高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題及參考答案(第七章)

.@;高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題及參考答案（第七章）習(xí)題7-11設(shè)uab2cva3bc試用a、b、c表示2u3v解2u3v2(ab2c)3(a3bc)2a2b4c3a9b3c5a11b7c2如果平面上一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相平分試用向量證明這是平行四邊形證而所以這說(shuō)明四邊形ABCD的對(duì)邊ABCD且AB//CD從而四邊形ABCD是平行四邊形3把ABC的BC邊五等分設(shè)分點(diǎn)依次為D1、D2、D3、D4再把各分點(diǎn)與點(diǎn)A連接試以、表示向量、、、解4已知兩點(diǎn)M1(012)和M2(110)試用坐標(biāo)表示式表示向量及解5求平行于向量a(676)的單位向量解平行于向量a(676)的單位向量為或6在空間直角坐標(biāo)系中指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限？A(123)B(234)C(234)D(231)解A在第四卦限B在第五卦限C在第八卦限D(zhuǎn)在第三卦限7在坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特征？指出下列各點(diǎn)的位置A(340)B(043)C(300)D(010)解在xOy面上點(diǎn)的坐標(biāo)為(xy0)在yOz面上點(diǎn)的坐標(biāo)為(0yz)在zOx面上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0z)在x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x00)在y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為(0y0)在z軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為(00z)A在xOy面上B在yOz面上C在x軸上D在y軸上8求點(diǎn)(abc)關(guān)于(1)各坐標(biāo)面(2)各坐標(biāo)軸(3)坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)解(1)點(diǎn)(abc)關(guān)于xOy面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(abc)點(diǎn)(abc)關(guān)于yOz面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(abc)點(diǎn)(abc)關(guān)于zOx面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(abc)(2)點(diǎn)(abc)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(abc)點(diǎn)(abc)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(abc)點(diǎn)(abc)關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(abc)(3)點(diǎn)(abc)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(abc)9自點(diǎn)P0(x0y0z0)分別作各坐標(biāo)面和各坐標(biāo)軸的垂線寫(xiě)出各垂足的坐標(biāo)解在xOy面、yOz面和zOx面上垂足的坐標(biāo)分別為(x0y00)、(0y0z0)和(x00z0)在x軸、y軸和z軸上垂足的坐標(biāo)分別為(x000)(0y00)和(00z0)10過(guò)點(diǎn)P0(x0y0z0)分別作平行于z軸的直線和平行于xOy面的平面問(wèn)在它們上面的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特點(diǎn)？解在所作的平行于z軸的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0y0z)在所作的平行于xOy面的平面上點(diǎn)的坐標(biāo)為(xyz0)11一邊長(zhǎng)為a的立方體放置在xOy面上其底面的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)底面的頂點(diǎn)在x軸和y軸上求它各頂點(diǎn)的坐標(biāo)解因?yàn)榈酌娴膶?duì)角線的長(zhǎng)為所以立方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為12求點(diǎn)M(435)到各坐標(biāo)軸的距離解點(diǎn)M到x軸的距離就是點(diǎn)(435)與點(diǎn)(400)之間的距離即點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離就是點(diǎn)(435)與點(diǎn)(030)之間的距離即點(diǎn)M到z軸的距離就是點(diǎn)(435)與點(diǎn)(005)之間的距離即13在yOz面上求與三點(diǎn)A(312)、B(422)和C(051)等距離的點(diǎn)解設(shè)所求的點(diǎn)為P(0yz)與A、B、C等距離則由題意有即解之得y1z2故所求點(diǎn)為(012)14試證明以三點(diǎn)A(419)、B(1016)、C(243)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角直角三角形解因?yàn)樗砸虼薃BC是等腰直角三角形15設(shè)已知兩點(diǎn)和M2(302)計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角解16設(shè)向量的方向余弦分別滿足(1)cos0(2)cos1(3)coscos0問(wèn)這些向量與坐標(biāo)軸或坐標(biāo)面的關(guān)系如何？解(1)當(dāng)cos0時(shí)向量垂直于x軸或者說(shuō)是平行于yOz面(2)當(dāng)cos1時(shí)向量的方向與y軸的正向一致垂直于zOx面(3)當(dāng)coscos0時(shí)向量垂直于x軸和y軸平行于z軸垂直于xOy面17設(shè)向量r的模是4它與軸u的夾角是60求r在軸u上的投影解18一向量的終點(diǎn)在點(diǎn)B(217)它在x軸、y軸和z軸上的投影依次為447求這向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo)解設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(xyz)由已知得解得x2y3z0點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(230)19設(shè)m3i5j8kn2i4j7k和p5ij4k求向量a4m3np在x軸上的投影及在y軸上的分向量解因?yàn)閍4m3np4(3i5j8k)3(2i4j7k)(5ij4k)13i7j15k所以a4m3np在x軸上的投影為13在y軸上的分向量7j習(xí)題721設(shè)a3ij2kbi2jk求(1)ab及ab(2)(2a)3b及a2b(3)a、b夾角的余弦解(1)ab31(1)2(2)(1)3(2)(2a)3b6ab6318a2b2(ab)2(5ij7k)10i2j14k(3)2設(shè)a、b、c為單位向量且滿足abc0求abbcca解因?yàn)閍bc0所以(abc)(abc)0即aabbcc2ab2ac2ca0于是3已知M1(112)、M2(331)和M3(313)求與、同時(shí)垂直的單位向量解為所求向量4設(shè)質(zhì)量為100kg的物體從點(diǎn)M1(318)沿直線稱(chēng)動(dòng)到點(diǎn)M2(142)計(jì)算重力所作的功(長(zhǎng)度單位為m重力方向?yàn)閦軸負(fù)方向)解F(0010098)(00980)WFS(00980)(236)5880(焦耳)5在杠桿上支點(diǎn)O的一側(cè)與點(diǎn)O的距離為x1的點(diǎn)P1處有一與成角1的力F1作用著在O的另一側(cè)與點(diǎn)O的距離為x2的點(diǎn)P2處有一與成角1的力F1作用著問(wèn)1、2、x1、x2、|F1|、|F2|符合怎樣的條件才能使杠桿保持平衡？解因?yàn)橛泄潭ㄞD(zhuǎn)軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和為零再注意到對(duì)力矩正負(fù)的規(guī)定可得使杠桿保持平衡的條件為x1|F1|sin1x2|F2|sin20即x1|F1|sin1x2|F2|sin26求向量a(434)在向量b(221)上的投影解7設(shè)a(352)b(214)問(wèn)與有怎樣的關(guān)系能使得ab與z軸垂直?解ab(32524)ab與z軸垂abk(32524)(001)0即240所以2當(dāng)2時(shí)ab與z軸垂直8試用向量證明直徑所對(duì)的圓周角是直角證明設(shè)AB是圓O的直徑C點(diǎn)在圓周上則因?yàn)樗浴螩909設(shè)已知向量a2i3jkbij3k和ci2j計(jì)算(1)(ab)c(ac)b(2)(ab)(bc)(3)(ab)c解(1)ab21(3)(1)138ac21(3)(2)8(ab)c(ac)b8c8b8(cb)8[(i2j)(ij3k)]8j24k(2)ab3i4j4kbc2i3j3k(3)(ab)c81(5)(2)10210已知求OAB的面積解根據(jù)向量積的幾何意義表示以和為鄰邊的平行四邊形的面積于是OAB的面積為因?yàn)樗匀切蜲AB的面積為12試用向量證明不等式其中a1、a2、a3、b1、b2、b3為任意實(shí)數(shù)并指出等號(hào)成立的條件解設(shè)a(a1a2a3)b(b1b2b3)則有于是其中當(dāng)1時(shí)即a與b平行是等號(hào)成立習(xí)題731一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)(231)和(456)等距離求這動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程解設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(xyz)依題意有(x2)2(y3)2(z1)2(x4)2(y5)2(z6)2即4x4y10z6302建立以點(diǎn)(132)為球心且通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程解球的半徑球面方程為(x1)2(y3)2(z2)214即x2y2z22x6y4z03方程x2y2z22x4y2z0表示什么曲面?解由已知方程得(x22x1)(y24y4)(z22z1)141即所以此方程表示以(121)為球心以為半徑的球面4求與坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)(234)的距離之比為12的點(diǎn)的全體所組成的曲面的方程它表示怎樣曲面？解設(shè)點(diǎn)(xyz)滿足題意依題意有化簡(jiǎn)整理得它表示以為球心以為半徑的球面5將zOx坐標(biāo)面上的拋物線z25x繞x軸旋轉(zhuǎn)一周求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程解將方程中的z換成得旋轉(zhuǎn)曲面的方程y2z25x6將zOx坐標(biāo)面上的圓x2z29繞z軸旋轉(zhuǎn)一周求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程解將方程中的x換成得旋轉(zhuǎn)曲面的方程x2y2z297將xOy坐標(biāo)面上的雙曲線4x29y236分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)一周求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程解雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為4x29y29z236雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為4x24z29y2368畫(huà)出下列方程所表示的曲面(1)(2)(3)(4)y2z0(5)z2x29指出下列方程在平面解析幾何中和在空間解析幾何中分別表示什么圖形(1)x2解在平面解析幾何中x2表示平行于y軸的一條直線在空間解析幾何中x2表示一張平行于yOz面的平面(2)yx1解在平面解析幾何中yx1表示一條斜率是1在y軸上的截距也是1的直線在空間解析幾何中，yx1表示一張平行于z軸的平面(3)x2y24解在平面解析幾何中x2y24表示中心在原點(diǎn)半徑是4的圓在空間解析幾何中x2y24表示母線平行于z軸準(zhǔn)線為x2y24的圓柱面(4)x2y21解在平面解析幾何中x2y21表示雙曲線在空間解析幾何中x2y21表示母線平行于z軸的雙曲面10說(shuō)明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的(1)解這是xOy面上的橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的或是zOx面上的橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的(2)解這是xOy面上的雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的或是yOz面上的雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的(3)x2y2z21解這是xOy面上的雙曲線x2y21繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的或是zOx面上的雙曲線x2z21繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的(4)(za)2x2y2解這是zOx面上的曲線(za)2x2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的或是yOz面上的曲線(za)2y2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的11畫(huà)出下列方程所表示的曲面(1)4x2y2z24(2)x2y24z24(3)習(xí)題741畫(huà)出下列曲線在第一卦限內(nèi)的圖形(1)(2)(3)2指出下方程組在平面解析幾何中與在空間解析幾何中分別表示什么圖形(1)解在平面解析幾何中表示直線y5x1與y2x3的交點(diǎn)在空間解析幾何中表示平面y5x1與y2x3的交線它表示過(guò)點(diǎn)并且行于z軸(2)解在平面解析幾何中表示橢圓與其切線y3的交點(diǎn)(03)在空間解析幾何中表示橢圓柱面與其切平面y3的交線3分別求母線平行于x軸及y軸而且通過(guò)曲線的柱面方程解把方程組中的x消去得方程3y2z216這就是母線平行于x軸且通過(guò)曲線的柱面方程把方程組中的y消去得方程3x22z216這就是母線平行于y軸且通過(guò)曲線的柱面方程4求球面x2y2z29與平面xz1的交線在xOy面上的投影的方程解由xz1得z1x代入x2y2z29得方程2x22xy28這是母線平行于z軸準(zhǔn)線為球面x2y2z29與平面xz1的交線的柱面方程于是所求的投影方程為5將下列曲線的一般方程化為參數(shù)方程(1)解將yx代入x2y2z29得2x2z29即令則z3sint故所求參數(shù)方程為z3sint(2)解將z0代入(x1)2y2(z1)24得(x1)2y23令則于是所求參數(shù)方程為z06求螺旋線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程解由前兩個(gè)方程得x2y2a2于是螺旋線在xOy面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程為由第三個(gè)方程得代入第一個(gè)方程得即于是螺旋線在zOx面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程為由第三個(gè)方程得代入第二個(gè)方程得即于是螺旋線在yOz面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程為7求上半球與圓柱體x2y2ax(a>0)的公共部分在xOy面和zOx面上的投影解圓柱體x2y2ax在xOy面上的投影為x2y2ax它含在半球在xOy面上的投影x2y2a2內(nèi)所以半球與圓柱體的公共部分在xOy面上的投影為x2y2ax為求半球與圓柱體的公共部分在zOx面上的投影由圓柱面方程x2y2ax得y2axx2代入半球面方程得(0xa)于是半球與圓柱體的公共部分在zOx面上的投影為(0xa)即z2axa20xaz08求旋轉(zhuǎn)拋物面zx2y2(0z4)在三坐標(biāo)面上的投影解令z4得x2y24于是旋轉(zhuǎn)拋物面zx2y2(0z4)在xOy面上的投影為x2y24令x0得zy2于是旋轉(zhuǎn)拋物面zx2y2(0z4)在yOz面上的投影為y2z4令y0得zx2于是旋轉(zhuǎn)拋物面zx2y2(0z4)在zOx面上的投影為x2z4習(xí)題751求過(guò)點(diǎn)(301)且與平面3x7y5z120平行的平面方程解所求平面的法線向量為n(375)所求平面的方程為3(x3)7(y0)5(z1)0即3x7y5z402求過(guò)點(diǎn)M0(296)且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)及點(diǎn)M0的線段OM0垂直的平面方程解所求平面的法線向量為n(296)所求平面的方程為2(x2)9(y9)6(z6)0即2x9y6z12103求過(guò)(111)、(222)、(112)三點(diǎn)的平面方程解n1(112)(111)(023)n1(112)(222)(310)所求平面的法線向量為所求平面的方程為3(x1)9(y1)6(z1)0即x3y2z04指出下列各平面的特殊位置并畫(huà)出各平面(1)x0解x0是yOz平面(2)3y10解3y10是垂直于y軸的平面它通過(guò)y軸上的點(diǎn)(3)2x3y60解2x3y60是平行于z軸的平面它在x軸、y軸上的截距分別是3和2(4)解是通過(guò)z軸的平面它在xOy面上的投影的斜率為(5)yz1解yz1是平行于x軸的平面它在y軸、z軸上的截距均為1(6)x2z0解x2z0是通過(guò)y軸的平面(7)6x5z0解6x5z0是通過(guò)原點(diǎn)的平面5求平面2x2yz50與各坐標(biāo)面的夾角的余弦解此平面的法線向量為n(221)此平面與yOz面的夾角的余弦為此平面與zOx面的夾角的余弦為此平面與xOy面的夾角的余弦為6一平面過(guò)點(diǎn)(101)且平行于向量a(211)和b(110)試求這平面方程解所求平面的法線向量可取為所求平面的方程為(x1)(y0)3(z1)0即xy3z407求三平面x3yz12xyz0x2y2z3的交點(diǎn)解解線性方程組得x1y1z3三個(gè)平面的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(113)8分別按下列條件求平面方程(1)平行于zOx面且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(253)解所求平面的法線向量為j(010)于是所求的平面為0(x2)5(y5)0(z3)0即y5(2)通過(guò)z軸和點(diǎn)(312)解所求平面可設(shè)為AxBy0因?yàn)辄c(diǎn)(312)在此平面上所以3AB0將B3A代入所設(shè)方程得Ax3Ay0所以所求的平面的方程為x3y0(3)平行于x軸且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(402)和(517)解所求平面的法線向量可設(shè)為n(0bc)因?yàn)辄c(diǎn)(402)和(517)都在所求平面上所以向量n1(517)(402)(119)與n是垂直的即b9c0b9c于是n(09cc)c(091)所求平面的方程為9(y0)(z2)0即9yz209求點(diǎn)(121)到平面x2y2z100的距離解點(diǎn)(121)到平面x2y2z100的距離為習(xí)題761求過(guò)點(diǎn)(413)且平行于直線的直線方程解所求直線的方向向量為s(215)所求的直線方程為2求過(guò)兩點(diǎn)M1(321)和M2(102)的直線方程解所求直線的方向向量為s(102)(321)(421)所求的直線方程為3用對(duì)稱(chēng)式方程及參數(shù)方程表示直線解平面xyz1和2xyz4的法線向量為n1(111)n2(211)所求直線的方向向量為在方程組中令y0得解得x3z2于是點(diǎn)(302)為所求直線上的點(diǎn)所求直線的對(duì)稱(chēng)式方程為參數(shù)方程為x32tytz23t4求過(guò)點(diǎn)(203)且與直線垂直的平面方程解所求平面的法線向量n可取為已知直線的方向向量即所平面的方程為16(x2)14(y0)11(z3)0即16x14y11z6505求直線與直線的夾角的余弦解兩直線的方向向量分別為兩直線之間的夾角的余弦為6證明直線與直線平行解兩直線的方向向量分別為因?yàn)閟23s1所以這兩個(gè)直線是平行的7求過(guò)點(diǎn)(024)且與兩平面x2z1和y3z2平行的直線方程解因?yàn)閮善矫娴姆ň€向量n1(102)與n2(013)不平行所以?xún)善矫嫦嘟挥谝恢本€此直線的方向向量可作為所求直線的方向向量s即所求直線的方程為8求過(guò)點(diǎn)(312)且通過(guò)直線的平面方程解所求平面的法線向量與直線的方向向量s1(521)垂直因?yàn)辄c(diǎn)(312)和(430)都在所求的平面上也是垂直的因此所求平面的法線向量可取為所求平面的方程為8(x3)9(y1)22(z2)0即8x9y22z5909求直線與平面xyz10的夾角解已知直線的方向向量為已知平面的法線向量為n(111)因?yàn)閟n214(1)(2)(1)0所以sn從而直線與平面xyz10的夾角為010試確定下列各組中的直線和平面間的關(guān)系(1)和4x2y2z3解所給直線的方向向量為s(273)所給平面的法線向量為n(422)因?yàn)閟n(2)4(7)(2)3(2)0所以sn從而所給直線與所給平面平行又因?yàn)橹本€上的點(diǎn)(340)不滿足平面方程4x2y2z3所以所給直線不在所給平面上(2)和3x2y7z8解所給直線的方向向量為s(327)所給平面的法線向量為n(327)因?yàn)閟n所以所給直線與所給平面是垂直的(3)和xyz3解所給直線的方向向量為s(314)所給平面的法線向量為n(111)解已知直線的方向向量分別為所求平面的法線向量可取為所求平面的方程為(x1)(y2)(z1)0即xyz012求點(diǎn)(120)在平面x2yz10上的投影解平面的法線向量為n(121)過(guò)點(diǎn)(120)并且垂直于已知平面的直線方程為將此方程化為參數(shù)方程x1ty22tzt代入平面方程x2yz10中得(1t)2(22t)(t)10解得再將代入直線的參數(shù)方程得于是點(diǎn)(120)在平面x2yz10上的投影為點(diǎn)13求點(diǎn)P(312)到直線的距離解已知直線的方向向量為過(guò)點(diǎn)P且與已知直線垂直的平面的方程為3(y1)3(z2)0即yz10解線性方程組得x1點(diǎn)P(312)到直線的距離就是點(diǎn)P(312)與點(diǎn)間的距離即14設(shè)M0是直線L外一點(diǎn)M是直線L上任意一點(diǎn)且直線的方向向量為s試證點(diǎn)M0到直線L的距離解設(shè)點(diǎn)M0到直線L的距離為dL的方向向量根據(jù)向量積的幾何意義以和為鄰邊的平行四邊形的面積為又以和為鄰邊的平行四邊形的面積為因此15求直線在平面4xyz1上的投影直線的方程解過(guò)已知直線的平面束方程為(23)x(4)y(12)z90為在平面束中找出與已知平面垂直的平面令(411)(23412)0即4(23)(1)(4)1(12)0解之得將代入平面束方程中得17x31y37z1170故投影直線的方程為16畫(huà)出下列各曲面所圍成的立體圖形(1)x0y0z0x2y13x4y2z120(2)x0z0x1y2(3)z0z3xy0x2y21(在第一卦限內(nèi))(4)x0y0z0x2y2R2y2z2R2(在第一卦限內(nèi))總習(xí)題七1填空(1)設(shè)在坐標(biāo)系[Oijk]中點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)依次為(x0y0z0)和(xyz)則在[Aijk]坐標(biāo)系中點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)__________向量的坐標(biāo)為_(kāi)__________解M(xx0yy0zz0)提示自由向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān)它在某一向量上的投影不會(huì)因起點(diǎn)的位置的不同而改變(2)設(shè)數(shù)1、2、3不全為0使1a2b3c0則a、b、c三個(gè)向量是__________的解共面(3)設(shè)a(212)b(4110)cba且ac則____________解3提示因?yàn)閍c所以ac0又因?yàn)橛蒩cabaa241(1)210(221222)279所以3(4)設(shè)a、b、c都是單位向量且滿足abc0則abbcca____________解提示因?yàn)閍bc0所以(abc)(abc)0即aabbcc2ab2ac2ca0于是(5)設(shè)|a|3|b|4|c|5且滿足abc0則|abbcca|____________解36提示c(ab)abbccaabb(ab)(ab)aabbaba3ab|abbcca|3|ab|3|a||b|334362在y軸上求與點(diǎn)A(137)和點(diǎn)B(575)等距離的點(diǎn)解設(shè)所求點(diǎn)為M(0y0)則有12(y3)27252(y7)2(5)2即(y3)2(y7)2解得y2所求的點(diǎn)為M(020)3已知ABC的頂點(diǎn)為A(3,2,1)、B(5,4,7)和C(1,1,2)求從頂點(diǎn)C所引中線的長(zhǎng)度解線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為所求中線的長(zhǎng)度為4設(shè)ABC的三邊、、三邊中點(diǎn)依次為D、E、F試用向量a、b、c表示、、并證明解5試用向量證明三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊且其長(zhǎng)度等于第三邊長(zhǎng)度的一半證明設(shè)DE分別為ABAC的中點(diǎn)則有所以從而DE//BC且6設(shè)|ab||ab|a(358)b(11z)求z解ab(248z)ab(468z)因?yàn)閨ab||ab|所以解得z17設(shè)|b|1求向量ab與ab的夾角解|ab|2(ab)(ab)|a|2|b|22ab|a|2|b|22|a||b|cos(a^b)|ab|2(ab)(ab)|a|2|b|22ab|a|2|b|22|a||b|cos(a^b)設(shè)向量ab與ab的夾角為則8設(shè)a3b7a5ba4b7a2b求解因?yàn)閍3b7a5ba4b7a2b所以(a3b)(7a5b)0(a4b)(7a2b)0即7|a|216ab15|b|207|a|230ab8|b|20又以上兩式可得于是9設(shè)a(212)b(11z)問(wèn)z為何值時(shí)最小？并求出此最小值解因?yàn)楫?dāng)時(shí)為單調(diào)減函數(shù)求的最小值也就是求的最大值令得z4當(dāng)z4時(shí)所以10設(shè)|a|4|b|3求以a2b和a3b為邊的平行四邊形的面積解(a2b)(a3b)3ab2ba5ba以a2b和a3b為邊的平行四邊形的面積為11設(shè)a(231)b(123)c(212)向量r滿足rarbPrjcr14求r解設(shè)r(xyz)因?yàn)閞arb所以ra0rb0即2x3yz0x2y3z0又因?yàn)镻rjcr14所以即2xy2z42解線性方程組得x14y10z2所以r(14102)另解因?yàn)閞arb所以r與平行故可設(shè)r(751)又因?yàn)镻rjcr14所以rc42即(725112)422所以r(14102)12設(shè)a(132)b(234)c(3126)證明三向量a、b、c共面并用a和b表示c證明向量a、b、c共面的充要條件是(ab)c0因?yàn)?ab)c(6)(3)012(3)60所以向量a、b、c共面設(shè)cab則有(23324)(3126)即有方程組解之得51所以c5ab13已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y,z)到xOy平面的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)(1,1,2)的距離相等求點(diǎn)M的軌跡方程解根據(jù)題意有或z2(x1)2(y1)2(z2)2化簡(jiǎn)得(x1)2(y1)24(z1)這就是點(diǎn)M的軌跡方程14指出下列旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線和旋轉(zhuǎn)軸(1)z2(x2y2)解旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線為zOx面上的曲線z2x2旋轉(zhuǎn)軸為z軸(2)