人教A數(shù)學必修二教案3.3.1 兩條直線的交點坐標

3.3.1兩條直線的交點坐標

【教學目標】

1.掌握兩直線方程聯(lián)立方程組解的情況與兩直線不同位置的對立關系，并且會通過直線

方程系數(shù)判定解的情況，

2.，當兩條直線相交時，會求交點坐標.

3.學生通過一般形式的直線方程解的討論，加深對解析法的理解，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化能力.

【重點難點】

教學重點:根據(jù)直線的方程判斷兩直線的位置關系和已知兩相交直線求交點.

教學難點:對方程組系數(shù)的分類討論與兩直線位置關系對應情況的理解.

【教學過程】

導入新課

問題1.作出直角坐標系中兩條直線，移動其中一條直線，讓學生觀察這兩條直線的位置

關系.

課堂設問：由直線方程的概念，，我們知道直線上的一點與二元一次方程的解的關系，

那如果兩直線相交于一點，這一點與這兩條直線的方程有何關系？你能求出它們的交點坐標

嗎？說說你的看法.

問題2.你認為該怎樣由直線的方程求出它們的交點坐標?這節(jié)課我們就來研究這個問題.

新知探究

提出問題

①已知兩直線h:AIX+BIy+C1=0上:A2X+B2y+C2=0,如何判斷這兩條直線的關系？

②如果兩條直線相交，怎樣求交點坐標？交點坐標與二元一次方程組有什關系？

③解下列方程組(由學生完成)：

2x—6y+3=0,2x—6y-0,

3x+4y—2=0,

(i)<一八；(ii)<11；11?

2x+y+2=0y=—x+~y=-x+—

如何根據(jù)兩直線的方程系數(shù)之間的關系來判定兩直線的位置關系？

④當入變化時，方程3x+4y-2+M2x+y+2尸0表示什么圖形，圖形有什么特點？求出圖形

的交點坐標.

討論結(jié)果：①教師引導學生先從點與直線的位置關系入手，看下表，并填空.

幾何元素及關系代數(shù)表示

點、AA(a,b)

直線11：Ax+By+C=0

點A在直線上

直線h與L的交點A

②學生進行分組討論，教師引導學生歸納出兩直線是否相交與其方程所組成的方程組的

關系.

2

設兩條直線的方程是h：A|X+Biy+G=0,12：A2X+B2y+C2=0,

如果這兩條直線相交，由于交點同時在這兩條直線上,交點的坐標一定是這兩個方程的唯

一公共解,那么以這個解為坐標的點必是直線h和12的交點，因此，兩條直線是否有交點，就要

fA.x4~Biy+Ci=0,

看這兩條直線方程所組成的方程組《111是否有唯一解.

[&x+B,y+C]=0

(i)若二元一次方程組有唯一解，則I.與L相交；

(ii)若二元一次方程組無解，則h與12平行；

(iii)若二元一次方程組有無數(shù)解，則1.與卜重合.即

[唯一解，、人相交，

轉(zhuǎn)化

直線1卜12聯(lián)立得方程組《無窮多解2重合，

無解小人平行-

(代數(shù)問題)(幾何問題)

③引導學生觀察三組方程對應系數(shù)比的特點：

.34..2-63...2-61

3232

一般地，對于直線h：Aix+Biy+G=0,L：A2x+B2y+C2=0(ABC￥0,A2B2c2邦),有

AR

唯一解。土中區(qū)0乙4相交，

2T，2^^2

4x+4y+C[=0

方程組《無窮多解o%=@=0Lo/4重合，?

A2x+B2y+C2=0A282c2

ARC

無解==平行.

482c2

注意：(a)此關系不要求學生作詳細的推導,因為過程比較繁雜，重在應用.

(b.)如果A|,A2B,B2,G,C2中有等于零的情況，方程比較簡單，兩條直線的位置關系很

容易確定.

④(a)可以用信息技術，當X取不同值時，通過各種圖形，經(jīng)過觀察，讓學生從直觀上

得出結(jié)論，同時發(fā)現(xiàn)這些直線的共同特點是經(jīng)過同一點.

(b)找出或猜想這個點的坐標，代入方程，得出結(jié)論.

(c)結(jié)論：方程表示經(jīng)過這兩條直線1,與12的交點的直線的集合.

應用示例

例1求下列兩直線的交點坐標,h：3x+4y-2=0/2：2x+y+2=0.

3x+y-2=0,

解:解方程組4-得x=-2,y=2,所以h與12的交點坐標為M(-2,2).

2尤+y+2=0,

變式訓練

求經(jīng)過原點且經(jīng)過以下兩條直線的交點的直線方程小:x-2y+2=0,L：2x-y-2=0.

解:解方程組x-2y+2=0,

2x-y-2=0,

3

得x=2,

丫=2,所以11與12的交點是(2,2).

設經(jīng)過原點的直線方程為y=kx,把點(2,2)的坐標代入以上方程，得k=l,所以所求直線方程為

y=x.

點評:此題為求直線交點與求直線方程的綜合運用，求解直線方程也可應用兩點式.

例2判斷下列各對直線的位置關系.如果相交，求出交點坐標.

(1)11：x-y=O,h：3x+3y-10=0.

(2)li：3x-y+4=0,h：6x-2y-l=0.

(3)li：3x+4y-5=0,b：6x+8y-10=0.

活動：教師讓學生自己動手解方程組，看解題是否規(guī)范，條理是否清楚，表達是否簡潔,

然后再進行講評.

5

解：(1)解方程組尸一''=°'

得《

3x+3y—10=0,5

y=-

3

所以h與L相交,交點是(9,9).

33

3x—y+4=0,(1)

(2)解方程組＜

6x-2y—1=0,⑵

①x2-②得9=0,矛盾，

方程組無解，所以兩直線無公共點5//12.

3x+4y-5=0,⑴

(3)解方程組《

6x+8y-10=0,⑵

①x2得6x+8y-10=0.

因此，①和②可以化成同一個方程,即①和②表示同一條直線,h與L重合.

變式訓練

判定下列各對直線的位置關系，若相交，則求交點.

(l)h:7x+2y-l=0,h：14x+4y-2=0.

(2)li:(A/3-V2)x+y=7,L：x+(V3+V2)y-6=0.

(3)li:3x+5y-1=0,b：4x+3y=5.

答案：(1.)重合，(2)平行，(3)相交，交點坐標為(2,-1).

例3求經(jīng)過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點且與直線3x+y-l=0平行的直線方程.

思路解析：根據(jù)本題的條件，一種思路是先求出交點坐標，再設所求直線的點斜式方程

求出所要求的直線方程；另一種思路是利用直線系(平行系或過定點系)直接設出方程，根據(jù)

條件求未知量，得出所求直線的方程.

4

3

X=-,

2x》-3=。，得5

解：(方法一)由方程組

x+y+2=0,7

直線1和直線3x+y-l=0平行，

二直線1的斜率k=-3.

73

，根據(jù)點斜式有y-(—二)=-3Lx-(——

即所求直線方程為15x+5y+16=0.

(方法二)?..直線I過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點,

.,.設直線1的方程為2x-3y-3+X(x+y+2)=0,

即俱+2)x+(b3)y+2M3=0.

；直線1與直線3x+y-l=0平行,

,2+22-322-3.解得右U.

-------豐

31-12

從而所求直線方程為l5x+5y+16=0.

點評：考查熟練求解直線方程，注意應用直線系快速簡潔解決問題。

變式訓練

求經(jīng)過兩條直線/i：x+y-4=0和/2：x-y+2=0的交點，且與直線2x-y-l=0垂直的直線方程

例4求證：不論m取什么實數(shù)，直線(2m-l)x+(m+3)y-(m-ll)=0都經(jīng)過一個定點，并求

出這個定點的坐標.

思路解析：題目所給的直線方程的系數(shù)含有字母m,給m任何一個實數(shù)值，就可以得

到一條確定的直線，因此所給的方程是以m為參數(shù)的直線系方程.要證明這個直線系中的直

線都過一定點，就是證明它是一個共點的直線系，我們可以給出m的兩個特殊值，得到直

線系中的兩條直線，它們的交點即是直線系中任何直線都過的定點.

另一個思路是：由于方程對任意的m都成立，那么就以m為未知數(shù)，整理為關于m的一元

一次方程，再由一元一次方程有無數(shù)個解的條件求得定點的坐標.

解：解法一:對于方程(2m-l)x+(m+3)y-(m-l1)=0,令m=0,得x-3y-ll=0；令m=l,得

x+4y+10=0.解方程組jx+：y+]0_0得兩條直線的交點為⑵-3).將點(2,-3)代入已知直

線方程左邊，

得(2m-1)x2+(m+3)x(-3)-(m-11A4m-2-3m-9-m+11=0.

這表明不論m為什么實數(shù)，所給直線均經(jīng)過定點(2,-3).

解法二：將己知方程以m為未知數(shù)，整理為(2x+y-l)m+(-x+3y+11)=0.

2x+y-1=0,x=2,

由于m的取值的任意性,解得《

-x+3y+ll=0.,y=-3.

所以所給直線不論m取什么實數(shù)，均經(jīng)過定點(2,-3)

點評含參直線過定點問題的解題思路有二：一是曲線過定點，即與參數(shù)無關，則參數(shù)

的同次基.的系數(shù)為0,從而求出定點；二是分別令參數(shù)為兩個特殊值，得方程組，求出點的

坐標，代入原方程滿足，則此點為所求定點

5

變式訓練當a為任意實數(shù)時，直線(a-l)x-y+2a+l=0經(jīng)過的定點是()

A.(2,3)B.(-2,3)

D.(-2,0)

2

x+2=0x——2

解析：直線方程可化為a(x+2)-x-y+l=0,由＜'得＜'定點(-2,3).

-x—y+l=O[y=3.

答案：B

課堂小結(jié)

本節(jié)課通過討論兩直線方程聯(lián)立方程組來研究兩直線的位置關系，得出了方程系數(shù)比

的關系與直線位置關系的聯(lián)系.培養(yǎng)了同學們的數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.通

過本節(jié)學習，要求學生掌握兩直線方程聯(lián)立方程組解的情況與兩直線不同位置的對立關系，

并且會通過直線方程系數(shù)判定解的情況，培養(yǎng)學生樹立辯證統(tǒng)一的觀點.當兩條直線相交時，

會求交點坐標.注意語言表述能力的訓練.通過一般形式的直線方程解的討論，加深對解析法

的理解，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化能力.以“特殊”到“一般”，培養(yǎng)探索事物本質(zhì)屬性的精神，以及運動變化的

相互聯(lián)系的觀點.

當堂檢測

導學案課內(nèi)探究部分

【板書設計】

一、兩條直線的交點坐標

二、例題

例1

變式1

例2

變式2

【作業(yè)布置】

課本習題3.3A組1、2、3,選做4題.及導學案課后練習與提高

3.3.1兩條直線的交點坐標

3.3.2

課前預習學案

一、預習目標

根據(jù)直線的方程判斷兩直線的位置關系和己知兩相交直線求交點

二、預習內(nèi)容

1、閱讀課本102-104,找出疑惑之處。同學們，通過你的自主學習，你還有那些疑惑,

6

請?zhí)钤谙旅娴谋砀裰?/p>

疑惑點疑惑內(nèi)容

2、知識概覽

①兩直線相交，則交點同時在這兩條直線上，交點的坐標一定是兩直線方程的解,若兩直

線的方程組成的方程組只有一個公共解，則以這個解為坐標的點必是兩直線的交點.

②兩直線Aix+Biy+Ci=O與A2x+B2y+C2=0的交點情況，取決于方程組

A1|X+B”,y+C,1=0,的解的情況.

A2X+B2y+C2=0

若方程組4Ax+B,y+C',-0,有唯一解，則兩直線相交.

A2X+B2y+C2=0

Ax+y+C,=0,

若方程組41171無解，則兩直線,平行.

&工+為y+G=。

Ax+y+C,=0,

若方程組《111有無數(shù)個解，則兩直線重合.

4%+B2y+C2=0

3、思考當入變化時，方程3x+4y-2+M2x+y+2)=0表示什么圖形？圖形有何特點？

三.提出疑惑

同學們，通過你的自主學習，你還有那些疑惑，請?zhí)钤谙旅娴谋砀裰?/p>

疑惑點疑惑內(nèi)容

7

課內(nèi)探究學案

一、學習目標

1.掌握判斷兩條直線相交的方法，會通過解方程組求兩條直線的交點坐標；

2.了解過兩條直線交點的直線系方程的問題.

教學重點:根據(jù)直線的方程判斷兩直線的位置關系和已知兩相交直線求交點.

教學難點:對方程組系數(shù)的分類討論與兩直線位置關系對應情況的理解.

二、學習過程

自主學習

【知識點一】、兩條直線的交點

如果兩條直線相交，則交點坐標分別適合兩條直線的方程，即(

);把兩條直線的方程組成方程組，若方程組有()解，則兩條

直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組()，則兩條直線無公共點，此時兩條直線

平行；若方程組有()，則兩條直線有無數(shù)個公共點，此時兩條直線重合.

【知識點二】、直線系方程

具有某一共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，表示直線系的方程叫做直線系方程.

方程的特點是除含坐標變量x、y以外，還含有待定系數(shù)(也稱參變量).

(1)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線直A|X+Biy+Ci=O,12：A2X+B2y+C2=0交點的直線方

程為Aix+Biy+G+MA2x+B2y+C2)=0,其中入是待定系數(shù).在這個方程中，無論入取什么實數(shù)，

都得不到A2x+B2y+C2=0,因此它不能表示直線12.

(2)平行直線系：與直線Ax+By+C=O平行的直線系方程是()，九是參變量.

(3)垂直直線系方程：與Ax+By+C=O(A#),B#))垂直的直線系方程是()

(4)特殊平行線與過定點(xo,yo)的直線系：當斜率k一定而m變動時，()表示斜

率為k的平行線系，()表示過定點(xo,yo)的直線系(不含直線x=xo).

問題設兩條直線的方程為h：Aix+Biy+Ci=O和b：A2x+B2y+C2=0,如果這兩條直線相

交，你能分析它們的系數(shù)滿足什么關系嗎？

A.x+B,y+C,=0(1),

探究:我們可以先解由兩直線方程聯(lián)立的方程組11'

A2X+B2y+C2=0(2).

①XB2-②xBi,得(A1B2-A2Bi)x+B2cl?B(2=0.

當A1B2-A2B1知時，得x=BIG-GB、；再由①XA2-②xAl，當A山2-A2B1和時，可

4魚一&用

得y=4c二4c4因此,當A1B2-A2B1用時，方程組有唯一一組解x、y.

A】B2—A＞耳

這時兩條直線相交，交點的坐標就是(x,y).因此這兩條直線相交時，系數(shù)滿足的關系為

A1B2-A2B1/O.

精講點撥

例1求下列兩直線的交點坐標,h：3x4-4y-2=0,h：2x+y+2=0.

8

變式訓練

求經(jīng)過原點且經(jīng)過以下兩條直線的交點的直線方程.kx-2y+2=0,l2：2x-y-2=0.

例2判斷下列各對直線的位置關系.如果相交，求出交點坐標.

(l)li：x-y=O,h：3x+3y-10=0.

(2)li：3x-y+4=0,h：6x-2y-l=0.

(3)h：3x+4y-5=0,I2：6x+8y-10=0.

變式訓練

判定下列各對直線的位置關系，若相交，則求交點.

(1)11:7x+2y-l=0,L：14x+4y-2=0..

(2)li：(V3-V2)x+y=7,L：x+(6+V2)y-6=0.

(3)h：3x+5y-l=0,L：4x+3y=5.

問題當入變化時，方程3x+4y-2+M2x+y+2)=0表示什么圖形？圖形有何特點？

例3求經(jīng)過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點且與直線3x+.y-l=0平行的直線方程.

變式訓練

求經(jīng)過兩條直線/i：x+y-4=0和/2：x-y+2=0的交點，且與直線2x-y-l=0垂直的直線方程.

例4求證：不論m取什么實數(shù)，直線(2m-l)x+(m+3)y-(m-l1)=0都經(jīng)過一個定點，并求

出這個定點的坐標

9

變式訓練當a為任意實數(shù)時，直線(a-l)x-y+2a+l=0經(jīng)過的定點是()

A.(2,3)B.(-2,3)

D.(-2,0)

2

反思總結(jié)1.兩條直線的交點。直線相交的問題轉(zhuǎn)化為求方程組的解的問題，且解的個

數(shù)決定兩條直線的位置關系.兩直線的交點坐標對應的就是兩直線方程所組成方程組的解.

2.直線系方程。如果在求直線方程的問題中，有一個己知條件，另一個條件待定時，可選用

直線系方程來求解.

當堂檢測

1.兩條直線/i：2x+3y-m=0與，2：x-my+12=0的交點在y軸上，那么m的值為()

A.-24B.6C.±6D.以上答案均不對

2.無論k為何值，直線出+2江+(1*)廣41<-5=()都過一個定點，則定點坐標為()

A.(l,3)B.(-l,3)C.(3,l)D.(3,-l)

3.求經(jīng)過兩條直線/,:x+y-4=0和/2：x-y+2=0的交點，且與直線2x-y-l=0

平行直線方程.

參考答案

m19

1.解析：/i：2x+3y?m=0在y軸上的截距為一，/2：x-my+12=0在y軸上的截距為一，根據(jù)

3m

兩直線的交點在y軸上得1上2=2/77=m=±6.

m3

答案：C

2.思路解析:直線方程展開按是否含參數(shù)k合并同類項，得(2x+y-5)+k(x-y-4)=0,由直線系

xv—x—3

方程,知此直線過兩直線的交點，即為《-’解得《一’

2x+y-5=0.[y=-1.

交點為(3,?1).

"十'一4=0得x—1,

3.解析:由.

x—y+2=0,

與/2的交點為(1,3).

(1)解法一：設與直線2x-y-l=0平行的直線為2x-y+c=0,則2-3+c=0,；.c=L

.,.所求直線方程為2x-y+l=0.

解法二：?.?所求直線的斜率k=2,且經(jīng)過點(1,3),...所求直線方程為y-3=2(x-l),

即2x-y+l=0.

10

課后鞏固練習與提高

知能訓練

課本本節(jié)練習]、2.

拓展提升

1.已知直線mx+4y-2=0與2x-5y+n=0互相垂直，垂足為(l,p),則m-n+p為()

A.24B.20C.OD.-4

2.已知點P(-1,O),Q(1,O),直線y=-2x+b與線段PQ相交，則b的取值范圍是()

A.[-2,2]B.L-1,11C.L--,-]D.[0,2]

22

3.三條直線x+y=2、x-y=0、x+ay=3構(gòu)成三角形，求a的取值范圍.

4.已知兩直線li：x+my+6=0,h：(m—2)x+3y+2m=0,當m為何值時，直線1)與h：

①相交；②平行；③重合；④垂直.

5.三條直線li：ax+y+l=0,L：x+ay+l=0j3：x+y+a=0構(gòu)成三角形的條件是什么？

參考答案

陽+4p-2=0,m-10,

L解析：由條件知＜2—5〃+甩=0,得＜%=—12,

答案：B

2.解析：PQ直線方程為v=0,由+得交點(鄉(xiāng)，0).由-1W2m得-2或二.

1^=022

答案：A

3.思路解析:考查兩直線的位置關系和兩直線交點的求法.

解:要使三條直線構(gòu)成三角形，則三條直線有三個不同的交點，即必須滿足；互不平行、兩

兩不重合、三條直線丕共點.

(1)由兩直線平行的條K可知：當a=l時，直線x^y=2和直線發(fā)蕊=3平行；當a=-l時，直

線x?v=0和直線x-ay=3平行.

x+v=2

(2)由1,'可得直線x+y=2和直線x-y=O的交點坐標為(1,1).若三線共點，則點(1,

x-y=0,

1)在直線x+ay=3上，

所以有l(wèi)+a=3.解得a=2.

綜上，可知a滿足的條件為a￡{-1,1,2).

II

,、、x++6=0,

4.解:聯(lián)立方程組1my

(m-2)x+3y+2m=0.

(1)當m=0時,則h：x+6=0,h：—2x+3y=0,，h、C相交.

當m=2時，則h：x+2y+6=0,h：