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大題創(chuàng)新題精煉04概率統(tǒng)計沖刺2024高考數(shù)學【突破新題型】(原卷)【前言】自九省聯(lián)考新題型以來,各地模擬卷題目發(fā)生根本性變化。數(shù)列主要發(fā)生以下變化:(1)2小問變成3小問,(2)加大對排列組合、二項式的考察,(3)強化條件概率、乘法公式、全概率公式應用,(4)概率統(tǒng)計與數(shù)列綜合綜合,(5)概率統(tǒng)計與函數(shù)導數(shù)綜合。題型探究目錄【題型一】3小問的概率統(tǒng)計題目【題型二】排列、組合、二項式在解答題應用【題型三】條件概率、乘法公式、全概率公式【題型四】概率統(tǒng)計與數(shù)列綜合【題型五】概率統(tǒng)計與導數(shù)綜合知識溫習(略)各個擊破【題型一】3小問的概率統(tǒng)計題目【知識回顧】(略)1.(2024·上海松江·二模)某素質(zhì)訓練營設計了一項闖關(guān)比賽.規(guī)定:三人組隊參賽,每次只派一個人,且每人只派一次:如果一個人闖關(guān)失敗,再派下一個人重新闖關(guān);三人中只要有人闖關(guān)成功即視作比賽勝利,無需繼續(xù)闖關(guān).現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊參賽,他們各自闖關(guān)成功的概率分別為、、,假定、、互不相等,且每人能否闖關(guān)成功的事件相互獨立.(1)計劃依次派甲乙丙進行闖關(guān),若,,,求該小組比賽勝利的概率;(2)若依次派甲乙丙進行闖關(guān),則寫出所需派出的人員數(shù)目的分布,并求的期望;(3)已知,若乙只能安排在第二個派出,要使派出人員數(shù)目的期望較小,試確定甲、丙誰先派出.2.(2024·北京順義·二模)某學校工會組織趣味投籃比賽,每名選手只能在下列兩種比賽方式中選擇一種.方式一:選手投籃3次,每次投中可得1分,未投中不得分,累計得分;方式二:選手最多投3次.如第1次投中可進行第2次投籃,如第2次投中可進行第3次投籃.如某次未投中,則投籃中止.每投中1次可得2分,未投中不得分,累計得分;已知甲選擇方式一參加比賽,乙選擇方式二參加比賽.假設甲,乙每次投中的概率均為,且每次投籃相互獨立.(1)求甲得分不低于2分的概率;(2)求乙得分的分布列及期望;(3)甲,乙誰勝出的可能性更大?直接寫出結(jié)論.3.(2024·全國·模擬預測)2023年11月19日,以“激發(fā)創(chuàng)新活力,提升發(fā)展質(zhì)量”為主題的第二十五屆中國國際高新技術(shù)成果交易會(以下簡稱“高交會”)在深圳閉幕,作為“中國科技第一展”的高交會距今已有25年的歷史.福田展區(qū)的專業(yè)展設有新一代信息技術(shù)展、環(huán)保展、新型顯示展、智慧城市展、數(shù)字醫(yī)療展、高端裝備制造展等六類.現(xiàn)統(tǒng)計了每個展區(qū)的備受關(guān)注率﹝一個展區(qū)中受到所有相關(guān)人士(或企業(yè))關(guān)注的企業(yè)數(shù)與該展區(qū)的參展企業(yè)數(shù)的比值﹞,如下表:展區(qū)類型新一代信息技術(shù)展環(huán)保展新型顯示展智慧城市展數(shù)字醫(yī)療展高端裝備制造展展區(qū)的企業(yè)數(shù)量/家6036065045070990備受關(guān)注率0.200.100.240.300.100.20(1)從參展的6個展區(qū)的企業(yè)中隨機選取一家企業(yè),求這家企業(yè)是“新型顯示展”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)的概率.(2)若視備受關(guān)注率為概率,某電視臺現(xiàn)要從“環(huán)保展”“智慧城市展”“高端裝備制造展”3個展區(qū)中隨機抽取2個展區(qū),再從抽出的2個展區(qū)中各抽取一家企業(yè)進行采訪,求采訪的兩家企業(yè)都是備受關(guān)注的企業(yè)的概率.(3)從“新一代信息技術(shù)展”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)和“數(shù)字醫(yī)療展”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)中,任選2家接受記者采訪.記為這2家企業(yè)中來自“新一代信息技術(shù)展”展區(qū)的企業(yè)數(shù)量,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.4.(2024·上海閔行·二模)ChatGPT是OpenAI研發(fā)的一款聊天機器人程序,是人工智能技術(shù)驅(qū)動的自然語言處理工具,它能夠基于在預訓練階段所見的模式和統(tǒng)計規(guī)律來生成回答,但它的回答可能會受到訓練數(shù)據(jù)信息的影響,不一定完全正確.某科技公司在使用ChatGPT對某一類問題進行測試時發(fā)現(xiàn),如果輸入的問題沒有語法錯誤,它回答正確的概率為0.98;如果出現(xiàn)語法錯誤,它回答正確的概率為0.18.假設每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為0.1,且每次輸入問題,ChatGPT的回答是否正確相互獨立.該公司科技人員小張想挑戰(zhàn)一下ChatGPT,小張和ChatGPT各自從給定的10個問題中隨機抽取9個作答,已知在這10個問題中,小張能正確作答其中的9個.(1)求小張能全部回答正確的概率;(2)求一個問題能被ChatGPT回答正確的概率;(3)在這輪挑戰(zhàn)中,分別求出小張和ChatGPT答對題數(shù)的期望與方差.【題型二】排列、組合、二項式在解答題應用【知識回顧】(略)5.(2024·湖南衡陽·二模)莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應用.所有大于1的正整數(shù)都可以被唯一表示為有限個質(zhì)數(shù)的乘積形式:(為的質(zhì)因數(shù)個數(shù),為質(zhì)數(shù),),例如:,對應.現(xiàn)對任意,定義莫比烏斯函數(shù)(1)求;(2)若正整數(shù)互質(zhì),證明:;(3)若且,記的所有真因數(shù)(除了1和以外的因數(shù))依次為,證明:.6.(2024·廣東·模擬預測)在組合恒等式的證明中,構(gòu)造一個具體的計數(shù)模型從而證明組合恒等式的方法叫做組合分析法,該方法體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美,我們將通過如下的例子感受其妙處所在.(1)對于元一次方程,試求其正整數(shù)解的個數(shù);(2)對于元一次方程組,試求其非負整數(shù)解的個數(shù);(3)證明:(可不使用組合分析法證明).注:與可視為二元一次方程的兩組不同解.7.(2023·遼寧丹東·二模)某種抗病毒疫苗進行動物實驗,將疫苗注射到甲乙兩地一些小白鼠體內(nèi),小白鼠血樣某項指標X值滿足12.2≤X≤21.8時,小白鼠產(chǎn)生抗體.從注射過疫苗的小白鼠中用分層抽樣的方法抽取了210只進行X值檢測,其中甲地120只小白鼠的X值平均數(shù)和方差分別為14和6,乙地90只小白鼠的X值平均數(shù)和方差分別為21和17,這210只小白鼠的X值平均數(shù)與方差分別為,(與均取整數(shù)).用這210只小白鼠為樣本估計注射過疫苗小白鼠的總體,設.(1)求,;(2)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨立,已知注射過疫苗的N只小白鼠中有102只產(chǎn)生抗體,試估計N的可能值(以使得P(K=102)最大的N的值作為N的估計值);(3)對這些小白鼠進行第二次疫苗注射后,有99.1%的小白鼠產(chǎn)生了抗體,再對這些小白鼠血樣的X值進行分組檢測,若每組n(n≤50)只小白鼠混合血樣的X值在特定區(qū)間內(nèi),就認為這n只小白鼠全部產(chǎn)生抗體,否則要對n只小白鼠逐個檢測.已知單獨檢驗一只小白鼠血樣的檢測費用為10元,n只小白鼠混合血樣的檢測費用為n+9元.試給出n的估計值,使平均每只小白鼠的檢測費用最小,并求出這個最小值(精確到0.1元).附:若,則,.參考數(shù)據(jù):,,,.8.(2024·北京西城·一模)對正整數(shù),設數(shù)列.是行列的數(shù)陣,表示中第行第列的數(shù),,且同時滿足下列三個條件:①每行恰有三個1;②每列至少有一個1;③任意兩行不相同.記集合或中元素的個數(shù)為.(1)若,求的值;(2)若對任意中都恰有行滿足第列和第列的數(shù)均為1.①能否滿足?說明理由;②證明:.【題型三】條件概率、乘法公式、全概率公式【知識回顧】(略)9.(2024·浙江·二模)甲、乙兩人進行知識問答比賽,共有道搶答題,甲、乙搶題的成功率相同.假設每題甲乙答題正確的概率分別為和,各題答題相互獨立.規(guī)則為:初始雙方均為0分,答對一題得1分,答錯一題得﹣1分,未搶到題得0分,最后累計總分多的人獲勝.(1)若,,求甲獲勝的概率;(2)若,設甲第題的得分為隨機變量,一次比賽中得到的一組觀測值,如下表.現(xiàn)利用統(tǒng)計方法來估計的值:①設隨機變量,若以觀測值的均值作為的數(shù)學期望,請以此求出的估計值;②設隨機變量取到觀測值的概率為,即;在一次抽樣中獲得這一組特殊觀測值的概率應該最大,隨著的變化,用使得達到最大時的取值作為參數(shù)的一個估計值.求.題目12345678910得分100﹣111﹣1000題目11121314151617181920得分﹣1011﹣100010表1:甲得分的一組觀測值.附:若隨機變量,的期望,都存在,則.10.(2024·河北滄州·模擬預測)某景區(qū)的索道共有三種購票類型,分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票.為提高服務水平,現(xiàn)對當日購票的120人征集意見,當日購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36、60和24.(1)若按購票類型采用分層隨機抽樣的方法從這120人中隨機抽取10人,再從這10人中隨機抽取4人,求隨機抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率.(2)記單程下山票和雙程票為回程票,若在征集意見時要求把購買單程上山票的2人和購買回程票的m(且)人組成一組,負責人從某組中任選2人進行詢問,若選出的2人的購票類型相同,則該組標為A,否則該組標為B,記詢問的某組被標為B的概率為p.(i)試用含m的代數(shù)式表示p;(ii)若一共詢問了5組,用表示恰有3組被標為B的概率,試求的最大值及此時m的值.11.(2024·浙江麗水·二模)為保護森林公園中的珍稀動物,采用某型號紅外相機監(jiān)測器對指定區(qū)域進行監(jiān)測識別.若該區(qū)域有珍稀動物活動,該型號監(jiān)測器能正確識別的概率(即檢出概率)為;若該區(qū)域沒有珍稀動物活動,但監(jiān)測器認為有珍稀動物活動的概率(即虛警概率)為.已知該指定區(qū)域有珍稀動物活動的概率為0.2.現(xiàn)用2臺該型號的監(jiān)測器組成監(jiān)測系統(tǒng),每臺監(jiān)測器(功能一致)進行獨立監(jiān)測識別,若任意一臺監(jiān)測器識別到珍稀動物活動,則該監(jiān)測系統(tǒng)就判定指定區(qū)域有珍稀動物活動.(1)若.(i)在該區(qū)域有珍稀動物活動的條件下,求該監(jiān)測系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的概率;(ii)在判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的條件下,求指定區(qū)域?qū)嶋H沒有珍稀動物活動的概率(精確到0.001);(2)若監(jiān)測系統(tǒng)在監(jiān)測識別中,當時,恒滿足以下兩個條件:①若判定有珍稀動物活動時,該區(qū)域確有珍稀動物活動的概率至少為0.9;②若判定沒有珍稀動物活動時,該區(qū)域確實沒有珍稀動物活動的概率至少為0.9.求的范圍(精確到0.001).(參考數(shù)據(jù):)12.(2024·湖南·模擬預測)將保護區(qū)分為面積大小相近的多個區(qū)域,用簡單隨機抽樣的方法抽取其中15個區(qū)域進行編號,統(tǒng)計抽取到每個區(qū)域的某種水源指標和區(qū)域內(nèi)該植物分布的數(shù)量(,2,…,15),得到數(shù)組.已知,,.(1)求樣本(,2…,15)的相關(guān)系數(shù);(2)假設該植物的壽命為隨機變量X(X可取任意正整數(shù)).研究人員統(tǒng)計大量數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn):對于任意的,壽命為的樣本在壽命超過k的樣本里的數(shù)量占比與壽命為1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同,均等于0.1,這種現(xiàn)象被稱為“幾何分布的無記憶性”.(?。┣螅ǎ┑谋磉_式;(ⅱ)推導該植物壽命期望的值.附:相關(guān)系數(shù).【題型四】概率統(tǒng)計與數(shù)列綜合【知識回顧】(略)13.(2024·安徽·模擬預測)某校在90周年校慶到來之際,為了豐富教師的學習和生活,特舉行了答題競賽.在競賽中,每位答題若干次,每一次答題的賦分方法如下:第1次答題,答對得20分,答錯得10分,從第2次答題開始,答對則獲得上一次答題所得分數(shù)兩倍的得分,答錯得10分,教師甲參加答題競賽,每次答對的概率均為,每次答題是否答對互不影響.(1)求甲前3次答題的得分之和為70分的概率.(2)記甲第i次答題所得分數(shù)的數(shù)學期望為.(?。┣?,,,并猜想當時,與之間的關(guān)系式;(ⅱ)若,求n的最小值.14.(2024·海南·模擬預測)某學校有甲?乙?丙三名保安,每天由其中一人管理停車場,相鄰兩天管理停車場的人不相同.若某天是甲管理停車場,則下一天有的概率是乙管理停車場;若某天是乙管理停車場,則下一天有的概率是丙管理停車場;若某天是丙管理停車場,則下一天有的概率是甲管理停車場.已知今年第1天管理停車場的是甲.(1)求第4天是甲管理停車場的概率;(2)求第天是甲管理停車場的概率;(3)設今年甲?乙?丙管理停車場的天數(shù)分別為,判斷的大小關(guān)系.(給出結(jié)論即可,不需要說明理由)15.(2024·河南·模擬預測)甲?乙?丙三人進行傳球游戲,每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式:當球在甲手中時,若骰子點數(shù)大于3,則甲將球傳給乙,若點數(shù)不大于3,則甲將球保留;當球在乙手中時,若骰子點數(shù)大于4,則乙將球傳給甲,若點數(shù)不大于4,則乙將球傳給丙;當球在丙手中時,若骰子點數(shù)大于3,則丙將球傳給甲,若骰子點數(shù)不大于3,則丙將球傳給乙.初始時,球在甲手中.(1)設前三次投擲骰子后,球在甲手中的次數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望;(2)投擲次骰子后,記球在乙手中的概率為,求數(shù)列的通項公式;(3)設,求證:.16.(2324高三上·貴州貴陽·期中)有個編號分別為的盒子,第1個盒子中有2個紅球和1個白球,其余盒子中均為1個紅球和1個白球,現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子,現(xiàn)從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子,,依次進行.(1)求從第2個盒子中取到紅球的概率;(2)求從第個盒子中取到紅球的概率;(3)設第個盒子中紅球的個數(shù)為,的期望值為,求證:.【題型五】概率統(tǒng)計與導數(shù)綜合17.(2024·浙江杭州·二模)在概率統(tǒng)計中,常常用頻率估計概率.已知袋中有若干個紅球和白球,有放回地隨機摸球次,紅球出現(xiàn)次.假設每次摸出紅球的概率為,根據(jù)頻率估計概率的思想,則每次摸出紅球的概率的估計值為.(1)若袋中這兩種顏色球的個數(shù)之比為,不知道哪種顏色的球多.有放回地隨機摸取3個球,設摸出的球為紅球的次數(shù)為,則.注:表示當每次摸出紅球的概率為時,摸出紅球次數(shù)為的概率)(?。┩瓿上卤?;0123(ⅱ)在統(tǒng)計理論中,把使得的取值達到最大時的,作為的估計值,記為,請寫出的值.(2)把(1)中“使得的取值達到最大時的作為的估計
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