導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用試題

第五章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

5.3.2極大值與極小值

一、單選題(共5小題，滿分25分，每小題5分)

2

1.下列五個函數(shù)，①y=V；②丁=f+1；③y=|x|；④y=2*；?y=x3.在x=0處

取得極值的函數(shù)的個數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】①丁=已了=3公2()在(—00,+00)為單調(diào)遞增，不存在極值點(diǎn)；

②丁=必+1,在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增，.?.XMO處函數(shù)取得極小值；

xx>0

③丁二八，在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增，.??九=0處函數(shù)取得極小值;

-xx<0

④y=2、在(-8,+oo)為單調(diào)遞增，不存在極值點(diǎn);

2

⑤/在(0,+8)單調(diào)遞增，在(-8,0)單調(diào)遞減，.?.元=0處函數(shù)取得極小值；故選：C.

2.若x=l是函數(shù)/(乃=!三+(口+1)必—("+4—3)x的極值點(diǎn)，則。的值為()

A.-2B.3C.-2或3D.-3或2

【答案】B

【解析】/(x)=1x3+(a+l)x2-+a-3)x=>f(x)—爐+2(〃+l)x-(a?+Q—3),

由題意可知f(1)=0,=>f(1)=1+(a+1)—(a?+a—3)=0=>a=3或Q=—2

當(dāng)a=3時，f(x)=x2+2(Q+1)X-(〃2+^-3)=X2+8X-9=(尤+9)(九一1),

當(dāng)x>Lx<—9時，/(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)—9<x<l時，/(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞

減，顯然x=l是函數(shù)”力的極值點(diǎn)；

當(dāng)a=—2時，f(尤)=尤？+2(a+l)x—(才+a—3)=x?—2x+1=(x—1)~>0,所以函數(shù)

是H上的單調(diào)遞增函數(shù)，沒有極值，不符合題意，舍去，故選:B.

3.函數(shù)/(x)=°°s"在x=g處取得極值,貝I()

e2

717T

A.a=l且一為極大值點(diǎn)B.a=l,且一為極小值點(diǎn)

f22

71TT

C.〃=—1,且一為極大值點(diǎn)D.a=-l,且一為極小值點(diǎn)

22

【答案】B

、cosx-a

【解析】V/(%)=——-—

e

-sinx-cosx+a-^2sinx+—\+a

TT

又〃無)在x=《處取得極值，

2

.?J(9=下=0,得a=]

e2

-V2sinIx+—1+1

,T?=----------14J

由/'(x)<0得，—^2sin+1<0,即sin[x+7)>,

兀兀37rTC_

——F2k兀<x-\——<----F2k兀,keZ,即2k兀<x<——\-2k兀,keZ,

4442

JT_

同理，由/（%）＞。得，——卜2k兀＜x＜兀+2k兀，keZ,

2

/'（X）在x=1處附近的左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，

77

???函數(shù)/（X）在x=上處取得極小值，故選：B.

2

4.設(shè)函數(shù)“X）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為了'（%）,且函數(shù)y=（l—X）/'（%）的圖象如圖所

示，則下列結(jié)論中一定成立的是（）

A./（X）有極大值/（一2）B./（九）有極小值/（一2）

c.“X）有極大值/⑴D.“X）有極小值/⑴

【答案】A

【解析】函數(shù)y=（l—x）/'（x）的圖象如圖所示，

時，/'（尤）＜0；—2＜X＜1時，/,（%）＜0；x＜—2時，/f（x）＞0.

函數(shù)/（%）在2）上單調(diào)遞增，在（-2,1）上單調(diào)遞減，在（L+8）上單調(diào)遞減.

有極大值〃一2）,故選：A.

5.已知函數(shù)/（力=尤3+儂?+（優(yōu)+6卜+1既存在極大值，又存在極小值，則實(shí)數(shù)加的取值范

圍是（）

A.(-1,2)B.(-00,-3)U(6,+oo)

C.(-3,6)D.(-oo,-l)|J(2,+oo)

【答案】B

【解析】/(^)=X3+/HX2+(ZM+6)X+1,

f(x)=3x2+2mx+m+6,

:函數(shù)/(x)既存在極大值，又存在極小值,

...導(dǎo)函數(shù)尸(X)有兩個不相等的變號零點(diǎn)，

A=4:"—12(〃z+6)>0,即加2—3〃z—18>0,解得機(jī)<—3或〃？>6.

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(F,-3)U(6,+?),故選:B.

二、多選題(共3小題，滿分15分，每小題5分，少選得3分，多選不得分)

6.材料：函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析教

材中，對“初等函數(shù)”給出了確切的定義，即由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算及

有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的，且能用一個式子表示的，如函數(shù)/(￡)=爐(>>0),我們可

lnZ

以作變形："％)=￡=e=*工=/。=xinx),所以〃龍)可看作是由函數(shù)/⑺=/

和g(x)=xlnx復(fù)合而成的，即/(力=/(%>0)為初等函數(shù).根據(jù)以上材料，對于初等函

1

數(shù)〃(尤)=6(%>0)的說法正確的是()

A.無極小值B.有極小值1C.無極大值D.有極大值嗦

【答案】AD

111.

［解析】根據(jù)材料知：&⑴=￡==/，

iZ、—Inx(1-Inx(11A1-Inx/、

所以//(%)=￡**—Inxex?——-lnx+-=—ex(1-lnx)，

Vxx)x

令〃'(x)=0得x=e,當(dāng)0<%<e時，〃'(x)>0,此時函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng)x〉e時，//(%)<0,此時函數(shù)/z(x)單調(diào)遞減.

所以/?(%)有極大值且為〃,)=/，無極小值,故選：AD.

7.關(guān)于函數(shù)/(x)=L+lnx,下列說法正確的是()

A./⑴是/(%)的極小值；

B.函數(shù)y=/(x)-尤有且只有1個零點(diǎn)

C.“X)在(-8,1)上單調(diào)遞減；

D.設(shè)g(x)=V(x),則g[J<g(G).

【答案】ABD

【解析】函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),可知C錯誤，

.「,/、11X—1

對A,/(x)=2+~~~丁，

XXX-

當(dāng)xe(0,l)時，r(x)<0,函數(shù)/■(%)在(0,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(l,+8)時，f\x)>0,函數(shù)/Xx)在(L+o。)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=l時，函數(shù)/(尤)取得極小值/⑴=1,故A正確；

對B,y=f(x)-x=-+\nx-x,其定義域?yàn)?0,+<?),

x

，111—x~+龍一1

尸下+「二--<0

X2%2

所以函數(shù)y=/(%)-X在(0,+s)上單調(diào)遞減，又1=1時其函數(shù)值為0,

所以函數(shù)y=/(x)-X有且只有1個零點(diǎn)，故B正確;

對D,g(x)=4(%)=l+xln%,其定義域?yàn)?0,+00),

g(x)=lnx+l,令g(x)=0,得x=J_,

e

當(dāng)xe(0一)時，g'(x)<0,函數(shù)g(九)在(0」)上單調(diào)遞減；

ee

當(dāng)xe(L+oo)時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(L+oo)上單調(diào)遞增,

ee

所以當(dāng)x='時，函數(shù)g(x)取得極小值gd),也是最小值，

ee

所以g［：)<g(G),故D正確.

故選：ABD

8.關(guān)于函數(shù)〃x)=|x—1|一Inx,下列說法不正確的是()

A."X)在\,+1|單調(diào)遞增B.7。)有極小值為0,無極大值

C.了(龍)的值域?yàn)?一1,y)D.丁=/(幻的圖象關(guān)于直線無=1對稱

【答案】ACD

,?fx-l-lnx,(x>1)

【解析】??./(%)=%TTnx=(/、，

二當(dāng)時，/fw=l-->o,則“尤)單調(diào)遞增；

X

當(dāng)0<%<1時，/,(x)=-l--<0,則/(尤)單調(diào)遞減；

即函數(shù)〃元）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（L+8）單調(diào)遞增，故A選項不正確；

當(dāng)無=1時，函數(shù)Ax）有極小值/⑴=0,無極大值，故3選項正確；

因?yàn)楹瘮?shù)AM在（0,1）上單調(diào)遞減，在（L+⑹單調(diào)遞增，則

函數(shù)〃尤）有最小值/⑴=0,即〃*）的值域?yàn)閇0,+8）,故C選項不正確;

因?yàn)?=；+

=—1—In-=—FIn—w

2223

所以y=/（x）的圖象不關(guān)于直線X=1對稱，故。選項不正確；故選：ACD

三、填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分，一題兩空，第一空2分）

9.已知函數(shù)次%）=尤3+62+區(qū)一°2—7。在x=l處取得極大值10,則1的值為.

【答案】-f2

_13+2Q+/?=0,

【解析】由題意知，f(x)=3x1+2ax+b,/(1)=0,11)=10,即彳|「？八

1?ci?ba7〃10,

[a=-2,[a=-6,[a=—6,〃）

解得7I或7c經(jīng)檢驗(yàn)7八滿足題意，故拄號.

[b=l2=9,炒=9,0，

故答案為：得2

10.已知函數(shù)/（力=21111+依2—3%在％=2處取得極小值，則/（%）的極大值為

【答案】

2

2

【解析】由題意得，/'（x）=—+2初—3,

X

.?./'(2)=41—2=0,解得o=

/./(^)=21nx+—x2-3x,/r(x)=—+x-3=――—―,

2xx

.-./(%)在(0,1),(2,+8)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，

???/(X)的極大值為/(l)=；_3=_g.故答案為：―三

11.已知函數(shù)/(%)=依2—2x+lnx有兩個不同的極值點(diǎn)再，x2,則a的取值范圍

；且不等式/(%)+/(%)<%+/+/恒成立，則實(shí)數(shù)/的取值范圍

【答案】(1).0,I(2).[-5,+8)

【解析】f\x)=2aX~~2x+\x>0),

X

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)=-2x+lnx有兩個不同的極值點(diǎn)占，聲,

所以方程2依2_2%+1=0有兩個不相等的正實(shí)數(shù)根,

A=4—8。>0

于是有：〈石+%2=—>°，解得0<々<工.

a2

Xix=—>0

1922a

/(%)+/(羽)一玉-x2=竭-2x,H-lnXj+ax^-2x2+lnx2-xl

+%2)2—3(玉+%2)+1口(項工2)

2一c

=------]_In2〃，

a

設(shè)h(a)-....1—In2a,[o<〃<—,

li(a)=—；〉O,故丸(。)在0<a<—上單調(diào)遞增，

a2

故丸(a)=-5,所以后一5.

因此/的取值范圍是[—5,+8)

故答案為：^0,—；[―5,+co)

四、解答題：(本題共3小題，共45分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

12.已知/(X)=2丁一mr?-12x+6的一個極值點(diǎn)為2.

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間[—2,2]上的最值.

【答案】⑴在區(qū)間(—1,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(口,—1),(2,抬)上單調(diào)遞增；⑵最

小值為-14,最大值為13.

【解析】⑴因?yàn)?(%)=2三一7加一12%+6,所以/'(x)=6%2-2陽一12,

因?yàn)?(%)=2%3—"2%—121+6的一?個極值點(diǎn)為2,

所以/'(2)=6x22—2機(jī)義2—12=0,解得根=3,

此時/(x)=2/一3d-12尤+6,/=6爐-6x-12=6(x+l)(x-2),

令/'(x)=0,得尤=T或x=2,

令/'(x)<0,得—l<x<2；令/'(x)>0,得x<—1或x>2,

故函數(shù)/(九)在區(qū)間(—1,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-8,-1),(2,+8)上單調(diào)遞增.

(2)由⑴知，“X)在［—2,—1］上為增函數(shù)，在(—1,2］上為減函數(shù)，

所以x=—1是函數(shù)/(%)的極大值點(diǎn)，又/(—2)=2,/(—1)=13,/(2)=-14,

所以函數(shù)“X)在區(qū)間［-2,2］上的最小值為—14,最大值為13.

13.已知函數(shù)/(x)=x|lnx-有兩個極值點(diǎn)，則求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】0<。<1

【解析】??,/(x)=x[lnx-gax,/'(%)=lrvc+1-ax.

a=I"'.1在x>0時有兩個根,

x

,、lnx+1

令A(yù)g(x)=---------

X

令g(x)=/mr+l-ar,，,、1犬-(lnx+1)jnx

g(x)=--------j-