專題7 最大整數(shù)與最小整數(shù)問題（講義）2024高考總復(fù)習(xí)壓軸題《數(shù)學(xué)》函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解析版

第第頁專題7最大整數(shù)與最小整數(shù)問題導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)選修板塊中重要的部分，應(yīng)用廣泛，教材中重點(diǎn)介紹了利用導(dǎo)數(shù)求切線、判斷單調(diào)性、求極值、最值等基礎(chǔ)知識，但是高考數(shù)學(xué)是以能力立意，所以往往以數(shù)列、方程、不等式為背景，綜合考察學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用能力，面對這種類型的題目，考生會有茫然，無所適從的感覺，究其原因是沒有認(rèn)真分析總結(jié)這種題目的特點(diǎn)和解題思路，本文介紹導(dǎo)數(shù)里面涉及最大整數(shù)與最小整數(shù)問題的解題思路，以饗讀者.題型1整數(shù)解問題之分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離例1．已知函數(shù)（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)沒有零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得在恒成立，兩邊取以為底的對數(shù)，即在恒成立，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出參數(shù)的取值范圍；（2）依題意可得在無實(shí)根，即：在無實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得解；【詳解】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減，所以在恒成立，兩邊取以為底的對數(shù)，即在恒成立，設(shè)，所以在遞減，所以，所以；（2）在無零點(diǎn)，等價于方程在無實(shí)根，亦即在無實(shí)根，因?yàn)樵跒閱握{(diào)增函數(shù)，原方程無零點(diǎn)等價于在無實(shí)根，即：在無實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，所以．【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．例2．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）令，若在恒成立，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）（1）當(dāng)時，得到，求得，得出，且，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.（2）把在轉(zhuǎn)化為在恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的額單調(diào)性，零點(diǎn)的存在定理得到在上遞減，在上遞增，從而求得，即可求得整數(shù)的最大值.【詳解】（1）（1）當(dāng)時，可得，則，可得，且，即函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率，所以切線方程為，即，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程.（2）由，因?yàn)樵诤愠闪?，即在恒成立，即在恒成立，令，可得，令，可得在上單調(diào)遞增，且，所以存在，使得，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)樵诤愠闪ⅲ?，所以整?shù)的最大值為.【變式訓(xùn)練1】、已知函數(shù)．（1）證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；（2）若對于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）3．【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)證明在上單調(diào)遞增，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理，得證；（2）參變分離得，令，原問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值，結(jié)合（1）中結(jié)論和隱零點(diǎn)的思維，即可得解．【詳解】（1）證明：∵，∴，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，∵，，∴在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)．（2）解：∵，且，∴，令，則，，由（1）知，在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，則，故當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞增，∴，∴，故整數(shù)的最大值為3．【變式訓(xùn)練2】、已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若不等式對任意的恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）；（3）.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性，由極值定義可求得結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)可確定的單調(diào)性；當(dāng)時，可知，解不等式可知無滿足題意的值；當(dāng)時，根據(jù)，分別在，和三種情況下，根據(jù)在有唯一零點(diǎn)可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；（3）將恒成立不等式化為，令得，令可確定，使得，由此可得，進(jìn)而得到的范圍，從而得到.（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值.（2），，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，若在上有唯一零點(diǎn)，則，即，解得：（舍）；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，，則在上無零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)，即時，在上有唯一零點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)，即時，由得：，在上有唯一零點(diǎn)，此時需，即；綜上所述：當(dāng)或時，在上有唯一零點(diǎn)，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）若對恒成立，即對恒成立，則，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，，，使得，即，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，，整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解本題恒成立問題的常用方法是能夠通過分離變量的方法將問題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間的大小關(guān)系比較問題，即若恒成立，則；若恒成立，則.題型2整數(shù)解問題之直接限制法例3．已知函數(shù)，．（Ⅰ）記，試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的情況；（Ⅱ）若有且僅有兩個整數(shù)解，求的取值范圍．【解答】解：，．令在上單調(diào)遞增，又，（1）．存在唯一，使得，即．，，此時函數(shù)單調(diào)遞減．，，，函數(shù)單調(diào)遞增．為極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)．（Ⅱ）化為：，即．①當(dāng)時，由不等式有整數(shù)解，在時，，有無窮多整數(shù)解．②當(dāng)時，，又，（1）．不等式有兩個整數(shù)解為0，1．即，解得：．③當(dāng)時，，又，在時小于或等于1，不等式無整數(shù)解．綜上可得：．例4．已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）是否存在正整數(shù)，使得對一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在．請說明理由．【解答】解：（1），，令，得，令，得，函數(shù)在上單調(diào)遞成，在上單調(diào)遞增，（1），函數(shù)有兩個零點(diǎn)，（1），的取值范圍為；（2）要使在上恒成立，即使在上恒成立，令，則，①當(dāng)時，，由知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，時滿足題意；②當(dāng)時，考查時，函數(shù)的取值情況：，，，又，，即，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，取，則函數(shù)在上單增，，且，不能恒成立，綜上，的最大正整值為2．【變式訓(xùn)練3】、已知集合，集合，．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若中恰含有一個整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）或，當(dāng)時，由，解得：，即，，，；（Ⅱ）函數(shù)的對稱軸為，，且中恰含有一個整數(shù)，根據(jù)對稱性可知這個整數(shù)為2，（2）且（3），即，解得：．【變式訓(xùn)練4】、已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時，①求函數(shù)在處的切線方程；②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有且只有唯一整數(shù)，滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)時，，，①，又，函數(shù)在處的切線方程為：，即：；②，由于，當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由得，當(dāng)時，不等式顯然不成立；當(dāng)時，；當(dāng)時，，設(shè)，，函數(shù)在和，上為增函數(shù)，在和上為減函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，①當(dāng)時，，由得，，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，即，，②當(dāng)時，，由得，，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，且，，解得：，綜上所述，的取值范圍為，，．題型3整數(shù)解問題之虛設(shè)零點(diǎn)例5、已知函數(shù)，求：（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時，總有，求整數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）-3【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，計算出斜率，再用點(diǎn)斜式即可；（2）分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.（1）當(dāng)時，在點(diǎn)處的切線方程為即（2）由題意，，即，即，又，恒成立.令，令，則恒成立.在上遞減，，使，即，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，因?yàn)?，且，，即整?shù)k的最小值為-3【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于零點(diǎn)不可求問題，可以設(shè)而不求，整體替換從而求出范圍。例6．設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)時，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于x的不等式有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）答案見解析（2）存在，的最小值為0【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就的不同取值可求的解，從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（2）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合虛設(shè)零點(diǎn)可求，從而可得整數(shù)的最小值.（1）因?yàn)椋?，①?dāng)時，由，解得；②當(dāng)時，由，解得；③當(dāng)時，由，解得；④當(dāng)時，由，解得；⑤當(dāng)時，由，解得，綜上所述，當(dāng)時，的增區(qū)間為；當(dāng)時，的增區(qū)間為；時，的增區(qū)間為.（2）當(dāng)時，，所以，而，因?yàn)榫鶠樯系脑龊瘮?shù)，故為上的增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個零點(diǎn)，且且時，；當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因?yàn)?，所以，所以，而整?shù)，使得關(guān)于x的不等式有解，故，故存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為0.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值時，如果導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不易求得，則可以虛設(shè)零點(diǎn)，利用零點(diǎn)滿足的關(guān)系式化簡最值，從而得到最值的范圍或符號.【變式訓(xùn)練5】、已知函數(shù)，求：（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時，總有，求整數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）-3【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，計算出斜率，再用點(diǎn)斜式即可；（2）分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.（1）當(dāng)時，在點(diǎn)處的切線方程為即（2）由題意，，即，即，又，恒成立.令，令，則恒成立.在上遞減，，使，即，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，因?yàn)?，且，，即整?shù)k的最小值為-3【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于零點(diǎn)不可求問題，可以設(shè)而不求，整體替換從而求出范圍。【變式訓(xùn)練6】、已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若不等式對任意的恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）；（3）.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性，由極值定義可求得結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)可確定的單調(diào)性；當(dāng)時，可知，解不等式可知無滿足題意的值；當(dāng)時，根據(jù)，分別在，和三種情況下，根據(jù)在有唯一零點(diǎn)可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；（3）將恒成立不等式化為，令得，令可確定，使得，由此可得，進(jìn)而得到的范圍，從而得到.（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值.（2），，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，若在上有唯一零點(diǎn)，則，即，解得：（舍）；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，，則在上無零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)，即時，在上有唯一零點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)，即時，由得：，在上有唯一零點(diǎn)，此時需，即；綜上所述：當(dāng)或時，在上有唯一零點(diǎn)，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）若對恒成立，即對恒成立，則，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，，，使得，即，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，，整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解本題恒成立問題的常用方法是能夠通過分離變量的方法將問題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間的大小關(guān)系比較問題，即若恒成立，則；若恒成立，則.題型4整數(shù)解問題之必要性探路例7．（2021·山西·晉中市新一雙語學(xué)校模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)（1）若函數(shù)與有公共點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）最小值為.【分析】（1）由，可得，函數(shù)與有公共點(diǎn)，即有解，設(shè)，求導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的值域即可.

（2）不等式恒成立，即恒成立，當(dāng)時，成立，解得，故再驗(yàn)證時，不等式成立即可得出答案.【詳解】解：（1）令，即，則，函數(shù)與有公共點(diǎn)，即有解.令，則.令，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以且當(dāng)時，所以.（2）不等式恒成立，即恒成立.則時，成立，解得，由題意求滿足條件的整數(shù)最小值，下面驗(yàn)證是否滿足題意.當(dāng)時，令，且在上單調(diào)遞增.又，可知存在唯一的正數(shù)，使得，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，即當(dāng)時，不等式成立.故整數(shù)的最小值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)兩函數(shù)圖像有公共點(diǎn)求參數(shù)范圍和不等式恒成立求參數(shù)范圍，解答本題的關(guān)鍵是先根據(jù)時，不等式成立，求處一個參數(shù)的范圍，然后根據(jù)題目要求再驗(yàn)證滿足條件，從而得出答案.屬于中檔題.例8．（2021·山西·晉中市新一雙語學(xué)校模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)（1）若函數(shù)與有公共點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）最小值為.【分析】（1）由，可得，函數(shù)與有公共點(diǎn)，即有解，設(shè)，求導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的值域即可.

（2）不等式恒成立，即恒成立，當(dāng)時，成立，解得，故再驗(yàn)證時，不等式成立即可得出答案.【詳解】解：（1）令，即，則，函數(shù)與有公共點(diǎn)，即有解.令，則.令，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以且當(dāng)時，所以.（2）不等式恒成立，即恒成立.則時，成立，解得，由題意求滿足條件的整數(shù)最小值，下面驗(yàn)證是否滿足題意.當(dāng)時，令，且在上單調(diào)遞增.又，可知存在唯一的正數(shù)，使得，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，即當(dāng)時，不等式成立.故整數(shù)的最小值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)兩函數(shù)圖像有公共點(diǎn)求參數(shù)范圍和不等式恒成立求參數(shù)范圍，解答本題的關(guān)鍵是先根據(jù)時，不等式成立，求處一個參數(shù)的范圍，然后根據(jù)題目要求再驗(yàn)證滿足條件，從而得出答案.屬于中檔題.【變式訓(xùn)練7】、是否存在正整數(shù)，使得對一切恒成立?試求出的最大值.解:易知對一切恒成立，當(dāng)可得，則僅可取1、2下證時不等式恒成立，設(shè)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當(dāng)時，不等式恒成立，所以最大為2.【變式訓(xùn)練8】、（2021·北京·北師大二附中未來科技城學(xué)校高三階段練習(xí)）已知，，．（1）若，證明：；（2）對任意都有，求整數(shù)的