高考文數一輪課件2第二章函數第三節(jié)函數的奇偶性與周期性

第三節(jié)函數的奇偶性與周期性總綱目錄教材研讀1.函數的奇偶性考點突破2.奇（偶）函數的性質3.周期性考點二函數周期性的判斷與應用考點一函數奇偶性考點三函數性質的綜合問題1.函數的奇偶性教材研讀奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x,都有

①

f(-x)=f(x)

,那么函數f(x)是偶函數關于②

y軸

對稱奇函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x,都有

③

f(-x)=-f(x)

,那么函數f(x)是奇函數關于④

原點

對稱2.奇(偶)函數的性質(1)奇(偶)函數的定義域關于原點對稱.(2)奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性⑤

相同

,偶函數在關

于原點對稱的區(qū)間上的單調性⑥

相反

.(3)在公共定義域內(i)兩個奇函數的和是⑦

奇函數

,兩個奇函數的積是⑧

偶函數

.(ii)兩個偶函數的和、積都是⑨

偶函數

.(iii)一個奇函數,一個偶函數的積是⑩

奇函數

.(4)若函數f(x)是奇函數且在x=0處有定義,則f(0)=0.與函數奇偶性有關的結論(1)如果函數f(x)是偶函數,那么f(x)=f(|x|).(2)既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型,即f(x)=0,x∈D,其中定

義域D是關于原點對稱的非空數集.(3)偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值,取最值時的自

變量互為相反數;奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數,

取最值時的自變量也互為相反數.3.周期性(1)周期函數:對于函數y=f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義

域內的任何值時,都有f(x+T)=

f(x)

,那么就稱函數y=f(x)為周期函數,稱T為這個函數的周期.(2)最小正周期:如果在周期函數f(x)的所有周期中

存在一個最小

的正數,那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.有關周期函數的幾個常用結論周期函數y=f(x)滿足:(1)若f(x+a)=f(x-a),則函數的周期為2|a|;(2)若f(x+a)=-f(x),則函數的周期為2|a|;(3)若f(x+a)=-

,則函數的周期為2|a|;(4)若f(x+a)=

,則函數的周期為2|a|;(5)若函數f(x)的圖象關于直線x=a與x=b對稱,則函數f(x)的周期為2|b-a|;(6)若函數f(x)的圖象既關于點(a,0)對稱,又關于點(b,0)對稱,則函數f(x)的周期是2|b-a|;(7)若函數f(x)的圖象既關于直線x=a對稱,又關于點(b,0)對稱,則函數f(x)

的周期是4|b-a|;(8)若函數f(x)是偶函數,其圖象關于直線x=a對稱,則其周期為2|a|;(9)若函數f(x)是奇函數,其圖象關于直線x=a對稱,則其周期為4|a|.1.(2018北京東城期末)下列函數中為偶函數的是

()A.y=(x-2)2

B.y=|lnx|C.y=x·cosx

D.y=e-|x答案

D偶函數需具備:①定義域關于原點對稱;②滿足f(-x)=f(x),只有

D項符合,故選D.D2.(2017北京朝陽期中)下列四個函數中,在其定義域上既是奇函數又是

單調遞增函數的是

()A.y=x-1

B.y=tanxC.y=x3

D.y=-

答案

C

A.y=x-1是非奇非偶函數,不符合題意.B.y=tanx是奇函數,但在定義域上不是單調函數,不符合題意.C.y=x3是奇函數,在定義域上為增函數,符合題意.D.y=-

是奇函數,在定義域上不是單調函數,不符合題意.故選C.C3.(2016北京東城二模)已知函數g(x)=f(x)-x是偶函數,且f(3)=4,則f(-3)=

()A.-4

B.-2

C.0

D.4答案

B∵g(x)=f(x)-x是偶函數,∴g(x)=g(-x).B∵g(3)=f(3)-3=4-3=1,∴g(-3)=f(-3)-(-3)=1.∴f(-3)=-2.4.(2018北京海淀期中)已知函數f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數,當

0<x<1時,f(x)=

,則f

+f(0)=

.答案-2解析∵函數f(x)是定義在R上的奇函數,∴f(0)=0,f

=-f

.∵函數f(x)的周期為2,∴f

=f

=2.∴f

+f(0)=-2.-25.若函數f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數,定義域為[a-1,2a],則a=

,b=

.答案

;0解析因為偶函數的定義域關于原點對稱,所以a-1=-2a,解得a=

.由函數f(x)=

x2+bx+b+1為偶函數,結合偶函數圖象的特點(圖略),易得b=0.6.(2015北京東城一模)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,當x<0時,f(x)

=x2-4,則x>0時,f(x)的解析式為

,不等式f(x)<0的解集為

.答案

f(x)=-x2+4;(-2,0)∪(2,+∞)解析當x>0時,-x<0,∴f(-x)=x2-4,又f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x2+4;當x<0時,f(x)=x2-4<0,∴-2<x<2,∴-2<x<0;當x>0時,f(x)=-x2+4<0,∴x<-2或x>2,∴x>2,∴不等式f(x)<0的解集為(-2,0)∪(2,+∞).考點一函數奇偶性命題角度一函數奇偶性的判斷考點突破典例1(1)(2017北京西城期末)下列函數中,定義域為R的奇函數是

()A.y=x2+1

B.y=tanxC.y=2x

D.y=x+sinx(2)(2017北京石景山一模)下列函數中為偶函數的是

()A.f(x)=2x-

B.f(x)=xsinxC.f(x)=excosx

D.f(x)=x2+sinx答案(1)D(2)B解析(1)A,y=x2+1是偶函數,不滿足條件.B,y=tanx是奇函數,但函數的

定義域不是R,不滿足條件.C,y=2x為增函數,為非奇非偶函數,不滿足條

件.D,y=x+sinx是R上的奇函數,滿足條件,故選D.(2)四個函數的定義域均為R.對于A,易判斷是奇函數;對于B,f(-x)=(-x)·

sin(-x)=x·sinx=f(x),是偶函數;對于C,f(-x)=e-x·cos(-x)=e-x·cosx,既不是奇

函數也不是偶函數;對于D,f(-x)=(-x)2+sin(-x)=x2-sinx,既不是奇函數也

不是偶函數.方法技巧判斷函數奇偶性的常用方法(1)定義法.首先判斷定義域是否關于原點對稱,然后判斷f(-x)與f(x)的關

系.(2)圖象法.若圖象關于原點對稱,則函數為奇函數;若圖象關于y軸對稱,

則函數為偶函數.(3)性質法.“奇±奇”是奇,“奇·奇”“奇÷奇”是偶;“偶±偶”是偶,

“偶·偶”“偶÷偶”是偶;“奇·偶”是奇,“奇÷偶”是奇.命題角度二函數奇偶性的應用典例2已知函數f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數,函數g(x)=f(|x|),若g(lg

x)>g(1),則x的取值范圍是

()A.(0,10)

B.(10,+∞)C.

D.

∪(10,+∞)D答案

D解析∵g(x)=f(|x|),∴g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x),∴g(x)為偶函數.又∵f(x)在(0,+∞)上為增函數,∴g(x)在(-∞,0)上為減函數,在(0,+∞)上為增函數,當|x|越大時,g(x)越大,若g(lgx)>g(1),則|lgx|>1.∴l(xiāng)gx>1或lgx<-1,故x>10或0<x<

.故選D.方法技巧應用函數奇偶性可解決的四類問題及解題方法(1)求函數值將待求值利用奇偶性轉化到已知區(qū)間上求解.(2)求解析式先將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求解,或充

分利用奇偶性,構造關于f(x)的方程(組),從而得到f(x)的解析式.(3)求函數解析式中參數的值利用待定系數法求解,根據f(x)±f(-x)=0得到關于待求參數的恒等式,由系

數的對等性得參數的值或方程(組),進而得出參數的值.(4)畫函數圖象和判斷單調性利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調性.1-1

(2018北京海淀期中)下列函數中,既是偶函數又在(0,+∞)上單調遞

增的是

()A.f(x)=-x2

B.f(x)=3-xC.f(x)=ln|x|

D.f(x)=x+sinx1-1

(2018北京海淀期中)下列函數中,既是偶函數又在(0,+∞)上單調遞

增的是

()A.f(x)=-x2

B.f(x)=3-xC.f(x)=ln|x|

D.f(x)=x+sinx答案

C符合偶函數的只有A,C,函數f(x)=-x2在(0,+∞)上單調遞減,故

選C.C1-2

(2015北京海淀一模)已知函數f(x)是奇函數,且當x>0時,f(x)=ex,則f(-1)=

()A.

B.-

C.eD.-e答案

D∵函數f(x)是奇函數,∴f(-1)=-f(1)=-e.D1-3函數f(x-1)是R上的奇函數,?x1,x2∈R,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0,則f(1-x)<

0的解集是()A.(-∞,0)

B.(0,+∞)C.(-∞,2)

D.(2,+∞)答案

C由于函數f(x-1)是R上的奇函數,故有f(-x-1)=-f(x-1),令x=0,則

有f(-1)=-f(-1),于是有f(-1)=0.?x1,x2∈R,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,則函數f(x)在R上單調遞減,不等式f(1-x)<0

等價于f(1-x)<f(-1),則有1-x>-1,解得x<2,故選C.C典例3(1)設f(x)是定義在R上的周期為3的函數,當x∈[-2,1)時,f(x)=

則f

=

()A.0

B.1

C.

D.-1(2)設定義在R上的函數f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當x∈[0,2)時,f(x)=2x-x2,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=

.考點二函數周期性的判斷與應用答案(1)D(2)1008解析(1)因為f(x)是周期為3的周期函數,所以f

=f

=f

=4×

-2=-1,故選D.(2)∵f(x+2)=f(x),∴函數f(x)的周期T=2,又當x∈[0,2)時,f(x)=2x-x2,所以f(0)=0,f(1)=1,所以f(0)=f(2)=f(4)=…=f(2016)=0,f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2015)=1.故f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=1008.規(guī)律總結判斷函數周期性的幾個常用結論若對于函數f(x)定義域內的任意一個x都有:(1)f(x+a)=-f(x)(a≠0),則函數f(x)必為周期函數,2|a|是它的一個周期;(2)f(x+a)=

(a≠0,f(x)≠0),則函數f(x)必為周期函數,2|a|是它的一個周期;(3)f(x+a)=-

(a≠0,f(x)≠0),則函數f(x)必為周期函數,2|a|是它的一個周期.2-1已知f(x)是定義在R上的偶函數,并且滿足f(x+2)=

,當2≤x≤3時,f(x)=x,則f(105.5)=

.答案2.5解析由f(x+2)=

得f(x+4)=f((x+2)+2)=

=

=f(x),∴f(x)是以4為周期的周期函數.∴f(105.5)=f(26×4+1.5)=f(1.5)=f(-2.5+4)=f(-2.5).∵f(x)為偶函數,且當2≤x≤3時,f(x)=x,∴f(105.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5.2.5考點三函數性質的綜合問題典例4

(2016北京東城(上)期中)定義在R上的函數f(x)滿足f(-x)=f(x),對

于任意x1,x2∈[0,+∞),

<0(x2≠x1),則

()A.f(-1)<f(-2)<f(3)

B.f(3)<f(-1)<f(-2)C.f(-2)<f(-1)<f(3)

D.f(3)<f(-2)<f(-1)答案

D解析由f(-x)=f(x)得f(x)為偶函數,所以f(-2)=f(2),f(-1)=f(1),對于任意x1,x2∈[0,+∞),

<0,所以當x≥0時,f(x)為減函數,所以f(3)<f(2)<f(1),即f(3)<f(-2)<f(-1),故選D.D方法技巧