湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)12第3課時(shí)勾股定理的逆定理教案

第1章直角三角形

1.2直角三角形的性質(zhì)和判定（II）

第3課時(shí)勾股定理的逆定理

，素材一新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)

13情景導(dǎo)入口置疑導(dǎo)入口歸納導(dǎo)入囹復(fù)習(xí)導(dǎo)入口類比導(dǎo)入

口懸念激趣

/情景導(dǎo)入據(jù)說，古埃及人曾用下面的方法畫直角：他們用13個(gè)等距離的結(jié)，把一

根繩子分成等長的12段，一個(gè)工匠同時(shí)握住繩子的第1個(gè)結(jié)和第13個(gè)結(jié)，兩個(gè)助手分別握

住第4個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié)，拉緊繩子，就會(huì)得到一個(gè)直角三角形，其直角頂點(diǎn)在第4個(gè)結(jié)處.

圖1—2—67

這個(gè)問題意味著，如果圍成的三角形的三邊長分別為3，4，5，有下面的關(guān)系“32+42

=52"，那么圍成的這個(gè)三角形是直角三角形.

畫畫看，如果三角形的三邊長分別為2.5cm,6c/n>6.5cm,有下面的關(guān)系u2.52+62=

6S”，那么畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為4CT?，7.5s，8.5cvn再試一試.

［說明與建議］說明：由特殊到一般，歸納猜想出“如果三角形的三邊長a，b，c滿足關(guān)

系：a2+b?=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形”的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和尋求解

決數(shù)學(xué)問題的一般方法.建議：讓學(xué)生在小組內(nèi)共同合作，教師協(xié)助完成此活動(dòng)，在本活動(dòng)

中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生：①能否積極動(dòng)手參與；②能否從操作活動(dòng)中，用數(shù)學(xué)語言歸納、

猜想出結(jié)論.

0復(fù)習(xí)導(dǎo)入復(fù)習(xí)：直角三角形有哪些性質(zhì)？

（學(xué)生回答，教師在必要時(shí)需要幫助補(bǔ)充）

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)：（1）有一個(gè)角是直角；（2）兩個(gè)銳角互余；（3）兩直角邊的平方和等

于斜邊的平方；（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半.

提出問題：（1）當(dāng)一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)，才是直角三角形？

（2）對(duì)于一個(gè)三角形，我們是否可以不用角，而用三角形三邊之間的關(guān)系來判斷它是否為

直角三角形呢？

對(duì)于上述兩個(gè)問題，實(shí)質(zhì)是直角三角形性質(zhì)定理的逆用，即勾股定理的逆定理.

［說明與建議］說明：本導(dǎo)入復(fù)習(xí)前面所學(xué)直角三南形的基本知識(shí)，同時(shí)滲透勾股定理，

從性質(zhì)與判定的互逆性中得出應(yīng)用勾股定理的逆定理，從邊的等量關(guān)系中判定這樣的三角形

為直角三角形.建議：在教學(xué)中一定要突出直角三角形的勾股定理，這樣才能引出勾股定理

的逆定理，才能將學(xué)生引入到逆定理的學(xué)習(xí)中來.

0懸念激趣首先回顧上節(jié)課內(nèi)容：勾股定理.

勾股定理體現(xiàn)了直角三角形的三邊關(guān)系：直角三角形兩直角邊a，b的平方和，等于斜邊

c的平方.這里老師有一個(gè)感興趣的問題有待于解決，不知道大家有沒有想過，把這個(gè)定理

反過來說：如果一個(gè)三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形一定是直角

三角形嗎？

活動(dòng)：

大家一起來分組做個(gè)試驗(yàn),第一組的同學(xué)在本子上畫一個(gè)邊長為3cm'4cm，5cm的三

角形，第二組的同學(xué)每人畫一個(gè)邊長為5cm，12c”？，13。”的三角形，第三組的同學(xué)每人畫

一個(gè)邊長為8cm'15cm-17cm的三角形，第四組的同學(xué)拿著三角板或量角器分別到第一、

二、三組來抽查，看看他們畫出的三角形大概是什么形狀.能不能得出一個(gè)公認(rèn)的結(jié)論呢？

試驗(yàn)后討論：

通過試驗(yàn)大家得出結(jié)論了嗎？(當(dāng)?shù)谒慕M的同學(xué)測量時(shí)，其他同學(xué)也看到并得出了自己的

結(jié)論)每組派一個(gè)代表說出你們的結(jié)論，看看結(jié)論一致嗎？咖一組概括得更準(zhǔn)確？

［說明與建議J說明：本導(dǎo)入將“復(fù)習(xí)”與“試驗(yàn)操作”兩個(gè)方面溶為一體，通過學(xué)生活

動(dòng)，動(dòng)手展示，突出了勾股定理的逆定理的實(shí)用性.建議：在教學(xué)中，教師要注意活動(dòng)時(shí)間，

不要拖延太長，在活動(dòng)中還要抓住關(guān)鍵，即驗(yàn)證所畫三南形是直角三角形.

■素材二教材母題挖掘

L教材母題——教材第16頁習(xí)題1.2A組第2題

判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形.

(l)a=5>b=7，c=8；

(2)a=5，b=12>c=13；

(3)a=20，b=21，c=29；

(4)a=3n，b=4n-c=5n(n為正整數(shù)).

【模型建立】

根據(jù)勾股定理的逆定理，要判定一個(gè)三角形是直角三角形，只需判斷兩條直角邊的平方

和是否等于第三邊的平方.

【變式變形】

1?(利用邊的比建立方程，使之符合勾股定理)在4ABC中，/A，/B，/C的對(duì)邊長

分別是a，b，c，且c+a=2b1c—a=；b，則AABC的形狀是(A)

A?直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.銳角三角形

1533255

［解析］,.,c+a=2b，c—a=/bc=@，a=^b>a2+b2=Qb)2+b2=y^b2.c2=Qb)2

，，a2+b2=c2，；.Z\ABC是直角三角形.故選A

2?(結(jié)合圖形考查，注意公共邊的應(yīng)用和如何去尋找直角三角形的斜邊)五根小木棒，其

長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是(。

圖1一2—68

3.(從各邊的長度計(jì)算上利用勾股定理的逆定理去判定)如圖1—2—69，在7X4的網(wǎng)格

中有一個(gè)AABCIA-BC分別在小正方形的頂點(diǎn)上).若每個(gè)小正方形的邊長都為1，則4ABC

是(O

圖1—2—69

A?銳角三角形B.鈍角三角形

C?直角三角形D.等腰三角形

4?(結(jié)合非負(fù)數(shù)的和為0考查)己知a-b-c是三角形的三邊長，如果a，b，c滿足(a-

6)2+訴w+|c—10|=0，則此三角形的形狀是(￡>)

A?底與腰不相等的等腰三角形B.等邊三角形

C?鈍角三角形D.直角三角形

［解析J；(a—6/+而互+|c—10|=0，.?.根據(jù)偶次嘉、算術(shù)平方根和絕對(duì)值的非負(fù)性，

a—6=0，fa=6，

b—8=0，/.Ab=8?.?.a2+b2=c2，?,?此三角形的形狀是直角三角形.故選￡).

{c-10=0，［c=10，

5,(結(jié)合三角形的性質(zhì)先求出各邊的長度再利用"a2+b2=c2"判定)如圖1—2—70，己

知4ABC的周長為4+2#，AB=4，AC=#+，1

(1)判斷4八8?的形狀；

(2)若CD為AB邊上的中線，DELAB，ZACB的平分線交DE于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，

連接BE.求證：DC=DE.

圖1-2—70圖1-2—71

解：(DZ^ABC是直角三角形.「△ABC的周長是4+2,，AB=4，AC=#+也，

：.BC=(4+2y/6)-4一(,^6+A/2)='\/6一\［2.(y［64—\/2)2+(y［f)—■\/2)2=16，

...AC2+BC2=AB2，.?.△ABC是直角三角形.

(2)證明：過點(diǎn)C作CM_LAB交AB于點(diǎn)M.VDE±AB，二CM〃DE-/.ZDEF=ZMCF.

又「△ABC是直角三角形且CD是AB邊上的中線，,AD=CD，二/A=/ACD.：/A+

ZABC=90°，ZBCM+ZABC=90°>/.ZBCM=ZA>ZACD=ZBCM.VCE平分

ZACB，二/ACE=/BCE，；.NDCF=NMCF，二/DCF=/DEF，：.DC=DE.

■素材三,考情考向分析

［命題角度1J直接利用勾股定理的逆定理去判定直角三角形

判定時(shí)首先要確定三邊中的最大邊為斜邊，再計(jì)算另外兩邊的平方和，看是否與最大邊

的平方相等，若相等就能構(gòu)成直角三角形，若不相等就不能構(gòu)成直角三角形.

例［濱州中考］下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是(B)

A?4，5，68.1.5，2，2.5C.2-3*40.1，也，3

［命題角度2］勾股數(shù)的定義與規(guī)律

勾股數(shù)是滿足勾股定理的一組正整數(shù)，勾股數(shù)一般滿足一定的規(guī)律，如分別是3-4-5

的倍數(shù)的整數(shù)；滿足a=m—1，b=2F；，c=m+1的一組整數(shù)；滿足教學(xué)活動(dòng)的探究2中的

規(guī)律的整數(shù)等.

例［江寧區(qū)期中］觀察下列勾股數(shù)組：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；?9-40>

41；….若a，144>145是其中的一組勾股數(shù)，則根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，可知a=17.(提示：

32+152+1

5-5'13—)

I解析］它們?nèi)齻€(gè)一組，都是勾股數(shù)，每組勾股數(shù)中，第一個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，并且是從3開

始的連續(xù)奇數(shù)；第二、第三個(gè)數(shù)是連續(xù)整數(shù)，第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的平方減去1除以2,第

三個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的平方加上1除以2.

［命題角度3］勾股定理的逆定理的應(yīng)用

勾股定理的逆定理一般用于判定三角形的形狀，根據(jù)是否滿足a2+b2=c2來判定，當(dāng)然

在解題中可能出現(xiàn)a，b，c不對(duì)應(yīng)的情形，因此解題要結(jié)合圖形，先確定最大邊的值.

例［杭州中考模擬］已知三角形的三邊分別為a，b，c，且a=m-1小=2而，c=m+l(m

>1).

(1)請(qǐng)判斷這個(gè)三角形的形狀；

(2)試找出一組直角三角形的三邊的長，使它的最小邊不小于20，另兩邊的差為2，三邊

均為正整數(shù).

解：(I)*.,(m—l)2+(2"\/m)2=m2—2m+1+4m=m2+2m+1=(m+1)2，

;.a2+b2=c2，，這個(gè)三角形一定是直角三角形.

(2)答案不唯一，如取m=100>那么a=99，b=20，c=101.

■素材四教材習(xí)題答案

PU練習(xí)

在RtZ\ABC中，ZC=90°.

(1)已知4=25，％=15,求c；

(2)已知a=5'c=9>求b；

(3)已知b=5，c=15，求a.

解：(1)c-"^a2+i>2-yj252-\-152—5*^34.

⑵b=y]c2~a2=y]92~52=2yfT4.

(S^^A/C2—&2=-\/152—52=10y/2.

P13練習(xí)

1?如圖，一艘漁船以30海里/h的速度由西向東追趕魚群.在A處測得小島C在船的北

偏東60。方向；40min后，漁船行至B處，此時(shí)測得小島C在船的北偏東30。方向.已知以

小島C為中心，周圍10海里以內(nèi)有暗礁，問這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群是否有觸礁的危險(xiǎn)？

解：過點(diǎn)C作C〃_L4B交AB的延長線于點(diǎn)D由題意知，/。B=30°，，/ACB=180。

-ZCAB-ZABC=180°—30°—90°-30°=30°>

2

.?.BC=AB=30X1=20(海里).

在RtACDB中，

ZBCD=30°，

.?.BO=*C=10海里.

:.CD=7BG—BD2=10小(海里)>10(海里)，

.??這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群沒有觸礁的危險(xiǎn).

2?如圖，AE是位于公路邊的電線桿，高為12m，為了使電線C0E不影響汽車的正常

行駛，電力部門在公路的另一邊堅(jiān)立了一根高為6m的水泥撐桿BD，用于撐起電線.已知

兩根桿子之間的距離為8m，電線CD與水平線AC的夾角為60。.求電線CDE的總長L(A，B，

C三點(diǎn)在同一直線上，電線桿、水泥桿的粗細(xì)忽略不計(jì)).

解：如圖，作DF±AE，則OF=A8=8m，

EF=AE-AF=l2-6=6(m).

在RtZ\EFZ)中，DE=dE尸+￡>產(chǎn)=462+82=10(m).

在RtADBC中，ZBDC=30°，設(shè)BC=xm，則DC=2xm.根據(jù)勾股定理，得62+^

=(2x)2,

解得x=2小>：.DC=2x=4小(m).

/.電線CDE的總長L為(4小+10)m.

P16練習(xí)

1?判斷由線段4，b，C組成的三角形是不是直角三角形.

(l)a=8，h=\5，c=17；

(2)a=10，b=24，c=25；

(3)a=4，h=5，c=#T.

解：(1):82+152=289，6=289，

A82+15=172.

這個(gè)三角形是直角三角形.

(2),.1()2+242=676，252=625，

，102+24關(guān)252.

.?.這個(gè)三角形不是直角三角形.

(3)：42+52=41，(回尸=41，

.?.42+5=(W)2.

.??這個(gè)三角形是直角三角形.

2?如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，尸為C￡>的中點(diǎn)，E是3c上一點(diǎn)，且EC=；

BC.

求證：△4EF是直角三角形.

證明：：正方形ABCD的邊長為4，尸為CO的中點(diǎn)，

：.AD=AB=BC=CD=4，DF=FC=2，CE=^BC=1>：.BE=3.

在RtAADF中，4/=4。2+力產(chǎn)=42+22=20.

在RtZ\FCE中，EF2=FC2+CE2=22+l2=5.

在RtAABE中，AEr^AB2+BE2^4-2+32^25.

/.AE2=A7^+EF2是直角三角形.

P16練習(xí)1.2A組

1?在RtAABC中，ZC=90°.

⑴若。=8，c=17?那么b—；

(2)若67=10>匕=24>那么c=.

答案:(1)15(2)26

2?判斷由線段〃，b，c組成的三角形是不是直角三角形.

⑴。=5，6=7，c=8；

(2)a=5，b=\2'c=13；

(3)a=20，b=2\，c=29；

(4)a=3〃，〃=4”，c=5〃(〃為正整數(shù)).

解：(l)V52+72=74，82=64>/.52+72^82.

.?.這個(gè)三角形不是直角三角形.

(2)V52+122=169，132=169'.,.52+122=132.

，這個(gè)三角形是直角三角形.

(3)V202+212=841-292=841，

/.202+212=292.

，這個(gè)三角形是直角三角形.

(4)V(3/i)2+(4n)2=25n2>(5?)2=25n2，

.\(3n)2+(4/i)2=(5n)2.

.??這個(gè)三角形是直角三角形.

3?如圖，/B=/AC￡>=90。，BC=3，AO=13，CD=\2，求AB的長.

解：在RtAACD中，ZACD=90°>AO=13，CD=12，

AC=^AD2-CD2=^/132-122=5.

在Rt/MBC中，ZB=90°-BC=3，

，AB=7AO—B。=y]52~32=4.

4?(1)等邊三角形的邊長為2小，求它的中線長，并求出其面積.

(2)等邊三角形的一條角平分線長為小，求這個(gè)三角形的邊長.

解：(1)如圖，等邊三角形ABC的邊長為2小，AD為BC邊上的中線，則ACBC.在

RtAAfiD中，AD=N(2小)2-(小)2=3.

故△ABC的面積為|BGAD=3小.

(2)如圖，BE為等邊三角形A8C的一條角平分線，且BE=小，

則/EBC=30。，BE，AC.

在RtAEBC中，設(shè)EC=x，則BC=2x.

根據(jù)勾股定理，得/+(小)2=(2X)2，

解得X=l(x=—1不符合題意，舍去).

.?.這個(gè)三角形的邊長為2.

5?如圖，由勾股定理，兩條直角邊長都為1的直角三角形，其斜邊長為?。恢苯沁叿?/p>

別為由>1的直角三角形，其斜邊長為??；依此類推，在數(shù)軸上作出表示數(shù)/，巾，乖的

點(diǎn).

解：如圖，直角邊分別為2-1的直角三角形，其斜邊長為巾；直角邊分別為優(yōu)，1的

直角三角形，其斜邊長為市；直角邊分別為市-1的直角三角形，其斜邊為乖.

6?相傳，古埃及人用13個(gè)等距的結(jié)把一根繩子分成等長的12段，并把它擺成△ABC

的形狀，如圖所示.工人們按這種造形在金字塔等建筑的拐角作出直角，試問這種“張繩法”

能否得到一個(gè)直角三角形呢？請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手試一試，并說說理由.

解：能得到一個(gè)直角三角形.理由：用4段作為直角邊A8的長，用3段作為直角邊8C

的長，用5段作為斜邊AC的長.由于32+42=52，所以可以得到一個(gè)直角三角形.

P17B組

7?我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直

角三角形拼成如下圖所示的正方形，并用它證明了勾股定理，這個(gè)圖被稱為“弦圖”.它體現(xiàn)

了中國古代的數(shù)學(xué)成就，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.正因?yàn)榇?，這個(gè)圖案被選為2002年在北京

召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.

請(qǐng)你利用“弦圖”證明勾股定理.

解：設(shè)直角三角形的兩個(gè)直角邊長分別為a，b(a<b)，斜邊長為c.則小正方形的面積可

以表示為(匕一〃)21也可以表示為c2—,所以(b—a)2=c2—，化簡可得出+爐=

c2.

8?我們已經(jīng)知道，以直角三角形a，b，c為邊，向外分別作正方形，那么Si+S2=S3.

如圖，如果以直角三角形三條邊為直徑向外作半圓，是否也存在$+S2=S3?如果以三條邊

向外作等邊三角形呢？

解：以直角三角形三條邊為直徑向外作半圓時(shí)，

S|=7T?'52=n(D,S3=?|),

此時(shí)s+S2/(f)2+<f=2^,$3=亨

Va2+fe2=c29/.5I+S2=S，3.

以直角三角形三條邊向外作等邊三角形時(shí)，

1V3小小力2小02小(〃2+12)爽02

51=2^-2a=，S2=4~，*=-4，此時(shí)S1+S2-----4-----=4~=Sy

9?如圖為放置在水平桌面上的臺(tái)燈的示意圖，燈臂A8長為40cm，燈罩8c長為30cm，

底座厚度為2cm，燈臂與底座構(gòu)成的NBA￡>=60。.使用時(shí)發(fā)現(xiàn)，光線效果最佳時(shí)燈罩BC與

水平線所成的角為30。，求此時(shí)燈罩頂端C到桌面的高度（結(jié)果精確到0.1cm）.

解：過B作BMLCD交CD于點(diǎn)M，BNLAD，交AD于點(diǎn)N.

在RtACMB中，ZCBM=30°，

二30=15（cm）.

在RtABNA中，ZBAN=60°，

，/A8N=30。，,AN=20cm，

：.BN=206cm.

，此時(shí)燈罩頂端C到桌面的高度為CM+MD+DE=\5+203+2*51.6（cm）.

■素材五圖書增值練習(xí)

專題一勾股定理

1.（黑龍江競賽）若直角三角形的三邊長分別為2,4,X,則x的可能值有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.如圖所示，A是斜邊長為m的等腰直角三角形，B,C,D都是正方形則A,B,C,D的面積

的和等于（）

Q511

A.—nrB.—nrC.一nrD.3m2

424

3.如圖：已知M是R3ABC的斜邊BC的中點(diǎn)，P、Q分別在AB、AC上且BP=5,CQ=3,

PM1QM,則PQ為（）__

A.34B.4C.V34D.A/17

4.如圖，在RtaABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD=2,AC=3,則BC的長是

5.等腰三角形一腰長為5,一邊上的高為3,則底邊長為.

專題二勾股定理的逆定理

6.已知a,b,c為△ABC三邊，且滿足//力2/=￡七"，則它的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.已知a、b、c是比的三邊長，且滿足關(guān)系Jc—2a2—/+3—闿=o,則△/回的形狀

為____________

8.已知：等邊aABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PC=2,PA=4,PB=2?,求aABC的邊長.

專題三勾股定理的應(yīng)用

9.放學(xué)以后，萍萍和曉曉從學(xué)校分手，分別沿東南方向和西南方向回家，若萍萍和曉曉行

走的速度都是40米/分，萍萍用15分鐘到家，曉曉用20分鐘到家，萍萍家和曉曉家的距離

為（）

A.600米B.800米C.1000米D.不能確定

10.已知：如圖，以RtaABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜邊AB=5,

則圖中陰影部分的面積為

11.如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)A偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B相距50

米，結(jié)果他在水中實(shí)際游的路程比河的寬度多10米，求該河的寬度BC為多少米？

12.如圖，公路上有一拖拉機(jī)由點(diǎn)P向點(diǎn)N行駛，在公路一側(cè)有一所中學(xué)，已知出=

160m,且NN?4=30。.假設(shè)拖拉機(jī)在行駛時(shí)，周圍100m內(nèi)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公

路上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響？請(qǐng)說明理由；如果受影響，已知拖拉機(jī)

的速度為18km/h,那么學(xué)校受影響的時(shí)間是多少秒？

專題四運(yùn)用勾股定理規(guī)律探究

14.如圖，0P=l,過P作PP」0P且PP,=b得0P,=啦；再過R作P,P2±0P,且PR=1,得0P2=V3；

又過P2作P島J_0P2且P島=1,得0P：,=2；…依此法繼續(xù)作下去，得OPzo后.

14.J2013.解析:由勾股定理可得：OP】=0；0P2=73,0P3=2=",……，所以

0P2012=5/2013.

15.如圖，已知/AOB=45°,Ai、4、4、.在射線。A上，S、&、&、....在射線OB

15.32解析：乙408=45°,04=1,且4B2_L0A,...4181=04=1,43=6；

可求4282=2,；A3&=4=2"A4&=4血，...A(>B(,==32

16.如圖，是一塊直角邊長為2cm的等腰直角三角形的硬紙板，在其內(nèi)部裁剪下一個(gè)如圖1

所示的正方形，設(shè)得到剩余部分的面積為，；再分別從剩余的兩個(gè)三角形內(nèi)用同樣的方式裁

減下兩個(gè)正方形，如圖2所示，設(shè)所得到的剩余部分的面積為S2；再分別從剩余的的四個(gè)三

角形內(nèi)用同樣的方式裁減下四個(gè)正方形，如圖3所示,設(shè)所得到的剩余部分的面積為S3；……，

12

如此下去，第n次裁減后得到的剩余部分的面積Sn=cm.

2222222

16.(‘廠」解析：Si=242,S2=2-l-(-)X2,S3=2-l-(-)X2-(-)X4,S4=2-l-(-)

22-242

X2-(工/X4-(』AX8.通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)Si=2-12=1=()。，S2=2-12-(1)2X2=1,

4822222

2222222

S3=2-l-(-)X2-(-)X4=1-1-1=1=(1)2,S4=2-l-(-)X2-(-)X4-(-)X

242442248

8=1----=-=(—)3.......由此可以推廣S=(—)n-1

2482n2

狀元筆記

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.勾股定理：直角三角形兩直角邊”、人的平方和等于斜邊C的平方，即。2+02=02.

2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長4、b、C滿足關(guān)系/+。2=02,那么這個(gè)三

角形是直角三角形.

【溫馨提示】

1.當(dāng)NA=90°,則/="+/；當(dāng)/8=90。，則加=/+。2

2.如果三角形的三邊長4、b、。滿足關(guān)系。2+〃=。2,那么c所對(duì)的角是直角.

3.利用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí).，要注意邊的長不能取負(fù)值.

【方法技巧】

1.利用勾股定理，可已知直角三角形的任意兩邊的長求出第三邊長.

2.利用勾股定理的逆定理，計(jì)算兩條較短邊的平方和是否等于最長邊的平方，可以根據(jù)邊的

長判定三角形的形狀.

3.利用勾股定理及其逆定理解決數(shù)學(xué)問題，常用的數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合思想、方程思想.

參考答案：

1.B解析：當(dāng)x為斜邊時(shí)，x2=22+42=20,所以x=2石；當(dāng)4為斜邊時(shí)，x2=16-4=12,

x=2g故選B.

2.A解析：等腰直角三角形中斜邊長為m,則腰長為亞加，C,D的邊長為變機(jī)，

22

，A的面積為Lx"〃zx也m=,〃/,C,D的面積為YZ/MX立=L機(jī)2,B的面積

2224222

111Q

為m2,故A、B、C、D的面積和為(1+—+—+—)m2=一加2.

2244

3.C解析：延長QM至D,使DM=QM,連接BD、PD,可證△CMQ絲△BMD,可得

BD=CQ,/DBM=/C,則/C+NABC=90°,即/PBD=90°,又「PMl.QM,DM=QM,二

PD=PQ,在Rt^PBD中，由勾股定理得，PD=?再不=正可手=a，即PQ=J^.

4.J7解析：在RtAABC中，CD是斜邊AB上的中線，CD=2,，AB=2CD=4.

BC=7AB2-AC2=,42—32=幣.

5.8或J/或3j歷解析：若高3是該等腰三角形底邊上的高，如圖1,此時(shí)由勾股定理易

得BD=4,所以底BC=8；若高3是該等腰三角形腰上的高，此時(shí)等腰三角形為銳角三角形，

如圖2,此時(shí)由勾股定理易得AD=4,故CD=1,在4BCD中由勾股定理易得BC=JIG；

若高3是該等腰三角形腰上的高，此時(shí)等腰三角形為鈍角三角形，如圖3,此時(shí)由勾股定理

易得AD=4,故BD=9,在4BCD中由勾股定理易得BC=3ji6.

圖1圖2圖3

6.DVa2c2-b2c2=a4-b\(a2c2-b2c2)-(a'-b4)=0,.*.c2(a+b)(a-b)-(a+b)(a-b)

(a2+b2)=0,(a+b)(a-b)(c2-a2-b2)=0,'.'a+b#0,a-b=0或c2-a2-b2=0,所以a=b

或cJa'b?即它是等腰三角形或直角三角形.

7.等腰直角三角形解析：：Jc—2a2一/+,—4=0；.c;;-a;!-b'=0,且a-b=0,...c'a'b'',

且a=b,則4ABC為等腰直角三角形.

8.解：將aBPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得aBDA,

AZDBP=60°,BD=BP=2?,

...△BDP是等邊三角形，

.?.DP=2?,

又：AD=CP=2,AP=4,

.,.AD2+PD2=AP2,

...△ADP是直角三角形，

作BF1AF,

ZFDB=90°-ZBDP=30",

在直角△BFD中，

BF=b，DF=3,

；.AF=5,

在直角aAEB中，AB2=AF2+BF2,

即AB2=25+3,

.?.AB=2V7：_

故答案為：2b.

9.C解析：根據(jù)題意得：如圖：0A=40X20=800m.0B=40X15=600m.在直角^OAB中，

AB=J^石而7=1000米.故選C.

25

10.—解析：在RtZiABC中，AB2=AC2+BC2,AB=5,SI?J^=SA.AHC+SABFC+SAAEB

2

=-AC2+-BC2+-AB2=-(AC2+BC2+AB2)^-AB2^―

444422

11.解：根據(jù)題意可知AB=50米，AC=BC+10米,

設(shè)BC=x,由勾股定理得AC'ABZ+Bd,

即(x+10)2=502+X2,解得X=120.

答：該河的寬度BC為120米.

12.解：如圖，過A作48,用N,垂足為8

VZNPA=30°,%=160m,

.*.A8=80m,則學(xué)校會(huì)受到影響.

在PB上找一C,使AC=-AB,連接AC,作以A為圓心，AC的長為半徑的圓，與MN交

4

與