河南省開封市五校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

開封五校2023～2024學(xué)年上學(xué)期期末聯(lián)考高一數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版必修第一冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則的值為（）A.1 B.2 C.1或2 D.1或【答案】C【解析】【分析】利用集合包含關(guān)系求得的值，從而得解.【詳解】因?yàn)椋?，，所以或，即或，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，都符合題意.故選：C.2.下列表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】D【解析】【分析】利用同一函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則相同，逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得解.【詳解】對于A，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，所以兩者定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，所以兩者定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C，與的定義域和對應(yīng)法則都不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于D，，，這兩個(gè)函數(shù)的定義域都是，且對應(yīng)法則也相同，故是同一個(gè)函數(shù)，故D正確.故選：D.3.函數(shù)（）的最小正周期為，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】利用正切函數(shù)的最小正周期公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋ǎ┑淖钚≌芷跒?，所以的最小正周期，解?故選：A.4.已知，，則是的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】舉例說明充分不成立，分和兩種情況說明必要性成立，即可得答案.【詳解】解：令，，滿足，但，故不能推出，所以充分性不滿足；當(dāng)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故能推出，故是的必要不充分條件．故選：C．5.在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到，從而利用誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)定義求出答案.【詳解】因?yàn)?，故角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以.故選：D.6.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用冪函數(shù)的定義求得的解析式，再利用其定義即可得解.【詳解】依題意，設(shè)冪函數(shù)為，則，故，則，所以的定義域?yàn)?，故滿足，解得.故選：B.7.已知，當(dāng)取最大值時(shí)，則值為（）A. B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)已知使用基本不等式，整理求出取最大值時(shí)的和值，再得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即，，此時(shí).故選：B．8.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用與的關(guān)系，結(jié)合換元法求得，從而得解.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，則，且，又，所以，即，即，所以，所以，即異號，所以.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列各式中值為1的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】對于ABC，由二倍角公式驗(yàn)算即可；對于D，由平方關(guān)系驗(yàn)算即可.【詳解】對選項(xiàng)A，，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B，，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)C，，正確；對選項(xiàng)D，，正確．故選：CD.10.已知函數(shù)，則（）A.， B.的圖像關(guān)于直線對稱C.在上單調(diào)遞增 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】AD【解析】【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)逐一分析判斷即可得解.【詳解】對于A，函數(shù)的最小正周期，故A正確；對于B，因?yàn)椋缘膱D象不關(guān)于直線對稱，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的定義域?yàn)锽.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù)D.對任意的，【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】A：由，所以該函數(shù)的定義域?yàn)椋虼吮具x項(xiàng)結(jié)論不正確；B：因?yàn)椋杂?，因此是偶函?shù)，所以本選項(xiàng)不正確；C：由上可以確定本選項(xiàng)正確；D：，當(dāng)時(shí)，，而，于是有，當(dāng)時(shí)，，而，于是有，綜上所述：對任意的，，因此本選項(xiàng)正確，故選：CD12.已知函數(shù)，若方程有4個(gè)不同實(shí)根，則（）A. B.C D.【答案】BCD【解析】【分析】畫出函數(shù)圖像，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)分析得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，且在上遞減，在上遞增，綜上，可得圖象如下，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)方程有4個(gè)不同實(shí)根，A錯(cuò)誤；結(jié)合圖象及題設(shè)知：，B正確；由題得且，所以，C正確；是方程的兩個(gè)根，即方程的兩個(gè)根，所以則，由，得，所以，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在半徑為2的圓中，的圓心角所對的弧的長度為______.【答案】##【解析】【分析】利用扇形的弧長公式即可得解.【詳解】在半徑為2的圓中，的圓心角所對的弧的長度為.故答案為：.14.若命題：“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，從而得解.【詳解】因?yàn)槊}：“，”為假命題，所以“，”為真命題，即恒成立，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15.若是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，的零點(diǎn)分別為，則________.【答案】0【解析】【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得關(guān)于中心對稱，從而可得，為奇數(shù)，代入求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于中心對稱，設(shè)函數(shù)的個(gè)零點(diǎn)分別為，所以，又由的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，所以關(guān)于中心對稱，則，因?yàn)槭嵌x域?yàn)槠婧瘮?shù)，所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則.故答案為：16.已知函數(shù)（其中m，，且）的圖象恒過定點(diǎn)，若，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的性質(zhì)可得，，根據(jù)可得代入求解.【詳解】由于的圖象恒過定點(diǎn)，所以，且，故且，由于，所以，又，即，故，因此，故，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知為銳角，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系和正弦的二倍角公式求解；（2）利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系以及兩角差的余弦公式求解即可．【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以．【小?詳解】因?yàn)?，所以，所以?8.已知集合．（1）若，求；（2）若是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】18.19.或【解析】【分析】（1）解分式不等式可求得，再由集合基本運(yùn)算可求得結(jié)果；（2）易知，對集合是否為空集進(jìn)行分類討論即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】解不等式可得，則，若，則，所以．【小問2詳解】若是的必要條件，則．當(dāng)，即時(shí)，，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，，要滿足，可得，解得，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為或19.函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)在的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，若，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，令，由即可得解；（2），有，解方程即可得解.【詳解】（1）令，則，由，此時(shí)；（2）由，，所以，解得或或（舍）.20.某機(jī)構(gòu)通過對某企業(yè)今年的生產(chǎn)經(jīng)營狀況的調(diào)查，得到月利潤（單位：萬元）與相應(yīng)月份的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：25710229244241227（1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從（這里的都是常數(shù)）三個(gè)函數(shù)模型中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)哪Ｐ兔枋雠c的變化關(guān)系，并說明理由；（2）利用2月份和5月份的數(shù)據(jù)求出（1）中選擇的函數(shù)模型，并估計(jì)幾月份的月利潤最大.【答案】（1）選取二次函數(shù)，理由見解析（2）；6月份的利潤最大【解析】【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)不是單調(diào)函數(shù)，即可作出選擇；（2）將點(diǎn)代入，求得函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】解：由題目中的數(shù)據(jù)知，描述每月利潤與相應(yīng)月份數(shù)的變化關(guān)系不是單調(diào)函數(shù)，所以應(yīng)選取二次函數(shù)進(jìn)行描述.【小問2詳解】解：將點(diǎn)，代入，可得，解得，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，故可估計(jì)6月份的利潤最大.21.已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，其中為常數(shù).（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱可得為奇函數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）先利用對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性得到，再利用分離參數(shù)法得到在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出即可.【詳解】解：（1）函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)為奇函數(shù)，，即，即，整理得：，又上式對定義域內(nèi)任意的均成立，，解得：或(舍)；（2）由（1）知，，，即，，，即在上恒成立，令，，則，易得，且在上單調(diào)減，，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)時(shí)，一般可對不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果.22.如圖，已知函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為．（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的所有零點(diǎn)之和．【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象求出周期，即可求得，再將點(diǎn)代入解析式求出即可；（2）先根據(jù)函數(shù)平移的性質(zhì)求出，將函數(shù)的零