湖北省荊門市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)水平檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省荊門市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)水平檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知?jiǎng)t()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，①當(dāng)集合中的時(shí)，，，即，故此時(shí)，②當(dāng)集合中的時(shí)，，，即，此時(shí)，綜上所述，.故選：A.2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?故選：B.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在上連續(xù)，因?yàn)?，，所以，所以函?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：B.4.“”是“且”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗可令，，，則滿足，但“且”不成立，所以“”不是“且”的充分條件；根據(jù)不等式的性質(zhì)：由且，可得：，所以“”是“且”的必要條件.故選：A.5.“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫(xiě)折扇的詩(shī)句，折扇出人懷袖，扇面書(shū)畫(huà)，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以有“懷袖雅物”的別號(hào).當(dāng)折扇所在扇形的圓心角為時(shí)，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時(shí)折扇所在扇形的弦長(zhǎng)與弧長(zhǎng)之比為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，如圖，取的中點(diǎn)，圓心角為，則，所以弦，又弧長(zhǎng)，所以弦長(zhǎng)與弧長(zhǎng)之比為.故選：C.6.已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在的值域是，因?yàn)楹瘮?shù)的值域是，所以當(dāng)時(shí)的函數(shù)值域應(yīng)該包含，即.故選：B.7.古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書(shū)中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時(shí)，左臂長(zhǎng)與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臀長(zhǎng)與右盤物品質(zhì)量的乘積，某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長(zhǎng)）稱黃金，某顧客要購(gòu)買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得黃金（）A.大于 B.小于 C.大于等于 D.小于等于〖答案〗A〖解析〗由于天平的兩臂不相等，故可設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為（不妨設(shè)），先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為，由杠桿的平衡原理：，，解得，，則，下面比較與10的大?。海ㄗ鞑畋容^法）因?yàn)?，因?yàn)?，所以，即，所以這樣可知稱出的黃金質(zhì)量大于.故選：A.8.已知定義在R上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則方程在內(nèi)的所有根之和為（）A12 B.6 C.4 D.2〖答案〗A〖解析〗定義在R上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，函數(shù)的周期為4，又當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)在上的圖像如圖所示：方程在內(nèi)的所有根之和即為函數(shù)與函數(shù)的圖像在上所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，如圖所示，兩函數(shù)圖像在上有四個(gè)交點(diǎn)，令橫坐標(biāo)分別為，且，，所以函數(shù)與函數(shù)的圖像在上所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為12.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列計(jì)算結(jié)果為有理數(shù)的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗因?yàn)闉橛欣頂?shù)；為有理數(shù)；為有理數(shù)；為無(wú)理數(shù).故選：ABC.10.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗由，故A正確；，故C正確；，故D錯(cuò)誤；因?yàn)椋詾榈谝换虻谌笙藿?，若為第一象限角，則，所以；若為第三象限角，則，所以，所以B錯(cuò)誤.故選：AC.11.關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）A.是偶函數(shù) B.在區(qū)間單調(diào)遞減C.的最大值為2 D.的周期為〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，且，所以為偶函數(shù)，故A對(duì)；當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)的圖象如下：所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)；的最大值為，故C對(duì)；由圖象可知，函數(shù)不是周期函數(shù)，故D錯(cuò).故選：AC.12.生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水會(huì)更甜.于是得出一個(gè)不等式：，趣稱之為“糖水不等式”.根據(jù)“榶水不等式”判斷下列命題一定正確的是（）A.若，，則B.C.若，，為三條邊長(zhǎng)，則D.若，，為三條邊長(zhǎng)，則〖答案〗BCD〖解析〗A：由糖水不等式得：，時(shí)，，故A錯(cuò)誤；B：，故B正確；C：，故C正確；D：，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，則________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為奇函數(shù)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為偶函數(shù)，所以.故〖答案〗為：.14.若，，且，則的最小值是____________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），所以，所以，所以，所以，所以的最小值為.故〖答案〗為：.15.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是__________〖答案〗〖解析〗依題意，由可得，即的值域?yàn)?，所以函?shù)的值域是.故〖答案〗為：.16.函數(shù)定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，都有，則的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗由，當(dāng)時(shí)，；設(shè)，則，所以；設(shè)時(shí)，則，所以，由，即或，由圖象可得：，都有，故.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集?（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）依題意：整理得，，當(dāng)時(shí)，，∴.（2）∵，∴根據(jù)題意得：，解得：，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知.（1）化簡(jiǎn)；（2）若為第三象限角，且，求，.解：（1）.（2）∵為第三象限角，∴，又因?yàn)?，故?19.已知函數(shù).（1）求的定義域，并判斷其奇偶性；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明.解：（1）要使函數(shù)有意義，可得，解得且，故函數(shù)的定義域?yàn)?，故，∴，又定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為奇函數(shù).（2）時(shí)，，判斷：在單調(diào)遞增，下用定義法證之：任取，且，，由得，，，故，即，故在單調(diào)遞增.20.已知函數(shù).（1）求在上的值域；（2），若對(duì)，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），，令，設(shè)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∵，∴的值域?yàn)?（2）設(shè)的值域?yàn)榧?，的值域?yàn)榧希鶕?jù)題意可得：，由（1）有，又，所以在上單調(diào)遞增，∵，，∴，由得，解得：，∴的取值范圍是.21.環(huán)保生活，低碳出行，電動(dòng)汽車正成為人們購(gòu)車的熱門選擇.某型號(hào)電動(dòng)汽車，在一段平坦的國(guó)道進(jìn)行測(cè)試，國(guó)道限速.經(jīng)多次測(cè)試得到，該汽車每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的下列數(shù)據(jù)：01040600132544007200為了描述國(guó)道上該汽車每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，.（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合表格所列數(shù)據(jù)實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)〖解析〗式；（2）現(xiàn)有一輛同型號(hào)汽車從地駛到地，前一段是的國(guó)道，后一段是的高速路，若已知高速路上該汽車每小時(shí)耗電量（單位：）與速度的關(guān)系是：（），則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？解：（1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，它無(wú)意義，所以不合題意；對(duì)于，它顯然是個(gè)減函數(shù)，這與矛盾；故選擇，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，有，解得，當(dāng)時(shí)，.（2）國(guó)道路段長(zhǎng)為，所用時(shí)間為，所耗電量為：，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，；高速路段長(zhǎng)為，所用時(shí)間為，所耗電量為，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，故當(dāng)這輛車在國(guó)道上的行駛速度為，在高速路上的行駛速度為時(shí)，該車從地到地的總耗電量最少，最少為.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）對(duì)于函數(shù)，若，，，，，為某一三角形的三邊長(zhǎng)，則稱為“