第05講 一元二次方程（解析版）

第05講一元二次方程2.1【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意義；會(huì)把一元二次方程化為一般形式【基礎(chǔ)知識(shí)】一、一元二次方程的概念：通過(guò)化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要點(diǎn)：識(shí)別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件：（1）整式方程；（2）含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿(mǎn)足其中任何一個(gè)條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.二、一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．要點(diǎn)：(1)只有當(dāng)時(shí)，方程才是一元二次方程；(2)在求各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí)注意不要漏掉前面的性質(zhì)符號(hào).三、一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)1：一元二次方程的概念例1．下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是關(guān)于x的一元二次方程的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷即可．解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程；②，當(dāng)a=0時(shí)不是一元二次方程；③，是一元二次方程；④，整理后不含二次項(xiàng)，不是一元二次方程，所以，一定是關(guān)于x的一元二次方程的是①③，共2個(gè)，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．例2．下列敘述正確的是（

）A．形如的方程叫一元二次方程B．方程不含有常數(shù)項(xiàng)C．一元二次方程中，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)均不能為0D．是關(guān)于y的一元二次方程【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式，形如的方程叫一元二次方程，可得答案．解：A．形如的方程叫一元二次方程，故A不符合題意；B．方程的一般形式是，常數(shù)項(xiàng)是，故B不符合題意；C．一元二次方程中，二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)可以為0，故C不符合題意；D．是關(guān)于y的一元二次方程，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程的一般形式是解題關(guān)鍵．例3．下列方程中，是一元二次方程的有（

）個(gè)①；②；③；④；⑤．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義判斷，應(yīng)僅有一個(gè)未知數(shù)，且是最高次數(shù)為2的整式方程．①變形為，是一元二次方程；②，整理變形為，最高次數(shù)為4，不是一元二次方程；③，變形為，是一元二次方程；④變形為，不是一元二次方程；⑤，是分式方程；故①③滿(mǎn)足，共有個(gè)一元二次方程故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，一元二次方程應(yīng)僅有一個(gè)未知數(shù)，且是最高次數(shù)為2的整式方程．例4．下面關(guān)于的方程中：①；②；③；④（為任意實(shí)數(shù)）；⑤．一元二次方程的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿(mǎn)足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿(mǎn)足這四個(gè)條件者為正確答案．解：①，時(shí)不是一元二次方程；②是一元二次方程；③是分式方程；④為任意實(shí)數(shù)）是一元二次方程；⑤，是根式方程，是無(wú)理方程，不是一元二次方程；綜上所述，一元二次方程的個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡(jiǎn)后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．考點(diǎn)2：一元二次方程的一般形式例5．把一元二次方程化成一般形式，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先把方程的左邊按照平方差公式進(jìn)行整理，再移項(xiàng)把方程化為從而可得答案．解：∵，∴∴方程的一般形式為：故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式：”是解本題的關(guān)鍵．例6．方程2x2﹣5x＝4的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為（）A．2，5，4 B．2，﹣5，4 C．﹣2，﹣5，4 D．2，﹣5，﹣4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的概念及一般形式即可判斷，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．解：∵方程2x2﹣5x＝4化成一般形式是2x2﹣5x﹣4＝0，∴二次項(xiàng)系數(shù)為2，一次項(xiàng)系數(shù)為﹣5，常數(shù)項(xiàng)為﹣4．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．例7．把化成一般形式為_(kāi)_________，二次項(xiàng)系數(shù)為_(kāi)_________，一次項(xiàng)系數(shù)為_(kāi)_________，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________．【答案】

3

0【解析】【分析】原式去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，寫(xiě)出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)即可．解：，，去括號(hào)：，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)：，∴二次項(xiàng)系數(shù)為：；一次項(xiàng)系數(shù)為：，常數(shù)項(xiàng)為：；故答案為：；；；．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式為：是解題的關(guān)鍵．例8．把一元二次方程化成一般形式，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式去括號(hào)，進(jìn)而得出答案．解：，去括號(hào)得：x2-5+4x2-4x+1=0，整理得：5x2-4x-4=0．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)3：根據(jù)一元二次方程的概念確定參數(shù)（養(yǎng)成一元二次方程解題素養(yǎng)a≠0）例9．已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，則m＝________．【答案】－1【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義m-1≠0，且，解答即可．∵（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，∴m-1≠0，且，∴m-1≠0，且，∴，故答案為：-1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義即含有一個(gè)未知數(shù)且含未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)最高是2的整式方程，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．例10．當(dāng)___________時(shí)，方程是一元二次方程．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答．∵是一元二次方程，∴且，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特別要注意的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．例11．關(guān)于x的方程是一元二次方程，則________．【答案】【解析】【分析】直接利用一元二次方程的定義得出最高次數(shù)為2，最高次項(xiàng)系數(shù)不為0進(jìn)而求出即可．解：關(guān)于x的方程是一元二次方程，由①得：由②得：所以故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，正確把握次數(shù)與系數(shù)是解題關(guān)鍵．例12．若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義:只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高指數(shù)是2的整式方程,且二次項(xiàng)系數(shù)不等于0,即可進(jìn)行求解,由題意得:解得:m=-2.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的定義,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握一元二次方程的定義.例13．如果關(guān)于x的一元二次方程，有一個(gè)解是0，那么m的值是（

）A．3 B． C． D．0或【答案】B【解析】【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解關(guān)于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為0．解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得m2-9=0，解得m=-3或3，當(dāng)m=3時(shí)，原方程二次項(xiàng)系數(shù)m-3=0，舍去，∴m=-3故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程解的定義，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含義是解題的關(guān)鍵.例14．要使方程是關(guān)于x的一元二次方程，則（

）A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)≠3 C．a(chǎn)≠1且b≠﹣1 D．a(chǎn)≠3且b≠﹣1且c≠0【答案】B【解析】【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義求解，一元二次方程必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0．解：根據(jù)一元二次方程的定義中二次項(xiàng)系數(shù)不為0得，a-3≠0，a≠3．故選B．【點(diǎn)睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．當(dāng)a=0時(shí)，上面的方程就不是一元二次方程了，當(dāng)b=0或c=0時(shí)，上面的方程在a≠0的條件下，仍是一元二次方程，只不過(guò)是不完全的一元二次方程．例15．關(guān)于x的方程（m2﹣4）x2＋（m﹣2）x﹣2＝0，當(dāng)m滿(mǎn)足______時(shí)，方程為一元二次方程，當(dāng)m滿(mǎn)足______時(shí)，方程為一元一次方程．【答案】

【解析】【分析】分別根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的定義列式求解即可.解：由題意得：m2﹣4≠0，解得：，即當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程；由題意得：m2﹣4＝0，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2，即當(dāng)m＝﹣2時(shí)，方程為一元一次方程．故答案為：；m＝﹣2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程是通過(guò)化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程；一元一次方程是只含有一個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且兩邊都為整式的等式．例16．關(guān)于x的一元二次方程，常數(shù)項(xiàng)為0，求m的值．下面是小莉和小軒的解題過(guò)程：小莉：由題意，得，所以．小軒：由題意，得，且，所以．其中解題過(guò)程正確的是（

）A．兩人都正確 B．小軒正確，小莉不正確C．小莉正確，小軒不正確 D．兩人都不正確【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，然后即可得出答案．由題意，得，且，解得．故小軒正確，小莉不正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義和絕對(duì)值，得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)4：一元二次方程的解例17．若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)解為，則的值是（

）A．1 B．3 C．－3 D．4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=-1代入一元二次方程可得到關(guān)于m的一元一次方程，然后解一元一次方程即可．解：把x=-1代入x2-2x+m=0得1+2+m=0，解得m=-3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱(chēng)為一元二次方程的根．例18．若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是0，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．【答案】C【解析】【分析】將代入中，求出的值，再根據(jù)，即可確定的值．將代入中解得∵這是關(guān)于的一元二次方程∴解得故故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解得定義、一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．例19．已知2+是關(guān)于x的方程x2﹣4x+c＝0的一個(gè)根，則c的值為（）A．2﹣ B．2+ C．1 D．﹣1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x＝2+代入關(guān)于x的方程x2﹣4x+c＝0，列出關(guān)于c的新方程，通過(guò)解新方程來(lái)求c的值．解：∵2+是關(guān)于x的方程x2﹣4x+c＝0的一個(gè)根，∴2+滿(mǎn)足方程x2﹣4x+c＝0，∴（2+）2﹣4（2+）+c＝0，解得c＝1．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的解的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解的定義．考點(diǎn)5：根據(jù)一元二次方程的解整體代換及相關(guān)變形例20．若m是方程的一個(gè)根，則的值為_(kāi)____．【答案】2023【解析】【分析】由題意知，即，再將整理并將整體代入計(jì)算求解即可．解：由題意知：，即，∴=2023．故答案為：2023．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解及代數(shù)式的求值的知識(shí)，解題的關(guān)鍵在于理解一元二次方程的解的定義．例21．若關(guān)于的一元二次方程有一根為2022，則方程必有根為（

）A．2022 B．2020 C．2019 D．2021【答案】D【解析】【分析】設(shè)，即可改寫(xiě)為，由題意關(guān)于x的一元二次方程有一根為，即有一個(gè)根為，所以，x=2021．由得到，對(duì)于一元二次方程，設(shè)，所以，而關(guān)于x的一元二次方程有一根為，所以有一個(gè)根為，則，解得，所以一元二次方程有一根為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解．掌握換元法解題是解答本題的關(guān)鍵．例22．已知a是方程的一個(gè)根，則的值為（

）．A． B．2022 C．2021 D．無(wú)法計(jì)算【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義，得到，然后將其變形得到a2=2022a-1，a2+1=2022a，最后整體代入代數(shù)式求值即可．解：∵a是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，∴，∴a2=2022a-1，a2+1=2022a，∴原式=2022a-1-2021a+=a-1+==-1=2021，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，分式的運(yùn)算，整體代入求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是運(yùn)用整體代入的思想．例23．關(guān)于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)兩根為m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，則a的值為_(kāi)_____．【答案】/1.5【解析】【分析】根據(jù)方程根的定義得到，，然后把(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54變形后，利用整體代入，得到關(guān)于a的一元二次方程，解方程后去掉不合題意的解即可．解：∵關(guān)于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)兩根為m，n，∴，∴，∵(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，∴[2（am2－2bm＋a）][3(an2－2bn)－2a]＝54∴解得或∵ab≠0∴a，b均為非零實(shí)數(shù)，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的定義和整體代入的方法，熟練掌握整體代入的方法是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)6：試根法和利用整體未知數(shù)求解方程的解法例24．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c滿(mǎn)足a+b+c=0和a﹣b+c=0，則方程的根是（

）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．無(wú)法確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的根的定義，將未知數(shù)的值代入方程，計(jì)算后即可得出結(jié)論．解：∵，把代入得：，即方程的一個(gè)解是，把代入得：，即方程的一個(gè)解是；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解的定義，掌握方程的解的定義并能準(zhǔn)確利用定義進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵．例25．關(guān)于的方程必有一個(gè)根為（）A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2【答案】A【解析】【分析】分別把，，，代入中，利用一元二次方程的解，當(dāng)為任意值時(shí)，則對(duì)應(yīng)的的值一定為方程的解.解：A、當(dāng)是，，所以方程必有一個(gè)根為1，所以A選項(xiàng)正確；B、當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根為，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根為，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的根，將選項(xiàng)分別代入方程求解是解題的關(guān)鍵.例26．若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為，則方程必有一根為（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】D【解析】【分析】把化為：再結(jié)合題意可得從而可得方程的解.解：可化為：關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為，把看作是整體未知數(shù)，則即有一根為故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根的含義，掌握“利用整體未知數(shù)求解方程的根”是解本題的關(guān)鍵.例27．如果a，b，k均為整數(shù)，則滿(mǎn)足下面等式的所有k的取值有(

)A．2個(gè) B．3個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)【答案】C【解析】【分析】先把等式左邊展開(kāi)，由對(duì)應(yīng)相等得出a+b=k，ab=18；再由a，b，k均為整數(shù)，求出k的值即可．解：∵（x+a）（x+b）=x2+kx+18，∴x2+（a+b）x+ab=x2+kx+18，∴a+b=k，ab=18，∵a，b，k均為整數(shù)，∴a=±1，b=±18，k=±19；a=±2，b=±9，k=±11；a=±3，b=±6，k=±9；故k的值共有6個(gè)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．例28．兩個(gè)關(guān)于的一元二次方程和，其中，，是常數(shù)，且，如果是方程的一個(gè)根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（

）A．2020 B． C．-2020 D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及一元二次方程的解法即可求出答案．∵，，a+c=0∴，∵ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0，∴，，∴，，∵是方程的一個(gè)根，∴是方程的一個(gè)根，∴是方程的一個(gè)根，即是方程的一個(gè)根故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的定義以及方程的解的概念．考點(diǎn)7：復(fù)雜的一元二次方程的解的求值及其他問(wèn)題例29．若關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿(mǎn)足a﹣b+c＝0，稱(chēng)此方程為“天宮”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宮”方程，求a2+2022a+﹣的值是___．【答案】【解析】【分析】利用新定義得到“天宮”方程的一個(gè)解為，則，然后利用整體代入的方法計(jì)算．解：∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿(mǎn)足a﹣b+c＝0，∴“天宮”方程的一個(gè)解為，方程是“天宮”方程，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．利用整體代入的方法計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．例30．若是關(guān)于方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用a是關(guān)于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根得到（a-m）（a-n）=-1＜0，進(jìn)而判斷出m＜a＜n，同理判斷出m＜b＜n，即可得出結(jié)論．解：∵a是關(guān)于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根，∴（a-m）（a-n）+1=0，∴（a-m）（a-n）=-1＜0，∵m＜n，∴m＜a＜n，同理：m＜b＜n，∵a＜b，∴m＜a＜b＜n．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的解的定義，不等式的性質(zhì)，判斷出（a-m）（a-n）＜0是解本題的關(guān)鍵．例31．設(shè)a、b是整數(shù)，方程x2+ax+b=0的一根是，則的值為（）A．2 B．0 C．-2 D．-1【答案】C【解析】【分析】先化簡(jiǎn)，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根據(jù)題意列出二元一次方程組并求解求得a和b的值，再代入計(jì)算即可．解：==1．∵方程x2+ax+b=0的一根是，∴++b=0．∴．∴．∵、是整數(shù)，∴解得∴==．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)，一元二次方程的解，二元一次方程組的應(yīng)用，正確構(gòu)造二元一次方程組是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)8：一元二次方程的近似求解法（夾逼思想）例32．根據(jù)表格估計(jì)方程x2+2x=6其中一個(gè)解的近似值．x1.631.641.651.66…x2+2x5.91695.96966.02256.0756…根據(jù)表格，求方程x2+2x=6的一個(gè)解大約是______（精確到0．01）【答案】1.65【解析】【分析】先根據(jù)表中所給的數(shù)，再與6相減，然后所得的值進(jìn)行比較，差值越小的越接近方程的解．解：6-5.9696=0.0304，6.0225-6=0.0225，∵0.0304＞0.0225，∴6.0225比5.9696更逼近6，∴方程x2+2x=6的一個(gè)解大約是1.65，故答案為：1.65．【點(diǎn)睛】此題考查了估算一元二次方程的近似解，解題的關(guān)鍵是找出表中與6最接近的數(shù)，算出差額，再比較，相差越小的數(shù)越比較接近．【真題演練】一、單選題1．（2005·廣東深圳·中考真題）一元二次方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是()A．x2－5x+5=0 B．x2+5x－5=0 C．x2+5x+5=0 D．x2+5=0【答案】A【解析】一元二次方程的一般式為：ax2+bx+c=0(a≠0)，將原方程去括號(hào)為：x2-6x+4+x+1=0，合并為：x2-5x+5=0，故答案為：A.【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：一元二次方程的一般式.2．（2022·青?！そy(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的方程的一個(gè)根為，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．4 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)方程根的定義，將代入方程，解出m的值即可．【解析】解：關(guān)于x的方程的一個(gè)根為，所以，解得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握由方程的根求待定系數(shù)的方法是將根代入方程求解．3．（2013·貴州安順·中考真題）已知關(guān)于的方程的一個(gè)根為，則實(shí)數(shù)的值為A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】A【分析】利用方程解的定義就可以得到關(guān)于的方程，從而求得的值．【解析】解：關(guān)于的方程的一個(gè)根為，，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的解的定義．解題的關(guān)鍵是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．4．（2022·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）已知m為方程的根，那么的值為（

）A． B．0 C．2022 D．4044【答案】B【分析】根據(jù)題意有，即有，據(jù)此即可作答．【解析】∵m為的根據(jù)，∴，且m≠0，∴，則有原式=，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了利用未知數(shù)是一元二次方程的根求解代數(shù)式的值，由m為得到是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2019·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）已知x=是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則m＝____________．【答案】1【分析】把x＝代入方程得到關(guān)于m的方程，然后解關(guān)于m的方程即可．【解析】解：把x＝代入方程得，解得m＝1．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．6．（2017·山東菏澤·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是0，則k的值是_______．【答案】0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可得出k-1≠0，進(jìn)而可得出k≠1，將x=0代入原方程可得出關(guān)于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，結(jié)合k≠1即可得出結(jié)論．【解析】解：∵方程是一元二次方程，∴k-1≠0，∴k≠1．把x=0代入，得，解得：k=1(舍去)，或k=0，故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程的解，代入x=0求出k的值是解題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（

）A．1、2、 B．1、2、4 C．1、、4 D．1、、【答案】D【分析】將方程化為一元二次方程的一般形式，然后找出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．【解析】解：∵一元二次方程可化為：，∴二次項(xiàng)系數(shù)為1、一次項(xiàng)系數(shù)為、常數(shù)項(xiàng)為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．2．已知關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值是（

）A． B．3 C．或3 D．都不對(duì)【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程定義可得，，求解即可．【解析】由題意得：，，解得：，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程定義，關(guān)鍵是掌握只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．3．下列各方程中：①；②；③；④；⑤一元二次方程的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行解答．【解析】解：①，符合一元二次方程的定義；②，當(dāng)時(shí)，不是一元二次方程；③是分式方程，不是一元二次方程；④，符合一元二次方程的定義；⑤，方程整理可得，是一元一次方程．綜上所述，有2個(gè)符合題意．故選∶B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡(jiǎn)后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．4．關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解是，則的值為（

）A．2或4 B．0或4 C．或0 D．或2【答案】B【分析】將代入原方程，求出解即可．【解析】當(dāng)時(shí)，，且解得或0．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，當(dāng)時(shí)，一元二次方程有實(shí)數(shù)根．5．如果非零實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則有一根為的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知求出，然后把代入看是否符合即可．【解析】解：∵，∴，當(dāng)時(shí)，A．，故本選項(xiàng)正確；B．，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)一元二次方程的解的理解，能熟練運(yùn)用定義進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵．6．若m是方程的根，則的值為（

）A．2024 B．2022 C．2020 D．2018【答案】A【分析】根據(jù)m是方程的根，得出，然后整體代入求值即可．【解析】解：∵m是方程的根，∴，∴，∴，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是理解一元二次方程的解，注意整體代入思想．7．下面關(guān)于x的方程中：，其中一元二次方程的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】利用一元二次方程的定義（只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程）分別分析得出答案．【解析】解：是一元一次方程，不合題意；是一元二次方程，符合題意；含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，不合題意；不符合一元二次方程的定義，不合題意；是一元二次方程，符合題意；不符合一元二次方程的定義，不合題意；∴其中一元二次方程的個(gè)數(shù)為：2，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查一元二次方程的定義，正確把握一元二次方程具備的條件是解題的關(guān)鍵．8．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c滿(mǎn)足a+b+c=0和a﹣b+c=0，則方程的根是（

）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的根的定義，將未知數(shù)的值代入方程，計(jì)算后即可得出結(jié)論．【解析】解：∵，把代入得：，即方程的一個(gè)解是，把代入得：，即方程的一個(gè)解是；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解的定義，掌握方程的解的定義并能準(zhǔn)確利用定義進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵．9．若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是，則一元二次方程必有一根為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2019【答案】D【分析】先合并帶b的式子，再左右兩邊乘以2后利用整體思想解題即可．【解析】解：原式化簡(jiǎn)為：，則有，∵一元二次方程的一個(gè)根是，∴，解得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的根，能夠利用整體思想是解題關(guān)鍵．10．在估算一元二次方程的根時(shí)，小彬列表如下：11.11.21.30.842.29由此可估算方程的一個(gè)根的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可估算方程的一個(gè)根的范圍．【解析】∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴可估算方程的一個(gè)根的范圍是．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了估算一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是正確分析表格中的數(shù)據(jù)．二、填空題11．把方程化為一元二次方程的一般形式是______．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】解：去括號(hào)得，移項(xiàng)得，合并得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．12．關(guān)于x的方程有一個(gè)根為零，那么____________．【答案】6【分析】將代入原方程，得到新的方程，求解即可得到m的值．【解析】解：關(guān)于x的方程有一個(gè)根為0，即，∴，解得：，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，方程的解是能使方程兩邊左右相等的未知數(shù)的值．13．若方程是關(guān)于的一元二次方程，則的取值范圍是______．【答案】且【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，二次根式的性質(zhì)，解一元一次不等式求解集，即可求解．【解析】解：根據(jù)題意得，，且，∴且，∴且，故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)一元二次方程的定義，二次根式的性質(zhì)求參數(shù)，掌握一元二次方程的定義，二次根式的性質(zhì)，解一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．14．一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)是________，一次項(xiàng)系數(shù)是________．【答案】

【分析】根據(jù)一元二次方程一般形式的定義，即可求解．【解析】解：一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程一般形式，其中是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)．15．關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，則m為_(kāi)______．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程定義二次項(xiàng)系數(shù)不為0及常數(shù)為0列式即可得到答案．【解析】解：由題意可得，，解得：，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義及絕對(duì)值方程，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得到二次項(xiàng)系數(shù)不為0．16．已知方程有一個(gè)根是m，則代數(shù)式的值為_(kāi)____．【答案】【分析】根據(jù)方程的解滿(mǎn)足方程代入得到含m的代數(shù)式的值，然后整體代入即可得到答案．【解析】解：∵有一個(gè)根是m，∴，即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查方程的解及求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是知道方程的解滿(mǎn)足方程及整體代換的思想．17．已知方程的一個(gè)根為，則的值為_(kāi)_________【答案】2022【分析】根據(jù)題意可知，從而整體代入原式即可求出答案．【解析】∵a是方程的一個(gè)根，∴，∴，∴，∴，故答案為2022．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的定義，解題的關(guān)鍵是利用整體思想進(jìn)行代數(shù)式的求解．18．已知下面三個(gè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則a+b+c的值為_(kāi)____．【答案】0【分析】設(shè)這個(gè)相同的實(shí)數(shù)根為t，把x＝t代入3個(gè)方程得出a?t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a?t+b＝0，3個(gè)方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案．【解析】解：設(shè)這個(gè)相同的實(shí)數(shù)根為t，把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得：a?t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a?t+b＝0相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0，（a+b+c）（t2+t+1）＝0，∵t2+t+1＝（t）20，∴a+b+c＝0，故答案是：0．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解．三、解答題19．判斷下列方程是否為一元二次方程．（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）是；（2）不是；（3）是；（4）不是【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，進(jìn)行判斷即可．【解析】解：（1），是一元二次方程；（2），不含二次項(xiàng)，不是一元二次方程；（3），是一元二次方程；（4），不是整式方程，不是一元二次方程．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義．熟練掌握一元二次方程的定義，是解題的關(guān)鍵．20．判斷下列各題括號(hào)內(nèi)未知數(shù)的值是不是方程的根．(1)（，，）．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)、是方程的根，不是方程的根(2)、是方程的根，不是方程的根(3)、是方程的根，不是方程的根(4)是方程的根，、不是方程的根【分析】將括號(hào)內(nèi)的未知數(shù)的值代入方程式計(jì)算即可判斷．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，、是方程的根，不是方程的根，故答案為：、是方程的根，不是方程