(guān)鍵．10．菱形中，對角線，則菱形的高等于___________．【答案】【分析】過A作AE⊥BC，垂足為E，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出菱形邊長，再利用菱形的面積公式得到方程，解之可得AE．【詳解】解：如圖，過A作AE⊥BC，垂足為E，即AE為菱形ABCD的高，∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，∴OB=BD=12，OA=AC=5，在Rt△ABO中，AB=BC==13，∵S菱形ABCD=，∴，解得：AE=，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，能熟記菱形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：菱形的四條邊都相等，菱形的對角線互相平分且垂直．11．如圖，在菱形ABCD中，對角線，，分別以點A，B，C，D為圓心，的長為半徑畫弧，與該菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為__________．（結(jié)果保留）【答案】【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB的長和菱形的面積，再根據(jù)扇形的面積公式求出四個扇形的面積和即可得出答案【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，，，∴AC⊥BD，AO=6，BO=8；∴；∴菱形ABCD的面積=∵四個扇形的半徑相等，都為，且四邊形的內(nèi)角和為360°，∴四個扇形的面積=，∴陰影部分的面積=；故答案為：．【點睛】本題考查的是扇形面積計算、菱形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．12．如圖1，菱形的對角線與相交于點O，P、Q兩點同時從O點出發(fā)，以1厘米/秒的速度在菱形的對角線及邊上運動．點P的運動路線為，點Q的運動路線為．設(shè)運動的時間為x秒，P、Q間的距離為y厘米，y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，當點P在段上運動且P、Q兩點間的距離最短時，P、Q兩點的運動路程之和為__________厘米．【答案】【分析】四邊形是菱形，由圖象可得AC和BD的長，從而求出OC、OB和．當點P在段上運動且P、Q兩點間的距離最短時，此時連線過O點且垂直于．根據(jù)三角函數(shù)和已知線段長度，求出P、Q兩點的運動路程之和．【詳解】由圖可知，（厘米），∵四邊形為菱形∴（厘米）∴P在上時，Q在上，距離最短時，連線過O點且垂直于．此時，P、Q兩點運動路程之和∵（厘米）∴（厘米）故答案為．【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)和三角函數(shù)．解題的關(guān)鍵在于從圖象中找到菱形對角線的長度．13．如圖，在菱形中，，為中點，點在延長線上，、分別為、中點，，，則_____．【答案】4【分析】連接CG，過點C作CM

AD，交AD的延長線于M，利用平行線的性質(zhì)和三角形中位線定理可得CG=

2HF=

，由ABCD，得CDM=

A=

60°，設(shè)DM=

x，則CD=

2x，CM=x，在Rt△CMG中，借助勾股定理得，即可求出x的值，從而解決問題．【解析】如圖，連接CG，過點C作CM

AD，交AD的延長線于M，F(xiàn)、H分別為CE、GE中點，F(xiàn)H是△CEG的中位線，HF=CG，四邊形ABCD是菱形，

ADBC，ABCD，DGE

=E，EHF=

DGE，E=EHF，HF

=

EF

=

CF，CG=

2HF

=，ABCD，CDM=

A

=

60°，設(shè)DM=x，則CD=

2x，CM=x，點G為AD的中點，DG=

x，GM=2x，在Rt△CMG中，由勾股定理得：，x=2，AB

=

CD=

2x=

4．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理等知識，有一定綜合性，作輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用方程思想是解題的關(guān)鍵．14．如圖，四邊形是菱形，點、分別在邊、的延長線上，且．連接、．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根據(jù)SAS證明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，∴∠CDF=∠CBE，在△BEC和△DFC中，，∴△BEC≌△DFC（SAS），∴CE=CF．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)菱形得到判定全等的條件．15．如圖，在中，的角平分線交于點D，．（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）若，且，求四邊形的面積．【答案】（1）菱形，理由見解析；（2）4【分析】（1）根據(jù)DE∥AB，DF∥AC判定四邊形AFDE是平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可證明；（2）根據(jù)∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根據(jù)對角線AD求出邊長，再根據(jù)面積公式計算即可．【詳解】解：（1）四邊形AFDE是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AFDE是平行四邊形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四邊形AFDE是菱形；（2）∵∠BAC=90°，∴四邊形AFDE是正方形，∵AD=，∴AF=DF=DE=AE==2，∴四邊形AFDE的面積為2×2=4．【點睛】本題考查了菱形的判定，正方形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握特殊四邊形的判定方法．16．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O的直線EF與BA、DC的延長線分別交于點E、F．（1）求證：AE＝CF；（2）請再添加一個條件，使四邊形BFDE是菱形，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法證明，則可得到AE＝CF；（2）連接BF，DE，由，得到OE=OF，又AO=CO，所以四邊形AECF是平行四邊形，則根據(jù)EF⊥BD可得四邊形BFDE是菱形．【詳解】證明：（1）∵四邊形是平行四邊形∴OA＝OC，BE∥DF∴∠E＝∠F在△AOE和△COF中∴∴AE＝CF（2）當EF⊥BD時，四邊形BFDE是菱形，理由如下：如圖：連結(jié)BF，DE∵四邊形是平行四邊形∴OB＝OD∵∴∴四邊形是平行四邊形∵EF⊥BD，∴四邊形是菱形【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定等知識點，熟悉相關(guān)性質(zhì)，能全等三角形的性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．題型二矩形的性質(zhì)判定及其應(yīng)用17．如圖，矩形的對角線，交于點，，，過點作，交于點，過點作，垂足為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性質(zhì)得出AO=5，證明得到OE的長，再證明可得到EF的長，從而可得到結(jié)論．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，，，，，，，，，又，，，，，，，同理可證，，，，，，故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．18．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，點E為BC上一點，把△CDE沿DE翻折，點C恰好落在AB邊上的F處，則CE的長是（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)CE=x，則BE=3-x由折疊性質(zhì)可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．【詳解】解：設(shè)CE=x，則BE=3-x，由折疊性質(zhì)可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，∴AF=，∴BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，即(3-x)2+12=x2，解得x=，故選：D．【點睛】本題考查了與矩形有關(guān)的折疊問題，熟練掌握矩形的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．19．如圖，在矩形中，對角線，相交于點，點，分別是，的中點，連接，若，，則的長是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由勾股定理求出BD的長，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OD的長，最后根據(jù)三角形中位線定理得出EF的長即可．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB，∵，，∴AC=∴BD=10cm，∴，∵點，分別是，的中點，∴．故選：D．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．20．如圖1，動點P從矩形ABCD的頂點A出發(fā)，在邊AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度勻速運動到點C，的面積S（cm2）隨運動時間t（s）變化的函數(shù)圖象如圖2所示，則AB的長是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖象2可知，點P從B到C的運動時間為4s，則由動點P的運動速度可求出BC的長，再根據(jù)圖象可知的面積為6cm2，即可利用面積公式求解此題．【解析】解：∵動點P從A點出發(fā)到B的過程中，S隨t的增大而增大，動點P從B點出發(fā)到C的過程中，S隨t的增大而減小．∴觀察圖象2可知，點P從B到C的運動時間為4s，∵點P的運動速度為1cm/s，∴BC=1×4=4（cm），∵當點P在直線AB上運動至點B時，的面積最大，∴由圖象2得：的面積6cm2，∴，∴cm．故選：B．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決本題應(yīng)首先看清橫軸和縱軸表示的量．要求能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出所需要的條件，結(jié)合實際意義得到正確的結(jié)論．21．如圖，將矩形紙片ABCD的兩個直角進行折疊，使CB，AD恰好落在對角線AC上，B′，D′分別是B，D的對應(yīng)點，折痕分別為CF，AE．若AB＝4，BC＝3，則線段的長是（）A． B．2 C． D．1【答案】D【分析】先利用矩形的性質(zhì)與勾股定理求解再利用軸對稱的性質(zhì)求解，從而可得答案.【解析】解：矩形紙片ABCD，由折疊可得：同理：故選：【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.22．如圖，在矩形紙片ABCD中，，，M是BC上的點，且．將矩形紙片ABCD沿過點M的直線折疊，使點D落在AB上的點P處，點C落在點處，折痕為MN，則線段PA的長是（）

A．4 B．5 C．6 D．【答案】B【分析】連接PM，證明即可得到，PA=5．【解析】連接PM∵矩形紙片ABCD中，，，∴∵∴∵折疊∴,∴∵PM=PM∴∴∴故選B．【點睛】本題考查矩形的折疊問題，解題的關(guān)鍵是看到隱藏條件，學(xué)會利用翻折不變性解決問題．23．如圖，在矩形中，，點E，F(xiàn)分別在邊上，且，按以下步驟操作：第一步，沿直線翻折，點A的對應(yīng)點恰好落在對角線上，點B的對應(yīng)點為，則線段的長為_______；第二步，分別在上取點M，N，沿直線繼續(xù)翻折，使點F與點E重合，則線段的長為_______．【答案】1【分析】連接AF，NE，NF，證明出△AOE△ADC，利用對應(yīng)邊成比例求出OE=，再根據(jù)勾股定理求出的長，利用勾股定理求出EF，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到NF=NE，最后得出結(jié)果．【詳解】解：如圖所示，連接AF，NE，NF，∵點F與點E重合，∴MN⊥EF，設(shè)EF與AA’交于點O，由折疊的性質(zhì)得到OA=OA’=3，令BF=x，則FC=8-x,由勾股定理的：，∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC∴△AOE△ADC，∴，由勾股定理得到：AC=，∴，∴OE=，∴OA=，∴OC=，∵，∴，解得：,∴的長為1．設(shè)B’N=m，B’F=1，則，解得：m=1，則FN=，∵EF=，∴MF=，∴MN=，故答案為：1，．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于畫出圖形，利用三角形相似和勾股定理求出各邊的長度，特別注意點F與點E重合用到垂直平分線的性質(zhì)．24.如圖，矩形中，，，對角線的垂直平分線交于點、交于點，則線段的長為__．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出BD，證明△BOF∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，求出EF即可．【解析】解：如圖：四邊形是矩形，，又，，，是的垂直平分線，，，又，，，，解得，，四邊形是矩形，，，，是的垂直平分線，，，在和中，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，掌握矩形的四個角是直角、對邊相等以及線段垂直平分線的定義是解題的關(guān)鍵．25.如圖，在矩形中，E為的中點，連接，過點E作的垂線交于點F，交CD的延長線于點G，連接CF．已知，，則_________．【答案】【分析】由題意，先證明△AEF≌△DEG，則EF=EG，，利用等腰三角形的性質(zhì)，求出，然后得到AB=CD=，則，利用勾股定理求出BC，然后得到AE的長度，即可求出FE的長度．【解析】解：根據(jù)題意，在矩形中，則AB=CD，BC=AD，∠A=∠EDG=90°，∵E為的中點，∴AE=DE，∵∠AEF=∠DEG，∴△AEF≌△DEG，∴EF=EG，；∵CE⊥FG，∴，∴AB=CD=，∴，在直角△BCF中，由勾股定理則，∴AD=3，∴，在直角△AEF中，由勾股定理則；故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識，26.如圖，將矩形紙片折疊（），使落在上，為折痕，然后將矩形紙片展開鋪在一個平面上，E點不動，將邊折起，使點B落在上的點G處，連接，若，，則的長為________．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，證明，從而，又因為，代入求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形,，∴,,,且四邊形是正方形，∴，∴，又∵，∴，∴又∵（折疊，∴，,，設(shè),則，∴，又∵是正方形對角線，∴，∴，∴，∴，解得：，即，∴．故答案為：【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，三角形全等等相關(guān)知識點，根據(jù)題意找到等量關(guān)系轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確得到．27.如圖，點E是矩形ABCD邊AD上一點，點F，G，H分別是BE，BC，CE的中點，，則GH的長為________．【答案】3【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】∵在矩形ABCD中，∠BAE=90°，又∵點F是BE的中點，，∴BE=2AF=6，∵G，H分別是BC，CE的中點，∴GH是的中位線，∴GH=BE=×6=3，故答案是：3．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半，是解題的關(guān)鍵．28.如圖，在矩形中，，，點從點出發(fā)，以的速度沿邊向點運動，到達點停止，同時，點從點出發(fā)，以的速度沿邊向點運動，到達點停止，規(guī)定其中一個動點停止運動時，另一個動點也隨之停止運動．當為_____時，與全等．【答案】2或【分析】可分兩種情況：①得到，，②得到，，然后分別計算出的值，進而得到的值．【解析】解：①當，時，，，，，，解得：，，，解得：；②當，時，，，，，解得：，，，解得：，綜上所述，當或時，與全等，故答案為：2或．【點睛】主要考查了全等三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．29.已知：如圖，矩形的對角線相交于點O，．（1）求矩形對角線的長．（2）過O作于點E，連結(jié)BE．記，求的值．【答案】（1）4；（2）【分析】（1）根據(jù)矩形對角線的性質(zhì)，得出△ABO是等腰三角形，且∠BOC=120°，即∠AOB=60°，則△ABO為等邊三角形，即可求得對角線的長；（2）首先根據(jù)勾股定理求出AD，再由矩形的對角線的性質(zhì)得出OA=OD,且OE⊥AD，則AE=AD，在Rt△ABE中即可求得．【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，是等邊三角形，，所以．故答案為：4．（2）在矩形中，．由（1）得，．又在中，．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的對角線性質(zhì)，等邊三角形的判定，等腰三角形的三線合一以及在直角三角形中求銳角正切的知識點，靈活應(yīng)用矩形對角線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30.如圖，點C是的中點，四邊形是平行四邊形．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）如果，求證：四邊形是矩形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)以及點C是BE的中點，得到AD∥CE，AD=CE，從而證明四邊形ACED是平行四邊形；（2）由平行四邊形的性質(zhì)證得DC=AE，從而證明平行四邊形ACED是矩形．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵點C是BE的中點，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四邊形ACED是平行四邊形；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四邊形ACED是平行四邊形，∴四邊形ACED是矩形．【點睛】本題考查了平行四邊形和矩形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．31.如圖，在?ABCD中，E為BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F，連接BF，AC，若AD＝AF，求證：四邊形ABFC是矩形．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到兩角一邊對應(yīng)相等，利用AAS判定△ABE≌△FCE，從而得到AB＝CF；由已知可得四邊形ABFC是平行四邊形，BC＝AF，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，可得到四邊形ABFC是矩形．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E為BC的中點，∴EB＝EC，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵AB∥CF，∴四邊形ABFC是平行四邊形，∵BC＝AF，∴四邊形ABFC是矩形．32.如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E分別是線段BC、AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．（1）求證：△BDE≌△FAE；（2）求證：四邊形ADCF為矩形．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AFE＝∠DBE，根據(jù)線段中點的定義得到AE＝DE，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF＝BD，推出四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADC＝90°，于是得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是線段AD的中點，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE（AAS）；（2）∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD，∵D是線段BC的中點，∴BD＝CD，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四邊形ADCF為矩形．33.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，得到AE＝OE=12AD，推出OE∥FG，求得四邊形（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE=12AD＝5；由（1）知，四邊形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，根據(jù)勾股定理得到AF=【解析】（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，∵E是AD的中點，∴AE＝OE=12∴∠EAO＝∠AOE，∴∠AOE＝∠BAO，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四邊形OEFG是平行四邊形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴四邊形OEFG是矩形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中點，∴OE＝AE=12AD＝由（1）知，四邊形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF=AE∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．題型三正方形的性質(zhì)判定及其應(yīng)用34.如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，M是邊AD上一點，連接OM，過點O做ON⊥OM，交CD于點N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】先證明，再證明四邊形MOND的面積等于，的面積，繼而解得正方形的面積，據(jù)此解題．【詳解】解：在正方形ABCD中，對角線BD⊥AC，又四邊形MOND的面積是1，正方形ABCD的面積是4，故選：C．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．35.如圖，在邊長為3的正方形中，，，則的長是（）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】由正方形的性質(zhì)得出，，由證得，即可得出答案．【解析】解：四邊形是正方形，，，∵在中，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：（負值舍去），，，，，，，，，．故選：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．36.由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形如圖所示．過點作的垂線交小正方形對角線的延長線于點，連結(jié)，延長交于點．若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，設(shè)BH交CF于P，CG交DF于Q，根據(jù)題意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根據(jù)可得BE=PE=PC=PF=DF，根據(jù)正方形的性質(zhì)可證明△FDG是等腰直角三角形，可得DG=FD，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得PH=FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可證明△CPH≌△GDQ，可得PH=QD，即可得出PH=BE，可得BH=，利用勾股定理可用BE表示長CH的長，即可表示出CG的長，進而可得答案．【詳解】如圖，設(shè)BH交CF于P，CG交DF于Q，∵由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形，∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，∵，∴BE=PE=PC=PF=DF，∵∠CFD=∠BPC，∴DF//EH，∴PH為△CFQ的中位線，∴PH=QF，CH=HQ，∵四邊形EPFN是正方形，∴∠EFN=45°，∵GD⊥DF，∴△FDG是等腰直角三角形，∴DG=FD=PC，∵∠GDQ=∠CPH=90°，∴DG//CF，∴∠DGQ=∠PCH，在△DGQ和△PCH中，，∴△DGQ≌△PCH，∴PH=DQ，CH=GQ，∴PH=DF=BE，CG=3CH，∴BH=BE+PE+PH=，在Rt△PCH中，CH==，∴CG=BE，∴．故選：C．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．37.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在CD，AC上，，，則AF的長是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過作的垂線分別交于,由，證明，設(shè)，根據(jù)，求得，在中，利用勾股定理即可求得．【解析】如圖，過作的垂線分別交于，四邊形是正方形，，，四邊形是矩形，，，，，，，四邊形是正方形，，，，在和中，（AAS），，設(shè)，則，，即，解得，，四邊形是正方形，，，，．故選B【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，求得是解題的關(guān)鍵．38.如圖，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角頂點P在正方形ABCD的對角線BD上，點M，N分別在AB和CD邊上，MN與BD交于點O，且點O為MN的中點，則的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．75° D．80°【答案】C【分析】根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形中，∴∠MBO=∠NDO=45°，∵點O為MN的中點∴OM=ON，∵∠MPN=90°，∴OM=OP，∴∠PMN=∠MPO=30°，∴∠MOB=∠MPO+∠PMN=60°，∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，，故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運用相關(guān)性質(zhì)，根據(jù)角的關(guān)系進行計算．39.如圖，矩形AOBC的頂點A、B在坐標軸上，點C的坐標是(﹣10，8)，點D在AC上，將BCD沿BD翻折，點C恰好落在OA邊上點E處，則tan∠DBE等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，C（-10，8），得出BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，再由折疊的性質(zhì)得到CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，利用勾股定理先求出OE的長，即可得到AE，再利用勾股定理求出DE，利用求解即可.【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，C（-10，8），∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，由折疊的性質(zhì)可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，在直角三角形BEO中：，∴，設(shè)，則在直角三角形ADE中：，∴，解得，∴，∵∠DEB=90°，∴，故選D.【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.40.如圖，在正方形ABCD中，，M是AD邊上的一點，．將沿BM對折至，連接DN，則DN的長是（）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】延長MN與CD交于點E，連接BE，過點N作，根據(jù)折疊的正方形的性質(zhì)得到，在中應(yīng)用勾股定理求出DE的長度，通過證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出NF和DF的長度，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，延長MN與CD交于點E，連接BE，過點N作，∵，M是AD邊上的一點，，∴，，∵將沿BM對折至，四邊形ABCD是正方形，∴，，∴(HL)，∴，∴，在中，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，解得，∴，，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等內(nèi)容，做出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．41.如圖，正方形ABCD的邊長為3，E為BC邊上一點，BE＝1.將正方形沿GF折疊，使點A恰好與點E重合，連接AF，EF，GE，則四邊形AGEF的面積為（）A．2 B．2 C．6 D．5【答案】D【分析】作FH⊥AB于H，交AE于P，設(shè)AG=GE=x，在Rt△BGE中求出x，在Rt△ABE中求出AE，再證明△ABE≌△FHG，得到FG=AE，然后根據(jù)S四邊形AGEF=S△AGF+S△EGF求解即可【解析】解：作FH⊥AB于H，交AE于P，則四邊形ADFH是矩形，由折疊的性質(zhì)可知，AG=GE，AE⊥GF，AO=EO．設(shè)AG=GE=x，則BG=3-x，在Rt△BGE中，∵BE2+BG2=GE2，∴12+(3-x)2=x2，∴x=．在Rt△ABE中，∵AB2+BE2=AE2，∴32+12=AE2，∴AE=．∵∠HAP+∠APH=90°，∠OFP+∠OPF=90°，∠APH=∠OPF，∴∠HAP=∠OFP，∵四邊形ADFH是矩形，∴AB=AD=HF．在△ABE和△FHG中，，∴△ABE≌△FHG，∴FG=AE=，∴S四邊形AGEF=S△AGF+S△EGF=====5．故選D．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，以及勾股定理等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．42.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，若將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在點的位置，連接B，過點D作DE⊥，交的延長線于點E，則的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知條件求得,設(shè)，將都表示出含有的代數(shù)式，利用的函數(shù)值求得，繼而求得的值【解析】設(shè)交于點,由題意：是等邊三角形四邊形為正方形∴∠CBF=90°-60°=30°，DE⊥又設(shè)則解得：故選A【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的銳角三角函數(shù)值，靈活運用銳角三角函數(shù)的定義及特殊三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．43.如圖，正方形OABC的邊長為2，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，連接BC′，當點A′恰好落在線段BC′上時，線段BC′的長度是___．【答案】【分析】連接AA′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)和正方形的性質(zhì)得出∠OA′C′=45°，∠BA′O=135°，OA=OA′=AB=2，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件得出旋轉(zhuǎn)角，然后利用三角形的性質(zhì)和勾股定理得出答案；【解析】解：連接AA′，∵將正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，連接BC′，當點A′恰好落在線段BC′∴∠OA′C′=45°，∠BA′O=135°，OA=OA′=AB=2，∴∠OA′A=∠OAA′=，∴∠BAA′=，∴∠ABA′=∠AA′B=，∴∠BA′O=135°=∠AA′B+∠OA′A，∴，∴，∠A′AB=30°，∴△OAA′為等邊三角形，∴AA′=AB=2，過點A′作A′E⊥AB于E，∵∠A′AB=30°，則A′E=，AE=，∴BE=，∴A′B=，∵A′C′=，∴BC′=A′B+A′C′=；故答案為：【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是得出旋轉(zhuǎn)角得出△OAA′為等邊三角形．44.已知的三個頂點都是同一個正方形的頂點，的平分線與線段交于點D．若的一條邊長為6，則點D到直線的距離為__________．【答案】3或或或【分析】將△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分別分AB=BC=6，AC=6，進行解答．【詳解】解：∵△ABC三個頂點都是同一個正方形的頂點，如圖，若∠ABC=90°，則∠ABC的平分線為正方形ABCD的對角線，D為對角線交點，過點D作DF⊥AB，垂足為F，當AB=BC=6，則DF=BC=3；當AC=6，則AB=BC==，∴DF=BC=；如圖，若∠BAC=90°，過點D作DF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，AD=DF，又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD，∴△BAD≌△BFD（AAS），∴AB=BF，當AB=AC=6，則BC=，∴BF=6，CF=，在正方形ABEC中，∠ACB=45°，∴△CDF是等腰直角三角形，則CF=DF=AD=；當BC=6，則AB=AC==，同理可得：，綜上：點D到直線AB的距離為：3或或或，故答案為：3或或或．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，知識點較多，解題時要結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，分情況解答．45.如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF為等腰直角三角形，∠ECF＝90°，點E在BC上，點F在CD上，N為EF的中點，連結(jié)NA，以NA，NF為鄰邊作□ANFG．連結(jié)DG，DN，將Rt△ECF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（0°≤≤360°）．（1）如圖1，當＝0°時，DG與DN的關(guān)系為____________________；（2）如圖2，當時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）在Rt△ECF旋轉(zhuǎn)的過程中，當□ANFG的頂點G落