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湖南省衡陽市耒陽市龍?zhí)林袑W(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.△ABC的外接圓的圓心為O,半徑為2,且,則向量在方向上的投影為(
)A.
B.3
C.
D.-3參考答案:A略2.已知函數(shù)f(x)=sinx+λcosx的圖象的一個對稱中心是點(,0),則函數(shù)g(x)=λsinxcosx+sin2x的圖象的一條對稱軸是直線()A.x=B.x=C.x=D.x=﹣參考答案:D考點:兩角和與差的正弦函數(shù);正弦函數(shù)的對稱性.專題:三角函數(shù)的求值.分析:由對稱中心可得λ=﹣,代入g(x)由三角函數(shù)公式化簡可得g(x)=﹣sin(2x+),令2x+=kπ+解x可得對稱軸,對照選項可得.解答:解:∵f(x)=sinx+λcosx的圖象的一個對稱中心是點(,0),∴f()=sin+λcos=+λ=0,解得λ=﹣,∴g(x)=﹣sinxcosx+sin2x=sin2x+=﹣sin(2x+),令2x+=kπ+可得x=+,k∈Z,∴函數(shù)的對稱軸為x=+,k∈Z,結(jié)合四個選項可知,當k=﹣1時x=﹣符合題意,故選:D點評:本題考查兩角和與差的三角函數(shù),涉及三角函數(shù)對稱性,屬中檔題.3.已知,函數(shù)y=f(x+φ)的圖象關(guān)于直線x=0對稱,則φ的值可以是()A. B. C. D.參考答案:D【考點】y=Asin(ωx+φ)中參數(shù)的物理意義;運用誘導(dǎo)公式化簡求值;圖形的對稱性.【分析】化簡函數(shù)的表達式,函數(shù)y=f(x+φ)的圖象關(guān)于直線x=0對稱,說明是偶函數(shù),求出選項中的一個φ即可.【解答】解:=2sin(x+),函數(shù)y=f(x+φ)=2sin(x+φ+)的圖象關(guān)于直線x=0對稱,函數(shù)為偶函數(shù),∴φ=故選D.【點評】本題考查y=Asin(ωx+φ)中參數(shù)的物理意義,運用誘導(dǎo)公式化簡求值,圖形的對稱性,考查計算能力,是基礎(chǔ)題.4.若復(fù)數(shù)a﹣(a∈R,i是虛數(shù)單位)是純虛數(shù),則實數(shù)a的值為()A.﹣4 B.﹣1 C.1 D.4參考答案:D【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義即可得出.【解答】解:復(fù)數(shù)a﹣=a﹣=a﹣(4+i)=(a﹣4)﹣i是純虛數(shù),∴a﹣4=0,解得a=4.故選:D.5.定義在上的函數(shù)滿足,若關(guān)于的方程有3個實根,則的取值范圍是(
)A.
B.(0,1)
C.
D.(1,+∞)參考答案:A6.將函數(shù)圖象上的點向右平移個單位長度得到點,若位于函數(shù)的圖象上,則
A.,的最小值為
B.,的最小值為
C.,的最小值為
D.,的最小值為參考答案:C7.《算法統(tǒng)宗》是明朝程大位所著數(shù)學(xué)名著,其中有這樣一段表述:“遠看巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一”,其意大致為:有一棟七層寶塔,每層懸掛的紅燈數(shù)為上一層的兩倍,共有381盞燈,則該塔中間一層有(
)盞燈.A.24
B.48
C.12
D.60參考答案:A由題意可知從上至下每層燈盞數(shù)構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列,設(shè)首項為,則,解之得a=3,則該塔中間一層燈盞數(shù)有3?23=24.故選A.8.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的對稱中心完全相同,則為A.
B.
C.
D.參考答案:D9.函數(shù)的最小正周期是,若其圖像向右平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù),則函數(shù)的圖像(
)A.關(guān)于點對稱
B.關(guān)于直線對稱C.關(guān)于點對稱
D.關(guān)于直線對稱參考答案:D10.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則最下面那節(jié)的容積為A.升
B.升
C.升
D.升參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)__________.參考答案:2略12.若雙曲線x2﹣=1的離心率為,則實數(shù)m=
.參考答案:2【考點】KC:雙曲線的簡單性質(zhì).【分析】利用雙曲線的離心率,列出方程求和求解m即可.【解答】解:雙曲線x2﹣=1(m>0)的離心率為,可得:,解得m=2.故答案為:2.13.已知函數(shù)的最大值為3,的圖象與軸的交點坐標為,其相鄰兩條對稱軸間的距離為2,則
參考答案:4030【知識點】二倍角的余弦;余弦函數(shù)的圖象.C3C6解析:∵函數(shù)f(x)=Acos2(ωx+φ)+1=A?+1=cos(2ωx+2φ)+1+(A>0,ω>0,0<φ<)的最大值為3,∴+1+=3,∴A=2.根據(jù)函數(shù)圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為2,可得函數(shù)的最小正周期為4,即=4,∴ω=.再根據(jù)f(x)的圖象與y軸的交點坐標為(0,2),可得cos(2φ)+1+1=2,∴cos2φ=0,2φ=,∴φ=.故函數(shù)的解析式為f(x)=cos(x+)+2=﹣sinx+2,∴f(1)+f(2)+…+f(2014)+f(2015)=﹣(sin+sin+sin+…+sin+sin)+2×2015=503×0﹣sin﹣sin﹣sin+4030=0+4030=4030,故答案為:4030.【思路點撥】由條件利用二倍角的余弦公式可得f(x)=cos(2ωx+2φ)+1+,由函數(shù)的最值求出A,由周期求出ω,由特殊點的坐標求出φ的值,可得函數(shù)的解析式,再利用函數(shù)的周期性求得所求式子的值.14.已知,用秦九昭法計算,其中乘法的次數(shù)是
.參考答案:5由已知,得,易知計算f(5)共乘了5次.
15.(不等式選做題)如果關(guān)于的不等式的解集不是空集,則實數(shù)的取值范圍是
。參考答案:略16.以下是關(guān)于函數(shù)的四個命題: ①的圖像關(guān)于軸對稱;
②在區(qū)間上單調(diào)遞減;
③在處取得極小值,在處取得極大值;
④的有最大值,無最小值; ⑤若方程至少有三個不同的實根,則實數(shù)的取值范圍是。其中為真命題的是____
(請?zhí)顚懩阏J為是真命題的序號).參考答案:①⑤17.以拋物線的頂點為中心,焦點為右焦點,且以為漸近線的雙曲線方程是___________________參考答案:拋物線的焦點為,即雙曲線的的焦點在軸,且,所以雙曲線的方程可設(shè)為,雙曲線的漸近線為,得,所以,,即,所以,所以雙曲線的方程為。三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)=|x-1|-|x-2|.(1)用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù);(2)畫出函數(shù)圖象,并寫出函數(shù)的值域和單調(diào)遞增區(qū)間。參考答案:
值域是[-1,1],增區(qū)間是[1,2]
略19.
如圖,過拋物線的對稱軸上任一點P(O,m)(m>O)
作直線與拋物線交于A,B兩點,點Q是點P關(guān)手原點的對
稱點.
(I)證明:
(Ⅱ)設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0,過A,B兩點的
圓C與拋物線在點A處有共同的切線,求圓C的方程.參考答案:20.參考答案:知識點:空間幾何體的表面積與體積平行解析:21.已知圓C的圓心C與點A(2,1)關(guān)于直線4x+2y﹣5=0對稱,圓C與直線x+y+2=0相切.(Ⅰ)設(shè)Q為圓C上的一個動點,若點P(1,1),M(﹣2,﹣2),求?的最小值;(Ⅱ)過點P(1,1)作兩條相異直線分別與圓C相交于A,B,且直線PA和直線PB的傾斜角互補,O為坐標原點,試判斷直線OP和AB是否平行?請說明理由.參考答案:【考點】直線和圓的方程的應(yīng)用;直線的傾斜角.【專題】直線與圓.【分析】(Ⅰ)根據(jù)點與直線的對稱性求出圓心,利用數(shù)量積的坐標公式即可求?的最小值;(Ⅱ)利用直線和圓的方程聯(lián)立,結(jié)合直線的斜率公式即可得到結(jié)論.【解答】解:Ⅰ)設(shè)圓心C(a,b),則A,C的中點坐標為(),∵圓心C與點A(2,1)關(guān)于直線4x+y﹣5=0,∴,解得,∴圓心C(0,0)到直線x+y+2=0的距離r=,∴圓C的方程為x2+y2=2.設(shè)Q(x,y),則x2+y2=2,?=(x﹣1,y﹣1)?(x+2,y+2)=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2,作直線l:x+y=0,向下平移此直線,當與圓相切時,x+y取得最小值,此時切點坐標為(﹣1,﹣1),∴?的最小值﹣4.(Ⅱ)由題意知,直線PA和直線PB的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè)PA:y﹣1=k(x﹣1),PB:y﹣1=﹣k(x﹣1),由,得(1+k2)x2+2k(1﹣k)x+(1﹣k)2﹣2=0.因為點P的橫坐標x=1一定是該方程的解,故可得,同理,則==kOP∴直線AB和OP一定平行.【點評】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,結(jié)合直線的對稱性和直線的斜率公式是解決本題的關(guān)鍵.22.水培植物需要一種植物專用營養(yǎng)液,已知每投放(且)個單位的營養(yǎng)液,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時間(天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為,其中,若多次投放,則某一時刻水中的營養(yǎng)液濃度為每次投放的營養(yǎng)液在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和,根據(jù)經(jīng)驗,當水中營養(yǎng)液的濃度不低于4(克/升)時,它才能有效.(1)若只投放一次2個單位的營養(yǎng)液,則有效時間最多可能達到幾天?(2)若先投放2個單位的營養(yǎng)液,3天后再投放個單位的營養(yǎng)液,要使接下來的2天中,營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效,試求的最小值.參考答案:(1)解:營養(yǎng)液有效則需滿足,所以所以.....................
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