高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第八章-立體幾何

第八章立體幾何考點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖與直觀圖1.(2016·全國(guó)Ⅲ，9)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()A.18＋36eq\r(5)B.54＋18eq\r(5)C.90D.812.(2016·全國(guó)Ⅱ，6)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A.20πB.24πC.28πD.32π3.(2016·北京，6)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.14.(2016·山東，5)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)πB.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),3)πC.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),6)πD.1＋eq\f(\r(2),6)π5.(2015·廣東，8)若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值()A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于36.(2015·北京，5)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是()A.2＋eq\r(5)B.4＋eq\r(5)C.2＋2eq\r(5)D.57.(2015·浙江，2)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是()A.8cm3B.12cm3C.eq\f(32,3)cm3D.eq\f(40,3)cm38.(2015·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，11)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝()A.1B.2C.4D.89.(2014·福建，2)某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是()A.圓柱B.圓錐C.四面體D.三棱柱10.(2014·江西，5)一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是()11.(2014·湖北，5)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2).給出編號(hào)為①、②、③、④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為()A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②12.(2014·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，12)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為()A.6eq\r(2)B.4eq\r(2)C.6D.413.(2015·天津，10)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_(kāi)_______m3.

考點(diǎn)2空間幾何體的表面積和體積1.(2016·全國(guó)Ⅲ，10)在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是()A.4πB.eq\f(9π,2)C.6πD.eq\f(32π,3)2.(2016·全國(guó)Ⅰ，6)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是eq\f(28π,3)，則它的表面積是()A.17πB.18πC.20πD.28π3.(2015·陜西，5)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A.3πB.4πC.2π＋4D.3π＋44.(2015·安徽，7)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是()A.1＋eq\r(3)B.2＋eq\r(3)C.1＋2eq\r(2)D.2eq\r(2)5.(2015·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，9)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A.36πB.64πC.144πD.256π6.(2015·山東，7)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(4π,3)C.eq\f(5π,3)D.2π7.(2015·重慶，5)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(1,3)＋πB.eq\f(2,3)＋πC.eq\f(1,3)＋2πD.eq\f(2,3)＋2π8.(2015·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，6)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖所示，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,7)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,5)9.(2015·湖南，10)某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過(guò)切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的長(zhǎng)方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為(材料利用率＝eq\f(新工件的體積,原工件的體積))()A.eq\f(8,9π)B.eq\f(16,9π)C.eq\f(4(\r(2)－1)3,π)D.eq\f(12(\r(2)－1)3,π)10.(2014·重慶，7)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A.54B.60C.66D.7211.(2014·浙江，3)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是()A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm212.(2014·大綱全國(guó)，8)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為()A.eq\f(81π,4)B.16πC.9πD.eq\f(27π,4)13.(2014·安徽，7)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為()A.21＋eq\r(3)B.18＋eq\r(3)C.21D.1814.(2014·陜西，5)已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(2)的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為()A.eq\f(32π,3)B.4πC.2πD.eq\f(4π,3)15.(2014·湖北，8)《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式V≈eq\f(2,75)L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為()A.eq\f(22,7)B.eq\f(25,8)C.eq\f(157,50)D.eq\f(355,113)16.(2014·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，6)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1(表示1cm)，圖中粗線(xiàn)畫(huà)出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來(lái)毛坯體積的比值為()A.eq\f(17,27)B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,27)D.eq\f(1,3)17.(2016·四川，13)已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________.18.(2016·浙江，14)如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線(xiàn)段AC上的點(diǎn)D，滿(mǎn)足PD＝DA，PB＝BA，則四面體PBCD的體積的最大值是________.19.(2015·江蘇，9)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為_(kāi)_______.20.(2014·江蘇，8)設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側(cè)面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________.

考點(diǎn)3點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系1.(2016·全國(guó)Ⅰ，11)平面α過(guò)正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)2.(2015·安徽，5)已知m，n是兩條不同直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是()A.若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B.若m，n平行于同一平面，則m與n平行C.若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線(xiàn)D.若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面3.(2014·遼寧，4)已知m，n表示兩條不同直線(xiàn)，α表示平面.下列說(shuō)法正確的是()A.若m∥α，n∥α，則m∥nB.若m⊥α，n?α，則m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，則n∥αD.若m∥α，m⊥n，則n⊥α4.(2015·浙江，13)如圖，三棱錐ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AN，CM所成的角的余弦值是________.

考點(diǎn)4線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)1.(2016·山東,17)在如圖所示的圓臺(tái)中,AC是下底面圓O的直徑,EF是上底面圓O′的直徑,FB是圓臺(tái)的一條母線(xiàn).(1)已知G,H分別為EC,FB的中點(diǎn),求證：GH∥平面ABC；(2)已知EF＝FB＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(3),AB＝BC,求二面角F－BC－A的余弦值.2.(2016·全國(guó)Ⅲ,19)如圖,四棱錐P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,PA＝BC＝4,M為線(xiàn)段AD上一點(diǎn),AM＝2MD,N為PC的中點(diǎn).(1)證明MN∥平面PAB；(2)求直線(xiàn)AN與平面PMN所成角的正弦值.3.(2015·江蘇,16)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC＝CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D,B1C∩BC1＝E.求證：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.4.(2014·江蘇,16)如圖,在三棱錐PABC中,D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn).已知PA⊥AC,PA＝6,BC＝8,DF＝5.求證：(1)直線(xiàn)PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.5.(2014·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,18)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).(1)證明：PB∥平面AEC；(2)設(shè)二面角DAEC為60°,AP＝1,AD＝eq\r(3),求三棱錐EACD的體積.6.(2014·湖北,19)如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N分別是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別在棱DD1,BB1上移動(dòng),且DP＝BQ＝λ(0<λ<2).(1)當(dāng)λ＝1時(shí),證明：直線(xiàn)BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ,使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在,求出λ的值；若不存在,說(shuō)明理由.

考點(diǎn)5線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)1.(2016·浙江,2)已知互相垂直的平面α,β交于直線(xiàn)l.若直線(xiàn)m,n滿(mǎn)足m∥α,n⊥β,則()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n2.(2015·浙江,8)如圖,已知△ABC,D是AB的中點(diǎn),沿直線(xiàn)CD將△ACD翻折成△A′CD,所成二面角A′CDB的平面角為α,則()A.∠A′DB≤α B.∠A′DB≥αC.∠A′CB≤α D.∠A′CB≥α3.(2014·廣東,7)若空間中四條兩兩不同的直線(xiàn)l1,l2,l3,l4,滿(mǎn)足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論一定正確的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關(guān)系不確定4.(2016·全國(guó)Ⅱ,14)α,β是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線(xiàn),有下列四個(gè)命題：(1)如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.(2)如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.(3)如果α∥β,m?α,那么m∥β.(4)如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.其中正確的命題有________(填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào)).5.(2016·全國(guó)Ⅰ,18)如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,平面ABEF為正方形,AF＝2FD,∠AFD＝90°,且二面角D－AF－E與二面角C－BE－F都是60°.(1)證明：平面ABEF⊥EFDC；(2)求二面角E－BC－A的余弦值.6.(2016·江蘇，16)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證：(1)直線(xiàn)DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.7.(2015·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,19)如圖,長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中,AB＝16,BC＝10,AA1＝8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E＝D1F＝4.過(guò)點(diǎn)E,F的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交,交線(xiàn)圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫(huà)法和理由)；(2)求直線(xiàn)AF與平面α所成角的正弦值.8.(2015·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,18)如圖,四邊形ABCD為菱形,∠ABC＝120°,E,F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn),BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE＝2DF,AE⊥EC.(1)證明：平面AEC⊥平面AFC,(2)求直線(xiàn)AE與直線(xiàn)CF所成角的余弦值.9.(2014·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,19)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C.(1)證明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,AB＝BC,求二面角AA1B1C1的余弦值.10.(2014·廣東,18)如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC＝30°,AF⊥PC于點(diǎn)F,FE∥CD,交PD于點(diǎn)E.(1)證明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值.11.(2014·遼寧,19)如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB＝BC＝BD＝2,∠ABC＝∠DBC＝120°,E,F分別為AC,DC的中點(diǎn).(1)求證：EF⊥BC；(2)求二面角EBFC的正弦值.12.(2014·江西,19)如圖,四棱錐P-ABCD中,ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD.(1)求證：AB⊥PD；(2)若∠BPC＝90°,PB＝eq\r(2),PC＝2,問(wèn)AB為何值時(shí),四棱錐PABCD的體積最大？并求此時(shí)平面BPC與平面DPC夾角的余弦值.13.(2014·湖南,19)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等,AC∩BD＝O,A1C1∩B1D1＝O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.

考點(diǎn)6空間向量與立體幾何1.(2014·廣東,5)已知向量a＝(1,0,－1),則下列向量中與a成60°夾角的是()A.(－1,1,0)B.(1,－1,0)C.(0,－1,1)D.(－1,0,1)2.(2014·四川,8)如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中,點(diǎn)O為線(xiàn)段BD的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P在線(xiàn)段CC1上,直線(xiàn)OP與平面A1BD所成的角為α,則sinα的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，1))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(2),3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)，1))3.(2014·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,11)直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BCA＝90°,M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC＝CA＝CC1,則BM與AN所成角的余弦值為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(\r(30),10)D.eq\f(\r(2),2)4.(2014·江西,10)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB＝11,AD＝7,AA1＝12.一質(zhì)點(diǎn)從頂點(diǎn)A射向點(diǎn)E(4,3,12),遇長(zhǎng)方體的面反射(反射服從光的反射原理),將第i－1次到第i次反射點(diǎn)之間的線(xiàn)段記為L(zhǎng)i(i＝2,3,4),L1＝AE,將線(xiàn)段L1,L2,L3,L4豎直放置在同一水平線(xiàn)上,則大致的圖形是()5.(2015·四川,14)如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線(xiàn)段PQ上,E、F分別為AB、BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線(xiàn)EM與AF所成的角為θ,則cosθ的最大值為_(kāi)_______.6.(2016·全國(guó)Ⅱ,19)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O,AB＝5,AC＝6,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE＝CF＝eq\f(5,4),EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置.OD′＝eq\r(10).(1)證明：D′H⊥平面ABCD；(2)求二面角B－D′A－C的正弦值.7.(2015·陜西,18)如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD＝eq\f(π,2),AB＝BC＝1,AD＝2,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如圖2.(1)證明：CD⊥平面A1OC；(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值.8.(2015·天津,17)如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB＝1,AC＝AA1＝2,AD＝CD＝eq\r(5),且點(diǎn)M和N分別為B1C和D1D的中點(diǎn).(1)求證：MN∥平面ABCD；(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值；(3)設(shè)E為棱A1B1上的點(diǎn),若直線(xiàn)NE和平面ABCD所成角的正弦值為eq\f(1,3),求線(xiàn)段A1E的長(zhǎng).9.(2015·安徽,19)如圖所示,在多面體A1B1D1-DCBA,四邊形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均為正方形,E為B1D1的中點(diǎn),過(guò)A1,D,E的平面交CD1于F.(1)證明：EF∥B1C.(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值.10.(2015·重慶,19)如圖,三棱錐PABC中,PC⊥平面ABC,PC＝3,∠ACB＝eq\f(π,2).D,E分別為線(xiàn)段AB,BC上的點(diǎn),且CD＝DE＝eq\r(2),CE＝2EB＝2.(1)證明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值.11.(2015