第1課時　函數(shù)的單調(diào)性2023-2024學年高一數(shù)學同步備課系列（人教A版2019必修第二冊）

3.2.1

單調(diào)性與最大(小)值第1課時

函數(shù)的單調(diào)性自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析

自主預習·新知導學增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的定義1.結(jié)合下列函數(shù)的圖象,分析其變化規(guī)律,回答下列問題:(1)對于函數(shù)f(x)=2x,其定義域為R.在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi),圖象從左到右是上升還是下降?函數(shù)值隨x的增大而增大還是減小?(2)對于函數(shù)f(x)=x2,其定義域為R.在區(qū)間(-∞,0)內(nèi),圖象從左到右是上升還是下降?函數(shù)值隨x的增大而增大還是減小?在區(qū)間(0,+∞)內(nèi),圖象從左到右是上升還是下降?函數(shù)值隨x的增大而增大還是減小?提示:(1)上升,增大;(2)下降,減小;上升,增大.2.(1)(2)當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時,稱它是增函數(shù);當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時,稱它是減函數(shù).(3)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.答案:D【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)如果f(-1)<f(2),那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增.(×)(2)如果f(x)為R上的減函數(shù),那么f(0)>f(1).(√)(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)內(nèi)都單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)內(nèi)單調(diào)遞增.(×

)

合作探究·釋疑解惑探究一

證明函數(shù)的單調(diào)性反思感悟用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(單調(diào)遞減)的一般步驟(1)取值:?x1,x2∈I,且x1<x2.(2)作差變形:作差f(x1)-f(x2),并利用因式分解、配方、通分、分子分母有理化等方法對差式進行變形.(3)定號:確定f(x1)-f(x2)的正負,當符號不確定時,需要進行分類討論.(4)下結(jié)論:根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增(單調(diào)遞減)的定義得出結(jié)論.探究二

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)f(x)=-2x+1;(2)f(x)=x2+4x-1;(3)f(x)=|x+1|+|x-2|.解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為R,由函數(shù)圖象(圖略)可知,f(x)在R上單調(diào)遞減,因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,+∞),無單調(diào)遞增區(qū)間.(2)函數(shù)f(x)的定義域為R,其圖象是開口向上的拋物線,拋物線的對稱軸是直線x=-2,由圖象(圖略)可知,該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-2].(3)函數(shù)f(x)的定義域為R,該函數(shù)的大致圖象如圖所示:由圖象可知,該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1].反思感悟

求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法(1)利用常用函數(shù)的單調(diào)性:①一次函數(shù)y=kx+b,當k>0時,在R上單調(diào)遞增;當k<0時,在R上單調(diào)遞減;(2)利用函數(shù)的圖象.對于分段函數(shù),可以先畫出函數(shù)的圖象,再結(jié)合圖象觀察分析得到其單調(diào)區(qū)間;對于含有絕對值的函數(shù),通?？梢赞D(zhuǎn)化為分段函數(shù)后再通過圖象得到其單調(diào)區(qū)間.【變式訓練2】

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并指出該函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間上單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減.解:(1)函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞),其在區(qū)間(-∞,0),(0,+∞)內(nèi)都單調(diào)遞增.(2)當x≥1時,f(x)單調(diào)遞增;當x<1時,f(x)單調(diào)遞減,故f(x)的單調(diào)區(qū)間為(-∞,1),[1,+∞),并且函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增.根據(jù)解析式可作出函數(shù)的圖象如圖所示,由圖象可知,函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為(-∞,-1],(-1,0),[0,1),[1,+∞).f(x)在區(qū)間(-∞,-1],[0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(-1,0),[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.探究三

函數(shù)單調(diào)性的應用【例3】

(1)若函數(shù)f(x)=-x2-2(a+1)x+3在區(qū)間(-∞,3]上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是

.

(2)已知函數(shù)y=f(x)是區(qū)間(-∞,+∞)上的增函數(shù),且f(2x-3)>f(5x-6),則實數(shù)x的取值范圍為

.

解析:(1)函數(shù)f(x)=-x2-2(a+1)x+3圖象的對稱軸是直線=-(a+1)=-a-1,依題意有-a-1≥3,解得a≤-4.(2)因為函數(shù)y=f(x)是區(qū)間(-∞,+∞)上的增函數(shù),f(2x-3)>f(5x-6),所以2x-3>5x-6,解得x<1.答案:(1)(-∞,-4]

(2)(-∞,1)將本例中的(1)條件改為:函數(shù)f(x)=-x2-2(a+1)x+3在區(qū)間(-∞,3]上不是單調(diào)函數(shù),則a的取值范圍又如何?解:由(1)知其圖象的對稱軸為直線x=-a-1,則-a-1<3,解得a>-4.反思感悟1.研究二次函數(shù)的單調(diào)性,首先應明確二次函數(shù)圖象的開口方向(二次項系數(shù)的正負)與二次函數(shù)圖象的對稱軸方程;已知二次函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時,通常根據(jù)對稱軸與區(qū)間端點的大小關系建立不等式求解.

2.解抽象函數(shù)不等式問題的方法

利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式主要依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì),首先將符號“f”脫掉,列出關于未知量的不等式(組),然后求解,要注意函數(shù)的定義域.【變式訓練3】

(1)若函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0,+∞)上的減函數(shù),且f(2)=-1,則滿足f(2x-4)>-1的實數(shù)x的取值范圍是(

)A.(3,+∞) B.(-∞,3)C.[2,3) D.[0,3)(2)已知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1在區(qū)間[-2,2]上是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,-1]

B.[-1,3]C.[3,+∞)

D.(-∞,-1]∪[3,+∞)解析:(1)由題意知,f(2x-4)>-1=f(2).因為f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,(2)因為函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1的圖象開口向上,對稱軸方程為x=1-a,且f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1在區(qū)間[-2,2]上是單調(diào)函數(shù),所以1-a≥2或1-a≤-2,解得a≤-1或a≥3.故選D.答案:(1)C

(2)D易

錯

辨

析混淆“單調(diào)區(qū)間”與“在區(qū)間上單調(diào)”致錯【典例】

若函數(shù)y=|x-2a|在區(qū)間(-∞,6]上單調(diào)遞減,求實數(shù)a的取值范圍.錯解:函數(shù)y=|x-2a|的圖象如圖所示.

因為函數(shù)在區(qū)間(-∞,6]上單調(diào)遞減,所以有2a=6,即a=3.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯解是由于對“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是(-∞,6]”和“函數(shù)在區(qū)間(-∞,6]上單調(diào)遞減”理解不清,將二者等同起來而導致的,事實上,二者的含義是不同的.正解:函數(shù)y=|x-2a|