浙江省Z20名校聯(lián)盟（名校新高考研究聯(lián)盟）2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省Z20名校聯(lián)盟（名校新高考研究聯(lián)盟）2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第I卷一?單項選擇題1.若集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，解得，則，故，故選：C2.已知是關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的一個根，則（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗因為是關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的一個根，所以，整理得到:即，故選：D.3.已知向量，向量在向量上的投影向量（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為向量，所以向量在向量上的投影向量，故選：C4.已知直線交圓于兩點，設(shè)甲：，乙：，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件〖答案〗A〖解析〗圓的圓心為，半徑為，當時，直線，則到直線的距離為，此時，而，即為正三角形，故；當時，為正三角形，則C到的距離為，即圓心C到直線距離為，解得或，即當時，不一定推出，故甲是乙的充分條件但不是必要條件，故選：A5.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以，，所以為等差數(shù)列，且公差為1，首項為1，故，即，故選：B6.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域為，且，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.7.已知，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于，則，而，故，由，可得，則，故，故選：D.8.假設(shè)變量與變量的對觀測數(shù)據(jù)為，兩個變量滿足一元線性回歸模型.要利用成對樣本數(shù)據(jù)求參數(shù)的最小二乘估計，即求使取最小值時的的值，則（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗因為，上式是關(guān)于的二次函數(shù)，因此要使取得最小值，當且僅當?shù)娜≈禐?故選：A.二?多項選擇題9.為了了解某公路段汽車通過的時速，隨機抽取了200輛汽車通過該公路段的時速數(shù)據(jù)，進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），繪制成頻率分布直方圖，“根據(jù)直方圖，以下說法正確的是（）A.時速在的數(shù)據(jù)有40個B.可以估計該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是65C.時速在的數(shù)據(jù)的頻率是0.07D.可以估計汽車通過該路段的平均時速是〖答案〗AD〖解析〗對于A，，即時速在的數(shù)據(jù)有40個，故A正確；對于B，，所以該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)位于不妨設(shè)為，則，解得，故B錯誤；對于C，時速在的數(shù)據(jù)的頻率是，故C錯誤；對于D，可以估計汽車通過該路段的平均時速是，故D正確.故選：AD.10.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿足，以下結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由條件，可知，所以，所以函數(shù)是周期為4的函數(shù)，，故A錯誤；，故B正確；由條件，可知，所以，故C正確；由函數(shù)的周期為4，且，，所以，故D錯誤.故選：BC11.曲線的法線定義：過曲線上的點，且垂直于該點處切線的直線即為該點處的法線.已知點是拋物線上的點，是的焦點，點處的切線與軸交于點，點處的法線與軸交于點，與軸交于點，與交于另一點，點是的中點，則以下結(jié)論正確的是（）A.點的坐標是B.的方程是C.D.過點的的法線（包括）共有兩條〖答案〗BCD〖解析〗對A，將點代入，得，則，當時，故的方程為，令，則點的坐標是，故A錯誤；對B，的方程為，整理得，故B正確；對C，易得與軸的交點的坐標為，與軸的交點的坐標為，聯(lián)立，解得或.與的另一個交點的坐標為，則，故C正確；對D，易得點的坐標為，設(shè)點為拋物線上一點，當是原點時，處的法線為軸，顯然不過點，當點不是原點時，則處的法線方程為，將點代入得，，又，則，故或過點的的法線（包括）共有兩條，故D正確.故選：BCD12.已知棱長為1的正方體是空間中一個動平面，下列結(jié)論正確的是（）A.設(shè)棱所在的直線與平面所成的角為，則B.設(shè)棱所在的直線與平面所成的角為，則C.正方體的12條棱在平面上的射影長度的平方和為8D.四面體的6條棱在平面上的射影長度的平方和為8〖答案〗ACD〖解析〗對于A，以點坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則,得，，設(shè)的法向量為，則，同理可得，，故A正確；對于B，則，故B錯誤；對于C，這3條棱在平面上的射影長度的平方和為，條棱在平面上的射影長度的平方和為8，故C正確；對于D，，設(shè)與平面所成角為與平面所成角為，則，，在平面上的射影長度的平方和為，則四面體的6條棱在平面上的射影長度的平方和為，故D正確.故選：ACD.第II卷三?填空題13.的展開式中的系數(shù)是__________.〖答案〗8〖解析〗展開式的通項公式為，(其中)，令，解得，即二項式展開式中的系數(shù)為.故〖答案〗為：8.14.已知正方形的四個頂點均在橢圓上，的兩個焦點分別是的中點，則的離心率是__________.〖答案〗〖解析〗不妨設(shè)為橢圓的左、右焦點，由題意知軸，軸，且經(jīng)過橢圓焦點，，則，將代入橢圓方程，得，故，由，得，結(jié)合，得，即，解得（負值舍），故的離心率是，故〖答案〗為：15.設(shè)函數(shù)，若存在使成立，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由于函數(shù)，當時，，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知當時，離最近且使得的x值為,故存在，使成立，需滿足，即的取值范圍為，故〖答案〗為：16.已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式有解，則的最小值是__________.〖答案〗〖解析〗由得，顯然，所以有解，令，則，令，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，則，即最小值是.故〖答案〗為：.四?解答題17.記等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）得：，或，同理：或，是等差數(shù)列，，是等比數(shù)列；（2）令，其前項和為，當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，.綜上所述，.18.如圖，已知三棱錐平面，點是點在平面內(nèi)的射影，點在棱上，且滿足.（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值.（1）證明：連結(jié)，平面平面，又兩兩垂直，以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：不妨設(shè)，可得，.，所以是正三角形，點為正三角形的中心，所以，,所以.，又，.（2）解：，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，得：，則，設(shè)與平面所成角為，則.故直線與平面所成角的正弦值為.19.在中，角所對邊分別為，.（1）求的值；（2）若，點是的中點，且，求的面積.解：（1）由正弦定理得：，，則，，不等于0，.（2），，所以，聯(lián)立，，在中，由余弦定理得：①在中，由余弦定理得：②由①②式得：，故，.20.已知雙曲線的左右焦點分別為，點在的漸近線上，且滿足.（1）求的方程；（2）點為的左頂點，過的直線交于兩點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，證明：線段的中點為定點.（1）解：設(shè)，，由，得，解得，即，而曲線的漸近線方程為，由點在的漸近線上，得，即，因此，所以的方程為.（2）證明：由（1）知，設(shè)直線為，由消去y得：，則，，由三點共線，得，同理，因此，所以的中點為定點.21.某商場推出購物抽獎促銷活動，活動規(guī)則如下：①顧客在商場內(nèi)消費每滿100元，可獲得1張抽獎券；②顧客進行一次抽獎需消耗1張抽獎券，抽獎規(guī)則為：從放有5個白球，1個紅球的盒子中，隨機摸取1個球（每個球被摸到的可能性相同），若摸到白球，則沒有中獎，若摸到紅球，則可獲得1份禮品，并得到一次額外抽獎機會（額外抽獎機會不消耗抽獎券，抽獎規(guī)則不變）；③每位顧客獲得的禮品數(shù)不超過3份，若獲得的禮品數(shù)滿3份，則不可繼續(xù)抽獎；（1）顧客甲通過在商場內(nèi)消費獲得了2張抽獎券，求他通過抽獎至少獲得1份禮品的概率；（2）顧客乙累計消耗3張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數(shù)滿3份，則他在消耗第2張抽獎券抽獎的過程中，獲得禮品的概率是多少？（3）設(shè)顧客在消耗張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數(shù)滿3份，要獲得張抽獎券，至少要在商場中消費滿元，求的值.（重復(fù)進行某個伯努利試驗，且每次試驗的成功概率均為.隨機變量表示當恰好出現(xiàn)次失敗時已經(jīng)成功的試驗次數(shù).則服從參數(shù)為和的負二項分布.記作.它的均值，方差）解：（1）由題意可知一次摸獎摸到紅球的概率為，摸到白球的概率為，故甲至少獲得1份禮品的概率；（2）設(shè)“顧客乙累計消耗3張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數(shù)滿3份”，“顧客乙在消耗第2張抽獎券抽獎的過程中，獲得禮品”，，；（3）由題意可知則，.22.已知函數(shù)，（1）當時，求函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)恒成立，求的取值范圍.解：（