考研數(shù)學(xué)三(多元函數(shù)微分學(xué))模擬試卷6(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)三（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷6(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．設(shè)u=f(x+y，xz)有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則A．f′2+xf”11+(x+z)f”12+xzf”22B．xf”12+xzf”22C．f′2+xf”12+xzf”22D．xzy”22正確答案：C解析：選(C)．知識(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)2．函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)可偏導(dǎo)是函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)連續(xù)的()．A．充分條件B．必要條件C．充分必要條件D．非充分非必要條件正確答案：D解析：如在點(diǎn)(0，0)處可偏導(dǎo)，但不連續(xù)；又如在(0，0)處連續(xù)，但對(duì)x不可偏導(dǎo)．選(D)．知識(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)3．設(shè)可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處取得極小值，則下列結(jié)論正確的是()．A．f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)為零B．f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)大于零C．f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)小于零D．f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)不存在正確答案：A解析：可微函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處取得極小值，則有f′x(x0，y0)=0，f′0(x0，y0)=0，于是f(x0，y)在y=y0處導(dǎo)數(shù)為零，選(A)．知識(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)填空題4．設(shè)f(x，y)滿足f(x，0)=1，f′y(x，0)=x，則f(x，y)=________．正確答案：由得因?yàn)閒′y(x，0)=x，所以φ1(x)=x，即再由得f(x，y)=y1+xy+φ1(x)，因?yàn)閒(x，0)=1，所以φ2(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)5．設(shè)u=f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則正確答案：x+y+z+xyz=0兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得將x=0，y=1，z=一1代入得涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)6．設(shè)其中f(u)可導(dǎo)，則正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)7．設(shè)y=y(x，z)是由方程ex+y+z=x2+y2+z2確定的隱函數(shù)，則正確答案：ex+y+z=x2+y2+z2兩邊對(duì)z求偏導(dǎo)得從而涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)8．設(shè)z=f(x，y)是由確定的函數(shù)，則正確答案：將代入e2yz+x+y2+z=中得z=0，兩邊求微分得2e2yz(zdy+ydz)+dx+2ydy+dz=0，將z=0代入得涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)9．設(shè)y=y(x)由確定，則正確答案：當(dāng)x=0時(shí)，y=1，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得將x=0，y=1代入得涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)10．設(shè)z=z(x，y)由z+ez=xy2確定，則dz=___________．正確答案：方法一z+ez=xy2兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得解得z+ez=xy2兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得解得則方法二z+ez=xy2兩邊求微分得d(z+ez)=d(xy2)，即dz+ezdz=y2dx+2xydy，解得涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)11．設(shè)z=f(x+y，y+z，z+x)，其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，則正確答案：z=f(x+y，y+z，z+x)兩邊求x求偏導(dǎo)得解得涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)12．設(shè)其中f可導(dǎo)，則正確答案：則涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)13．由方程確定的隱函數(shù)z=z(x，y)在點(diǎn)(1，0，一1)處的微分為dz=__________．正確答案：兩邊求微分得把(1，0，一1)代入上式得涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)14．設(shè)f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則f′x(0，1，一1)=__________．正確答案：x+y+z+xyz=0兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得將x=0，y=1，z=一1代入得解得f′x(0，1，一1)=1．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)15．設(shè)f(x，y)可微，且f′1(-1,3)=-2，f′2(-1，3)=1，令則dz|(1,3)=________．正確答案：則則dz|(1,3)=一7dx+3dy．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16．設(shè)有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)17．設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程x2+y2+z2=xyf(x2)所確定，其中f是可微函數(shù)，計(jì)算并化成最簡形式．正確答案：x2+y2+z2=xyf(z2)兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得解得x2+y2+z2=xyf(z2)兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得解得故涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)18．設(shè)f(t)二階可導(dǎo)，g(u，v)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且z=f(2x—y)+g(x，3y)，求正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)19．設(shè)z=f(exsiny，x2+y2)，且f(u，v)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)20．設(shè)z=f(x2+y2，xy，x)，其中f(u，v，w)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)21．設(shè)z=z(x，y)由x—yz+yez-x-y=0確定，求及dz．正確答案：方程x—yz+yez-y-x=0兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得解得方程x—yz+yez-x-y=0兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得解得涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)22．設(shè)z=f[x—y+g(x—y—z)]，其中f，g可微，求正確答案：等式z=f(x—y+g(x—y—z))兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得解得等式z=f(x—y+g(x—y—z))兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得解得涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)23．設(shè)u=f(x)，其中z是由z=y+xφ(z)確定的x，y的函數(shù)，其中f(z)與φ(z)為可微函數(shù)．證明：正確答案：兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得解得則兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得解得則所以涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)24．設(shè)xy=xf(z)+yg(z)，且xf′(z)+yg′(z)≠0，其中z=z(x，y)是x，y的函數(shù)．證明：正確答案：xy=xf(z)+yg(z)兩邊分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)，得解得于是涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)25．設(shè)z=f(x，y)由方程z—y—x+xez-y-x=0確定，求dz．正確答案：對(duì)z—y—x+xz-y=x=0兩邊求微分，得dz—dy—dx+ez-y-xdx+xez-y-x(dz—dy—dx)=0，解得涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)26．設(shè)u=f(x．y，z)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，y=y(x)，z=z(x)分別由方程exy—y=0與ez一xz=0確定，求正確答案：方程exy一y=0兩邊對(duì)x求導(dǎo)得解得方程ez一xz=0兩邊對(duì)x求導(dǎo)得解得則涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)27．設(shè)y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所確定的函數(shù)，其中f和F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求正確答案：z=xf(x+y)及F(x，y，z)=0兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得解得涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)28．(1)設(shè)y=f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)=0確定的x，y的函數(shù)，且f(x，t)，G(x，y，t)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，求(2)設(shè)z=z(x，y)由方程確定，求正確答案：(1)將y=f(x，t)與G(x，y，t)=0兩邊對(duì)x求導(dǎo)得解得(2)當(dāng)x=0，y=0時(shí)，z=1．兩邊分別對(duì)x和y求偏導(dǎo)得兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得故涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)29．設(shè)且F可微，證明：正確答案：兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得解得兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得解得于是涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)30．設(shè)變換可把方程化簡為求常數(shù)a．正確答案：將u，v作為中間變量，則函數(shù)關(guān)系為z=f(u，v)，則有將上述式子代入方程根據(jù)題意得解得a=3．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)31．設(shè)z=f[x+φ(x—y)，y]，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，φ二階可導(dǎo)，求正確答案：z=f[x+φ(x—y)，y]兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)32．設(shè)z=f(x，y)由f(x+y，x—y)=x2一y2一xy確定，求dz．正確答案：令則代入得涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)33．(1)求二元函數(shù)f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的極值．(2)求函數(shù)f(x，y)=(x2+2x+y)ey的極值．-正確答案：(1)二元函數(shù)f(x，y)的定義域?yàn)镈={(x，y)|y＞0}，因?yàn)锳C—B2＞0且A＞0，所以為f(x，y)的極小值點(diǎn)，極小值為(2)由得由AC—B2=2＞0及A=2＞0得(x，y)=(一1，0)為f(x，y)的極小值點(diǎn)，極小值為f(-1，0)=一1．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)34．試求z=f(x，y)=x3+y3一3xy在矩形閉域D={(x，y)|0≤x≤2，一1≤y≤2}上的最大值與最小值．正確答案：當(dāng)(x，y)在區(qū)域D內(nèi)時(shí)，在L1：y=一1(0≤x≤2)上，z=x3+3x一1，因?yàn)閦′=3x2+3>0，所以最小值為z(0)=一l，最大值為z(2)=13；在L2：y=2(0≤x≤2)上，z=x3一6x+8，由z′=3x2一6=0得z(2)=4；在L3：x=0(-1≤y≤2)上，z=y3，由z′=3y2=0得y=0，z(一1)=一1，z(0)=0，z(2)=8；在L4：x=2(-1≤y≤2)上，z=y3一6y+8，由z′=3y2一6=0得z(2)=4.故z=x3+y3一3xy在D上的最小值為一1，最大值為13．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)35．平面曲線L：繞x軸旋轉(zhuǎn)所得曲面為S，求曲面S的內(nèi)接長方體的最大體積．正確答案：曲線L：繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的曲面為S：根據(jù)對(duì)稱性，設(shè)內(nèi)接長方體在第一卦限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(x，y，z)，則體積為V=8xyz．令由由實(shí)際問題的特性及點(diǎn)的唯一性，當(dāng)時(shí)，內(nèi)接長方體體積最大，最大體積為涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)36．設(shè)某工廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為x件和y件，利潤函數(shù)為L(x，y)=6x—x2+16y一4y2一2(萬元)．已知生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品時(shí)，每件產(chǎn)品都要消耗原料2000kg，現(xiàn)有該原料12000