函數(shù)的基本性質(zhì)

關(guān)于函數(shù)的基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一

函數(shù)的單調(diào)性1.單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有

，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)

，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)f(x1)<f(x2)f(x1)<f(x2)第2頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或

，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)的最值減函數(shù)前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件對(duì)于任意x∈I，都有

；存在x0∈I，使得f(x0)＝M對(duì)于任意x∈I，都有

；存在x0∈I，使得結(jié)論M為最大值M為最小值f(x)≤Mf(x)≥M第3頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天?單調(diào)性定義的兩種變式.第4頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天?單調(diào)性的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)性；單調(diào)區(qū)間.答案

[－2，＋∞)解析由f(x)圖象易知遞增區(qū)間為(－∞，－1]，[1，＋∞).答案

(－∞，－1]，[1，＋∞)第5頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性與周期性1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有

，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于

對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有

，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于

對(duì)稱f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點(diǎn)第6頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝

，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)

正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.f(x)最小第7頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天

判斷函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間的方法(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性.(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義.(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間.(4)復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]根據(jù)“同增異減”判斷.題型歸納題型一判斷函數(shù)的單調(diào)性第8頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天第9頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天[點(diǎn)評(píng)]

判斷函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)首先求出函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)求解.第10頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天變式訓(xùn)練：此題的圖像比較容易畫出，可由圖像的直觀性寫出它的單調(diào)性.函數(shù)單調(diào)性的證明用定義利用定義證明的步驟：①取值②作差比較③定號(hào)④結(jié)論.解題時(shí)注意所設(shè)自變量在區(qū)間內(nèi)具有任意性.若否定函數(shù)單調(diào)性，只需取兩個(gè)特殊自變量說(shuō)明不滿足即可.第11頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天1、求函數(shù)值域或最值.

題型二函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用依題意，函數(shù)的定義域?yàn)閇-3,5],且函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞增的.從而利用函數(shù)的單調(diào)性求值域.變式訓(xùn)練第12頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2已知函數(shù)x∈[1,+∞).(1)當(dāng)a=時(shí),求f(x)的最小值;(2)若對(duì)任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

思維啟迪

第(1)問(wèn)可先證明函數(shù)f(x)在[1,+∞)

上的單調(diào)性,然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解，對(duì)于第

(2)問(wèn)可采用轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)在[1,+∞)上的最小值大于0的問(wèn)題來(lái)解決.還可以使用分離參數(shù)法第13頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、比較函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大小.比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.3、解不等式.在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.上述兩類題型常與函數(shù)的奇偶性相結(jié)合考查第14頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天4、利用單調(diào)性求參數(shù).視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).例1.函數(shù)f(x)＝|x－a|在(－∞，2]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是

．例2.已知是R上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是第15頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天題型三函數(shù)的奇偶性判斷(1)定義法(2)圖象法(3)性質(zhì)法若f(x)，g(x)在其公共定義域上具有奇偶性，則奇＋奇＝奇；奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.第16頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)首先必須判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（4）可以用定義判斷也可以畫圖偶函數(shù)第17頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天

題型四函數(shù)奇偶性的應(yīng)用重點(diǎn)類型解決方法求函數(shù)值或解析式把待求值或自變量x利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間的函數(shù)值或解析式求解.求參數(shù)值利用待定系數(shù)法求解.根據(jù)f(－x)＝±f(x)得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值.第18頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天解決有關(guān)函數(shù)圖象的問(wèn)題利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，畫出另一半對(duì)稱區(qū)間上的圖象.奇偶性與其他性質(zhì)的綜合應(yīng)用(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反(2)在利用函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值或比較函數(shù)值的大小時(shí)，要綜合利用函數(shù)的周期性與奇偶性，把自變量化歸到已知區(qū)間中，然后根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)求解.第19頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天1、求函數(shù)值或解析式解決此類題型分三步：①將所求解析式的自變量的范圍轉(zhuǎn)化為已知解析式中自變量的范圍；②將轉(zhuǎn)化后的自變量代入已知解析式；③利用函數(shù)的奇偶性求出解析式第20頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天奇偶性兩個(gè)性質(zhì)：（1）若函數(shù)具有奇偶性，則定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱例1、若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a－1，2a]，則a＝________，b＝________.2、已知函數(shù)的奇偶性，求參數(shù).第21頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天第22頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天若已知函數(shù)的奇偶性，求參數(shù)的值.可從以下幾個(gè)角度來(lái)思考：①?gòu)暮瘮?shù)的定義域的角度，即函數(shù)的奇偶性的前提條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②從函數(shù)解析式的角度，即f(-x)與f(x)的關(guān)系；③從賦值的角度，即用特殊值代入求解.第23頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天3、奇函數(shù)的特別應(yīng)用第24頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例1、下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是偶函數(shù)，又在(－∞，0)上單調(diào)遞增的函數(shù)是(

)4、函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用方法1：利用代數(shù)思想解題方法2：利用圖像解題第25頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天第26頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天答案(1)C

(2)(－∞，1]∪[3，＋∞)[點(diǎn)評(píng)]

解題(1)的關(guān)鍵是會(huì)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；解題(2)的關(guān)鍵是利用奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)畫出草圖.第27頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天分析：利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系可確定函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞增的，再利用單調(diào)性解不等式.第28頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天題型五、函數(shù)的周期性解題方略1.有關(guān)函數(shù)周期性的常用結(jié)論2.判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能.第29頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天第30頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天小練：1.設(shè)偶函數(shù)f(x)為(0,+∞)上的減函數(shù)，則f(－2),

f(－π),

f(3)的大小順序是

．2.已知二次函數(shù)為偶函數(shù)，則f(x)在(－5，－2)上是單調(diào)

函數(shù)．圖像第31頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天5、已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(-5)=5，則f(5)=________6.已知函數(shù)，常數(shù)a、b∈R，且f（4）=0，則f（-4）=

．7已知為奇函數(shù)，

求a,b第32頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天

函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問(wèn)題解題策略

函數(shù)f(x)的定義域D＝{x|x≠0}，且滿足對(duì)于任意x1，x2∈D.有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍.第33頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天[解題指導(dǎo)]解

(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)為偶函數(shù)，證明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(