2017-2018年度湖南師大附中教育集團九年級(上)期末數(shù)學試卷

2017-2018學年湖南師大附中教育集團九年級（上）期末數(shù)學試

卷

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的，請在答題卡

中填涂符合題意的選項，本大題共12個小題，每小題3分，共36分）

1.（3分）在實數(shù)-3、2、0、-n中，最小的數(shù)是（）

A.-3B.2C.0D.-Ji

2.（3分）下列計算正確的是（）

A.a-^a-aB.J2=a

C.2a2+。2=3。4D.（a-b）2=a2-b2

3.（3分）用百度搜索關(guān)鍵詞“十九大”，百度為您找到相關(guān)結(jié)果約11700000個,

把11700000這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（）

A.1.17X105B.11.7X106C.1.17X107D.117X105

4.（3分）下列圖形中既是中心對稱又是軸對稱的圖形的是（）

5.（3分）一副三角板有兩個直角三角形，如圖疊放在一起，則Na的度數(shù)是

C.150°D.135°

6.（3分）當生-2例+如+b-3=0時，直線產(chǎn)丘+。經(jīng)過點（）

A.(-1,-1)B.(-1,1)C.(-1,-3)D.1,3)

7.（3分）2010年3月份，某市市區(qū)一周空氣質(zhì)量報告中某項污染指數(shù)的數(shù)據(jù)是:

31,35,31,34,30,32,31,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是（）

A.32,31B.31,32C.31,31D.32,35

8.（3分）下列說法中，正確的是（）

A.為檢測我市正在銷售的酸奶質(zhì)量，應該采用抽樣調(diào)查的方式

B.兩名同學連續(xù)五次數(shù)學測試的平均分相同，方差較大的同學數(shù)學成績更穩(wěn)

定

c.拋擲一個正方體骰子，點數(shù)為奇數(shù)的概率是L

3

D.“打開電視，正在播放廣告”是必然事件

9.（3分）某書店把一本新書按標價的八折出售，仍獲利20%,若該書進價為20

元，則標價（）

A.24元B.26元C.28元D.30元

10.（3分）如圖，菱形A3CD的邊長為4,過點A、。作對角線AC的垂線，分

別交和AD的延長線于點E、F,AE=3,則四邊形AECR的周長為（）

11.（3分）如圖，“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學著作《九章算術(shù)》中的問題:

“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑

幾何."用幾何語言可表述為：CD為。。的直徑，弦于E,CE=1寸,

AB=1Q寸，則直徑CD的長為（）

12.（3分）如圖，將△ABC沿角平分線3。所在直線翻折，頂點A恰好落在邊

3c的中點E處，AE=BD,那么tan/A3D=()

A,

B.25D.返

6

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13.（3分）因式分解：3X2+6X+3=.

14.（3分）若直線y=-2x+0經(jīng)過點（3,5）,則關(guān)于x的不等式-2x+Z?<5的解

集是.

15.（3分）等腰三角形的兩邊長分別是4c機和8c/n,則它的周長是.

16.（3分）如圖，已知AB〃CD,ZAEF=8Q°,則NDCT為°.

AEB

17.（3分）如圖，將矩形ABCD沿CE向上折疊，使點3落在AD邊上的點R

處.若AE=1CD,則長ER與CR的比值是

8

18.（3分）已知左為任意實數(shù)，隨著左的變化，拋物線y=f-2（左-1）X+F-5

的頂點隨之運動，則頂點運動時經(jīng)過的路徑與兩條坐標軸圍成圖形的面積

是.

三、解答題（本題共2個小題，每小題6分，共12分）

19.（6分）計算:瓜^《尸+停（n-3）o+2sin3O°

5x<2(x+l)-8

20.（6分）解不等式組：3x-i、并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

-7-6-5-4-3-2-101234'

四、解答題（本題共2個小題，每小題8分，共16分）

21.（8分）湖南師大附中組織集團校內(nèi)七、八、九年級學生參加“12KM”作文

比賽，該校將收到的參賽作文進行分年級統(tǒng)計，繪制了如圖1和如圖2兩幅

不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中提供的信息完成以下問題.

各年級參賽作文篇數(shù)條形統(tǒng)計圖各年級參賽作文篇數(shù)扇形統(tǒng)計圖

圖1圖2

（1）扇形統(tǒng)計圖中九年級參賽作文篇數(shù)對應的圓心角是度.八年級參賽

作文篇數(shù)對應的百分比是.

（2）請補全條形統(tǒng)計圖.

（3）經(jīng)過評審，全集團校內(nèi)有4篇作文榮獲特等獎，其中一篇來自九年級，學

校準備從特等獎作文中任選兩篇刊登在校報上，請利用畫樹狀圖或列表的方

法求出九年級特等獎作文被選登在校報上的概率.

22.（8分）在東西方向的海岸線/上有一長為1加1的碼頭（如圖），在碼頭

西端M的正西19.5左加處有一觀察站A.某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船

位于A的北偏西30°,且與A相距40切?的3處；經(jīng)過1小時20分鐘，又測

得該輪船位于A的北偏東60°,且與A相距為演機的C處.

（1）求該輪船航行的速度（保留精確結(jié)果）；

（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭靠岸？

請說明理由.

入北

東

A/

五、解答題（本題共2個小題，每小題9分，共18分）

23.（9分）如圖，△ABC內(nèi)接于。。，AD是。。直徑，E是底延長線上一點,

且NB4E="

（1）求證：直線AE是。。的切線；

（2）若/BAE=30°,。。的半徑為2,求陰影部份的面積；

（3）若EB=AB,cosE=&,AE=24,求防的長及。。的半徑.

24.（9分）榮昌公司要將本公司100噸貨物運往某地銷售，經(jīng)與春晨運輸公司

協(xié)商，計劃租用甲，乙兩種型號的汽車共6輛，用這6輛汽車一次將貨物全

部運走，其中每輛甲型汽車最多能裝該種貨物16噸，每輛乙型汽車最多能裝

該種貨物18噸.已知租用1輛甲型汽車和2輛乙型汽車共需費用2500元；

租用2輛甲型汽車和1輛乙型汽車共需費用2450元，且同一種型號汽車每輛

租車費用相同.

（1）求租用一輛甲型汽車，一輛乙型汽車的費用分別是多少元？

（2）若榮昌公司計劃此次租車費用不超過5000元.通過計算求出該公司有幾種

租車方案？請你設計出來，并求出最低的租車費用.

（3）該商業(yè)公司生產(chǎn)的此時令商品每件成本為15元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種

商品在未來20天內(nèi)的日銷量機（件）與時間/（天）的函數(shù)關(guān)系：m=-2/+100；

該商品每天的價格y（元/件）與時間/（天）的函數(shù)關(guān)系為：y=L+20（1W/

-4

W20）,其中/取整數(shù)；在實際銷售的前20天中，該公司決定每銷售一件商品

就捐贈。元利潤（a<4）給希望工程.公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，

每天扣除捐贈后的日銷售利潤時間/（天）的增大而增大（含20天的日銷售

利潤和第19天的日銷售利潤相等的情況），求。的最小值.

六、解答題（本題共2個小題，每小題10分，共20分）

25.（10分）規(guī)定：若y表示一個函數(shù)，令M=|y|,我們則稱函數(shù)般為函數(shù)y的

“幸福函數(shù)”.

（1）請寫出一次函數(shù)產(chǎn)X-3的“幸福函數(shù)”〃的解析式（解析式中不能含有絕

對值）;

（2）若一次函數(shù)產(chǎn)超*用與反比例函數(shù)產(chǎn)&@>0）的“幸福函數(shù)”M有三

33x

個交點，從左至右依次為A,B,C三點，并且BC=回，求點A的坐標；

3

（3）已知a、b為實數(shù),二次函數(shù)產(chǎn)f+ax+6的“幸福函數(shù)"M=2恒有三個

不等的實數(shù)根.

①求6的最小值；

②若該方程的三個不等實根恰為一直角三角形的三條邊，求。和人的值.

26.（10分）如圖，拋物線產(chǎn)-旦（x+型應）（x-3m）（其中m>0）與％軸分別

458

交于A,3兩點（A在8的右側(cè)），與y軸交于點c.

（1）求△AOC的周長，（用含機的代數(shù)式表示）

（2）若點P為直線AC上的一點，且點P在第二象限，滿足。尸=pc?必，求tan

ZAPO的值及用含m的代數(shù)式表示點P的坐標；

（3）在（2）的情況下，線段。尸與拋物線相交于點Q,若點。恰好為。P的中

點，此時對于在拋物線上且介于點C與拋物線頂點之間（含點C與頂點）的

任意一點M（沏，刃）總能使不等式nW4女巧及不等式2n-

備》-4x雪怛成立，求〃的取值氾圍.

2017-2018學年湖南師大附中教育集團九年級（上）期末

數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的，請在答題卡

中填涂符合題意的選項，本大題共12個小題，每小題3分，共36分）

1.（3分）在實數(shù)-3、2、0、-n中，最小的數(shù)是（）

A.-3B.2C.0D.-Ji

【分析】根據(jù)兩負數(shù)比較大小的法則進行比較即可.

【解答】解：：卜3|=3,|-n|=n,

.\3<Ji,

?二-3>-兀，

A2>0>-3>-兀，

則最小的數(shù)是：-n.

故選：D.

【點評】本題考查的是實數(shù)的大小比較，熟知兩負數(shù)比較大小的法則是解答此題

的關(guān)鍵.

2.（3分）下列計算正確的是（）

A.<734-<72=47B.J-^=a

C.2a2+a2=3a4D.（a-b）~=cT-b2

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的除法，底數(shù)不變指數(shù)相減；合并同類項，系數(shù)相加字母

和字母的指數(shù)不變；同底數(shù)募的乘法，底數(shù)不變指數(shù)相加；募的乘方，底數(shù)

不變指數(shù)相乘，對各選項計算后利用排除法求解.

【解答】解：A、正確；

B、當。三0時，當。<0時，^2=-a,故選項錯誤；

C、2a2+a2=3a2,故選項錯誤；

D、（a-b）2=cT+b1-lab,故選項錯誤.

故選：A.

【點評】本題考查同底數(shù)累的除法，合并同類項，同底數(shù)累的乘法，哥的乘方很

容易混淆，一定要記準法則才能做題.

3.（3分）用百度搜索關(guān)鍵詞“十九大”，百度為您找到相關(guān)結(jié)果約11700000個,

把11700000這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（）

A.1.17X105B.11.7X106C.1.17X107D.117X105

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為aX10〃的形式，其中l(wèi)W|a|<10,附為整數(shù).確

定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)

點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值>1時，〃是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1時,

〃是負數(shù).

【解答】解：把H700000這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為1.17X107.

故選：C.

【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為aXlO”的

形式，其中l(wèi)W|a|<10,〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

4.（3分）下列圖形中既是中心對稱又是軸對稱的圖形的是（）

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形完全重合即是中心

對稱圖形，以及軸對稱圖形的定義即可判斷出.

【解答】解：A、..?此圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，.?.此圖形不是中心

對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

3、?.?此圖形旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合，I.此圖形是中心對稱圖形，不是軸

對稱圖形，故此選項錯誤；

C、此圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，此圖形不是中心對稱圖形，是軸對

稱圖形，故此選項錯誤；

?此圖形旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合，I.此圖形是中心對稱圖形，也是軸

對稱圖形，故此選項正確.

故選：D.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱的定義，根據(jù)定義得出圖形形狀

是解決問題的關(guān)鍵.

5.(3分)一副三角板有兩個直角三角形，如圖疊放在一起，則Na的度數(shù)是

()

A.165°B.120°C.150°D.135°

【分析】利用直角三角形的性質(zhì)求得N2=60°；則由三角形外角的性質(zhì)知N2=

/1+45。=60°,所以易求Nl=15°；然后由鄰補角的性質(zhì)來求Na的度數(shù).

【解答】解：如圖，?.,N2=90°-30°=60°,

AZ1=Z2-45°=15°,

AZa=180°-Zl=165°.

故選：A.

【點評】本題考查了三角形的外角性質(zhì).解題時，注意利用題干中隱含的已知條

件：Zl+a=180°.

6.(3分)當忙-26|+,Jk+b-3=0時，直線廣質(zhì)+。經(jīng)過點()

A.(-1,-1)B.(-1,1)C.(-1,-3)D.(-1,3)

【分析】根據(jù)非負性得出左與》的值解答即可.

【解答】解：因為忙-2例+癰石=0,

可得：(卜2b=0,

lk+b-3=0

解得：(k=2,

lb=l

所以直線產(chǎn)Ax+0的解析式為y=2x+l,

把x=T代入y=2x+l=-1,

故選：A.

【點評】本題主要考查對一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，理解題意并根據(jù)題意進

行計算是解此題的關(guān)鍵.

7.（3分）2010年3月份，某市市區(qū)一周空氣質(zhì)量報告中某項污染指數(shù)的數(shù)據(jù)是:

31,35,31,34,30,32,31,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是（）

A.32,31B.31,32C.31,31D.32,35

【分析】利用中位數(shù)及眾數(shù)的定義確定答案即可.

【解答】解：???數(shù)據(jù)31出現(xiàn)了3次，最多，

???眾數(shù)為31,

：排序后位于中間位置的數(shù)是31,

???中位數(shù)是31,

故選：C.

【點評】本題屬于基礎題，考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)的能力.一些學

生往往對這個概念掌握不清楚，計算方法不明確而誤選其它選項.注意找中

位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)，如

果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求.如果是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)

的平均數(shù).

8.（3分）下列說法中，正確的是（）

A.為檢測我市正在銷售的酸奶質(zhì)量，應該采用抽樣調(diào)查的方式

B.兩名同學連續(xù)五次數(shù)學測試的平均分相同，方差較大的同學數(shù)學成績更穩(wěn)

定

C.拋擲一個正方體骰子，點數(shù)為奇數(shù)的概率是上

3

D.“打開電視，正在播放廣告”是必然事件

【分析】根據(jù)調(diào)查方式的選擇需要將普查的局限性和抽樣調(diào)查的必要性結(jié)合起

來，具體問題具體分析，再根據(jù)隨機事件定義和概率公式分別分析即可.

【解答】解：A.為檢測我市正在銷售的酸奶質(zhì)量，此事件調(diào)查難度較大破壞性

強，應該采用抽樣調(diào)查的方式，故此選項正確；

B.兩名同學連續(xù)五次數(shù)學測試的平均分相同，方差較小的同學數(shù)學成績更穩(wěn)定,

故此選項錯誤；

c.拋擲一個正方體骰子，點數(shù)為奇數(shù)的概率是L,故此選項錯誤；

2

D“打開電視，正在播放廣告”是隨機事件，故此選項錯誤；

故選：A.

【點評】本題考查的是調(diào)查方法的選擇以及方差的意義和概率求法、隨機事件等

知識；熟練掌握區(qū)分這些知識是解題關(guān)鍵.

9.（3分）某書店把一本新書按標價的八折出售，仍獲利20%,若該書進價為20

元，則標價（）

A.24元B.26元C.28元D.30元

【分析】根據(jù)題意，實際售價=進價+利潤.八折即標價的80%；可得一元一次

的等量關(guān)系式，求解可得答案.

【解答】解：設標價是x元，根據(jù)題意有：

0.8x=20（1+20%）,

解可得：x=30.

故標價為30元.

故選：D.

【點評】本題考查一元一次方程的應用，關(guān)鍵在于找出題目中的等量關(guān)系，根據(jù)

等量關(guān)系列出方程解答.

10.（3分）如圖，菱形A3CD的邊長為4,過點A、C作對角線AC的垂線，分

別交C3和AD的延長線于點E、F,AE=3,則四邊形AECT的周長為（）

【分析】根據(jù)菱形的對角線平分一組對角可得NB4c=N3C4,再根據(jù)等角的余

角相等求出NB4E=NE,根據(jù)等角對等邊可得然后求出EC,同理可

得AF,然后判斷出四邊形AECT是平行四邊形，再根據(jù)周長的定義列式計算

即可得解.

【解答】解：在菱形ABCD中，ZBAC=ZBCA,

'：AE±AC,

：.ZBAC+ZBAE=ZBCA+ZE=90°,

ZBAE=ZE,

：.BE=AB=4,

：.EC=BE+BC=4+4=8,

同理可得AR=8,

,JAD//BC,

???四邊形AECT是平行四邊形，

??.四邊形AECR的周長=2(AE+EC)=2(3+8)=22.

故選：A.

【點評】本題考查了菱形的對角線平分一組對角的性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，

平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出EC的長度是解題的關(guān)鍵.

n.(3分)如圖，“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學著作《九章算術(shù)》中的問題:

“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑

幾何."用幾何語言可表述為：CD為。。的直徑，弦ABLCD于E,CE=1寸,

AB=10寸，則直徑CD的長為()

C

A.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸

【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解.

【解答】解：設直徑8的長為2x,則半徑OC=x,

：CD為。。的直徑，弦A3LCD于E,A3=10寸，

:.AE=BE=1AB=LX10=5寸，

22

連接。4,則。4r寸，根據(jù)勾股定理得f=52+(x-1)2,

解得x=13,

CD=2x=2X13=26(寸).

故選：D.

【點評】此題是一道古代問題，其實質(zhì)是垂徑定理和勾股定理.通過此題，可知

我國古代的數(shù)學已發(fā)展到很高的水平.

12.(3分)如圖，將△ABC沿角平分線5。所在直線翻折，頂點A恰好落在邊

3c的中點E處，AE=BD,那么tanNA3D=()

A

3362

【分析】作CMLAE交AE的延長線于M,作DN1AB于N,DF1BC于F,AE

與BD交于點、K,設DK=a,先證明AD：CD=1：2,再證明ABKE注

得BK=CM=3a,根據(jù)tan/A3D=逃即可解決問題.

BK

【解答】解：如圖，作CM±AE交AE的延長線于M,作DN±AB于N,DF±

BC于F,AE與5。交于點K,設DK=a.

'：AB=BE=EC,

：.BC=2AB,

平分NABC,

：.DN=DF,

...s△*加叩［皿

DC

.S5CD1cB?DF

坦），AD=1,

…而枳而冶

'：DB±AM,CM±AM,

：.DK//CM,

/.Dl-AD_1,ZKBE=ZMCE,

CM-AC"3

/.CM=3a,

在aBKE和△CME中,

，ZKBE=ZMCE

'ZBEK=ZCEM-

,BE=EC

ABKE2ACME,

：.BK=CM=3a,

.\BD=AE=4a,

:.AK=KE=2a,

【點評】本題考查翻折變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定

理等知識，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)AD：DC=1：2這個條件，學會常用輔助線的添

加方法，屬于中考?？碱}型.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13.（3分）因式分解：3X2+6X+3=3（x+1）2.

【分析】原式提取3,再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=3（d+2x+l）=3（x+1）2,

故答案為：3（x+1）2

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法

是解本題的關(guān)鍵.

14.（3分）若直線y=-2x+。經(jīng)過點（3,5）,則關(guān)于x的不等式-2x+Z?V5的解

集是x>3.

【分析】根據(jù)直線產(chǎn)-2x+。經(jīng)過點（3,5）,以及y隨x的增大而減小即可求出

關(guān)于x的不等式-2x+b<5的解集.

【解答】解：?.?直線產(chǎn)-2x+6經(jīng)過點（3,5）,且仁-2<0,y隨x的增大而減

小,

??.關(guān)于X的不等式-2x+》<5的解集是x>3.

故答案為x>3.

【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使

一次函數(shù)產(chǎn)以+。的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象

的角度看，就是確定直線產(chǎn)h+0在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標

所構(gòu)成的集合.

15.（3分）等腰三角形的兩邊長分別是4c機和8c處則它的周長是2三分.

【分析】題目給出等腰三角形有兩邊長為4c機和8c機，而沒有明確腰、底分別是

多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形.

【解答】解：①8c機為腰，4c/n為底，此時周長為8+8+4=20cm；

②8c機為底，4c機為腰，???4+4=8,.?.兩邊和等于第三邊無法構(gòu)成三角形，故舍

去.

故它的周長是20cm.

故答案為：20cm.

【點評】此題主要考查學生對等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系的掌握情

況.已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還

應驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)

鍵.

16.（3分）如圖，已知A3〃CD,ZAEF=80°,則NDCR為100

【分析】由AB//CD,ZAEF=8Q°,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得

NDCE的度數(shù)，又由鄰補角的定義，即可求得/OCT的度數(shù).

【解答】解：?.?A3〃CD,ZAEF=80°,

：.ZDCE=ZAEF=80°,

ZDCF=180°-ZDCE=180°-80°=100°.

故答案為：100.

【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)與鄰補角的定義.此題難度不大，注意掌握兩

直線平行，內(nèi)錯角相等定理的應用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.

17.（3分）如圖，將矩形A3CD沿CE向上折疊，使點3落在AD邊上的點R

處.若AE=4-CD,則長ER與CR的比值是_工_.

【分析】設AE=34，CD=8k,根據(jù)勾股定理求出后三不04左，根據(jù)相似三

角形的判定定理得到△EARs△㈤0,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，

計算即可.

【解答】解：,.?AE=』CD,

8

設AE=3左，CD=8k,

.\AE=3k,BE=5k,

：.AB=AE-^-BE=8k,

由折疊的性質(zhì)可知，EF=BE=5k,

由勾股定理得，4加2-AE*4左，

VZEFC=ZB=90°,

：.AEAF^AFDC,

?EAAFpn3k_4k

FD-CDDF_8k

解得，DF=6k,

：.AD=AF+FD=10k,

：.AD：AB=10k：8k,

:.BE：BC=5k：10左=1：2,

,/將矩形ABCD沿CE向上折疊，使點3落在AD邊上的點R處.

：.EF=BE,CF=BC,

：.EF：CF=1：2

故答案為：1.

2

【點評】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握翻轉(zhuǎn)變換是一種對稱變換，折疊前

后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關(guān)鍵.

18.（3分）已知左為任意實數(shù)，隨著左的變化，拋物線y=f-2（左-1）x+武-5

的頂點隨之運動，則頂點運動時經(jīng)過的路徑與兩條坐標軸圍成圖形的面積是

4.

【分析】先利用配方法得到拋物線的頂點坐標為（k-1,2k-6）,利用頂點橫縱

坐標的關(guān)系可判斷拋物線的頂點在直線y=2x-4上，再求出直線產(chǎn)2x-4與

坐標軸的交點坐標，然后計算直線y=2x-4與兩條坐標軸圍成圖形的面積即

可.

【解答］解：-2（左-1）x+lc-5=x2-2Ck-1）x+Ck-1）2+2k-6,

，拋物線的頂點坐標為（左T,2k-6）,

\"2k-6=2Ck-1)-4,

，拋物線的頂點在直線y=2x-4上，

當x=0時，產(chǎn)-%直線產(chǎn)2x-4與y軸的交點為（0,-4）；

當y=0時，2%-4=0,解得x=2,直線y=2x-4與x軸的交點為（2,0）；

???頂點運動時經(jīng)過的路徑與兩條坐標軸圍成圖形的面積=LX2X4=4.

2

故答案為4.

【點評】本題考查了軌跡：利用特殊幾何圖形描述點運動的軌跡，然后利用幾何

性質(zhì)計算相應的幾何量.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

三、解答題（本題共2個小題，每小題6分，共12分）

19.（6分）計算:瓜^嗎『+耨n-3)°+2sin30°

【分析】原式利用平方根、立方根定義，零指數(shù)募、負整數(shù)指數(shù)易法則，以及特

殊角的三角函數(shù)值計算即可求出值.

【解答】解：原式=1-2+上+1+1=2.

22

【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

，5x<2（x+l）-8

20.（6分）解不等式組：3x-i、并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

1I!111111111AX

-7-6-5-4-3-2-101234'

【分析】首先分別計算出兩個不等式的解集，再根據(jù)不等式組的解集規(guī)律：同小

取小確定解集即可.

(5x<2(x+l)-8(l)

【解答】解:1^->0②

解不等式①，得：x<-2,

解不等式②，得：xWl,

???不等式組的解集為-2,

將解集表示在數(shù)軸上如下：

----------6----i-------1——>x

-7-6-5-4-3-2-101234

【點評】此題主要考查了解一元一次不等式組，關(guān)鍵是掌握解集的規(guī)律：同大取

大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到.也考查了用數(shù)軸表示不

等式組的解集.

四、解答題（本題共2個小題，每小題8分，共16分）

21.（8分）湖南師大附中組織集團校內(nèi)七、八、九年級學生參加“12KM”作文

比賽，該校將收到的參賽作文進行分年級統(tǒng)計，繪制了如圖1和如圖2兩幅

不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中提供的信息完成以下問題.

各年級參翦短篇數(shù)新統(tǒng)計圖各年級參賽作文篇數(shù)扇形統(tǒng)計圖

圖1圖2

（1）扇形統(tǒng)計圖中九年級參賽作文篇數(shù)對應的圓心角是_圾_度.八年級參賽

作文篇數(shù)對應的百分比是45%.

（2）請補全條形統(tǒng)計圖.

（3）經(jīng)過評審，全集團校內(nèi)有4篇作文榮獲特等獎，其中一篇來自九年級，學

校準備從特等獎作文中任選兩篇刊登在校報上，請利用畫樹狀圖或列表的方

法求出九年級特等獎作文被選登在校報上的概率.

【分析】（1）求出總的作文篇數(shù)，即可得出九年級參賽作文篇數(shù)對應的圓心角的

度數(shù)；求出八年級的作文篇數(shù)，再用360。乘以對應比例可得；

（2）補全條形統(tǒng)計圖即可：；

（3）假設4篇榮獲特等獎的作文分別為A、B、C、D,其中A代表九年級獲獎

的特等獎作文.列表求解即可得出答案.

【解答】解：（1）???參賽作文的總數(shù)量為20?20%=100（篇）,

.?.九年級參賽作文篇數(shù)對應的圓心角是360°乂更_=126°,八年級的參賽數(shù)量

100

為100-（20+35）=45（篇為

則八年級參賽作文篇數(shù)對應的百分比是生X100%=45%；

100

七年徽八年鍬九年級年級

各年級參賽作文篇數(shù)條形統(tǒng)討圖各年級參賽作文篇數(shù)扇形統(tǒng)計圖

圖1圖2

（3）假設4篇榮獲特等獎的作文分別為A、B、C、D,

列表如下：

ABCD

AABACAD

BABBCBD

CACBCCD

DADBDCD

由表格可知，共有12種可能性結(jié)果，它們發(fā)生的可能性相等，其中九年級特等

獎作文被選登在?？系目赡苄杂?種，

所以九年級特等獎作文被選登在校報上的概率為&=1.

122

【點評】本題主要考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等

可能的結(jié)果求出小再從中選出符合事件A或3的結(jié)果數(shù)目如然后根據(jù)概

率公式求出事件A或3的概率.一般來說，用樣本去估計總體時，樣本越具

有代表性、容量越大，這時對總體的估計也就越精確.

22.（8分）在東西方向的海岸線/上有一長為1km的碼頭MN（如圖），在碼頭

西端M的正西19.5左加處有一觀察站A.某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船

位于A的北偏西30°,且與A相距40切z的3處；經(jīng)過1小時20分鐘，又測

得該輪船位于A的北偏東60°,且與A相距8倔機的C處.

（1）求該輪船航行的速度（保留精確結(jié)果）；

（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭靠岸？

【分析】（1）根據(jù)Nl=30°,Z2=60°,可知△ABC為直角三角形.根據(jù)勾股

定理解答.

（2）延長3c交/于T,比較AT與AM、AN的大小即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）VZl=30°,Z2=60°,

.'.△ABC為直角三角形.

AB=40km,AC=,

BC=7AB2+AC^/402+（873）1“機）?

VI小時20分鐘=80分鐘，1小時=60分鐘，

.?.@1x60=127?（千米/小時）.

80

⑵能.

理由：作線段5RLA7V于R,作線段CSLA7V于S,延長3c交/于T.

VZ2=60°,

/.Z4=90°-60°=30°.

VAC=8V3(km),

???CS=8j5sin30。=4圾Qkm).

|f

.*.AS=8'.(3cos30°=8?X^1=12(km).

2

又???Nl=30°,

AZ3=90°-30°=60°.

AB=40km,

.?.酸=40”出60。=20^/3(km).

/.A7?=40Xcos60°=40XA.=20(km).

2

易得，叢STCsARTB,

所以地=生，

RTBR_

ST二蛆:

ST+20+12~2()V3,

解得：ST=8(km).

所以AT=12+8=20(km).

又因為AM=19.5左MN長為\km,.".AN=20.5km,

V19.5<AT<20.5

故輪船能夠正好行至碼頭MN靠岸.

【點評】此題結(jié)合方向角，考查了閱讀理解能力、解直角三角形的能力.計算出

相關(guān)特殊角和作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

五、解答題(本題共2個小題，每小題9分，共18分)

23.(9分)如圖，△ABC內(nèi)接于。。，AD是。。直徑，E是底延長線上一點,

且

(1)求證：直線AE是。。的切線；

(2)若/BAE=30°,。。的半徑為2,求陰影部份的面積；

(3)若EB=AB,cosE=2,AE=24,求仍的長及。。的半徑.

5

【分析】(1)連接BD,如圖，利用圓周角定理得到NA3D=90°,則ND+N

DAB=90°,再利用等量代換證明/D4E=90°,然后根據(jù)切線的判定定理得

到結(jié)論；

(2)連接如圖，先計算出/。43=60°得到△A03為等邊三角形，所以N

A0B=6Q°,然后根據(jù)扇形的面積公式，利用陰影部份的面積=S扇形A03-S^AOB

進行計算；

(3)作于如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得AH=EH=L4E=12,Z

2

E=ZBAE,在RtABEH中利用余弦的定義可計算出BE=15,則A3=15,由于

ZD=ZC=ZBAE=ZE,則cosD=A,在RtZkABD中，cosD=%&,設3D=4x,

5AD5

AD=5x,易得3x=15,解出x得到AD的長，從而得到。。的半徑.

【解答】(1)證明：連接3D,如圖，

?.ND為直徑，

ZABD=90°,

/.ZD+ZDAB=90°,

'：ZC=ZD,ZBAE=ZC.

：.ZBAE+ZDAB=9Q°,即ND4E=90°,

：.AD±AE,

直線AE是。。的切線；

(2)解：連接。3,如圖，

VZBAE=30°,

/.ZOAB=60°,

而OA=OB,

：.△AOB為等邊三角形，

ZAOB=6Q°,

陰影部份的面積=5扇形AOB-5.=絲口2_叵義聽=2頁-如；

36043

(3)解：作3HLAE于H,如圖，

,:EB=AB,

：.AH=EH=1AE=12,ZE=ZBAE,

2

在Rt^BEH中，，.飛05石=里=當，

BE5

：.BE=12XL=15,

4

：.AB=BE=15,

"：ZD=ZC=ZBAE=ZE,

cosD=~,

5

在RtAABD中，COSD=^-=A,

AD5

設BD=4x,AD=5x,

.\AB=3x,

即3x=15,解得x=5,

：.AD=25,

???。。的半徑為空.

【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的

直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了圓周角定理和

解直角三角形.

24.（9分）榮昌公司要將本公司100噸貨物運往某地銷售，經(jīng)與春晨運輸公司

協(xié)商，計劃租用甲，乙兩種型號的汽車共6輛，用這6輛汽車一次將貨物全

部運走，其中每輛甲型汽車最多能裝該種貨物16噸，每輛乙型汽車最多能裝

該種貨物18噸.已知租用1輛甲型汽車和2輛乙型汽車共需費用2500元；

租用2輛甲型汽車和1輛乙型汽車共需費用2450元，且同一種型號汽車每輛

租車費用相同.

（1）求租用一輛甲型汽車，一輛乙型汽車的費用分別是多少元？

（2）若榮昌公司計劃此次租車費用不超過5000元.通過計算求出該公司有幾種

租車方案？請你設計出來，并求出最低的租車費用.

（3）該商業(yè)公司生產(chǎn)的此時令商品每件成本為15元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種

商品在未來20天內(nèi)的日銷量機（件）與時間/（天）的函數(shù)關(guān)系：-2/+100；

該商品每天的價格y（元/件）與時間/（天）的函數(shù)關(guān)系為：y=L+20（1W/

--4

W20）,其中/取整數(shù)；在實際銷售的前20天中，該公司決定每銷售一件商品

就捐贈。元利潤（a<4）給希望工程.公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，

每天扣除捐贈后的日銷售利潤時間t（天）的增大而增大（含20天的日銷售

利潤和第19天的日銷售利潤相等的情況），求。的最小值.

【分析】（1）找出等量關(guān)系列出方程組再求解即可.本題的等量關(guān)系為“租用1

輛甲型汽車和2輛乙型汽車共需費用2500元”和“租用2輛甲型汽車和1輛

乙型汽車共需費用2450元”；

（2）設租用甲型汽車z輛，租用乙型汽車（6-z）輛.根據(jù)榮昌公司要將本公

司100噸貨物運往某地銷售，以及計劃此次租車費用不超過5000元列出不等

式組，求解即可；

（3）設日銷售利潤為攻元，根據(jù)攻=日銷量機X（售價一成本-捐贈），利用對

稱軸解決問題.

【解答】解：（1）設租用一輛甲型汽車的費用是x元，租用一輛乙型汽車的費用

是y兀.

由題意得，卜+2y=2500；

l2x+y=2450

解得：卜=800,

ly=850

答：租用一輛甲型汽車的費用是800元，租用一輛乙型汽車的費用是850元.

（2）設租用甲型汽車z輛，租用乙型汽車（6-z）輛.

由題意得（16Z+18（6-Z）>100,

l800z+850（6-z）<500C

解得2WzW4,

由題意知，z為整數(shù)，

z=2或z=3或z=4,

???共有3種方案，分別是：

方案一：租用甲型汽車2輛，租用乙型汽車4輛；

方案二：租用甲型汽車3輛，租用乙型汽車3輛；

方案三：租用甲型汽車4輛，租用乙型汽車2輛.

方案一的費用是800X2+850X4=5000（元）；

方案二的費用是800X3+850X3=4950（元）；

方案三的費用是800X4+850X2=4900（元）；

V5000>4950>4900；

???最低運費是方案三的費用：4900元；

答：共有三種方案，分別是：

方案一：租用甲型汽車2輛，租用乙型汽車4輛；

方案二：租用甲汽車3輛，租用乙型汽車3輛；

方案三：租用甲型汽車4輛，租用乙型汽車2輛.最低運費是4900元.

（3）設日銷售利潤為攻元，

2

則w=（-2/+100）（lr+20-15-a）=-lt+（2a+15）r+500-100a,

42

對稱軸是：/=2a+15,

???1W/W20,且每天扣除捐贈后的日銷售利潤時間/（天）的增大而增大，

當x=19與x=20是對稱點時，7=19.5,

；.2a+15219.5,

4

"：a<4,

gWa<4,

4

的最小值是2.

4

【點評】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式組的應用及二次函數(shù)的應

用.解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，利用

方程和不等式組解決問題，并與二次函數(shù)的增減性結(jié)合，第3問有難度，理

解二次函數(shù)的增減性是關(guān)鍵.

六、解答題(本題共2個小題，每小題10分，共20分)

25.(10分)規(guī)定：若y表示一個函數(shù)，令M=|y|,我們則稱函數(shù)M為函數(shù)y的

“幸福函數(shù)”.

(1)請寫出一次函數(shù)y=x-3的“幸福函數(shù)””的解析式(解析式中不能含有絕

對值)；

(2)若一次函數(shù)產(chǎn)與反比例函數(shù)產(chǎn)&(左>0)的“幸福函數(shù)”〃有三

33x

個交點，從左至右依次為A,B,C三點，并且BC=回，求點A的坐標；

3

(3)已知a、b為實數(shù),二次函數(shù)產(chǎn)f+ax+6的“幸福函數(shù)"M=2恒有三個

不等的實數(shù)根.

①求6的最小值；

②若該方程的三個不等實根恰為一直角三角形的三條邊，求。和人的值.

【分析】(1)根據(jù)“幸福函數(shù)”求解即可；

(2)由題意設3Cm,-則C(m+1,由3、C都

33333

在反比例函數(shù)y=N上，可得加(-a7什型)=(m+1)(-hn+lL),解得：

x3333

f8

y=—

m=2,B(2,4),把3(2,4)代入產(chǎn)k得到七8,解方程組,可

*

得的A坐標；

(3)①由題意：拋物線產(chǎn)￥+依+人的頂點坐標的縱坐標為-2,由此構(gòu)建二次函

數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

②當y=2時，2^+ax+b,可得f+ax+6-2=0,設方程的兩個根為Xi，xi,(xi<

X2)，則X1+X2=-a，x「X2=b-2,由方程M=2的三個不等實根恰為一直角三角

22

形的三條邊，則有：x2=xr+(-A)

2

構(gòu)建方程組求出。、人即可；

【解答】解：⑴3a受

[3-x(x<3)

(2)由題意設3(m,-_￡m+型)，則C(m+1,-Am+^L-A),

33333

:B、C都在反比例函數(shù)產(chǎn)工上，

x

.".m(-=(m+1)(-A/71+AL),

3333

解得：M=2,

：.B(2,4),

把3(2,4)代入產(chǎn)N得到"8,

r_1/x=6

解得［x-T或14,

ly=8|y=—

AA(-1,8).

(3)①由題意：拋物線產(chǎn)丫+依+人的頂點坐標的縱坐標為-2,

?_0_4b_a2

??乙------,

4

b=^-cT-2,

4

vl>o,

4

??普有最小值，最小值為-2.

②當y=2時，2=x1+ax+b,

.,.x2+ax+b-2=0,設方程的兩個根為尤i，X2>(xi<%2)>

貝!JXi+X2=-a,X\*X2=b-2,

方程M=2的三個不等實根恰為一直角三角形的三條邊,

22

則有：X2=X1+（-旦）2,

2

2

（X2+X1）（%2-）=-5—,

4

?a

.?%2-",

4

...（X1+X7）2-4%1%2=-^-02>

16

.".a2-