浙江省金華市南苑中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

浙江省金華市南苑中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是10，方差是2，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別是（）

A.20,8

B.21,12

C.22,2

D.21,8參考答案：D2.設(shè)不等式的解集為，函數(shù)的定義域為，則=（▲）

A．

B．

C．

D．

參考答案：A3.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝,則集合CuA等于(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是A. B. C. D.參考答案：B5.已知數(shù)列滿足，若，，則（

）A．1

B．2 C．3

D．參考答案：C6.復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則=

A．

B．

C．

D．參考答案：C7.割補法在我國古代數(shù)學(xué)著作中稱為“出入相補”，劉徽稱之為“以盈補虛”，即以多余補不足，是數(shù)量的平均思想在幾何上的體現(xiàn)。下圖揭示了劉徽推導(dǎo)三角形面積公式的方法。在△ABC內(nèi)任取一點，則該點落在標(biāo)記“盈”的區(qū)域的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)題意可得該點落在標(biāo)記“盈”的區(qū)域的面積為三角形面積的四分之一，即可得解.【詳解】由題得.所以“盈”的區(qū)域的面積等于“虛”的區(qū)域的面積.而“虛”的區(qū)域占矩形區(qū)域的面積的四分之一，所以該點落在標(biāo)記“盈”的區(qū)域的面積為三角形面積的四分之一，故該點落在標(biāo)記“盈”的區(qū)域的概率為，故選：．【點睛】本題考查了幾何概型的概率公式，考查了數(shù)學(xué)文化知識，屬于基礎(chǔ)題8.“”是“實系數(shù)一元二次方程無實根”的（

）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：A9.已知拋物線，過點作拋物線的兩條切線，，、為切點，若直線經(jīng)過拋物線的焦點，的面積為，則以直線為準(zhǔn)線的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．參考答案：D由拋物線的對稱性知，軸，且是焦點弦，故，所以，解得（舍去）或，所以焦點坐標(biāo)為，直線的方程為，所以以直線為準(zhǔn)線的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是．故選D．10.設(shè){an}的首項為a1，公差為﹣1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1=（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣參考答案：D【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由等差數(shù)列的前n項和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比數(shù)列列式求解a1．【解答】解：∵{an}是首項為a1，公差為﹣1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比數(shù)列，得：，即，解得：．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知正三棱錐,點都在半徑為的球面上,若兩兩相互垂直,則球心到截面的距離為_____________.參考答案：【知識點】球的截面性質(zhì)解析：由已知可把正三棱錐補形成球內(nèi)接正方體，因為球的直徑為，所以正方體的棱長為2，則PA=PB=PC=2，AB=BC=AC=,，設(shè)P到截面的距離為d，則有，解得，所以球心到截面的距離為.【思路點撥】一般遇到幾何體的外接球問題，若直接解答不方便時，可通過補形法轉(zhuǎn)化為球內(nèi)接正方體或長方體的關(guān)系進行解答.12.函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的圖象如下圖所示，則f()的值為

．參考答案：13.給出以下四個命題，其中所有正確命題的序號為：________________．（1）“”是“”的必要而不充分條件；（2）已知線性回歸方程，當(dāng)變量增加2個單位，其預(yù)報值平均增加4個單位；（3）函數(shù)在區(qū)間上只有1個零點；（4）命題“若，則”的逆否命題為“若，則”；（5）設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，則c等于3參考答案：（1）（2）（3）略14.某學(xué)校共有師生3200人，先用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為160的樣本．已知從學(xué)生中抽取的人數(shù)為150，那么該學(xué)校的教師人數(shù)是．參考答案：200【考點】分層抽樣方法．【分析】根據(jù)學(xué)校的總?cè)藬?shù)和要抽取的樣本容量，做出每個個體被抽到的概率，根據(jù)學(xué)生要抽取150人，做出教師要抽取的人數(shù)是10，除以概率得到教師的人數(shù)．【解答】解：∵學(xué)校共有師生3200人，從所有師生中抽取一個容量為160的樣本，∴每個個體被抽到的概率是=，∴=，∴學(xué)校的教師人數(shù)為10×20=200．故答案是：200．15.已知函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則的值為

.參考答案：因為的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則與互為反函數(shù)。所以由得，解得，所以。16.若，且︰︰，則__________。參考答案：1117.用min{a，b，c}表示a，b，c三個數(shù)中的最小值設(shè)f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），則f（x）的最大值為

．參考答案：6【考點】34：函數(shù)的值域．【分析】利用新定義，畫出函數(shù)圖象即可得出．【解答】解：f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0）如圖所示，則f（x）的最大值為y=x+2與y=10﹣x交點的縱坐標(biāo)，即當(dāng)x=4時，y=6．故答案為6．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某幼兒園準(zhǔn)備建一個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤的外圍是一個周長k米的圓。在這個圓上安裝座位，且每個座位和圓心處的支點都有一根直的鋼管相連，經(jīng)預(yù)算，轉(zhuǎn)盤上的每個座位與支點相連鋼管的費用為3k元/根，且當(dāng)兩相鄰的座位之間的圓弧長為x米時，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個座位的總費用為元，假設(shè)座位等距離分布，且至少有兩個座位，所有座位都視為點，且不考慮其他因素，記轉(zhuǎn)盤的總造價為y元。（1）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）當(dāng)k=50米時，試確定座位的個數(shù)，使得總造價最低。參考答案：略19.數(shù)列的前n項和為，和滿足等式

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（Ⅲ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和；

（Ⅳ）設(shè)，求證：參考答案：解：（I）由已知:

…………2分

（II）∵

同除以

…………4分

是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列.

…………6分

（III）由（II）可知,

……………7分

當(dāng)

經(jīng)檢驗，當(dāng)n=1時也成立

………………9分

…………10分解得：

…………11分

（Ⅳ）∵ …………14分

略20.已知曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），在以原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=（ρ∈R）．（Ⅰ）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）求直線l被曲線C截得的線段長．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（I）曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），利用cos2θ+sin2θ=1消去參數(shù)θ，可得直角坐標(biāo)方程，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ即可化為極坐標(biāo)方程．（II）把直線l的極坐標(biāo)方程θ=（ρ∈R）代入圓的極坐標(biāo)方程即可得出．【解答】解：（I）曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），消去參數(shù)θ，可得：（x﹣2）2+y2=4，展開為：x2+y2﹣4x=0，可得極坐標(biāo)方程：ρ2﹣4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．（II）把直線l的極坐標(biāo)方程θ=（ρ∈R）代入圓的極坐標(biāo)方程可得：ρ=4=2．由于圓與直線都經(jīng)過原點，因此直線l被曲線C截得的線段長=|OP|=2．21.某單位N名員工參加“我愛閱讀”活動，他們的年齡在25歲至50歲之間，按年齡分組：第1組[25，30），第2組[30，35），第3組[35，40），第4組[40，45），第5組[45，50），得到的頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅰ）求正整數(shù)a，b，N的值；（Ⅱ）現(xiàn)要從年齡低于40歲的員工用分層抽樣的方法抽取42人，則年齡在第1，2，3組得員工人數(shù)分別是多少？（Ⅲ）為了估計該單位員工的閱讀傾向，現(xiàn)對該單位所有員工中按性別比例抽查的40人是否喜歡閱讀國學(xué)類書

喜歡閱讀國學(xué)類不喜歡閱讀國學(xué)類合計男14418女81422合計221840籍進行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下所示：（單位：人）下面是年齡的分布表：區(qū)間[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）人數(shù)28ab

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，我們能否有99%的把握認(rèn)為該位員工是否喜歡閱讀國學(xué)類書籍和性別有關(guān)系？附：，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828參考答案：【考點】BO：獨立性檢驗的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）利用頻率與頻數(shù)的關(guān)系求出樣本容量N、計算出a、b的值；（Ⅱ）求出年齡低于40歲的員工數(shù)，利用分層抽樣原理求出每組抽取的人數(shù)；（Ⅲ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算K2的觀測值，查表得出概率結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）總?cè)藬?shù)：，a=28，第3組的頻率是：1﹣5×（0.02+0.02+0.06+0.02）=0.4所以b=280×0.4=112…（4分）（Ⅱ）因為年齡低于40歲的員工在第1，2，3組，共有28+28+112=168（人），利用分層抽樣在168人中抽取42人，每組抽取的人數(shù)分別為：第1組抽取的人數(shù)為（人），第2組抽取的人數(shù)為（人），第3組抽取的人數(shù)為（人），所以第1，2，3組分別抽7人、7人、28人．…（8分）（Ⅲ）假設(shè)H0：“是否喜歡看國學(xué)類書籍和性別無關(guān)系”，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求得K2的觀測值，查表得P（K2≥6.635）=0.01，從而能有99%的把握認(rèn)為該單位員工是否喜歡閱讀國學(xué)類書籍和性別有關(guān)系…（12分）【點評】本題考查了頻率分布直方圖與獨立性檢驗的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．22.為了引導(dǎo)居民合理用水，某市決定全面實施階梯水價，階梯水價原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準(zhǔn)定價，具體劃分標(biāo)準(zhǔn)如表：階梯級別第一階梯水量第二階梯水量第三階梯水量月用水量范圍（單位：立方米）（0，10]（10，15]（15，+∞）從本市隨機抽取了10戶家庭，統(tǒng)計了同一個月的用水量，得到如圖所示的莖葉圖．（1）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯水量的戶數(shù)的分布列和均值；（2）用抽到的10戶家庭作為樣本估計全市的居民用水情況，從全市依次隨機抽取10戶，若抽到n戶月用水量為第二階梯水量的可能性最大，求出n的值．參考答案：【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差；BA：莖葉圖；CG：離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）由莖葉圖可知：抽取的10戶中用水量為一階的有2戶，二階的有6戶，三階的有2戶．取到第二階梯水量的戶數(shù)X的取值可能為0，1，2，3．利用P（X=k）=，可得X的概率分布列及其數(shù)學(xué)期望．（2）設(shè)從全市依次隨機抽取10戶，抽到Y(jié)戶月用水量為第二階梯水量，則Y～B．P（Y=k）=（k=0，1，2，…，10）．設(shè)t==．由t＞1，可得k＜6.6，P（Y=k﹣1）＜P（Y=k﹣1）．由t＜1，則k＞6.6，P（Y=k﹣1）＞P（Y=k﹣1），即可得出．【解答】解：（1）由莖葉圖可知：抽取的10戶中用水量為一階的有2戶，二階的有6戶，三階的有2戶．