放映《矩陣論及其應(yīng)用》§2線性變換及其矩陣表示省公開(kāi)課金獎(jiǎng)全國(guó)賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

§2線性變換及其矩陣表示一、線性變換定義二、線性變換矩陣表示三、線性變換與矩陣對(duì)應(yīng)關(guān)系四、不一樣基偶下矩陣關(guān)系五、線性變換核和值域六、不變子空間七、線性變換特征值和特征向量八、線性變換可對(duì)角化定理1/54問(wèn)什么叫變換？映射：一元函數(shù)：二元函數(shù)：映射：稱空間到空間上映射為變換。

按照某種法則,存在唯一與之對(duì)應(yīng),則記為像原像一、線性變換定義2/54線性變換則稱為線性變換。

定義1

設(shè)為線性空間,若

映射滿足：有一、線性變換定義3/54例1在線性空間中定義變換則是線性變換。？例2給定，則有由矩陣運(yùn)算法則可知是線性變換。微分變換矩陣變換例3兩個(gè)特殊線性變換：?jiǎn)挝蛔儞Q，零變換一、線性變換定義4/54②線性變換簡(jiǎn)單性質(zhì)：也線性相關(guān)。③若線性相關(guān)，則①問(wèn)是否也線性無(wú)關(guān)？若線性無(wú)關(guān)，問(wèn)一、線性變換定義5/54線性變換矩陣表示設(shè)是一個(gè)基則可由唯一線性表出：是一個(gè)基是線性變換稱為在基偶下矩陣。二、線性變換矩陣表示6/54線性變換矩陣表示二、線性變換矩陣表示7/54例4設(shè)線性變換定義為：試求在基下矩陣。二、線性變換矩陣表示8/54例4設(shè)線性變換定義為：試求在基下矩陣。解故在基下矩陣為？二、線性變換矩陣表示9/54，設(shè)在下坐標(biāo)為，即故像在基下坐標(biāo)為則假如分別取定基二、線性變換矩陣表示10/54首先，假如分別取定基問(wèn)：任給定階矩陣A，是否存在唯一線性變換T，使T在下矩陣為A？由以上分析可知：,必存在基偶矩陣使得表示線性變換全體三、線性變換與矩陣對(duì)應(yīng)關(guān)系11/54三、線性變換與矩陣對(duì)應(yīng)關(guān)系12/54三、線性變換與矩陣對(duì)應(yīng)關(guān)系13/54三、線性變換與矩陣對(duì)應(yīng)關(guān)系14/54三、線性變換與矩陣對(duì)應(yīng)關(guān)系15/54三、線性變換與矩陣對(duì)應(yīng)關(guān)系可見(jiàn)：線性變換特征完全由基偶矩陣刻畫(huà)，故對(duì)線性變換研究可轉(zhuǎn)為對(duì)基偶矩陣研究。16/54設(shè)是兩個(gè)基，是兩個(gè)基在基偶下有在基偶下有問(wèn)兩個(gè)基偶矩陣有什么關(guān)系？四、不一樣基偶下矩陣關(guān)系17/54，則設(shè)是兩個(gè)基，是兩個(gè)基設(shè)基過(guò)渡矩陣為：在基偶下有在基偶下有因?yàn)槭腔?，故故線性變換在不一樣基偶下矩陣是相互等價(jià)。四、不一樣基偶下矩陣關(guān)系18/54設(shè)是

到本身線性變換，

是

兩個(gè)基在基矩陣為，即在基矩陣為，即問(wèn)兩個(gè)基下矩陣有什么關(guān)系？四、不一樣基偶下矩陣關(guān)系19/54設(shè)是

到本身線性變換，

是

兩個(gè)基在基矩陣為，即在基矩陣為，即設(shè)有基變換矩陣令，則有，于是線性空間到本身線性變換在不一樣基下矩陣是相同四、不一樣基偶下矩陣關(guān)系20/54即與等價(jià)線性變換即與相同到本身線性變換四、不一樣基偶下矩陣關(guān)系21/54四、不一樣基偶下矩陣關(guān)系22/54四、不一樣基偶下矩陣關(guān)系23/54類(lèi)似地定義設(shè)在基偶下矩陣為,即零空間、列空間分別為稱為零空間(核),為值空間(值域)。五、線性變換核和值域定義稱為零度，為秩。24/54五、線性變換核和值域25/54五、線性變換核和值域26/54五、線性變換核和值域27/54五、線性變換核和值域28/54五、線性變換核和值域29/54五、線性變換核和值域30/54五、線性變換核和值域31/54設(shè)線性變換矩陣表示最簡(jiǎn)形式問(wèn)題怎樣求基偶，使得在下矩陣有最簡(jiǎn)單形式？(標(biāo)準(zhǔn)型)五、線性變換核和值域32/54五、線性變換核和值域33/54則在基下矩陣為設(shè)線性變換矩陣表示化簡(jiǎn)問(wèn)題

怎樣求基，使得在下矩陣有較簡(jiǎn)單形式？分析：任取一個(gè)基，且若將方陣相同化簡(jiǎn)為，即考慮兩種簡(jiǎn)單形式矩陣：①分塊對(duì)角陣②對(duì)角矩陣？六、不變子空間34/54

定義2

設(shè)，是子空間，若有，則稱是不變子空間，記為

例7，記核與值域分別為則均是不變子空間。證，即有又，有六、不變子空間35/54

定義2

設(shè)，是子空間，若有，則稱是不變子空間，記為

例7，記核與值域分別為則均是不變子空間。證顯然。例8設(shè)，則是不變子空間，則有，從而即是不變子空間。六、不變子空間36/54證均是不變子空間.(其中是階方陣)故是不變子空間

定理

設(shè)

是

基,則在下矩陣是分塊對(duì)角陣充要條件是記,則六、不變子空間37/54證

定理

設(shè)

是

基,則在下矩陣是分塊對(duì)角陣充要條件是是不變子空間故存在階方陣使得均是不變子空間.(其中是階方陣)六、不變子空間38/54解故在下矩陣為例9設(shè),定義變換試求線性變換不變子空間及在基下矩陣。兩個(gè)不變子空間是六、不變子空間39/54

推論

設(shè)是

基,則在下矩陣是對(duì)角陣充要條件是存在數(shù)使得七、線性變換特征值和特征向量40/54定義4

設(shè),若存在數(shù)

及使得則稱是特征值,是對(duì)應(yīng)特征向量。七、線性變換特征值和特征向量

定義3

設(shè),若存在基

使得在下矩陣是對(duì)角陣則稱可對(duì)角化。注：特征向量不唯一.41/54分析

設(shè)是特征值,是對(duì)應(yīng)特征向量,即問(wèn)

怎樣求特征值與特征向量？任取一個(gè)基

在

下矩陣為

,即記，則故

是特征值是特征值是特征向量是特征向量七、線性變換特征值和特征向量42/54問(wèn)是否與基選取相關(guān)？七、線性變換特征值和特征向量線性變換T特征多項(xiàng)式（也即表示矩陣A特征多項(xiàng)式）設(shè)是

到本身線性變換，

是

兩個(gè)基在基矩陣為，即在基矩陣為，即，則有，，從而43/54七、線性變換特征值和特征向量類(lèi)似于表示矩陣A特征值和特征向量相關(guān)性質(zhì),有定理

線性變換T關(guān)于不一樣特征值特征向量必線性無(wú)關(guān).定理

設(shè)是T不一樣特征值,是T關(guān)于ri

個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量，則向量組

必線性無(wú)關(guān).44/54試求特征值和特征向量.例10上線性變換定義為解取基，因

A特征值即為T(mén)特征值.七、線性變換特征值和特征向量是特征值是特征值是特征向量是特征向量45/54七、線性變換特征值和特征向量求

特征值和特征向量.例10上線性變換定義為解取基，令故在基下矩陣為

特征值關(guān)于解,解得關(guān)于解,解得關(guān)于解,解得46/54則三個(gè)特征值分別對(duì)應(yīng)線性無(wú)關(guān)特征向量為七、線性變換特征值和特征向量47/54八、線性變換可對(duì)角化定理類(lèi)似，先給出幾個(gè)概念：48/54八、線性變換可對(duì)角化定理49/54八、線性變換可對(duì)角化定理線性變換可對(duì)角化定理：推論

若T有n個(gè)不一樣特征值,則T可對(duì)角化.50/54八、線性變換可對(duì)角化定理試證

可對(duì)角化,求一個(gè)基使得

在該基下矩陣為對(duì)角陣.例上線性變換定義為解取基，令

用右乘可視為對(duì)進(jìn)行一系列列變換。51/54八、線性變換可對(duì)角化定理試證

可對(duì)角化,求一個(gè)基使得

在該基下矩陣為對(duì)角陣.例上線性變換定義為解取基，令故在基下矩陣為

特征值均為單根,