導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第三單元導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第15課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性第一部分大單元過關(guān)01課前自學(xué)02課堂導(dǎo)學(xué)目錄【課時(shí)目標(biāo)】掌握函數(shù)的單調(diào)性，了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，

能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【考情概述】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之

一，選擇題和填空題側(cè)重于形的考查，解答題通常以綜合題的形式出

現(xiàn)，側(cè)重于代數(shù)的考查，難度中等或偏上，屬于高頻考點(diǎn).

知識(shí)梳理1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)

f

（

x

）在某個(gè)區(qū)間（

a

，

b

）上可導(dǎo)：（1）

在某個(gè)區(qū)間（

a

，

b

）上，如果f'（

x

）＞0，那么函數(shù)

y

＝

f

（

x

）

在區(qū)間（

a

，

b

）上單調(diào)遞

?；（2）

在某個(gè)區(qū)間（

a

，

b

）上，如果f'（

x

）＜0，那么函數(shù)

y

＝

f

（

x

）

在區(qū)間（

a

，

b

）上單調(diào)遞

?.增減2.單調(diào)性的應(yīng)用（1）

在某個(gè)區(qū)間上，f'（

x

）＞0（f'（

x

）＜0）是函數(shù)

f

（

x

）在此區(qū)

間上單調(diào)遞增（減）的

條件.如函數(shù)

f

（

x

）＝

x

3在R上

單調(diào)遞增，但f'（

x

）＝3

x

2≥0.（2）

可導(dǎo)函數(shù)

f

（

x

）在區(qū)間（

a

，

b

）上單調(diào)遞增（減）的充要條件

是f'（

x

）≥0（f'（

x

）≤0）在區(qū)間（

a

，

b

）上恒成立，且在其任何一

個(gè)子區(qū)間上f'（

x

）都不恒為零，但在個(gè)別點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)可以為零.充分不必要3.求可導(dǎo)函數(shù)

f

（

x

）的單調(diào)區(qū)間的步驟（1）

先求函數(shù)

f

（

x

）的

?；（2）

再求導(dǎo)數(shù)f'（

x

）；（3）

解不等式f'（

x

）＞0（f'（

x

）＜0）；（4）

根據(jù)（3）的解集并結(jié)合定義域?qū)懗鰡握{(diào)遞增（減）區(qū)間.定義域常用結(jié)論1.由函數(shù)

f

（

x

）在區(qū)間（

a

，

b

）上單調(diào)遞增（減），可得f'（

x

）≥0

（f'（

x

）≤0）在該區(qū)間上恒成立，而不是f'（

x

）＞0（f'（

x

）＜0）

在該區(qū)間上恒成立，“＝”不能少，必要時(shí)還需對(duì)“＝”進(jìn)行檢驗(yàn).

2.導(dǎo)數(shù)的常見構(gòu)造：

回歸課本1.判斷：（1）

（RA選二P86問題改編）如果在某個(gè)區(qū)間上恒有f'（

x

）＝0，那

么函數(shù)

f

（

x

）在該區(qū)間上為常函數(shù)，不具有單調(diào)性.

（

√

）（2）

（RA選二P86例1（3）改編）若函數(shù)

f

（

x

）在定義域上都有f'

（

x

）＞0，則函數(shù)

f

（

x

）在定義域上一定單調(diào)遞增.

（

?

）（3）

（RA選二P86定義改編）若函數(shù)

f

（

x

）在某個(gè)區(qū)間（

a

，

b

）上

單調(diào)遞增，則一定有f'（

x

）＞0.

（

?

）（4）

（RA選二P88探究改編）如果一個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)的絕

對(duì)值越大，那么該函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上變化得越快.

（

√

）√??√

A.先增后減B.先減后增C.單調(diào)遞增D.單調(diào)遞減

A.－

B.－

C.

D.

BC4.（多選）（RA選二P87練習(xí)第3題改編）如圖所示為函數(shù)

f

（

x

）的導(dǎo)

數(shù)

y

＝f'（

x

）的圖象，則下列判斷正確的是（

BC

）A.

f

（

x

）在區(qū)間（－3，1）上是增函數(shù)B.

f

（

x

）在區(qū)間（2，3）上是減函數(shù)C.

f

（

x

）在區(qū)間（4，5）上是增函數(shù)D.

f

（

x

）在區(qū)間（3，5）上是增函數(shù)BC5.（RA選二P87練習(xí)第1（2）題改編）已知函數(shù)

f

（

x

）＝e

x

－

ax

在區(qū)

間（－∞，1）上單調(diào)遞減，則正數(shù)

a

的取值范圍是

?.[e，＋∞）

考點(diǎn)一

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1（1）

已知函數(shù)

f

（

x

）＝（2e－

x

）ln

x

，其中e為自然對(duì)數(shù)的底

數(shù)，則

f

（

x

）的單調(diào)增區(qū)間為

，單調(diào)減區(qū)間為

?

?.（0，e）（e，

＋∞）

（2）

函數(shù)

f

（

x

）＝

ax

3＋（

a

－1）

x

－1（

a

＜0）的單調(diào)減區(qū)間

為

?.解：因?yàn)?/p>

a

＜0，所以f'（

x

）＝3

ax

2＋

a

－1＜0在R上恒成立.所以函數(shù)

f

（

x

）在區(qū)間（－∞，＋∞）上單調(diào)遞減，即函數(shù)

f

（

x

）的單調(diào)減區(qū)

間為（－∞，＋∞）.（－∞，＋∞）[變式演練]1.若函數(shù)

f

（

x

）＝

ax

3＋（

a

－1）

x

－1（

a

＞0）且

f

（

x

）的單調(diào)減區(qū)

間為（－1，1），則

a

＝

?.

2.若函數(shù)

f

（

x

）＝

ax

3＋（

a

－1）

x

－1（

a

＞0）且

f

（

x

）存在減區(qū)

間，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是

?.解：由變式演練1，得f'（

x

）＝3

ax

2＋

a

－1.令f'（

x

）＝0，即3

ax

2＋

a

－1＝0.由題意，得

a

－1＜0，即

a

＜1.所以0＜

a

＜1，即實(shí)數(shù)

a

的取值范

圍是（0，1）.（0，1）總結(jié)提煉

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的技巧（1）

先求定義域.一方面，定義域?qū)握{(diào)區(qū)間有限制作用；另一方

面，求定義域有時(shí)可以簡(jiǎn)化要解的不等式，方便求單調(diào)區(qū)間.（2）

在求單調(diào)區(qū)間時(shí)，優(yōu)先處理導(dǎo)數(shù)f'（

x

）中恒正或恒負(fù)的因式，

以簡(jiǎn)化不等式.（3）

令f'（

x

）＞0，可求得單調(diào)增區(qū)間；令f'（

x

）＜0，可求得單調(diào)

減區(qū)間.

3

（－1，0）∪（0，＋∞）

總結(jié)提煉

已知單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍的思路（1）

“已知含參函數(shù)

f

（

x

）的單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)的值”，通常轉(zhuǎn)化

為方程問題；（2）

“已知含參函數(shù)

f

（

x

）在給定區(qū)間上的單調(diào)性，求參數(shù)的取值

范圍”，通常轉(zhuǎn)化為恒成立問題；（3）

“已知含參函數(shù)

f

（

x

）在給定區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)的

取值范圍”，通常轉(zhuǎn)化為有解問題；（4）

“已知含參函數(shù)

f

（

x

）在給定區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)的取值范

圍”，通常先將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)時(shí)，參數(shù)的取值集

合，再取其補(bǔ)集即可（不要忽略參數(shù)自身的限制條件）.考向2

證明或討論函數(shù)的單調(diào)性例3（1）

（2022·北京卷改編）已知函數(shù)

f

（

x

）＝e

x

ln（1＋

x

）.設(shè)

g

（

x

）＝f'（

x

），判斷并證明函數(shù)

g

（

x

）在區(qū)間[0，＋

∞）上的單調(diào)性.

（2）

已知函數(shù)

f

（

x

）＝e2

x

－（

a

＋2）e

x

＋

ax

（

a

∈R），討論函數(shù)

f

（

x

）的單調(diào)性.

[變式演練]5.已知函數(shù)

f

（

x

）＝e

x

ln（1＋

x

），求證：

f

（

x

）在區(qū)間（－1，＋

∞）上單調(diào)遞增.

總結(jié)提煉

研究函數(shù)的單調(diào)性（1）

當(dāng)求導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)的符號(hào)不易判斷時(shí)，一是可以繼續(xù)求導(dǎo)（即二次

求導(dǎo)），研究導(dǎo)數(shù)的圖象與性質(zhì)，從而確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)；二是可以將

導(dǎo)數(shù)分割重組，把每部分的符號(hào)分別確定，從而確定整體的符號(hào).（2）

當(dāng)求導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與參數(shù)的取值有關(guān)時(shí)，要注意分類討論，

以確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.考點(diǎn)三

構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性解不等式例4已知定義在R上的函數(shù)

f

（

x

）的導(dǎo)數(shù)為f'（

x

），且對(duì)任意的

x

∈R，都有

f

（

x

）＞－f'（

x

）.若

y

＝

f

（

x

＋2023）為奇函數(shù)，則不等

式

f

（

x

）＞0的解集為（

D

）A.（－∞，0）B.（0，＋∞）C.（－∞，ln2023）D.（2023，＋∞）D解：由題意，得不等式

f

（

x

）＞0等價(jià)于

f

（

x

）·e

x

＞0.令

p

（

x

）＝

f

（

x

）·e

x

，則p'（

x

）＝[f'（

x

）＋

f

（

x

）]e

x

.因?yàn)?/p>

f

（

x

）＞－f'

（

x

），即f'（

x

）＋

f

（

x

）＞0，所以p'（

x

）＞0對(duì)任意的

x

∈R恒成

立.所以

p

（

x

）為R上的增函數(shù).又

y

＝

f

（

x

＋2023）為奇函數(shù)，所以

f

（2023）＝0.所以

p

（2023）＝

f

（2023）·e2023＝0.所以不等式

f

（

x

）·e

x

＞0的解集為（2023，＋∞），即不等式

f

（

x

）＞0的解集為

（2023，＋∞）.[變式演練]6.定義在R上的函數(shù)

f

（

x

）的導(dǎo)數(shù)為f'（

x

），且對(duì)任意的

x

∈R，都有

f

（

x

）＞f'（

x

）.若函數(shù)

y

＝

f

（

x

）＋2023為奇函數(shù)，則不等式

f

（

x

）

＋2023e

x

＜0的解集為（

B

）A.（－∞，0）B.（0，＋∞）C.（－∞，ln2023）D.（2023，＋∞）B

1.（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知函數(shù)

f

（